Lista1 Cálculo Numérico

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Ca´lculo Nume´rico - Lista de Exerc´ıcios 1
1. Se no me´todo da bissecc¸a˜o tomarmos sistematicamente x = (ak + bk)/2, teremos
|xk − x| ≤ (bk − ak)/2. Considerando este fato, estime o nu´mero de iterac¸o˜es que o
me´todo efetuara´. Resp.: k > (log(b0 − a0)− log(ε))/log(2)− 1
2. A equac¸a˜o x2 − b = 0 tem como raiz x = √b. Considere o MPF com ϕ(x) = b/x.
(a) Comprove que ϕ′(x) = −1.
(b) O que acontece com a sequeˆncia xk+1 = ϕ(xk)?
3. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 − x − 1. Resolva-a pelo MPF com func¸a˜o de iterac¸a˜o
ϕ(x) = 1/x+ 1/x2 e x0 = 1. Justifique seus resultados.
4. Use o me´todo de Newton para obter a menor raiz positiva das equac¸o˜es a seguir com
precisa˜o ε = 10−4.
(a) x/2− tg(x) = 0 Resp.: 4.2747827467
(b) 2cos(x) = ex/2 Resp.: 0.9047940617
(c) x5 − 6 = 0 Resp.: 1.4309690826
5. Aplique o me´todo de Newton a` equac¸a˜o x3 − 2x2 − 3x + 10 = 0 com x0 = 1.9.
Justifique o que acontece.
6. Deduza o me´todo de Newton a partir de sua interpretac¸a˜o geome´trica.
7. (Me´todo de Newton Modificado) Existe uma modificac¸a˜o no me´todo de Newton na
qual a func¸a˜o de iterac¸a˜o ϕ(x) e´ dada por ϕ(x) = x − f(x)/f ′(x0), onde x0 e´ uma
aproximac¸a˜o inicial e e´ tal que f ′(x0) 6= 0. Cite algumas situac¸o˜es em que e´ conveniente
usar este me´todo em vez do me´todo de Newton.
8. Sejam f(x) = ex − 4x2 e x sua raiz no intervalo (0, 1). Considerando x0 = 0.5,
encontre uma aproximac¸a˜o para x com precisa˜o ε = 10−4, usando
(a) o MPF com ϕ(x) = ex/2/2; Resp.: 0.714753186 apo´s 8 iterac¸o˜es
(b) o me´todo de Newton. Resp.: 0.71481186 apo´s 3 iterac¸o˜es
9. O valor de pi pode ser obtido atrave´s da resoluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es:
1
(a) sen(x) = 0
(b) cos(x) + 1 = 0
Aplique o me´todo de Newton com x0 = 3 e precisa˜o 10
−7 em cada caso e compare os
resultados obtidos. Justifique. Resp.: (a) 3.1415926533 em 2 iterac¸o˜es; (b) 3.14131672164 em 9 iterac¸o˜es
10. A equac¸a˜o x = tg(x) tem uma raiz entre pi/2 e 3pi/2. Detrmina´-la pelo me´todo da
secante com erro inferior a 10−3.
11. O polinoˆmio p(x) = x5 − 10x3/9 + 5x/21 tem seus cinco zeros reais no intervalo
(−1, 1).
(a) Verifique que x1 ∈ (−1,−0.75), x2 ∈ (−0.75,−0.25), x4 ∈ (0.3, 0.8) e x5 ∈ (0.8, 1).
(b) Encontre, pelo respectivo me´todo, usando ε = 10−5
x1: Newton (x0 = −0.8)
x2: bissecc¸a˜o ([a, b] = [−0.75,−0.25])
x4: MPF (I = [0.2, 0.6], x0 = 0.4)
x5: secante (x0 = 0.8;x1 = 1)
Resp.: x1 = −0.906179, x2 = −0.538452, x4 = 0.538452 e x5 = 0.906179
12. A equac¸a˜o x3 − 2x2 − 3x + 10 = 0 possui uma u´nica raiz real. Aplicando o me´todo
de Newton com aproximac¸a˜o inicial x0 = 1.9, apo´s nove iterac¸o˜es, obtemos uma apro-
ximac¸a˜o com precisa˜o de sete casas decimais. Deˆ uma justificativa para o nu´mero elevado
de iterac¸o˜es.
13. Considere a func¸a˜o f(x) = 4sen(x)− ex. Essa func¸a˜o possui uma raiz x no intervalo
(0, 1). Adotando como crite´rios de parada ε = 10−3 (trabalhe com quatro casas decimais)
e n = 2 (nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es), encontre uma aproximac¸a˜o para x utilizando
(a) o me´todo da bissecc¸a˜o com [a, b] = [0, 1];
(b) o me´todo de Newton com x0 = 0.5;
(c) o me´todo da secante com x0 = 0 e x1 = 1.
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