Mecânica Clássica - Problemas de Lagrange

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Mecaˆnica Cla´ssica (I)- 2013/2014
folha 4
1. Duas massas m1 e m2 esta˜o ligadas por um fio que passa pelo buraco de uma mesa de tal modo que
m1 se move sobre a superf´ıcie da mesa e m2 esta´ suspensa e move-se unicamente numa linha vertical.
Considere que o movimento apenas se realiza enquanto m1 e m2 na˜o passarem atrave´s do buraco
(a) Indique um conjunto de coordenadas generalizadas adequadas a` descric¸a˜o do sistema.
(b) Escreva as equac¸o˜es de Lagrange do sistema.
(c) Reduza o problema a uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem e obtenha o primeiro integral
da equac¸a˜o. Qual o seu significado f´ısico? ( d2r/dt2 = vdv/dr)
R: (b) L = 1
2
m1(r˙
2 + r2θ˙2) + 1
2
m2r˙
2 + m2g(l − r); (m1 + m2)r¨ = m1rθ˙
2 −m2g; θ e´ uma coordenada
c´ıclica (θ˙ = C
m1r
2 ); (c)
1
2
(m1 +m2)r˙
2 + C
2m1r
2 +m2gr = const..
2. Uma conta de massa m desliza sem atrito num arco circular de raio a. O arco esta´ sobre um plano
vertical e roda em torno do diaˆmetro vertical com frequeˆncia angular ω (figura 1).
(a) Obtenha o Lagrangiano e as equac¸o˜es de Lagrange do sistema.
(b) Para uma velocidade angular ω maior que uma valor cr´ıtico, ωc, a conta pode realizar peque-
nas oscilac¸o˜es em torno de uma posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´vel θ0 6= 0. Determine ωc e θ0(ω).
Obtenha as equac¸o˜es de movimento para as pequenas oscilac¸o˜es em torno de θ0 em func¸a˜o de
ω e determine o per´ıodo das oscilac¸o˜es.(Sugesta˜o: fac¸a a mudanc¸a de varia´veis θ = θ0 + θ
′ nas
equac¸o˜es de movimento e considere θ′ pequeno)
m mk k3k
ω
fig 1 fig 2 
R: (a) L = (1/2)ma2(θ˙2 + ω2 sin2 θ) +mga cos θ; θ¨ = (1/2)ω2 sin(2θ)− (g/a) sin θ; φ e´ uma coordenada
c´ıclica; (b) δθ¨ − δθ [ω2 cos(2θ0)− (g/a) cos θ0] = 0
3. Duas part´ıculas pontuais de massa m esta˜o ligadas por molas conforme mostra a figura 2. Sabendo
que as molas na˜o deformadas teˆm comprimento a e que as constantes das molas sa˜o respectivamente
k para as molas perife´ricas e 3k para a mola central,
(a) indique quantos graus de liberdade tem o sistema e escolha um conjunto adequado de coorde-
nadas generalizadas;
(b) obtenha o lagrangiano do sistema e as equac¸o˜es de movimento. A partir destas determine as
frequeˆncias de oscilac¸a˜o do sistema. (sugesta˜o: Pode desacoplar as equac¸o˜es do movimento
fazendo uma mudanc¸a de varia´veis para a soma e diferenc¸a das coordenadas das part´ıculas)
R: (b) L = 1
2
mx˙1
2 + 1
2
mx˙22 −
k
2
(x1 − a)
2 − 3k
2
(x2 − x1 − a)
2 − k
2
(2a− x2)
2;
mx¨1 = −k(4x1 − 3x2 + 2a); mx¨2 = −k(4x2 − 3x1 − 5a);
x¨+ = −
k
m
x+ com x+ = x1 + x2 − 3a; x¨− = −
7k
m
x− com x− = x1 − x2 + a