Cálculo, Derivadas e integrais de Log

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Cap´ıtulo 25
Logaritmo e Exponencial
25.1 Introduc¸a˜o
No in´ıcio do se´culo XVII, a cieˆncia na Europa deixava de ser especulativa e se baseava cada vez mais em experieˆncias
concretas. O progresso nos diversos campos do conhecimento exigia uma teoria digna de cre´dito, e para isso medic¸o˜es
mais acuradas e operac¸o˜es alge´bricas mais sofisticadas eram necessa´rias.
Uma das grandes dificuldades dessa e´poca residia no fato de que todas as contas eram feitas manualmente. Somar
grandes quantidades e principalmente multiplicar nu´meros gigantescos na˜o eram tarefas fa´ceis. A multiplicac¸a˜o de
dois nu´meros de cinco algarismos, por exemplo, envolve 25 multiplicac¸o˜es e uma adic¸a˜o!
Um dos me´todos utilizados para efetuar grandes multiplicac¸o˜es era o uso de ta´buas de func¸o˜es trigonome´tricas,
conhecidas desde os tempos de Ptolomeu (se´culo II D.C.), operadas da maneira descrita abaixo.
Para multiplicar dois nu´meros a e b, primeiramente mudava-se a posic¸a˜o relativa das v´ırgulas e os sinais ate´ que
os nu´meros a e b ficassem entre 0 e 1, enta˜o, procurava-se na ta´bua, aˆngulos α e β tais que sen(α) = a e cos(β) = b.
Aplicando-se a fo´rmula
sen(α+ β) + sen(α− β)
2
= sen(α) cos(β)
obtinha-se, por meio da ta´bua trigonome´trica, os valores de sen(α+ β) e de sen(α− β) e da´ı o produto desejado.
Uma outra ide´ia seria a de fazer uma ta´bua de multiplicac¸o˜es, so´ que tal ta´bua para nu´meros naturais de 1 a
10.000.000, exigiria meio trilha˜o de multiplicac¸o˜es, o que para ser efetuado tomaria muito tempo. (Cerca de 600.000
mil anos a` base de 1/2 minuto por conta, sem dormir e sem comer, sem ir ao banheiro e sem namorar.)
Usando a ide´ia ba´sica das ta´buas trigonome´tricas de transformar multiplicac¸o˜es em somas, Napier construiu, em
1614, a primeira ta´bua de logaritmos, que listava os logaritmos dos nu´meros maiores do que 1 numa enorme tabela.
O sucesso do projeto de Napier foi de grande ajuda para pessoas como Johann Kepler, cujas ana´lises de observac¸o˜es
astronoˆmicas exigiam ca´lculos laboriosos.
Os logaritmos gozam da seguinte propriedade operato´ria:
log(a b) = log a+ log b
o que possibilitava que grandes multiplicac¸o˜es fossem efetuadas com esforc¸o mı´nimo e, ainda, removia muitas das
dificuldades do processo trigonome´trico, possibilitando, por exemplo, a multiplicac¸a˜o de treˆs ou mais fatores sem
muito trabalho.
Essas tabelas deram origem a`s famosas re´guas de ca´lculo que eram usadas por engenheiros, f´ısicos e economistas ate´
o in´ıcio da de´cada de 70, quando a popularizac¸a˜o dos computadores e das ma´quinas de calcular tornou completamente
obsoletas tanto as ditas re´guas como as famigeradas tabelas (grac¸as ao bom e misericordioso Deus!).
Hoje em dia os logaritmos na˜o sa˜o mais utilizados explicitamente para ca´lculos corriqueiros e na˜o tem mais sentido
aprender ou ensinar o uso das tais ta´buas. A func¸a˜o logaritmo, que estudaremos a seguir, continua, no entanto,
mantendo sua importaˆncia teo´rica no estudo das func¸o˜es reais e das equaco˜es diferenciais.
25.2 Motivac¸a˜o
Suponha que f seja uma func¸a˜o tal que f ′(x) = 1x para todo x > 0 e f(1) = 0. Vamos mostrar que f(xy) = f(x)+f(y).
Para isso, considere a func¸a˜o g definida por g(x) = f(xy). Enta˜o,
g′(x) = f ′(xy)y =
y
xy
=
1
x
Consequ¨entemente, como f e g teˆm a mesma derivada, diferem por uma constante, isto e´,
g(x) = f(x) + C.
345
346 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
Como f(1) = 0, enta˜o C = g(1) = f(y). Logo,
g(x) = f(xy) = f(x) + f(y).
Assim, a func¸a˜o que transforma produtos em somas (logaritmo), que desde o se´culo XVII os matema´ticos procuravam
definir, deve ser aquela cuja derivada seja igual a 1x e tal que f(1) = 0. A func¸a˜o L(x), definida por L(x) =
∫ x
1
1
t dt,
satisfaz estas duas propriedades, portanto e´ razoa´vel definirmos a func¸a˜o ln(x ) (logaritmo natural ou neperiano de x )
como
ln(x) =
∫ x
1
1
t
dt
e, a partir da´ı, deduzir as suas propriedades. Isto e´ feito nas sec¸o˜es a seguir.
25.3 Logaritmo natural
Definic¸a˜o
Define-se o logaritmo natural de um nu´mero positivo x como
ln(x) =
∫ x
1
1
t
dt.
Geometricamente, isto significa que quando x > 1, o logaritmo natural de x e´ igual ao valor da a´rea da regia˜o plana
limitada pela curva y = 1t , pelo eixo das abscissas e pelas retas t = 1 e t = x (veja a figura seguinte, a` esquerda).
Quando 0 < x < 1, como
∫ x
1
1
t dt = −
∫ 1
x
1
t dt, temos que ln(x) = −A(x), onde A(x) e´ a a´rea da regia˜o limitada
pelo gra´fico da curva y = 1t , pelo eixo das abscissas e pelas retas t = x e t = 1 (veja figura a` direita).
1 x x 1
Consequ¨eˆncias da definic¸a˜o de logaritmo
Pelo teorema fundamental do ca´lculo temos, imediatamente, que
ln′(x) =
1
x
.
Ale´m disso, a func¸a˜o logaritmo natural e´ uma func¸a˜o crescente, pois ln′(x) = 1x > 0, para x > 0. Temos, tambe´m, que
ln′′(x) = − 1x2 < 0, para todo x > 0. Portanto, o gra´fico de ln(x) e´ coˆncavo para baixo. Deixamos como exerc´ıcio a
demonstrac¸a˜o de que lim
x→0+
ln(x) = −∞ e lim
x→∞ ln(x) =∞. (Veja Exerc´ıcio 4.)
Com estas informac¸o˜es e´ poss´ıvel esboc¸ar o gra´fico de y = ln(x).
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
x
Principais propriedades
Se a e b sa˜o nu´meros reais positivos e r e´ um nu´mero racional, enta˜o:
1. ln(ab) = ln(a) + ln(b)
W.Bianchini, A.R.Santos 347
2. ln(br) = r ln(b)
3. ln(ab ) = ln(a)− ln(b)
Demonstrac¸a˜o
1. Observe que ln′(xb) =
1
xb
(xb)′ =
1
x
= ln′(x). Portanto, ln(xb) = ln(x) + C.
Para x = 1, temos ln(b) = C. Assim, ln(ab) = ln(a) + ln(b).
2. Como
ln′(xr) =
1
xr
r x(r−1) =
r
x
= (r ln(x))′ ,
segue que
ln(xr) = r ln(x) + C.
Mas, para x = 1, temos C = 0. Assim,
ln(br) = r ln(b).
3. A demonstrac¸a˜o da terceira propriedade e´ consequ¨eˆncia direta das duas primeiras, bastando para isso observar
que ln(ab ) = ln(a b
(−1)).
25.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos
A func¸a˜o logaritmo natural f(x) = ln(|x |) e´ definida para todo x 6= 0. Se x>0, enta˜o |x | = x e tem-se f ′(x) = 1x . Se
x < 0, enta˜o |x | = −x e, neste caso, f ′(x) = −x′−x = 1x . Logo,
(ln(|x |))′ = 1
x
para todo x 6= 0.
Quando se tem uma composta y = ln(|u |), onde u = u(x), isto e´, y = ln(|u(x) |), enta˜o, usando a regra da cadeia
tem-se
y′ = (ln(|u(x) |)′ = u
′(x)
u(x)
,
desde que u = u(x) seja deriva´vel e diferente de zero. Assim∫
u′(x)
u(x)
dx = ln(|u(x) |) + C
ou, simplesmente, ∫
1
u
du = ln(|u |) + C, pois, du = u′(x) dx
.
Exemplo Calcule
∫
1
2x− 3 dx.
Soluc¸a˜o Se u = 2x− 3⇒ du = 2dx Assim,∫
1
2x− 3 dx =
1
2
∫
1
u
du =
1
2
ln(|u |) + C = 1
2
ln(| 2x− 3 |) + C .
Aqui, subentende-se que estamos calculando a integral para os valores de x para os quais a func¸a˜o f(x) = 12 x−3 esta´
definida, isto e´, para x 6= 32 . Assim,
∫
1
2x− 3 dx =
1
2
ln(2x− 3) + C , se x > 3
2
e∫
1
2x− 3 dx =
1
2
ln(3− 2x) + C , se x < 3
2
.
348 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
25.5 Func¸a˜o exponencial
Definic¸a˜o
Define-se a func¸a˜o exponencial y = exp(x) como sendo a inversa da func¸a˜o logaritmo, isto e´,
y = exp(x)⇔ x = ln(y)
Da definic¸a˜o acima podemos concluir que o domı´nio da func¸a˜o exponencial e´ toda a reta real e a imagem e´ o
intervalo aberto (0,+∞).
Ale´m disso, como a exponencial e´ a inversa do logaritmo, seu gra´fico e´ obtido pela reflexa˜o do gra´fico do logaritmo
em torno da reta y = x.
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–3 –2 –1 1 2 3 4 5x
Principais propriedades
1. exp(x) exp(y) = exp(x+ y)
2. (expx)r = exp(rx), para todo nu´mero racional r
3. exp(−x) = 1exp x
Demonstrac¸a˜o
1. Usando a primeira propriedade de logaritmo, tem-se
ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y))= x+ y
Assim, pela definic¸a˜o de exponencial, obtemos
exp(x+ y) = exp(x)exp(y).
2. Pela segunda propriedade de logaritmo,
ln (expx)r = r ln(exp(x)) = rx
Logo, pela definic¸a˜o de exponencial vem que
(expx)r = exp(rx).
3. A propriedade (3) decorre imediatamente de (1). Se y = −x, tem-se exp(x) exp(−x) = exp(0) = 1, o que implica
exp(−x) = 1
expx
.
25.6 Func¸a˜o exponencial em uma base qualquer
Definic¸a˜o
Considere um nu´mero real a > 0 e a 6= 1. Definimos a func¸a˜o exponencial de um nu´mero real qualquer x na base
a como sendo:
y = ax = exp (x ln(a))
W.Bianchini, A.R.Santos 349
Principais propriedades
Para a > 0 e b e c reais quaisquer, tem-se:
(a) ln(ab) = b ln(a)
(b) ab ac = a(b+c)
(c) (ab)c = abc
Demonstrac¸a˜o
A propriedade (a) decorre imediatamente da definic¸a˜o da func¸a˜o exp(x ). A propriedade (b) tambe´m decorre imedi-
atamente da definic¸a˜o de exp(x ) e de sua primeira propriedade
ab ac = exp(b ln(a)) exp(c ln(a)) = exp((b+ c) ln(a)) = a(b+c).
A propriedade (c) e´ uma extensa˜o da propriedade (2) da func¸a˜o exp(x ) e decorre da definic¸a˜o e da propriedade
(a), acima. Assim,
(ab)c = exp(c ln(ab)) = exp(cb ln(a)) = abc .
O nu´mero e
Note que a definic¸a˜o de exponencial em uma base a qualquer se torna mais simples se escolhermos uma base a, tal
que ln(a) = 1.
Definimos o nu´mero e como sendo o nu´mero tal que ln(e) = 1. Evidentemente, como a func¸a˜o logaritmo e´ cont´ınua
e injetora, tal nu´mero existe. Assim,
exp(ln(e)) = e ou exp(1) = e
e
ex = exp(x)
ou seja, a func¸a˜o definida anteriormente como y = exp (x ) e´ a func¸a˜o exponencial na base e.
Exerc´ıcio Mostre que o nu´mero e pode ser obtido como
e = lim
h→0
(1 + h)(
1
h )
Sugesta˜o:
1
t
= (ln(t))′ = lim
h→0
ln(t+ h)− ln(t)
h
Use propriedades de logaritmo para mostrar que
e
1
t = lim
h→0
(1 +
1
t
h)(
1
h )
25.7 Logaritmo em uma base qualquer
Definic¸a˜o
Considere um nu´mero real a > 0 e a 6= 1. Define-se a func¸a˜o logaritmo em uma base a como sendo a inversa da
func¸a˜o exponencial na base a, isto e´,
y = loga(x)⇔ ay = x.
Observe que loge(x) = y ⇔ ey = x, e como eln(x) = x, tem-se
loge(x) = ln(x).
Principais propriedades
As propriedades de logaritmos em uma base a sa˜o as mesmas do logaritmo natural e sa˜o facilmente dedut´ıveis das
propriedades de exponencial em uma base qualquer a.
350 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
(a) loga(x y) = loga(x) + loga(y)
(b) loga(x
y) = y loga(x)
(c) loga(
x
y ) = loga(x)− loga(y)
Mudanc¸a de base
Se a > 0 e a 6= 1, o problema que temos e´ como obter loga(x) conhecendo-se o logaritmo natural ln(x ). Observe
que x = aloga(x) = e(loga(x) ln(a)). Assim, ln(x) = loga(x) ln(a) e, portanto, tem-se a fo´rmula de mudanc¸a da base e
para a base a
loga(x) =
ln(x)
ln(a)
.
Agora, para x = e, tem-se,
loga(e) =
ln(e)
ln(a)
=
1
ln(a)
.
Assim,
ln(x) = loga(x) ln(a) =
1
loga(e)
loga(x),
e temos a fo´rmula de mudanc¸a da base a para a base e.
25.8 Derivadas e Integrais
Derivada e Integral de exp(x) = ex
Pelo teorema da func¸a˜o inversa temos
(ex)′ =
1
ln(y)
= y = ex.
Assim, ∫
ex dx = ex + C
Exemplo 1 Calcule a derivada de y = ex
2
.
Soluc¸a˜o Se u = x2, pela regra da cadeia, sabemos que
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= eu 2x = ex
2
2x
Exemplo 2 Calcule
∫
x ex
2
dx
Soluc¸a˜o Se u = x2 ⇒ dudx = 2 xdx . Assim,
∫
x ex
2
dx =
1
2
∫
eu du =
1
2
eu + C =
1
2
ex
2
+ C.
Derivada e integral de ax
Da definic¸a˜o de exponencial em uma base a qualquer e da regra da cadeia, temos
(ax)′ = (e(x ln(a)))′ = e(x ln(a))(x ln(a))′ = ax ln(a) ,
isto e´,
d(ax)
dx
= ax ln(a) Logo,
∫
ax dx =
ax
ln(a)
+ C.
Derivada e Integral de xb
W.Bianchini, A.R.Santos 351
Considere a func¸a˜o y = f(x) = xb, definida para x > 0 e b um nu´mero real na˜o nulo. Enta˜o,
(xb)′ = (e(b ln(x)))′ = e(b ln(x))
b
x
= xb
b
x
= b x(b−1).
Assim, finalmente, provamos a fo´rmula
d(xn)
dx
= nx(n−1)
para qualquer nu´mero real n, e consequ¨entemente,∫
xn dx =
x(n+1)
n+ 1
+ C
para qualquer nu´mero real n 6= −1.
Derivada de loga(x)
Da fo´rmula de mudanc¸a de base temos
(loga(x))
′ = (
ln(x)
ln(a)
)′ =
1
x ln(a)
=
1
x
loga(e)
25.9 Exerc´ıcios
1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) y = ln(x2 + 1)
(b) y = sen(ln(x))
(c) y = xln(x)
(d) y = ln(
√
x3 + 2x)
(e) ln2 (sen(x))
(f) y = e(4 x+5)
(g) y = x e(x
2+1)
(h) y = sen(x)
(i) y = ecos(x)
(j) y =
√
e
√
x
(k) y = (sen(e(−x)))2
(l) y = cos(esen(x))
(m) y = lnex + e(−x)
(n) y = 2(x
2)
(o) y = pisen(x)
(p) y = 5pi
(q) y = log10(3x+ 2)
(r) y = xx
(s) y = sen(x)cos(x)
2. Nos exerc´ıcios abaixo, encontre dydx , por derivac¸a˜o impl´ıcita:
(a) x2 ey + ex = y
(b) ex + ey = exy
(c) ex − ey = x y
(d) x ey + y ex = x y
(e) xln(y) = yex
3. Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫
x2 e(x
3) dx
(b)
∫
sen(x) ecos(x) dx
(c)
∫
1 + e
√
x
√
x
dx
(d)
∫
x e(2−x
2) dx
(e)
∫
ex
1 + ex
dx
(f)
∫
1
x ln(x)
dx
(g)
∫
3
2 + 3
√
x
dx
(h)
∫
ln(x)
x
dx
(i)
∫ 5
1
ln(x)
x
dx
(j)
∫ −1
−2
ln |x |
x
dx
(k)
∫
x
2 + 3x2
dx
(l)
∫
[ln(x)]2
x
dx
(m)
∫
2x+ 1
x2 + x
dx
(n)
∫
cos(3x)
1 + sen(3x)
dx
4. Prove que lim
x→∞ ln(x) =∞ e limx→0+ ln(x) = −∞.
Sugesta˜o: Considere x grande e n o maior inteiro, tal que, x > 2n. Aplique logaritmo nesta desigualdade.
5. Mostre que lim
x→∞
ln(x)
xn
= 0, para todo inteiro positivo n.
Sugesta˜o: ln(x) =
∫ x
1
1
t dt ≤
∫ x
1
1
t
1
2
dt = 2 (x
1
2 − 1)
6. Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido girando-se a regia˜o limitada por y = ex + e−x, x = 0 e x = 2
em torno do eixo x.
7. Mostre que e = lim
n→∞ (1 +
1
n
)n.
352 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
25.10 Problemas propostos
1. (a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 e(−x).
(b) Esboce o gra´fico de f(x) = e(−
x2
2 )
(c) Esboce o gra´fico de f(x) = ln(x)x .
(d) Qual dos dois e´ maior epi ou pie? Sugesta˜o: Utilize o gra´fico obtido no item anterior.
2. Determine os pontos do gra´fico de y = x2 + 4 ln(x), em que a tangente e´ paralela a` reta y − 6x+ 3 = 0.
3. Determine a a´rea da regia˜o limitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas:
(a) xy =1 , y = 0, x = 1 e x = e.
(b) y = e−2 x, y = −e−x, x = 0 e x = 2.
4. Nos itens abaixo, calcule dydx .
(a) x ln(y)− y ln(x) = 1.
(b) y3 + x2 ln(y) = 5x+ 3
(c) x ey + 2x− ln(y + 1) = 3
(d) y = (2x+ 1)(
2
3 ) (4x− 1)2 (3x+ 5)4
(e) y = (2 x−3)
2
√
x+1 (7 x+2)3
5. Um nu´mero primo e´ um inteiro positivo que admite como fatores apenas 1 e ele mesmo. Os primeiros primos sa˜o
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... Denotamos por pi(n) o nu´mero de primos que sa˜o menores ou iguais a n. Por exemplo,
pi(15) = 6 , pois existem 6 primos menores que 15.
(a) Calcule pi(25) e pi(100). Use o Crivo de Erato´stenes.
Desde que Euclides provou que o conjunto dos nu´meros primos era infinito (voceˆ conhece a demonstrac¸a˜o
desse fato?), os matema´ticos tentam achar uma fo´rmula alge´brica simples que fornec¸a todos os nu´meros primos.
Embora essas tentativas, ate´ hoje, tenham sido malsucedidas, elas levaram, no decorrer dos se´culos, a` formulac¸a˜o
de va´rias conjecturas a respeito desses nu´meros. Em 1792, o matema´tico Gauss, quando tinha apenas 15 anos,
formulou uma dessas conjecturas que foi provada cem anos depois por Hadamard e de la Valle´e Poussin e ficou
conhecida como Teorema do Nu´mero Primo.
Observando tabelas de nu´meros primos e tabelas de logaritmos, Gauss conjecturou que o nu´mero de primos
menores ou iguais a n e´ aproximadamenteigual a nln(n) , quando n e´ grande. Em outras palavras, ele achou que
a raza˜o pi(n) ln(n)n se aproximava de 1 a` medida em que os valores de n cresciam.
(b) Confirme a validade deste resultado calculando a raza˜o entre pi(n) e nln(n) para n = 10
2, n = 103, n = 104,
n = 105, n = 106 e n = 107. Use os seguintes valores: pi(1000) = 168, pi(104) = 1229, pi(105) = 9592 ,
pi(106) = 78498 e pi(107) = 664579.
(c) Use o teorema do nu´mero primo para estimar a quantidade de nu´meros primos menores ou iguais a um
bilha˜o.
25.11 Um pouco de histo´ria: O logaritmo de
Napier
Considere um ponto P que se move ao longo de um segmento de reta AB de comprimento 107, enquanto um outro
ponto Q se move ao longo de uma semi-reta infinita. A velocidade de P e´ sempre igual a` distaˆncia de P a B (em
outras palavras, se P (t) e´ a posic¸a˜o de P no tempo t, enta˜o P ′(t) = 107 − P (t)) e Q se move com velocidade constante
Q′(t) = 107. A distaˆncia percorrida por Q apo´s transcorrido um tempo t, e´ definida como o logaritmo neperiano da
distaˆncia de P a B no mesmo tempo t. Consequ¨entemente,
107 t = Log Neperiano(107 − P(t)) .
Essa foi a definic¸a˜o de logaritmo dada por Napier (1550-1617) em seu trabalho de 1614, Mirifici Logarithmonum
Canonis Description (Uma Descric¸a˜o da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). Note que este trabalho foi feito antes da
invenc¸a˜o do uso dos expoentes! O nu´mero 107 foi escolhido porque a tabela de Napier (constru´ıda com o propo´sito de
simplificar ca´lculos astronoˆmicos) listava logaritmos de senos de aˆngulos, para os quais a precisa˜o de sete casas decimais
era suficiente. Com isso, Napier quis evitar o uso de frac¸o˜es. Podemos mostrar que Log Neperiano(x) = 107 ln(10
7
x ).
Tente demonstrar este fato!
W.Bianchini, A.R.Santos 353
25.12 Para voceˆ meditar: Onde esta´ o erro?
Problema 1
Um professor propoˆs que seus alunos calculassem os valores de x e de y, soluc¸o˜es reais do seguinte sistema de equac¸o˜es
envolvendo logaritmos:

log10(x y) = 3
log10(
x
y ) = 1
Um aluno apresentou a seguinte soluc¸a˜o:
Aplicando as propriedades dos logaritmos a`s duas equac¸o˜es anteriores, obtemos as seguintes equac¸o˜es equivalentes
a`s duas dadas:
 log10(x) + log10(y) = 3
log10(x)− log10(y) = 1
o que implica que 2 log10(x) = 4. Assim, log10(x) = 2. Aplicando a definic¸a˜o de logaritmos a esta igualdade, tem-se
que x = 100. Sustituindo o valor encontrado para x na equac¸a˜o log10(x) + log10(y) = 3, obte´m-se 2 + log10(y) = 3.
Novamente aplicando as propriedades dos logaritmos, podemos concluir, sem dificuldade, que y = 10.
Portanto, os valores de x e de y que satisfazem o problema proposto sa˜o, respectivamente, 100 e 10.
Um segundo aluno resolveu o mesmo problema da seguinte maneira:
Aplicando a definic¸a˜o de logaritmo a`s duas equac¸o˜es propostas, tem-se,
x y = 1000 e
x
y
= 10
Da segunda equac¸a˜o obtemos x = 10 y. Substituindo este valor na primeira equac¸a˜o, temos 10 y2 = 1000, portanto,
y = 10 e y = −10. Como x = 10 y, temos tambe´m que x = 100 e x = −100.
As soluc¸o˜es do problema proposto sa˜o, portanto x = 100, y = 10 e x = −100, y = −10.
Se verificarmos as soluc¸o˜es apresentadas, constatamos que, de fato, os pares {x = 100, y = 10} e {x = −100, y = −10}
sa˜o realmente soluc¸o˜es do problema apresentado.
• Qual foi o erro cometido pelo primeiro aluno?
Problema 2
Pediram que um estudante de engenharia calculasse a derivada de ln(sen(x)), no ponto x = 5pi3 . Ele, como um bom
aluno, aplicou a regra da cadeia e obteve D(ln(sen(x))) = cos(x)sen(x) . Substituiu, enta˜o, x por
5pi
3 e calculou o resultado
com o seu computador Pentium III, com 128 Mb de memo´ria ram, HD de 6.4 Gb, placa de v´ıdeo com 8 Mb de memo´ria
e, com a ajuda do Maple VR5, obteve o seguinte resultado
> f:=x->cos(x)/sin(x);
f := x→ cos(x)
sin(x)
> f(5*Pi/3);
−1
3
√
3
• A resposta acima esta´ correta?
354 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
25.13 Projetos
25.13.1 Juros simples e compostos
Um capital inicial Co empregado a uma taxa de juros de r por cento ao ano, transforma-se, ao final de um ano, em
um capital C1 dado por
C1 = C0 + rC 0 = C0(1 + r) .
Ao final de outro ano obte´m-se:
C2 = C1 + rC 1 = C1(1 + r) = C0(1 + r)
2
Dessa forma, a fo´rmula geral para n anos sera´ dada por:
Cn = C0(1 + r)
n
Investidores inteligentes, como no´s, aplicam o seu capital exigindo que os juros sejam capitalizados, isto e´, in-
corporados ao capital ao fim de um per´ıodo de tempo predeterminado e enta˜o novamente aplicada a taxa de juro
contratada.
A fo´rmula deduzida acima so´ serve para um nu´mero inteiro de anos, de modo que na˜o nos fornece o capital
resultante ao final de um meˆs, por exemplo. O capital empregado a` mesma taxa r de juros devera´ render, ao final de
um meˆs, rC012 , de modo que decorrido um meˆs o capital C0 se transforma em C1 = C0(1 +
r
12 ). Assim, reinvestindo o
capital resultande a cada meˆs, ao final de um ano obteremos um capital C12 = C0(1 +
r
12 )
12, maior que aquele obtido
atrave´s dos juros simples, calculado anteriormente.
A equac¸a˜o C = C0(1 + r)
n fornece, portanto, o capital C resultante de um investimento inicial de C0 reais, empre-
gado a juros de r% em cada per´ıodo de tempo contratado, transcorridos n desses per´ıodos. Portanto, C e´ um valor
a ser atingido no futuro e C0 e´ o valor presente.
1. Usando essa equac¸a˜o, calcule o capital resultante de um investimento aplicado a uma taxa nominal de 12% ao
ano, capitalizada de 4 em 4 meses, ao final de 5 anos.
2. Nas mesmas condic¸o˜es do item anterior, calcule qual a quantia que deve ser empregada hoje para que ao final
de 5 anos seja obtido um capital igual a dez vezes o capital inicial.
3. Calcule o capital resultante, ao final de 5 anos, de um investimento contratado a uma taxa nominal de 10%, a
ser capitalizada de 4 em 4 meses, se no primeiro meˆs do contrato aplica-se um capital inicial de R$ 1.000,00 e a
cada 12 meses decorridos acrescenta-se mais R$ 1.000,00 a este investimento.
4. Suponha que, por trinta anos, ao final de cada meˆs, voceˆ deposite R$ 500,00 a uma taxa de juro nominal de 12%
ao ano, capitalizada mensalmente. Use o computador e a equac¸a˜o anterior, para calcular a quantia que voceˆ
tera´ poupado ao final dos 30 anos (360 meses).
5. Qual o valor justo (o valor presente) de uma das 12 prestac¸o˜es iguais de um financiamento de R$ 1.000,00 obtido
a uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizado mensalmente?
Qual deve ser a prestac¸a˜o mensal cobrada por um financiamento de 4 anos, de um automo´vel no valor de R$
12.000,00, se a taxa de juros contratada for de 12% ao ano?
6. O valor das prestac¸o˜es de qualquer financiamento e´ composto por duas parcelas. Uma dessas parcelas corresponde
aos juros devidos e a outra a` amortizac¸a˜o do de´bito. Em cada uma das treˆs primeiras prestac¸o˜es do financiamento
descrito no item anterior, calcule a parcela correspondente ao valor de juros pagos e a parcela que corresponde
ao valor do de´bito amortizado.
7. Uma loja de variedades anunciou nos jornais de 23/08/98, o console de videogame Sega Saturn por R$ 399,00
a vista ou em 12 prestac¸o˜es de R$ 49,99. Qual a taxa de juros mensal cobrada nesse financiamento? (Voceˆ,
certamente ficara´ feliz em saber que a taxa publicada no anu´ncio era correta !) Tendo em vista os juros me´dios
conseguidos nos investimentos, voceˆ acha essa taxa razoa´vel?
W.Bianchini, A.R.Santos 355
Juros compostos e o nu´mero e
Um investidor mais exigente desejara´ que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transac¸a˜o em que
os juros sa˜o capitalizados continuamente e´ o que se chama de juros compostos.
Se tomarmos uma frac¸a˜o 1n do ano, empregando-se o capital com juros capitalizados, ao final de um ano teremos
um capital total de C0 = (1 +
r
n )
n . Para, a partir dessa fo´rmula,obter uma outra que nos fornec¸a o capital resultante
de um investimento empregado a juros compostos e´ necessa´rio tomar sucessivamente frac¸o˜es cada vez menores do ano.
Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicac¸a˜o feita a juros compostos sera´ dado por
lim
n→∞ C0 (1 +
r
n
)n
O nu´mero e e´ em geral definido como
e = lim
n→∞ (1 +
1
n
)n
Levando-se em conta a definic¸a˜o acima, temos que um capital empregado a uma taxa de r por cento ao ano, a
juros compostos a cada instante, sera´ transformado, depois de t anos em
lim
n→∞ C0 (1 +
rt
n
)n = C0 e
rt
• Usando a definic¸a˜o acima, calcule uma aproximac¸a˜o para o nu´mero e com 6 casas decimais.
25.13.2 O me´todo do carbono 14
Um dos me´todos mais apurados para datar achados arqueolo´gicos e´ o me´todo do carbono 14 (14C), descoberto em
1949. O me´todo e´ bem simples. A atmosfera terrestre e´ continuamente bombardeada por raios co´smicos. Estes raios
co´smicos produzem neutrons que combinados com nitrogeˆnio, produzem 14C. O 14C e´ incorporado pelo dio´xido de
carbono e se encontra na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de a´tomos de 14C presente nos
tecidos de animais prove´m da ingesta˜o de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingesta˜o de 14C e´
igual a` quantidade de 14C desintegrado (o 14C e´ uma mole´cula insta´vel, que se desintegra espontaneamente numa
taxa proporcional ao nu´mero de mole´culas presentes na amostra). Quando um organismo morre, cessa de ingerir 14C,
portanto, sua concentrac¸a˜o nos tecidos diminui devido a` desintegrac¸a˜o.
Em f´ısica, e´ uma suposic¸a˜o fundamental que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios co´smicos
tem sido sempre constante. Isto implica que se a taxa de desintegrac¸a˜o de 14C numa amostra de madeira viva, por
exemplo, fosse medida ha´ 10.000 anos atra´s, o resultado teria que ser igual a` taxa de desintegrac¸a˜o, em uma amostra
equivalente, medida hoje. Essa suposic¸a˜o nos permite determinar a idade de uma amostra de carva˜o natural.
Seja N (t) a quantidade de 14C presente numa amostra no instante t e N0 a quantidade de
14C presente no instante
t = 0, quando a amostra foi formada, isto e´, imediatamente antes de ser queimada. Se k e´ a constante de desintegrac¸a˜o
radiativa de 14C, temos que
N(t) = N0 e
−kt .
A taxa atual R(t) de desintegrac¸a˜o de 14C, que e´ proporcional a` quantidade de 14C presente na amostra, e´ dada
por R(t) = KN(t) = KN0 e
−kt e a taxa original e´ R(0) = KN0. Assim,
R(t)
R0
= e−kt ⇒ t =
ln( R0R(t) )
k
.
A constante k pode ser determinada conhecendo-se a meia-vida do 14C, isto e´, o tempo que uma amostra leva para
ficar reduzida a` metade de sua quantidade inicial.
(a) Calcule k sabendo que a ”meia-vida”do 14C e´ de 5.568 anos.
Se medirmos a taxa atual R(t) e observarmos que R0 e´ igual a` taxa de desintegrac¸a˜o de
14C numa quantidade
equivalente de madeira viva, podemos calcular a idade aproximada t do carva˜o. Os dois problemas abaixo sa˜o
ilustrac¸o˜es reais desse me´todo.
(b) O carva˜o das famosas cavernas Lascaux, na Franc¸a, produziu uma me´dia de 0,97 desintegrac¸o˜es por minuto, por
grama de material. Uma quantidade de madeira viva equivalente produziu 6,68 desintegrac¸o˜es por minuto por
grama. Estime a idade do carva˜o e, enta˜o, a prova´vel data das famosas pinturas da caverna.
(c) Nas escavac¸o˜es em 1950 em Nippon, uma cidade da Babiloˆnia, o carva˜o de um telhado de madeira produziu uma
me´dia de 4,09 desintegrac¸o˜es por minuto por grama. A madeira viva numa amostra equivalente produziu 6,68
desintegrac¸o˜es. Supondo que o carva˜o foi formado durante o reinado de Hamurabi, fac¸a uma estimativa da e´poca
em que ele reinou na Babiloˆnia.
356 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
25.13.3 Com Kepler e o Maple rumo a`s estrelas (ou modelando um problema real)
No processo perpe´tuo de entender, explicar e prever resultados de fenoˆmenos que ocorrem na natureza, o homem e´
levado a` construc¸a˜o de modelos emp´ıricos, onde leis matema´ticas sa˜o obtidas pela ana´lise de tabelas constitu´ıdas por
dados experimentais. Nesse processo, o emprego de gra´ficos em escalas semilogar´ıtmicas e logar´ıtmicas desempenha
um papel de primordial importaˆncia, como e´ ilustrado no exemplo abaixo.
O Problema
Em 1601, com a inesperada morte de Tycho Brahe, o astroˆnomo alema˜o e escritor de ficc¸a˜o cient´ıfica Johann
Kepler se tornou diretor do Observato´rio de Praga. Kepler, antes disso, fora assistente de Brahe e ajudara a coletar
dados referentes a 13 anos de observac¸o˜es relativas aos movimentos do planeta Marte. Em 1609, Kepler formulou suas
primeiras duas leis:
1. Cada planeta se move sobre uma elipse com o Sol em um dos focos.
2. Para cada planeta, a reta que liga o Sol ao planeta varre a´reas iguais em tempos iguais.
Kepler levou mais uma de´cada verificando essas duas leis e formulando a terceira lei, que relaciona per´ıodos orbitais
com distaˆncias me´dias do Sol. Como todas as suas leis, essa tambe´m foi baseada em dados experimentais observados.
Publicada em 1619, foi dedicada a James I, rei da Inglaterra.
• Usando os dados experimentais (listados abaixo), deduza a terceira lei de Kepler.
Planeta T = Per´ıodo (dias) R=Distaˆncia Me´dia do Sol (km ×106)
Mercu´rio 88 57,9
Veˆnus 225 108,2
Terra 365 149,6
Marte 687 227,9
Ju´piter 4329 778,3
Saturno 10753 1427
Urano 30660 2870
Netuno 60150 4497
Pluta˜o 90670 5907
No esforc¸o de encontrar uma lei matema´tica que descreva, apropriadamente, a relac¸a˜o existente entre T e R, isto
e´, encontrar T como func¸a˜o de R, a primeira tentativa a ser feita e´ trac¸ar um gra´fico unindo os pontos da tabela dada,
como e´ feito a seguir:
> plot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[778.3,4329],[142
> 7,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels=[‘R‘,‘T‘]);
0
20000
40000
60000
80000
T
1000 2000 3000 4000 5000 6000
R
Nossa tarefa agora e´ tentar descobrir se este e´ o gra´fico de uma func¸a˜o exponencial do tipo T = C eR ou de uma
func¸a˜o poteˆncia do tipo T = C Rn. No primeiro caso, aplicando-se logaritmo a ambos os membros da equac¸a˜o obtemos
> log(T)=log(C*exp(R));
ln(T ) = ln(C eR)
> expand(%);
ln(T ) = ln(C) +R
Chamando t = ln(T ) e de A o nu´mero ln(C), obtemos da expressa˜o acima
> subs({ln(T)=t,ln(C)=A},%);
t = A+R
W.Bianchini, A.R.Santos 357
Assim, podemos concluir que a func¸a˜o procurada e´ do tipo exponencial, se for uma linha reta o gra´fico em escala
semilogar´ıtmica, onde o eixo das ordenadas e´ graduado em valores logar´ıtmicos, isto e´, no eixo vertical sa˜o marcados
os valores de t = ln(T ), obtido com os dados fornecidos.
Usando o Maple com os dados do exemplo acima, obtemos:
> with(plots):logplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[7
> 78.3,4329],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels
> =[‘R‘,‘ln(T)‘]);
.1e3
.1e4
.1e5
1e+05
ln(T)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
R
Deste gra´fico, conclu´ımos, imediatamente, que a func¸a˜o que relaciona o per´ıodo orbital com a distaˆncia ao Sol
na˜o pode ser do tipo exponencial. Tentemos agora usar o mesmo racioc´ınio para descobrir se a func¸a˜o que queremos
determinar e´ do tipo T = C Rn.
> log(T)=log(C*R^n);
ln(T ) = ln(C Rn)
> expand(%);
ln(T ) = ln(C) + n ln(R)
Chamando de t = ln(T ), r = ln(R) e de c o nu´mero ln(C) obtemos da expressa˜o acima:
> subs({ln(T)=t,ln(C)=c,ln(R)=r},%);
t = c+ n r
Assim, se a func¸a˜o que procuramos for do tipo poteˆncia, sua representac¸a˜o num gra´fico trac¸ado usando-se escala
logar´ıtmica sera´ uma linha reta. Neste gra´fico, onde tanto o eixo das ordenadas como o eixo das abscissas e´ graduado
em valores logar´ıtmicos, isto e´, no eixo das ordenadas sa˜o marcados os valores de t = ln(T ) e no eixo das abscissas os
valores de r = ln(R).
Usando-seo Maple com os dados do exemplo anterior, obtemos:
> loglogplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[778.3,4329
> ],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels=[‘r‘,‘t‘
> ]);
.1e3
.1e4
.1e5
1e+05
t
.1e3 .1e4r
Este gra´fico nos mostra que a func¸a˜o que procuramos e´ do tipo T = C Rn. Resta-nos agora determinar C e n.
Como a equac¸a˜o desta reta e´ dada por t = c+ n r, sabemos que n e´ a declividade da reta e c o seu coeficiente linear.
Como, c = ln(C), temos que C = ec. Com a ajuda do Maple, podemos calcular n e C, como e´ feito a seguir.
> n:=evalf(slope([log(108.2),log(225)],[log(149.6),log(365)]));
n := 1.49327560
> c:=solve(log(225)=c+n*log(108.2),c);
c := −1.578374683
> C:=evalf(exp(c));
C := .2063101452
358 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
Logo, a func¸a˜o que procuramos sera´ T = 0, 2R(
3
2 ).
Existe um modelo teo´rico, baseado em leis f´ısicas do movimento, para descrever os movimentos planeta´rios. Esse
modelo usa equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e esta´ fora do alcance desse curso. De acordo com esse modelo teo´rico,
o valor de T (per´ıodo orbital) para cada planeta e´ dado por T = 2pi R
3
2√
γ M
, onde γ = 6,67 . 10
−11m3
kg s2 e´ a constante de
gravitac¸a˜o universal e M = 1, 993× 1030 kg, a massa do sol.
Como o valor de 2pi√
γ M
= 0, 1999 em dias por (km106)
2
3 , temos que T = 0, 1999R
3
2 .
• Os valores teo´ricos concordam com os valores emp´ıricos que calculamos no item anterior?
Efeito Estufa: Prevendo o fim do mundo
A queima de combust´ıveis fo´sseis adiciona dio´xido de carbono a` atmosfera que circunda a Terra. Esse dio´xido de
carbono pode ser parcialmente removido por reac¸o˜es biolo´gicas, no entanto, a concentrac¸a˜o de dio´xido de carbono esta´
aumentando gradualmente. Esse aumento conduz a uma elevac¸a˜o na temperatura me´dia da Terra. A tabela abaixo
mostra o aumento da temperatura sobre aquela registrada em 1860.
Ano 1880 1896 1900 11910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980
Aumento 0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 0,08 0,1 0,13 0,18 0,24 0,32
Se a temperatura me´dia da Terra aumentar cerca de 70 C em relac¸a˜o ao valor me´dio registrado em 1860, isto
podera´ causar um drama´tico efeito sobre as calotas polares, sobre a temperatura do vera˜o, do inverno, etc. Se as capas
polares derreterem, havera´ um volumoso aumento na quantidade de a´gua dos oceanos e muita terra sera´ submersa. A
Gra˜-Bretanha, por exemplo, desaparecera´, exceto o topo das montanhas mais altas.
• Usando os dados fornecidos e o me´todo descrito na sec¸a˜o anterior, modele este fenoˆmeno e use o seu modelo para
prever quando a temperatura me´dia da Terra sera´ 70 C superior a` me´dia registrada em 1860, se as mesmas condic¸o˜es
forem mantidas.
25.13.4 Escalas logar´ıtmicas
A escala Ritcher
A tabela abaixo fornece a intensidade dos u´ltimos terremotos acontecidos neste planeta e as suas respectivas intensi-
dades medidas de acordo com a escala Ritcher.
Localizac¸a˜o Chile Alasca Peru Ira˜ Me´xico Armeˆnia S. Francisco
Data 1960 1964 1970 1990 1985 1989 1989
Intensidade 8.4 8.5 7.7 7.3 8.1 6.9 7.1
A escala Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismo´logo americano, Charles F. Ritcher, baseia a medida da
magnitude de um terremoto numa escala logar´ıtmica de base 10. A intensidade M de um terremoto, medida nessa
escala, e´ um nu´mero que varia de zero ate´ 8,9, para o maior terremoto conhecido. Empiricamente, estima-se o valor de
M pela fo´rmula M =
2 log10(
E
E0
)
3 , onde E e´ a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7× 10−3 kw/h.
1. Calcule aproximadamente quantas vezes a intensidade do terremoto que atingiu a Cidade do Me´xico em 1985
foi maior que a intensidade do terremoto que atingiu a Cidade de Sa˜o Franscisco em 1989. Conclua, enta˜o, qual
o significado f´ısico da variac¸a˜o de um ponto nessa escala de medida.
2. Quanta energia e´ liberada num terremoto de grandeza 6?
3. Uma cidade com 300.000 habitantes utiliza cerca de 3× 105 kw/h de energia ele´trica por dia. Se a energia de
um terremoto pudesse ser de alguma forma transformada em energia ele´trica, quantos dias de fornecimento de
energia ele´trica para essa cidade seriam produzidos pelo terremoto do item anterior?
O PH de soluc¸o˜es
Em qu´ımica, o PH de soluc¸o˜es e´ uma medida da sua acidez ou alcalinidade. Um valor de PH igual a 7 indica que a
soluc¸a˜o e´ neutra (nem a´cida, nem alcalina). Um PH abaixo de 7 indica acidez; acima de 7, alcalinidade. A medida do
PH obedece tambe´m a uma escala logar´ıtmica onde a variac¸a˜o de uma unidade de PH representa um aumento de 10
vezes na acidez ou alcalinidade da substaˆncia.
W.Bianchini, A.R.Santos 359
1. Qual a base dos logaritmos usados na elaborac¸a˜o da escala de PH?
2. A maioria dos alimentos que consumimos tendem a ser mais a´cidos que ba´sicos (alcalinos). Observando a tabela
abaixo, calcule, aproximadamente, quantas vezes o suco de lima˜o e´ mais a´cido do que o leite.
Substaˆncia Suco de Suco de A´gua da Leite Leite de
lima˜o tomate torneira magne´sia
PH 2,1 4,1 5,8 6,6 10
3. Fac¸a uma pesquisa para descobrir o PH do suco de laranja e o PH do suco de acerola e determinar quantas vezes
o suco de acerola e´ mais a´cido que o suco de laranja.
4. Descubra outros problemas onde as func¸o˜es logar´ıtmicas e exponenciais sa˜o utilizadas.
25.13.5 Func¸o˜es hiperbo´licas
A equac¸a˜o x y = 1 pode ser obtida a partir da equac¸a˜o da hipe´rbole x2 − y2 = 2 por meio de uma rotac¸a˜o, no sentido
negativo, de um aˆngulo α = pi4 , isto e´, a primeira equac¸a˜o pode ser obtida da u´ltima, fazendo-se a seguinte mudanc¸a
de coordenadas x = X cos(α)− Y sen(α) e y = X sen(α) + Y cos(α).
1. Ache as equac¸o˜es parame´tricas da hipe´rbole XY = 1 tomando como paraˆmetro ψ = ln(X).
2. Use as equac¸o˜es deduzidas acima e a mudanc¸a de coordenadas indicada para obter uma parametrizac¸a˜o para a
hipe´rbole x2 − y2 = 2.
Essa parametrizac¸a˜o, que fornece as coordenadas de um ponto que se desloca sobre a hipe´rbole x2 − y2 = 2, motivou
a definic¸a˜o das chamadas func¸o˜es hiperbo´licas. O seno e o cosseno hiperbo´licos sa˜o definidos, respectivamente, por
senh(x) =
ex − e−x
2
e cosh(x) =
ex + e−x
2
Essas func¸o˜es satisfazem muitas identidades que sa˜o semelhantes a`s identidades satisfeitas pelas func¸o˜es trigonome´tricas.
No entanto, elas na˜o sa˜o perio´dicas.
Prove que:
1. cosh(0) = 1 e senh(0) = 0.
2. cosh(−x) = cosh(x)e senh(−x) = −senh(x).
3. A partir das igualdades obtidas no item anterior, o que se pode afirmar a respeito das func¸o˜es senh(x) e cosh(x)?
4. (cosh2)(x)− (senh2)(x) = 1.
5. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es senh(x) e cosh(x).
6. Por analogia com as func¸o˜es trigonome´tricas, defina tanh(x) e esboce o seu gra´fico.
25.13.6 As Func¸o˜es logaritmo e exponencial complexas
Os nu´meros complexos surgiram na matema´tica a fim de tornar poss´ıvel a soluc¸a˜o de equac¸o˜es do 20 grau do tipo
x2 + 1 = 0, que na˜o possuem ra´ızes reais. Definindo-se i2 = −1, essa equac¸a˜o passa a ter ra´ızes +i e −i.
(a) Ache as ra´ızes de x2 − 2x+ 5 = 0.
O teorema fundamental da a´lgebra, demonstrado inicialmente por Euler e D’Alembert e posteriormente, em sua
forma final, por Gauss, garante que dado qualquer polinoˆmio
P(z) = a0 + a1 z + . . .+ an z
n
existem nu´meros complexos r1, r2, . . . , rn, tais que,
P(z) = a0 (z − r1) (z − r2) . . . (z − rn .
Isto implica que os nu´meros complexos r1, r2, . . . , rn sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o alge´brica P(z) = 0 .
Assim, os nu´meros complexos, que foram introduzidos na matema´tica para resolver o problema de achar as ra´ızes
de uma equac¸a˜o do 20 grau, resolveram o problema de extrac¸a˜o de ra´ızes de um polinoˆmio de grau qualquer.
360 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial
(b) Ache as ra´ızes de x3 − 3x2 + 7x− 6 = 0.
(c) O que se pode afirmar em relac¸a˜o ao nu´merode ra´ızes reais de uma equac¸a˜o de grau ı´mpar?
A necessidade do uso dos nu´meros complexos se evidencia em va´rios ramos da matema´tica tais como: a´lgebra,
ana´lise, equac¸o˜es diferenciais, topologia e em aplicac¸o˜es da f´ısica-matema´tica.
O objetivo desse projeto e´ estender o domı´nio de definic¸a˜o das func¸o˜es exponencial e logaritmo aos nu´meros
complexos, permitindo, entre outras consequ¨eˆncias, o ca´lculo de logaritmos de nu´meros negativos.
Sabemos que todo nu´mero complexo e´ expresso na forma z = a+ b i, onde a e b sa˜o reais (a e´ chamado parte
real do complexo z e b, parte imagina´ria). Note que qualquer nu´mero real pode ser interpretado como um nu´mero
complexo com b = 0. Nesse sentido, o conjunto dos nu´meros reais esta´ contido no conjunto dos nu´meros complexos.
O mo´dulo de um nu´mero complexo z e´ definido por | z | = √a2 + b2 e o seu conjugado, z*, por a− b i.
(d) Mostre que o mo´dulo de um nu´mero complexo z e´ igual ao mo´dulo do seu conjugado.
Dados dois nu´meros complexos z = a+ b i e w = c+ d i, definimos a adic¸a˜o entre eles como o nu´mero complexo
z + w = a+ c+ (b+ d) i e a multiplicac¸a˜o como o complexo z w = ac − bd + (ad + bc) i.
(e) Prove que a multiplicac¸a˜o entre complexos e´ comutativa, associativa e distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o e que o
nu´mero complexo 1 e´ o seu elemento neutro.
(f) Dado um nu´mero complexo z 6= 0, prove que seu inverso multiplicativo, z−1, e´ dado por z−1 = z∗| z |2 .
(g) Qual o inverso de um nu´mero complexo de mo´dulo 1 ?
Podemos interpretar geometricamente um nu´mero complexo z = a+ b i como o vetor (a, b) de origem em (0, 0) e
extremidade final no ponto (a, b) do plano cartesiano.
(h) Deˆ uma poss´ıvel interpretac¸a˜o geome´trica para | z | , z* , |z − w|, z + w .
(i) O que significa, geometricamente, a desigualdade |z + w| ≤ |z|+ |w|?
(j) Como se pode descrever geometricamente o conjunto de todos os nu´meros complexos z, tais que | z | = 1?
No Cap. 12, definimos a func¸a˜o E como E(t) = (cos(t), sen(t)). No contexto dos nu´meros complexos, esta definic¸a˜o
e´ equivalente a E(t) = cos(t) + i sen(t).
(l) Mostre que se z 6= 0 e´ um nu´mero complexo, enta˜o z = | z | E(t), onde t e´ o arco que vai de (1, 0) ate´ a intersec¸a˜o
de S1 com a semi-reta 0z. Esta forma e´ chamada de forma polar do nu´mero complexo z.
(m) Use as identidades trigonome´tricas cos(s+ t) = cos(s) cos(t)− sen(s) sen(t) e
sen(s+ t) = cos(s) cos(t) + sen(s) sen(t) para provar que E(s)E(t) = E(s+ t), quaisquer que sejam os nu´meros
reais s e t.
(n) Se w 6= 0 e z 6= 0, com z = | z | E(t) e w = |w|E(s), temos que zw = | z| |w|E(s)
E(t) = | z| |w| E(s+ t). Use essa identidade para dar uma poss´ıvel interpretac¸a˜o geome´trica para o produto de
dois nu´meros complexos.
A identidade E(s+ t) = E(s)E(t) mostra que a func¸a˜o E(t) satisfaz a propriedade fundamental da func¸a˜o expo-
nencial, o que levou Euler a`s seguintes definic¸o˜es para a func¸a˜o exponencial com domı´nio no conjunto dos nu´meros
complexos: ei t = E(t), isto e´, ei t = cos(t) + i sen(t) e ez = e(a+b i) = (ea)(cos(b) + i sen(b)).
Dessa definic¸a˜o resulta imediatamente que todo nu´mero complexo w 6= 0 e´ da forma w = ez, para algum z.
(o) Mostre que se o nu´mero complexo w e´ dado na sua forma polar w = |w | ei θ, enta˜o z = ln(|w|) + i θ. Este e´ o
u´nico valor poss´ıvel para z?
Esta propriedade serviu de base para estender a noc¸a˜o de logaritmo aos nu´meros negativos e complexos. Euler
definiu o logaritmo de um nu´mero complexo w 6= 0, como o nu´mero z, tal que ez = w.
Temos enta˜o que log(w) = log(|w |) + (2 k pi + θ) i, para qualquer inteiro k, o que mostra que o logaritmo de um
nu´mero complexo tem uma infinidade de valores.
(p) Calcule log(−1)
(r) Se x > 0, calcule log(−x). Existe algum valor de k para o qual log(−x) seja um nu´mero real?
(s) Se x > 0, para que valores de k, log(x) e´ real?
Se interpretarmos a expressa˜o log(w) como o conjunto de todos os nu´meros complexos z, tais que ez = w, enta˜o,
nesse contexto, continua va´lida a propriedade
log(wu) = log(w) + log(u).
W.Bianchini, A.R.Santos 361
25.14 Atividades de laborato´rio
Fac¸a as atividades propostas no arquivo lablog.mws da versa˜o eletroˆnica deste texto.