02 Dimensoes inteiras e fracionarias 2016

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
INSTITUTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE ENSINO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensões inteiras e fracionárias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro de Física Experimental 1 
Experimento 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió 
2016
1 
 1 Introdução 
 
Da geometria euclidiana, sabemos que a dimensão d de um objeto representa a dimensionalidade 
do espaço em que está inserido. Para formas geométricas elementares d tem um valor inteiro, assim se 
trabalharmos com esferas de aço maciças de densidade uniforme, teremos 
 
 𝑀 = ρ𝑉 = ρ
4
3
π(
𝐷
2
)3 = ρ
π
6
𝐷3 , (1) 
 
onde M é a massa, ρ a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro. A equação (1) 
pode ser reescrita da seguinte forma: 
𝐷 = 𝐾𝑀
1
𝑑 , (2-a) 
onde, 
𝐾 = (
6
πρ
)
1
𝑑 e 𝑑 = 3 (2-b) 
 
A versão bidimensional das equações (1) e (2) será: 
 
𝑀 = σ𝐴 = σπ(
𝐷
2
)2 (2-c) 
 
𝐷 = 𝐾𝑀
1
𝑑 
onde: 
𝐾 = (
4
πρ
)
1
𝑑 e 𝑑 = 2 (2-d) 
 
Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais 
semelhantes ao objeto original. Entretanto, das características que definem um fractal, a mais importante 
é a dimensão. Esta dimensão representa o nível de irregularidade de um fractal. Por isso, tal dimensão 
pode assumir valores fracionários como, por exemplo: 1,6 ou 2,5. Assim diferentemente da dimensão 
Euclidiana, a dimensão fractal representa o nível de ocupação do espaço pelo objeto e não o espaço 
onde o objeto está inserido. Neste experimento entraremos em contato com esta dimensão. Para isso 
analisaremos a dimensão de uma folha de papel amassada em bolas compactas com diâmetros variados. 
 
 2 Objetivo 
 
Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares. 
 
2 
 3 Material 
 
Descrição Quantidade 
Régua milimetrada de 30 cm 1 
Paquímetro 1 
Folhas de papel 2 
 
 4 Procedimento experimental 
 
1 Construa sete bolas de papel amassado, dividindo cada folha como indicado na figura 1. Atribua à 
menor fração da folha massa 1 e as seguintes, massas 2, 4, 8, 16, …. Assim a enésima fração, em 
ordem crescente de tamanho, terá massa relativa 2n. Organize os pedaços de papel amassado de 
forma a não confundir as massas. 
 
2 Para cada uma das bolas de papel faça sete ou mais medidas do diâmetro em pontos diferentes, 
determinado o diâmetro médio para cada uma delas. Preencha a tabela 1 (próxima página), 
calculando a incerteza estimada ΔD associada ao tamanho de cada bola e a média <D>. 
 
3 Utilizando a tabela 1, construa o gráfico log-log do diâmetro versus a massa (M). Assumindo que 𝐷 =
𝐾𝑀
1
𝑑, encontre as constantes K e d estimando a incerteza ΔD. 
 
Questões: 
 
1) Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade uniforme? 
E para uma “esfera” bidimensional – um objeto circular, como uma moeda, de densidade uniforme? 
E para uma esfera unidimensional? 
 
Figura 1: Diagrama de divisão de uma folha para experimento de fractais. 
3 
2) Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à pergunta (a)? 
3) Baseando-se nos valores de d e Δd encontrados e na resposta do item (a), como você interpreta o 
valor de d obtido? 
 
 
M 1 2 4 8 16 32 64 
D 
D1 
D2 
D3 
D4 
D5 
D6 
D7 
<D> 
∆D 
Tabela 1: Medidas de diâmetro 
 
 5 Discussão 
 
Dos resultados obtidos neste experimento, somos forçados ou tentados a tratar de um d não inteiro 
como uma espécie de dimensão fracionária. Você pode se convencer que o d fracionário encontrado 
nesta experiência não é produto de erro! Observe bem seu gráfico log-log de D versus M. Os pontos 
“caem” regularmente sobre uma mesma reta? 
Pensando um pouco, você pode sentir que existem certos expedientes para gerar bolas de papel 
onde d aproxima-se de três, como na situação descrita pelas equações (1) e (2). Comparando os 
resultados de d obtidos por seus colegas, você notará uma forte tendência desta constante ficar entre 2 
e 3. É natural que seja assim, pois três é a dimensão do espaço que vivemos e, evidentemente, da 
mesma forma como não podemos colocar uma esfera dentro de um plano (o termo técnico é “embeber”) 
cuja dimensão é dois, não podemos embeber um objeto de dimensão maior que três em nosso espaço 
euclidiano tridimensional habitual. 
Por outro lado é razoável que d seja maior que dois, que é a dimensão de partida de nossas bolas 
de papel – lembre-se que a matéria prima das bolas em nossa experiência foi folha de papel que é um 
objeto bidimensional. Essa dimensão dois da folha de papel é o que os matemáticos chamam de 
dimensão topológica. Abaixo daremos uma definição operacional deste conceito formulado pelo 
matemático francês Henri Poincaré no início do século 20. 
Veja que essa dimensão𝑑𝑇 = 2é uma característica bem marcante desse sistema na medida que 
podemos desdobrar com o devido cuidado as bolas de papel de forma a obtermos a superfície 
bidimensional de origem. Matematicamente você pode afirmar que a dimensão topológica (𝑑𝑇 = 2, no 
caso) é invariante sob operação de amassamento. Desde que encontramos experimentalmente que os 
4 
valores de d obtidos por vocês e seus colegas satisfazem 2 < d ≤ 3, como identificamos o “2” com a 
dimensão do espaço onde a bola de papel está imersa ou embebida, não seria mal sermos arrojados e 
lançar a seguinte hipótese: “Em certas estruturas de geometria complexa onde aparece uma quantidade 
d fracionária, como uma espécie de extensão natural do conceito de dimensão devemos ter: dT < d < 
dE, onde dT é a dimensão topológica do objeto e dE a dimensão do espaço euclidiano onde o sistema 
está embebido: dT e dE são, evidentemente, inteiros.” 
Vamos aproveitar a ocasião para batizar esse d fracionário de “dimensão fractal” e aos objetos 
possuindo d fracionário de “fractais”. 
 
Referências bibliográficas 
 
 Backes, André Ricardo, Martinez, Odemir Bruno, Técnicas de Estimativa da Dimensão 
fractal: Um Estudo Comparativo. Disponível em: 
<http://www.dcc.ufla.br/infocomp/artigos/v4.3/art07.pdf>. Acessado em: 15/07/2009.