Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof Danilo Ayala
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Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof Danilo Ayala


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Figura 29 - Método para classificar as moléculas nos Grupos Pontuais. 
 
Existe nC2 ^ Cn? 
Sim Existe sh ? 
Não 
Dnh 
Sim 
Existe nsv ? Dnd 
Sim 
Não 
Dn 
Não 
Existe S2n ? Sim 
Não 
S2n 
Existe sh ? 
Não 
Cnh 
Sim 
Existe nsv ? Cnv 
Sim 
Não 
Cn Moléculas de Simetria Intermediária 
Entrada 
Existe C¥ ? Sim Existe i ? Sim D¥ h 
Não 
C¥ v 
Não Moléculas Lineares 
Não 
Existe 6C5 ? Sim Existe i ? 
Não 
I 
Ih 
Sim 
Existe 3C4 ? Sim Existe i ? 
Não 
O 
Oh 
Sim 
Não 
Existe 4C3 ? Sim Existe i ? 
Não 
Th 
Sim 
Existe 6s ? Td 
Sim 
Não 
T 
Moléculas de Alta Simetria 
Sim Existe Cn ? 
Não 
Existe s ? 
Não 
Existe i ? 
Não 
C1 
Cs 
C i 
Sim 
Sim 
Moléculas de Baixa Simetria 
Não 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -27 - 
 
Figura 30 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C i 
 
Figura 31 - Exemplo de molécula do grupo de ponto Cs 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -28 - 
 
Figura 32 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C2 
 
Figura 33 - Exemplo de molécula do grupo de ponto D2 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -29 - 
 
Figura 34 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C2v 
 
Figura 35 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C2h 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -30 - 
 
Figura 36 - Exemplo de molécula do grupo de ponto D2h 
 
Figura 37 - Exemplo de molécula do grupo de ponto D2d 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -31 - 
 
Figura 38 - Exemplo de molécula do grupo de ponto S4 
 
Figura 39 - Exemplo de molécula do grupo de ponto Td 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -32 - 
 
 
Figura 40 - Exemplo de molécula do grupo de ponto Oh 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -33 - 
4 - PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES NA TEORIA DO GRUPO 
 
O conjunto de todos os elementos de simetria de uma molécula constitui um 
grupo pontual. O grupo pontual é também um grupo do ponto de vista matemático. Do 
grande número de moléculas que existem ocorre apenas poucas combinações de 
simetria entre as mesmas e podemos observar que existe um total de 32 grupos 
pontuais. 
Os elementos de todos os grupos obedecem a um conjunto de regras 
simples. Com exemplos tomados dos grupos pontuais, podemos enumerá-las: 
a) Deve existir um elemento identidade (E) que comuta com todos os 
outros elementos do grupo, ou seja, A Ä E = E Ä A = A. 
b) O produto de dois elementos de um grupo deve também ser um 
elemento do grupo, oiu seja, A Ä B = C, A, B e C pertencem ao mesmo 
grupo e em geral A Ä B é diferente de B Ä A. 
c) A combinação dos elementos deve ser associativa, isto é (A Ä B) Ä C = 
A Ä (B Ä C). 
d) Cada elemento do grupo possui o seu inverso (que é único, podendo 
ser o próprio elemento) que deve ser um elemento pertencente ao 
grupo, isto é, se A é um elemento A-1 é o inverso de A, tal que A Ä A-1 = 
A-1 Ä A = E. 
As operações de simetria não comutam necessariamente, isto é, AB nem 
sempre é igual à BA. 
Pode se testar estas regras com a molécula de água que apresenta simetria 
C2v com os seguintes elementos de simetria: { E, C2, syz , sxz } (Figuras 41 a 45). 
E
 
Figura 41 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013 
simetria C2v - Regra ( a ): Identidade 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -34 - 
 
C2
H1 H2
z
y
x
H1H2
z
y
x
H1 H2
z
x
syz
y
sxz 
Figura 42 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013 
simetria C2v - Regra ( b ): Þ syz Ä C2 = sxz 
 
C2
H1 H2
z
y
x
H1H2
z
y
x
H1 H2
z
x
syz
y
sxz
 
H1 H2
z
x
y
sxz
H1 H2
z
y
x
 
Figura 43 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013 
simetria C2v - Regra ( c ): Þ (syz Ä C2) Ä sxz = syz Ä (C2 Ä sxz) 
A = syz, B = C2, C = sxz 
Para (A Ä B) Ä C Þ syz Ä C2 = sxz 
sxz Ä sxz = E 
 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -35 - 
H1 H2
z
y
x
sxz
H1 H2
z
x
y
C2
H1H2
z y
x
syz
 
H1H2
z y
x
syz
H1 H2
z
y
x
 
Figura 44 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013 
simetria C2v - Regra ( c ): Þ (syz Ä C2) Ä sxz = syz Ä (C2 Ä sxz) 
Para A Ä (B Ä C) Þ sxz Ä C2 = syz 
syz Ä syz = E 
 
 
C2
H1 H2
z
y
x
H1H2
z
y
x
C2
-1
H1 H2
z
y
x
E 
Figura 45 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013 
simetria C2v - Regra ( d ) Þ 12C
- Ä 2C = E 
 
Grupo Abeliano e Não Abeliano \u2013 Um grupo é dito abeliano quando todos 
os elementos comutam uns com os outros, Isto é, para dois elementos P e Q, P Ä Q = 
Q Ä P. Por exemplo, os elementos C3 e sv em D3h (exemplo: BF3) não comutam e D3h é 
um grupo não Abeliano. Os grupos pontuais Cn, Sn, Cnh, C2v, D2, D2h são Abelianos. 
Todos os outros são não Abelianos. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -36 - 
 
Ordem de um Grupo (h): é o número total de elementos no grupo. No 
grupo pontual C2v a ordem é 4 {E, C2, sxz, syz}, no C3v a ordem é 6 {E, C3, 23C , sv´, sv\u201d, 
sv\u2019\u2019\u2019}. 
Classe de Operações: é o conjunto de elementos de tipos semelhantes. O 
grupo C3v possui 3 classes: uma classe contém todos os planos sv, outra contém os 
elementos C3 e 23C e a terceira classe é o elemento identidade (E). No grupo de ponto 
D3h temos 6 classes {E, 2C3, 3C2, sh, 2S3, 3sv}. É útil lembrar que: 
a) se um grupo pontual não contém eixo de ordem maior que 2, todos os 
elementos de simetria estão em classes separadas, exemplo: C2v; 
b) um centro de simetria (i), um plano sh e o elemento de identidade 
constituem cada um por si só, uma classe. 
Uma definição formal de classe é: O conjunto de elementos A, B, C, D, ..., N, 
forma um classe se para todos os elementos do grupo ci tivermos: 
i
1
i A cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N 
i
1
i B cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N 
i
1
i C cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N 
i
1
i N cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N 
 
Exemplo, o produto i
1
3
1
i C cÄÄc
- e i
2
3
1
i C cÄÄc
- , onde ci = sv: 
 
1 3
2
sv1
sv2
sv3
sv1
1 2
3 C32 3 1
2 sv1 3 2
1
C31
-1
 
Figura 46 - C3 e 23C pertencentes à mesma classe no grupo pontual C3v, 
 
A Figura 46 ilustra o fato de que v
2
3
1
v
1
3 C C sÄÄs=
- , o que mostra que C3 e 
2
3C estão na mesma classe. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -37 - 
A Figura 47 ilustra as condições 13
1
v
1
3
3
v C C ÄsÄ=s
- e 23
1
v
2
3
2
v C C ÄsÄ=s
- , 
o que mostra que sv, sv\u2019 e sv\u201d formam uma classe. 
1 3
2
3 2
1
2 1
3
3 1
2
2 3
1
2 3
1
3 1
2
C32
C31
sv1
sv1
C3
-1
C3
-2
sv3
sv2 
Figura 47 - Três planos verticais (sv, sv\u2019 e sv\u201d) pertencentes à mesma classe no grupo 
de ponto C3v 
 
4.1 - TABELA DE MULTIPLICAÇÃO DE GRUPOS 
Dispondo-se de uma lista completa dos h elementos não repetidos de um 
grupo finito e se todos os produtos possíveis entre eles (existe h2 produtos) estão 
incluídos nesta lista, o grupo está definido de maneira completa. Considerando o grupo 
finito G = (A, B, C). Geralmente, a tabela de multiplicação é arranjada de seguinte 
modo: 
G A B C 
A AA AB AC 
B BA BB BC 
C CA CB CC 
 
Considerando como exemplo,