Exercícios de Mecânica Clássica

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Mecaˆnica Cla´ssica (I)- 2013/2014
folha 8
1. O tensor de ine´rcia num dado sistema de eixos e´ dado por
I =


1
2
(A +B) 1
2
(A− B) 0
1
2
(A−B) 1
2
(A +B) 0
0 0 C

 .
Considere uma rotac¸a˜o do sistema de eixos de um aˆngulo θ em torno do eixo x3. Determine os
elementos do tensor de ine´rcia no novo sistema de refereˆncia e mostre que o aˆngulo θ = pi/4 torna
o tensor de ine´rcia diagonal com momentos principais de ine´rcia A, B, e C.
2. Uma haste uniforme de comprimento
√
3a com os seus extremos apoiados num arco vertical, de
raio a e sem qualquer atrito (ver figura) escorrega ao longo do arco.
A partir das equac¸o˜es de Lagrange verifique
que para pequenas oscilac¸o˜es este sistema e´
equivalente a um peˆndulo simples de compri-
mento igual ao raio do arco, a.
a
R: L = M
4
a2θ˙2 + 1
2
mga cos θ, θ¨ = − g
a
sin θ.
3. Um cilindro de raio da base a e altura h e cuja densidade aumenta linearmente com a distaˆncia
ao eixo e´ posto em rotac¸a˜o com uma velocidade angular constante ω em torno de um eixo que
passa pelo centro do cilindro e por um ponto da periferia da base. Obtenha a energia cine´tica do
cilindro e o momento das forc¸as aplicado ao cilindro, relativamente aos seus eixos principais.
4. Um oscilador harmo´nico uni-dimensional tem massa m e constante de elasticidade k = mω2
(a) Sejam q e p as varia´veis que definem respectivamente a posic¸a˜o e momento linear do oscilador.
Verifique que a transformac¸a˜o Q = p + i a q , P = 1
2 i a
(p− i a q), onde a e´ uma constante, e´
uma transformac¸a˜o cano´nica ({Q,P} = 1 ). O Pareˆnteses de Poisson e´ definido por
{a, b} = ∂a
∂q
∂b
∂p
− ∂a
∂p
∂b
∂q
(b) Escreva o hamiltoniano do oscilador harmo´nico em termos das novas coordenadas supondo
que H ′ = H [q(Q,P ), p(Q,P )] e calcule a de modo que H ′ = i ωPQ.
(c) Obtenha as equac¸o˜es de movimento para as novas coordenadas utilizando o formalismo dos
pareˆnteses de Poisson.
q˙ = {q,H}, p˙ = {p,H}