AV1 AV2 AV3 Cálculo Diferencial e Integral II

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a: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2017.1 (G) / EX 
 
 
 
1. 
 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 
 
 
2√(π^2+ 1) 
 
√(π^2+ 1) 
 
5√(π^2+ 1) 
 
4√(π^2+ 1) 
 
3√(π^2+ 1) 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2). 
 
 
-2 
 
1 
 
2 
 
-1 
 
0 
 
 
3. 
 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 0 
 -1 
 -2 
 
 2 
 1 
 
 
4. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando 
de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
12 
 
16 
 
20 
 
14 
 
10 
 
 
 
 
5. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 2π3 
 2π2 
 3π2 
 2π 
 π2 
 
7. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por 
r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
4 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
8. 
 
 
Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale: 
 
 
128π3 
 
64π 
 
32π3 
 
36π 
 
128π 
 
1. 
 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 
6k será: 
 
 
 
-
37/7 
 
12/7 
 
-
51/7 
 
26/7 
 
40/7 
 
2. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) 
em relação a x 
 
 
 
- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 
x3.cos(x) +y3.sen(x) 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 
3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 
 
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
 
3. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular 
o divergente da função F(x,y,z). 
 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
 
4. 
 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto 
(0, 0, π). 
 
 
 
3√3 
 
√3 
 
√3/3 
 
2√3 
 
√3/2 
 
 
5. 
 
 
Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + 
(x - z2)k sobre a curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo 
de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1). 
 
 
 
0,58 
 
0,38 
 
0,48 
 
0,28 
 
0,18 
 
 
6. 
 
 
Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x 
= 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗 
 
 
 
3 
 
1 
 
2 
 
4 
 
5 
 
 
 
7. 
 
 
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao 
longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor 
aceleração para t = 0. 
 
 
 
- 3i 
 
i + j + 2k 
 
- 3j + 2k 
 
- 3i + 2k 
 
3i + 2k 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 
 
 
- 9 E 15 
 
- 8 E 14 
 
- 6 E 12 
 
- 10 E 16 
 
- 7 E 13 
1. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
e-1 
 
 7e-7 
 
7e 
 
7 
 
e7 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F 
(x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
 
60PI 
 
80PI 
 
100PI 
 
40PI 
 
20PI 
 
 
3. 
 
 
Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < z < x^2+y^2. 
 
 
V = 1/4 u.v. 
 
V = 3/4 u.v 
 
V=2/3 u.v 
 
V = 21 u.v. 
 
V = 1/3 u.v 
 
 
4. 
 
 
O valor da integral é 
 
 
 
-1/12 
 
1/12 
 
-2/3 
 
0 
 
2/3 
 
5. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
- 3x - 2y 
 
- 3x + 2y 
 
3x + 2y 
 
3x - 2y 
 
2x - 3y 
 
 
6. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 
 
-7/2 
 
1/2 
 
0 
 
-1/2 
 
7/2 
 
 
7. 
 
 
Determine a integral de linha de F=(2xy
 
 
-4 
 
4 
 
6 
 
-2 
 
2 
 
 
8. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
25, 33 
 
34,67 
 
32,59 
 
33,19 
 
53,52 
 
 
2. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo
pela fronteira 
 
 
Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2)
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada 
. 
1) até (2,2) 
 
1 
2
0 
1
6 
1
0 
2 
 
se que C é a curva representada 
 
 
-3 
 
-1 
 
3 
 
6 
 
-6 
 
 
3. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,3,4 
 
1,2,3 
 
1,2,5 
 
1,2,4 
 
1,3,5 
 
 
4. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
 0 
 13 
 14 
 
12 
 15 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a 
fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
2 
 
-2 
 
0 
 
1 
 
-10 
 
6. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado 
por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
1 
 
2 
 
0 
 
4 
 
3 
 
 
7. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela 
função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta 
em relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
423 
 
233 
 
1324 
 
2 
 
 
8. 
 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é 
dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 14u.c. 
 
 21u.c. 
 
 7u.c. 
 
 28u.c. 
 
 
 49u.c. 
 
1. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + 
t2j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
0 
 
3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
t2 i + 2 j 
 
2. 
 
 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas 
abaixo: 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
 
 
I 
 
I e II 
 
II 
 
I, II e III 
 
III 
 
 
3. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
4. 
 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 
1. 
 
 
r'(t)=v(t)=12i - j 
 
r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 
r'(t)=v(t)=32i - j 
 
r'(t)=v(t)=14i + j 
 
r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 
 
 
5. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
6. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única 
resposta correta. 
 
 
 
(0,-1,-1) 
 
(0,0,0) 
 
(0,0,2) 
 
(0, 1,-2) 
 
(0,-1,2) 
 
 
 
7. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i 
+ t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
ti+2j 
 
6ti+2j 
 
6ti -2j 
 
6i+2j 
 
6ti+j 
 
 
8. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
j + k 
 
j 
 
i - j + k 
 
k 
 
j - k 
 
 
1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,sent,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
2. 
 
 
Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t 
pertencente a R. As coordenadas de seu vetor velocidade em t = 0 são: 
 
 
 
(2; -3; 3) 
 
(1; -2; -1) 
 
(2; 0; 3) 
 
(2; -6; -3) 
 
(0; 8; 4) 
 
3. 
 
 
Sendo C(x, y) = 200 + 3x + 2y a função custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades 
de um produto B, o custo para fabricar 20 unidades de A e 15 unidades de B é: 
 
 
 
270 
 
250 
 
300 
 
290 
 
280 
 
 
4. 
 
 
O custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades de um produto B é dado por C(x, y) = 
200 + 3x + 2y. Ao custo total de 270 e fabricando 20 unidades de B, quantas unidades de A podem ser 
fabricadas? 
 
 
 
15 
 
20 
 
10 
 
25 
 
5 
 
5. 
 
 
A equação paramétrica da reta tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5] em t0=2 é: 
 
 
 
 
x = 4 - 4t; y = 19 -16 t 
 
x = 4 + 2t; y = 16 +19 t 
 
x = 2 + 4t; y = 19 +16 t 
 
x = 2 - 4t; y = 19 +16 t 
 
x = -2 + 4t; y = -19 +16 t 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t 
pertencente a R. As coordenadas de seu vetor aceleração em t = 0 são: 
 
 
 
(-2; 6; 2) 
 
(1; -2; 0) 
 
(0; 8; 4) 
 
(0; -6; 0) 
 
(2; -3; 3) 
 
 
7. 
 
 
Dada a equação da velocidade v(t)=(sent)i+t2j, o vetor aceleração no instante t=0 tem módulo: 
 
 
4 
 
0 
 
3 
 
1 
 
2 
 
8. 
 
 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
 
0,25i + 7j + 1,5k 
 
0,25i + 7j - 1,5k 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 
1. 
 
 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y)= x^2 y^3-4 y no ponto (2,-1) na direção do 
vetor v=2i+5j. 
 
 
 
(32)/29 
 
(32√29)/29 
 
(32√29)/9 
 
(3√29)/2 
 
(√29)/29 
 
3. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 2.x3.3y2, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(-1;2) e fy(-2,1) são, 
respectivamente. 
 
 
 
18 e 6 
 
72 e -24 
 
18 e - 54 
 
36 e -96 
 
72 e -96 
 
4. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) 
em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
 
 
36 e -60 
 
36 e 60 
 
18 e -30 
 
9 e 15 
 
0 e 0 
 
5. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para as derivadas parciais 
de f(x,y,z)=x3yz2+x+2y+4. 
 
 
 
fx=3x2yz2+1; fy=x3yz2-2; fz=2x3yz. 
 
fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 
 
fx=3x2yz2; fy=x3z2+2; fz=2x3yz2. 
 
fx=2x3yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 
 
fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x2 + y3).senx. 
 
 
fx = 2x.senx + 2x.cosx e fy = 3y.senx 
 
fx = 2x.cosx + (2x
2 + y3).senx e fy = 3y
2.senx 
 
fx = 2x.senx + (x
2 + y3).cosx e fy = 3y
2.senx 
 
fx = x.senx + (x
2 + y3).cosx e fy = 3y
2.senx + x2 
 
fx = 2x.senx + (x
2 + 3y).cosx e fy = 3y
2 
 
7. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = (x2 + 2xy)3, paralela ao eixo 
x, no ponto P = (1;2). 
 
 
 
200 
 
320 
 
150 
 
125 
 
450 
 
8. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 4xy2, paralela ao eixo x, no 
ponto P = (5;4). 
 
 
 
160 
 
32 
 
135 
 
64 
 
26 
 
 
1. 
 
 
Encontre o lim┬(t→3)	 〖(3t^2 i-(2e^2t-1)j-cos	 (tπ)k)〗 
 
 
27i - (2e^6 - 1)j + k 
 
27i - (2e^6 - 1)j - k 
 
27i - (2e^3 + 1)j - k 
 
27i - (2e^3 - 1)j - k 
 
27i + (2e^6 - 1)j - k 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), para a função 
f(x,y) = ln(x2 + 2xy), o valor de fx e fy será: 
 
 
 
fx = 2/(x
2 + 2xy) e fy = 2/(x
2 + 2xy) 
 
fx = 1/(x
2 + 2xy) e fy = 2/(x
2 + 2xy) 
 
fx = (2x+2y)/(x
2 + 2xy) e fy = 2x/(x
2 + 2xy) 
 
fx = (2x+2y) e fy = e
(x + 2xy)
 
 
fx = (x+y)/(x
2 + 2xy)2 e fy = x/(x
2 + 2xy)2 
 
3. 
 
 
Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), para a função 
f(x,y) = (x2 + y2).sen(x), o valor de fx e fy será:fx = sen(x) + cos(x) e fy = 2y 
 
fx = 2x.sen(x) - cos(x) e fy = y.cos(x) 
 
fx = 2x.sen(x) + (x
2 + y2).cos(x) e fy = 2y.sen(x) 
 
fx = 2x.cos(x) - (x
2 + y2).sen(x) e fy = 2y.cos(x) 
 
fx = 2x.sen(x) e fy = 2y.sen(x) 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 
z / (yz + 1) 
 
z / y 
 
z / (y - 1) 
 
z / (yz - 1) 
 
z / ( z - 1) 
 
5. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 3x2y, paralela ao eixo y, no 
ponto P = (10;15). 
 
 
 
900 
 
500 
 
300 
 
700 
 
200 
 
6. 
 
 
Encontre a diferencial total da função z= e^(x^2+ y^2 ) (senx)^2 das três variáveis x, y e z. 
 
 
 
dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+cos2zdx) 
 
dz= e^(x^2+ y^2 )(2sen^2 zdx+2sen^2 zdy+sen2zdx) 
 
dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx) 
 
dz= e^(y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx) 
 
dz= e^(x^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy + sen2zdx) 
 
 
7. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = x2 + 3y2, paralela ao eixo y, 
no ponto P = (3;2). 
 
 
 
-8 
 
18 
 
6 
 
3 
 
12 
 
8. 
 
 
Sabendo que uma partícula se move ao longo de uma curva no espaço, com velocidade v = (2t;-4t; 1) e que a sua 
posição no instante t=0 era (1;1;0), qual é sua posição em qualquer t maior que zero. 
 
 
 
s (t) = (t^2; 1 - 2t^2; t) 
 
s (t) = (t^2+1; 1 - 4t^2; t) 
 
s (t) = (t^2 +1; 1 - 2t^2; t) 
 
Nenhuma das alternativas anteriores 
 
s (t) = (t^2; 1 - 4t^2; t) 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
 
 
70/13 
 
70/15 
 
70/9 
 
70/11 
 
70/3 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt
qual a resposta correta?
 
 
(cost)i - 3tj 
 
(sent)i + t³j 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i + 3tj 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a Integral Dupla: 
 
-1/2 
 
2/3 
 
1/3 
 
5/2 
 
1/2 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta:
 
 
Todas as opções são verdadeiras.
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que 
 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, 
respectivamente, com possível
para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de 
aproximadamente 20π cm^3. 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 
de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo 
diferencial é maior que 5%. 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que 
 
5. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2
 
 
2i + 2j 
 
2j 
dt, 
correta? 
 
Marque apenas a alternativa correta: 
Todas as opções são verdadeiras. 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, 
respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total 
para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a precisão e 
de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2.
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, 
erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total 
para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de 
cm e que a cada medida a precisão e 
de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo 
∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
 
2i 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
41 
 
22 
 
27/2 
 
33/19 
 
18/5 
 
7. 
 
 
Determine e indique a única resposta correta para fx,fy,fz, se f(x,y,z)=exylnz. 
 
 
fy=yexylnz; fx=xexylnz; fz=eyz 
 
fx=zyexylnz; fy=xyexylnz; fz=xyexyz 
 
fx=yexylnz; fy=xexylnz; fz=exyz 
 
fx=exylnz; fy=exylnz; fz=xyexyz 
 
fx=yexylnyz; fy=xexylny; fz=exyx 
 
8. 
 
 
Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 
 
 
13 
 
15 
 
16 
 
12 
 
14 
 
1. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1) 
 
 
∇f=<-e,-e,-e> 
 
∇f=<-1,-1,-1> 
 
∇f=<-e,-1,-e> 
 
∇f=<-e,-e, e> 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
2sen(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considerando que a equação define y como uma função diferenciável de x, use a Diferenciação 
Implícita para encontrar o valor de dydx no ponto dado. 
 x3 - 2y2 + xy = 0, (1,1). 
 
 
 
3/4 
 
-3/4 
 
-4/3 
 
4/3 
 
1/2 
 
 
 
 
5. 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
 
função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2). 
 
 
∇f=<-8,8,8> 
 
∇f=<-8,-8,-8> 
 
∇f=<8,8,8> 
 
∇f=<8,8,-8> 
 
∇f=<8,-8,8> 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). 
Indique a única resposta correta. 
 
 
 
(2,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(1+t)et) 
 
(2t,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(2+t)et) 
 
(2t,et,(1 - t)et) 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=-e-x-e-y-e-z no ponto P0(1,1,1). 
 
 
∇f=<1e,1e,1e> 
 
∇f=<1e,-1e,1e> 
 
∇f=<-1e,1e,1e> 
 
∇f=<1e,1e,-1e> 
 
∇f=<2e,3e,4e> 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 
 
 
 
2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2bcotgt 
 
2/t + 2bt + tgt 
 
2/t + 2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2btgt + cotgt 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201503237643) 
Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio=2 cm e altura=5 cm. O custo do 
material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm^2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no 
raio e 2% na altura, pergunta-se : Qual o valor e
 
 
R$ 19,30 
 
R$ 25,17 
 R$ 10,47 
 
R$ 10,00 
 
R$ 11,21 
 
 2a Questão (Ref.: 201503089530) 
O valor de ∫012∫0yx dx dy é 
 
 
64 
 
144 
 
128 
 288 
 
328 
 
 3a Questão (Ref.: 201503062832) 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t 
 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 y = x - 7x² + 5 
 y = 7 + 2x - 0,25x² 
 y = x² -7x - 1y = x³ -5x² -3 
 
 4a Questão (Ref.: 201503132313) 
Calcule a derivada de 2ª Ordem D2f/dxdy
 
 e2x+ln(2y) 
 
ye2x+ln(2y) 
 e2x+(2/y) 
 
ye2x+(2/y) 
 
e2x+(1/y) 
 Fórum de Dúvidas
Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio=2 cm e altura=5 cm. O custo do 
material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm^2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no 
se : Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa? 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
f/dxdy da função f(x,y) = (y/2)e2x+xln(2y) 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio=2 cm e altura=5 cm. O custo do 
material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm^2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502819614) 
Encontrar o volume do tetraedro:
Considerar F(x, y, z) = 1.
 
 
5/6 
 
2/3 
 7/6 
 
1/2 
 1/6 
 
 6a Questão (Ref.: 201503092636) 
 
 27/2 
 
12 
 
15/17 
 
18/35 
 
14 
 
 7a Questão (Ref.: 201503095516) 
Determine a área limitada da região limitada entre as curvas, y = x + 6 e y = x².
 
 
13/2 
 
49/6 
 
22/3 
 125/6 
 
27/2 
 
 Fórum de Dúvidas
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
Determine a área limitada da região limitada entre as curvas, y = x + 6 e y = x². 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
F(x, y, z)dzdydx. 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 8a Questão (Ref.: 201502818830) 
Encontre a derivada direcional de f(x,y)
gradiente. 
 
 
8/5 
 -1 
 
1 
 
3/5 
 
-4/5 
 
 
1a Questão (Ref.: 201502836809) 
Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
 
 
1-z 
 
0 
 1 
 
2-2z 
 
2 
 
 2a Questão (Ref.: 201503089604) 
A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas
 
 
8/3 
 
2/3 
 
4/3 
 
1/3 
 16/3 
 
 3a Questão (Ref.: 201502825407) 
 Fórum de Dúvidas
Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) na direção de v = 3i 
 Fórum de Dúvidas
zdydxdz 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2 é 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
= x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) na direção de v = 3i - 4j usando o 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
50 π 
 
73,37 π 
 
33,37 π 
 37,33 π 
 
60 π 
 
 4a Questão (Ref.: 201503089957) 
O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale:
 
 
244π 
 
188π 
 288π 
 
144π 
 
36π 
 
 5a Questão (Ref.: 201503241396) 
Calcule a integral de linha ∮c (x
2 ydx (x
(1,1) 
 
 
-2/5 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
ydx (x-2y)dy, onde a curva "c" é o segmento da parábola
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
segmento da parábola y = x2 de (0,0) a 
 
-3/5 
 
-1/5 
 
-1/15 
 -2/15 
 6a Questão (Ref.: 201503241422) 
Seja Ψ (x,y,z) = sen x + 2xy + zy, calcule o laplaciano de Ψ
 
 
- sen (x) - 6 
 
- cos x - 3 
 - sen(x) + 6 
 
6 
 
-cos ( x) + 3 
 7a Questão (Ref.: 201503203769) 
 
 
10 u.v 
 
16/3 u.v 
 
24/5 u.v 
 
18 u.v 
 9/2 u.v 
 
 8a Questão (Ref.: 201503000412) 
Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e 
inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2.
 
 
e) 25 /5 
 
c) 89 / 5 
 
b) 85/ 2 
 a) 86 / 3 
 
 
 Fórum de Dúvidas
Seja Ψ (x,y,z) = sen x + 2xy + zy, calcule o laplaciano de Ψ 
 
 
 Fórum de Dúvidas
 
 
 
 Fórum de Dúvidas
Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e 
≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2. 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e 
 
d) 82 /3 
 
 
1. 
 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 
 
 
4√(π^2+ 1) 
 
√(π^2+ 1) 
 
5√(π^2+ 1) 
 
3√(π^2+ 1) 
 
2√(π^2+ 1) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2). 
 
 
0 
 
2 
 
-2 
 
-1 
 
1 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 -1 
 0 
 -2 
 
 2 
 
1 
 
 
 
 4. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y 
variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
10 
 
16 
 
 
20 
 
14 
 
12 
 
 
 
 
5. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 2π3 
 π2 
 2π 
 
2π2 
 3π2 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
4 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
 
 
8. 
 
 
Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale: 
 
 
64π 
 
128π 
 
32π3 
 
128π3 
 
36π 
 
1. 
 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente 
pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y²≤ 4 e x ≥ 0}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto 
(0, 0, π). 
 
 
 
2√3 
 
√3 
 
3√3 
 
√3/2 
 
√3/3 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 
 
- 10 E 16 
 
- 9 E 15 
 
- 8 E 14 
 
- 7 E 13 
 
- 6 E 12 
 
 
 
 
4. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em 
relação a x 
 
 
 
- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 
x3.cos(x) +y3.sen(x) 
 
3x2 sen(x)- (x3 +y3).cos(x) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: 
 
 
12/7 
 
26/7 
 
40/7 
 
-51/7 
 
-37/7 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k 
sobre a curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), 
passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1). 
 
 
 
0,18 
 
0,38 
 
0,48 
 
0,58 
 
0,28 
 
7. 
 
 
Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x 
= 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗 
 
 
 
5 
 
4 
 
1 
 
3 
 
2 
 
8. 
 
 
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma 
curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0. 
 
 
- 3i + 2k 
 
3i + 2k 
 
- 3j + 2k 
 
i + j + 2k 
 
- 3i 
 
1. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
7e 
 
 7e-7 
 
7 
 
e7 
 
e-1 
 
2. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F 
(x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
 
 
20PI 
 
60PI 
 
40PI 
 
80PI 
 
100PI 
 
3. 
 
 
Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < z < x^2+y^2. 
 
 
V = 1/3 u.v 
 
V = 1/4 u.v. 
 
V = 21 u.v. 
 
V = 3/4 u.v 
 
V=2/3 u.v 
 
4. 
 
 
O valor da integral é 
 
 
 
0 
 
-2/3 
 
1/12 
 
-1/12 
 
2/3 
 
5. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
3x + 2y 
 
2x - 3y 
 
3x - 2y 
 
- 3x - 2y 
 
- 3x + 2y 
 
6. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 
 
 
0 
 
-7/2 
 
1/2 
 
7/2 
 
-1/2 
 
7. 
 
 
Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2) 
 
 
-2 
 
4 
 
6 
 
-4 
 
2 
 
 
8. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
20 
 
2 
 
16 
 
1 
 
10 
 
1. 
 
 
 
 
33,19 
 
32,59 
 
53,52 
 
34,67 
 
25, 33 
 
2. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo
pela fronteira 
 
 
 
 
-3 
 
3 
 
-6 
 
-1 
 
6 
 
 
 
 
3. 
 
A equação de Laplace tridimensional é
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada 
. 
A equação de Laplace tridimensional é : 
∂z²=0 
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
2z² 
2z² 
 
se que C é a curva representada 
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 
 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,5 
 
1,2,3 
 
1,3,5 
 
1,2,4 
 
1,3,4 
 
 
 
 
4. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
 14 
 0 
 13 
 
12 
 15 
 
 
 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a 
fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
2 
 
-2 
 
0 
 
1 
 
-10 
 
6. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado 
por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
3 
 
4 
 
0 
 
 
2 
 
1 
 
 
7. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela 
função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta 
em relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
 
2 
 
324 
 
423 
 
1 
 
233 
 
8. 
 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é 
dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 
 7u.c. 
 21u.c. 
 
 28u.c. 
 
 14u.c. 
 
 49u.c. 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201408178480) 
 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0;
II. A função g(t) é descontínua para t = 0;
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
 
 
I 
 
III 
 
I e II 
 
I, II e III 
 
II 
 
 2a Questão (Ref.: 201408238906) 
 
Determine a única resposta correta para 
 
 
 r(t)=13ti + t4j + 13t3k + 
 r(t)=13t3i + t4j - 13t3k+C
 
 r(t)=13t3i + t4j + 13t3k + 
 r(t)=13t2i + t4j - 13t2k + 
 r(t)=-13t3i + t4j - 13t3k + 
 
 3a Questão (Ref.: 201407376348) 
 
Fórum de Dúvidas
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
A função f(t) é contínua para t = 0; 
a para t = 0; 
A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine a única resposta correta para r(t), se v(t)= t2i + 4t3j-t2k 
+ C 
C 
+ C 
+ C 
+ C 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
 
 6ti+2j 
 6ti -2j 
 6ti+j 
 ti+2j 
 6i+2j 
 
 4a Questão (Ref.: 201408238894) 
 
Calcule o versor tangente T(0)
r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk. 
 
 T(0)=<35,-45> 
 T(0)=<35,45> 
 T(0)=<-35,-45> 
 T(0)=<-35,45> 
 T(0)= 
 
 5a Questão (Ref.: 201408178477) 
 
A imagem da função vetorial f(t)=i.sen(t)
 
 
(0, 1, 1) 
 
(1, -1, 1) 
 
(1, -1, 0) 
 
(0, -1, 1) 
 
(0, -1, 0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)
Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
T(0),se: 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
f(t)=i.sen(t)-j.cos(t)+k, para t = 0 é: 
 
 
 
t) = t3 i + t2 j. 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
um de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 6a Questão (Ref.: 201408238904) 
 
Calcule dê a única resposta correta para a integral indefinida: 
 
 I=eti+t2j+(lnt-t)k+C 
 I=eti+t2j+(tlnt-t)k+CI=eti+t2j-(tlnt-t)k+C 
 I=eti-t2j+(tlnt-t)k+C 
 I=-eti+t3j+(tlnt+t)k+C 
 
 7a Questão (Ref.: 201408247601) 
 
Encontre a parametrização para o segmento de reta que une os pontos 
 
 x=2-2t,y=2t,z=2-2t,0≤t≤1 
 x=2-t,y=2t,z=2-2t,0≤t≤1 
 x=2-2t,y=2,z=2-2t,0≤t≤1 
 x=2-2t,y=2-2t,z=2-2t,0≤t≤1
 x=2-2t,y=2t,z=-2t,0≤t≤1 
 
 8a Questão (Ref.: 201408238891) 
 
Calcule a integral definida e marque a única resposta correta:
∫0π2(2costi + sentj + 2tk)dt. 
 
 -2i - j + π24k 
 i + j + π24k 
 2i + j + π24k 
 
 2i + π24k 
 2i - j + π24k- 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule dê a única resposta correta para a integral indefinida: I=∫(eti + 2t
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre a parametrização para o segmento de reta que une os pontos 
 
≤t≤1 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule a integral definida e marque a única resposta correta: 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
+ 2tj + lntk)dt. 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
Encontre a parametrização para o segmento de reta que une os pontos P(2,0,2) e Q(0,2,0). 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 1a Questão (Ref.: 201408295878) 
 
Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x
 
 
fx = 2x.senx + 2x.cosx e fy = 3y.senx
 
fx = 2x.senx + (x
2 + 3y).cosx 
 
fx = 2x.cosx + (2x
2 + y3).senx 
 
fx = 2x.senx + (x
2 + y3).cosx 
 
fx = x.senx + (x
2 + y3).cosx e f
 
 2a Questão (Ref.: 201408305574) 
 
Seja F(x,y) = x³-y.x². Então, ∂²F/∂x² + 
 
 
6x+2y 
 
-2y 
 
0 
 
6x 
 
6x - 2y 
 
 3a Questão (Ref.: 201408182745) 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 2y
(1;2). 
 
 
0 
 
8 
 
12 
 
1 
 
4 
 
Fórum de Dúvidas
s parciais da função f(x,y) = (x2 + y3).senx. 
= 3y.senx 
+ 3y).cosx e fy = 3y
2 
).senx e fy = 3y
2.senx 
 e fy = 3y
2.senx 
e fy = 3y
2.senx + x2 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
² + ∂²F/∂y² é igual a 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 2y2.ln(x), paralela ao eixo y, no ponto P = 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
.ln(x), paralela ao eixo y, no ponto P = 
 
 4a Questão (Ref.: 201408257917) 
 
Determine e marque a única resposta correta para as derivadas parciais indicadas se: 
ω=xy+2z; ∂3ω∂z∂y∂x, ∂3ω∂x2∂y.
 
 ∂3ω∂z∂y∂x=4(y+2z)3, ∂3ω∂x2∂y=0
 ∂3ω∂z∂y∂x=-4(y+2z)3, ∂3ω
 ∂3ω∂z∂y∂x=4(y-2z)3, ∂3ω∂x2∂y=xyz
 ∂3ω∂z∂y∂x=4(xy+z)3, ∂3ω∂x2∂y=3
 ∂3ω∂z∂y∂x=4(y+2z)3, ∂3ω∂x2∂y=
 
 5a Questão (Ref.: 201407850974) 
 
Encontre o lim┬(t→3)	 〖(3t^2 i-(2e^2t
 
 
27i - (2e^6 - 1)j - k 
 
27i - (2e^6 - 1)j + k 
 
27i - (2e^3 - 1)j - k 
 
27i + (2e^6 - 1)j - k 
 
27i - (2e^3 + 1)j - k 
 
 6a Questão (Ref.: 201408290030) 
 
 
 
32√29 
 
-3 2/ √29 
 
32 /√29 
 
Fórum de Dúvidas
a única resposta correta para as derivadas parciais indicadas se: 
. 
∂x2∂y=0 
ω∂x2∂y=2 
∂x2∂y=xyz 
∂x2∂y=3 
∂x2∂y=-1 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
(2e^2t-1)j-cos	 (tπ)k)〗 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
a única resposta correta para as derivadas parciais indicadas se: 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
 
 
-32√29 
 
-32/29 
 
 7a Questão (Ref.: 201407458406) 
 
Calcule o vetor gradiente da função f(x,y,z) = 2 e
 
 (e 
x+y+z
)i + (e 
x+y+z
)j + (e 
x+y+z
 (2 e
x
)i +(2 e
y
)j+ (2 e
z
)k 
 (e)i + (e)j + (e)k 
 (2e)i + (2e)j + (2e)k 
 (2e 
x+y+z
)i + (2e 
x+y+z
)j + (2e 
 
 8a Questão (Ref.: 201408179052) 
 
Considerando a função f(x,y)=e2x+5y, simbolizaremos por f
em função de y, respectivamente. Assim f
 
 
fx(x,y)=e
2x+5y e fy(x,y) = e
2x+5y
 
fx(x,y)=2.e
2x+5y e fy(x,y) = 5.e
 
fx(x,y)=2.e
2 e fy(x,y) = 5.e
5 
 
fx(x,y)=2.e
2+5y e fy(x,y) = 5.e
 
fx(x,y)=2.e
5y e fy(x,y) = 5.e
2x
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule o vetor gradiente da função f(x,y,z) = 2 e
x
 + 2e
y 
+ 2e
z
 no ponto A = (1, 1, 1) 
x+y+z
)K 
)j + (2e 
x+y+z
)k 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de f(x,y) em função de x e 
Assim fx e fy são, nesta ordem: 
2x+5y 
(x,y) = 5.e2x+5y 
 
(x,y) = 5.e2x+5 
2x 
 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (2 de 2) Saiba (0) 
as derivadas parciais de f(x,y) em função de x e 
 
 1a Questão (Ref.: 201408290651) 
 
Calcular o volume do sólido delimitado inferiormente por z=3
pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada por y = x^2 e y 
 
 
14 ( unidades de volume) 
 
199/8 ( unidades de volume)
 
162/13 ( unidades de volume)
 
512 / 71 ( unidades de volume)
 
192/10 ( unidades de volume)
 
 2a Questão (Ref.: 201408182751) 
 
O valor da derivada dy/dx da função y
 
 
5 
 
3 
 
1 
 
4 
 
2 
 
 3a Questão (Ref.: 201408182752) 
 
O valor da derivada dy/dx da função x
 
 
-4 
 
4 
 
-2 
 
8 
 
2 
 
Fórum de Dúvidas
Calcular o volume do sólido delimitado inferiormente por z=3-(y/2), superiormente por z = 6 e lateralmente 
pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada por y = x^2 e y = 4. 
 
199/8 ( unidades de volume) 
es de volume) 
512 / 71 ( unidades de volume) 
192/10 ( unidades de volume) 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
O valor da derivada dy/dx da função y3 - xy + 1 = 0, no ponto P = (2;1) é 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
O valor da derivada dy/dx da função x2 - exy - 3 = 0, no ponto P = (2;0) é 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
(y/2), superiormente por z = 6 e lateralmente 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 4a Questão (Ref.: 201408089231) 
 
O valor da integral tripla é: 
 
 
9π 
 
9π/2 
 
18π 
 
3π/2 
 
18π/2 
 
 5a Questão (Ref.: 201408239243) 
 
Calcule e marque a única tesposta correta para a derivada parcial de 
 
 ∂z∂x=2xy1-(x2-y3)2; ∂z∂y=tg
 ∂z∂x=-2xy1+(x2-y3)2; ∂z∂y=tg
 ∂z∂x=2xy1+(x2-y3)2; ∂z∂y=tg
 ∂z∂x=2y1+(x2-y3)2; ∂z∂y=tg
 ∂z∂x=2xy1+(x2-y3)2; ∂z∂y=
 
 6a Questão (Ref.: 201408237657) 
 
Determine e marque a única resposta correta para as derivadas parciais de 1ª ordem de: 
f(x,y,z)=xyln(xyz), para x,y,z>0, em 
 
 fx=-2; fy=-2; fz=-2 
 
Fórum de Dúvidas
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule e marque a única tesposta correta para a derivada parcial de z=y.tg
∂z∂y=tg-1(x2+y3)-3y31+(x2-y3)2 
∂z∂y=tg-1(x2-y3)+3y31+(x2-y3)2 
∂z∂y=tg-1(x2-y3)-3y31+(x2-y3)2 
∂z∂y=tg-1(x2-y3)-3y21+(x2-y3)2 
y=-3y31+(x2-y3)2 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine e marque a única resposta correta para as derivadas parciais de 1ª ordem de: 
, em P0(1,1,1). 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
z=y.tg-1(x2-y3) 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
Determine e marque a única resposta correta para as derivadas parciais de 1ª ordem de: 
 fx=0; fy=0; fz=0 
 fx=2; fy=2; fz=2 
 fx=1; fy=1; fz=1 
 fx=-1; fy=-1; fz=-1 
 
 7a Questão (Ref.: 201407946741) 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - 
 
 
na reta y = x. 
 
Limitado pela circunferência do círcu
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5.
 
no centro docírculo. 
 
no raio do círculo. 
 
 8a Questão (Ref.: 201408231014) 
 
Calcule o Gradiente da Função no ponto P:
 
 
(e,1/2) 
 
i+j 
 
(1/2,e) 
 
(1/2,2) 
 
(e,e) 
 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
 x^2 - y^2 ) está: 
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule o Gradiente da Função no ponto P:
 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
 1a Questão (Ref.: 201408065574) 
 
 
 
2 
 
47/19 
 
32/15 
 
28/147 
 
5/3 
 
 2a Questão (Ref.: 201408065561) 
 
 
 
18/5 
 
41 
 
27/2 
 
33/19 
 
22 
 
 3a Questão (Ref.: 201408289978) 
 
Seja a função Z = f(X ;Y) = X.Y + 2X + 2Y . Então a derivada de Z em relação a t é
Fórum de Dúvidas
 
 
 
Fórum de Dúvidas
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Seja a função Z = f(X ;Y) = X.Y + 2X + 2Y . Então a derivada de Z em relação a t é 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Cos ² t - Sen ² t. 
 
¿Cos ² t + Sen ² t ¿ 2.Cos t + 2.Sen t.
 
Cos ² t ¿ Sen ² t ¿ Sen ² t + 2.Cos t ¿ 2.Sen t.
 
Cos ² t + Sen ² t + 2.Cos t + 2.Sen t.
 
2.Cos t ¿ 2.Sen t. 
 
 4a Questão (Ref.: 201408235828) 
 
 Determine e indique as únicas respostas corretas para a derivada parcial de 
f(x,y,z)=ln(x2y2z2) 
 
 fx=1x,x>0; fy= -2y,y>0; fz=1z,z>0
 fx=2yx,x>0; fy=2zy,y>0; 
 fx=2x,x>0; fy=2y,y>0; fz=2z,z>0
 fx=2x,x>0; fy=2y,y>0; fz=2z,z>0
 fx=- 2x,x>0; fy=- 2y,y>0; 
 
 5a Questão (Ref.: 201408239007) 
 
Calcule e indique a única resposta correta para a integral 
 
 π2 
 -2 
 2π 
 2 
 
nenhuma das opções de respostas
 
 6a Questão (Ref.: 201408210531) 
 
¿Cos ² t + Sen ² t ¿ 2.Cos t + 2.Sen t. 
Cos ² t ¿ Sen ² t ¿ Sen ² t + 2.Cos t ¿ 2.Sen t. 
Cos t + 2.Sen t. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine e indique as únicas respostas corretas para a derivada parcial de 
fz=1z,z>0 
; fz=2yz,z>0 
fz=2z,z>0 
fz=2z,z>0 
; fz=- 2z,z>0 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule e indique a única resposta correta para a integral I=∫02∫0π2xsenydydx
nenhuma das opções de respostas 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Determine e indique as únicas respostas corretas para a derivada parcial de 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
π2xsenydydx. 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
Todas as alternativas estão corretas.
 
Para a função u=x^4 y^3-y^4), podemos afirmar que atende ao teorema de Clairaut (u_xy=u_yx).
 
Considerando a função u(x,t)=sen(x+at), podemos afirmar que atende a condição de equação de onda 
((∂^2 u)/(∂t^2 )=3a^(2 ). (∂^2 u)/(
 
Para a função f(x,y)=sen(2x+y), podemos determinar que as derivadas cruzadas da função são iguais a 
2sen(2x-y). 
 
Para a função f(x,y)= x^3 y+ x^2 y^4, podemos afirmar que a derivada de 2º ordem da função em 
relação a y é 12xy. 
 
 7a Questão (Ref.: 201407259347) 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 
 
 
2i 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
 
2i + 2j 
 
2j 
 
 8a Questão (Ref.: 201408235358) 
 
Determine as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 
única resposta correta. 
 
 fx=x4+x2y2+y4 
fy=x3y+xy3 
 fx= 9x2y2+3y4 
fy=6x3y 
 fx=5x4-9x2y2-3y4 
fy=-6x3y+2xy3 
 fx=5x2+9x3y2+3y3 
 
Todas as alternativas estão corretas. 
y^4), podemos afirmar que atende ao teorema de Clairaut (u_xy=u_yx).
Considerando a função u(x,t)=sen(x+at), podemos afirmar que atende a condição de equação de onda 
∂^2 u)/(∂t^2 )=3a^(2 ). (∂^2 u)/(∂x^2 )). 
Para a função f(x,y)=sen(2x+y), podemos determinar que as derivadas cruzadas da função são iguais a 
Para a função f(x,y)= x^3 y+ x^2 y^4, podemos afirmar que a derivada de 2º ordem da função em 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
1)j + 2tk 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine as derivadas parciais de 1ª ordem da função: f(x,y)=x5+3x3y2+3xy4
y^4), podemos afirmar que atende ao teorema de Clairaut (u_xy=u_yx). 
Considerando a função u(x,t)=sen(x+at), podemos afirmar que atende a condição de equação de onda 
Para a função f(x,y)=sen(2x+y), podemos determinar que as derivadas cruzadas da função são iguais a -
Para a função f(x,y)= x^3 y+ x^2 y^4, podemos afirmar que a derivada de 2º ordem da função em 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
f(x,y)=x5+3x3y2+3xy4 e marque a 
fy=6x3y2+12xy4 
 fx=5x4+9x2y2+3y4 
fy=6x3y+12xy3 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201408047757) 
 
Calcule a integral de linha da seguinte função,
<t,t3> no intervalo de t em [0,1].</t,t</x,y 
 
 
1/3 
 
2/5 
 
5/6 
 
5/2 
 
6/5 
 
 2a Questão (Ref.: 201408231368) 
 
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função 
 
 fx = - 2x(1 + y); fy = 2y - x
 fx = 2x(1 - y); fy = 2y - x
2 
 fx = 2(1 + y); fy = y
2 + x2 
 fx = x(1 + y); fy = y + x
2 
 fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x
2 
 
 3a Questão (Ref.: 201408287946) 
 
x=3∫02∫1x2ydxdy 
 
 
21/3 
 
8/6 
 
21/2 
 
26/3 
 
63/2 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule a integral de linha da seguinte função, f(x,y) =<x,y2> que percorre o caminho representado pela vetor
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x
x2 
 
 
 
 
 
Fórum de Dúv
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
2> que percorre o caminho representado pela vetor R(t) = 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
+ x2y. 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 4a Questão (Ref.: 201408227177) 
 
Calcule a integral tripla abaixo: 
 
 
28 
 
3 
 
7 
 
1 
 
0 
 
 5a Questão (Ref.: 201408214168) 
 
Se f(x,y) = 2x2 y +xey2 . Encontre o gradiente
 
 
2i + j 
 
5i + 3j 
 
-2i + 3j 
 
2i + 4j 
 
i + 2j 
 
 6a Questão (Ref.: 201408231416) 
 
Determine as derivadas parciais indicadas de 
 
 
fx=1 
fy=1 
Fórum de Dúvidas
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
gradiente ∇f(1,0) 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine as derivadas parciais indicadas de f(x,y)=sen(2x+3y);fx(-6,4);fy(-6,4). 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
fx=0 
fy=-3 
 
fx=-2 
fy=-3 
 
fx=2 
fy=3 
 
fx=1 
fy=2 
 
 7a Questão (Ref.: 201408062834) 
 
O valor da integral ∫1e∫1e∫1e1xyzdx
 
 
1 
 
2e 
 
1/e 
 
2 
 
e 
 
 8a Questão (Ref.: 201408214318) 
 
 Calcule a integral de linha, se x = t 
 ∮c (x
2 + 3y)dx + (y2 + 2x)dy
 
 
8 
 
11 
 
10 
 
9 
 
7 
 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
∫1e∫1e∫1e1xyzdx dy dz é: 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
 , y = t2 + 1 e 0 ≤ t ≤ 1 
+ 2x)dy 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 1a Questão (Ref.: 201408088831) 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y)= y sen xy
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
 2a Questão (Ref.: 201407261090) 
 
Considere uma função de três variáveis 
Seja z=sen(xy)+xseny
 Encontre∂z∂uquando 
 
 1 
 -2 
 0 
 -1 
 2 
 
 3a Questão (Ref.: 201407864296) 
 
Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto
 
 
1 
 
-1 
Fórum de Dúvidas
∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
z=sen(xy)+xseny . 
quando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2).
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
y=u.v. 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
(0, 1, π/2). 
 
2 
 
0 
 
-2 
 
 4a Questão (Ref.: 201407455057) 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = 
2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
4 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
 5a Questão (Ref.: 201407861146) 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,
 
 
3√(π^2+ 1) 
 
4√(π^2+ 1) 
 
5√(π^2+ 1) 
 
√(π^2+ 1) 
 
2√(π^2+ 1) 
 
 6a Questão (Ref.: 201408214344) 
 
Seja F(x,y,z) = (xy) i + (yz2) j + (xyz) k.
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = 
2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,
 
 
 
Fórum de Dúvidas
) j + (xyz) k. Calcule o rotacional de F(x,y,z) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
(xz - 2yz) i - yz j - x k 
 
(2xz + 2yx) i - xyz j + yx j 
 
(xy -2yz) i - yz j - x k 
 
xy i + 2xyz j - y k 
 
( 2zx - 3xy + y)i + yz j -x k 
 
 7a Questão (Ref.: 201408299253) 
 
Calcule a integral a área da região defin
 
 
xy2−2x 
 
2x2−1 
 
xy2+x2 
 
x2−x2y 
 
2x−x2 
 
 8a Questão (Ref.: 201408062898) 
 
Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,
 
 
128π3 
 
32π3 
 
128π 
 
36π 
 
64π 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Calcule a integral a área da região definida pela integral ∫10∫xxy2dydx. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale:
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
≤z≤4 , vale: 
 
 1a Questão (Ref.: 201408069126) 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação
pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201408176729) 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy
 
 
12/7 
 
-37/7 
 
40/7 
 
26/7 
 
-51/7 
 
 3a Questão (Ref.: 201407864990) 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = 
(0, 0, π). 
 
 
√3/2 
 
√3 
 
3√3 
 
2√3 
 
√3/3 
A imagem vinculada não pode ser 
exibida. Talvez o arquivo tenha 
sido movido, renomeado ou 
excluído. Verifique se o v ínculo 
aponta para o arquivo e o local 
corretos.
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corretos.
Fórum de Dúvidas
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente 
² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
z = x² + y² e inferiormente 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto 
 
 4a Questão (Ref.: 201408305544) 
 
Seja F(x,y) = (x²-7, x.y, z). Então div F é igual a:
 
 
2x+y+1 
 
x+y 
 
3x+1 
 
x+z 
 
y+z 
 
 5a Questão (Ref.: 201407981811) 
 
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma 
curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0.
 
 
- 3i + 2k 
 
i + j + 2k 
 
- 3i 
 
3i + 2k 
 
- 3j + 2k 
 
 6a Questão (Ref.: 201408230799) 
 
Verifique a única resposta correta como solução da integral: 
ordem de integração. 
 
 
-20 
 
1518 
 
-15 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
7, x.y, z). Então div F é igual a: 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma 
m qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0.
 
 
 
Fórum de Dúvidas
esposta correta como solução da integral: ∫01∫24x2y3dydx. Se necessário, inverta a 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma 
m qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0. 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
. Se necessário, inverta a 
 
20 
 
15 
 
 7a Questão (Ref.: 201408305555) 
 
Seja F(x,y,z) = (x,y,z). Então, o div F é igual a 
 
 
-1 
 
0 
 
3 
 
2 
 
1 
 
 8a Questão (Ref.: 201408106776) 
 
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , 
 
 
- 10 E 16 
 
- 8 E 14 
 
- 9 E 15 
 
- 6 E 12 
 
- 7 E 13 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
= (x,y,z). Então, o div F é igual a 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 
 
 1a Questão (Ref.: 201407259484) 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x
 
 
1 
 
9/2 
 
5/6 
 
1/2 
 
3 
 
 2a Questão (Ref.: 201407259440) 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx1 
 
20 
 
10 
 
2 
 
16 
 
 3a Questão (Ref.: 201408081841) 
 
Determine a integral de linha de F=(2xy
 
 
-2 
 
6 
 
-4 
 
2 
 
4 
Fórum de Dúvidas
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
 
 
 
Fórum de Dúvidas
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2) 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
ela reta y = x + 2 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 4a Questão (Ref.: 201407259443) 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
 7e-7 
 
7 
 
e-1 
 
e7 
 
7e 
 
 5a Questão (Ref.: 201407798502) 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti
(x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
 
 
100PI 
 
20PI 
 
80PI 
 
40PI 
 
60PI 
 
 6a Questão (Ref.: 201407804503) 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy
 
 
-7/2 
 
7/2 
 
0 
 
-1/2 
 
Fórum de Dúvi
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F
3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
 
 
 
Fórum de Dúvidas
ral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
horário e se encontra submetido à força F 
3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 
 
1/2 
 
 7a Questão (Ref.: 201407961709) 
 
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo 
pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
 
 
16*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
 
32*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
 
Nenhuma das alternativas anteriores.
 
64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
 
128*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
 
 8a Questão (Ref.: 201407792530) 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (
 
 
2x - 3y 
 
- 3x - 2y 
 
3x + 2y 
 
3x - 2y 
 
- 3x + 2y 
 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
ular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo 
SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
Nenhuma das alternativas anteriores. 
SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
ular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
y2)j. 
 
 1a Questão (Ref.: 201407259503) 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x
 
 
π2 
 
82 
 
2 
 
8π2 
 
8π3 
 
 2a Questão (Ref.: 201407245112) 
 
A equação de Laplace tridimensional é
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,3 
 
1,2,5 
 
1,2,4 
 
1,3,5 
 
1,3,4 
 
Fórum de Dúvidas
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
place tridimensional é : 
²=0 
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 
Identifique as funções harmônicas: 
 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 3a Questão (Ref.: 201407258492) 
 
Usando o Teorema de Green calcular 
x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 0 
 13 
 15 
 14 
 12 
 
 4a Questão (Ref.: 201407260288) 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral 
de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
0 
 
1 
 
-2 
 
2 
 
-10 
 
 5a Questão (Ref.: 201407260287) 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral 
por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
2 
Fórum de Dúvidas
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
sendo C o triângulo limitado por 
 
rum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
onde a curva C: a fronteira 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
onde a curva C: o triângulo limitado 
 
3 
 
1 
 
0 
 
4 
 
 6a Questão (Ref.: 201407256334) 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k
função f(x,y,z) no espaço, os valores de
função composta f(g(t),h(t),l(t))
relação ao comprimento de arco de
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab
Calcule a integral de linha 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK
 
 
 
1 
 
2 
 
423 
 
233 
 
324 
 
 7a Questão (Ref.: 201407258195) 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa 
fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt
 
 
 
Fórum de Dúvidas
r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela 
f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em 
relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral 
ao longo da curva. 
∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,
∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
passa pelo domínio de uma 
ao longo da curva são dados pela 
. Quando integramos essa função composta em 
se a integral de 
ds=|v(t)|dt 
é a hélice circular dada 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 a≤t≤b é dada pela 
encontre o comprimento da curva 
 
 
14u.c. 
 
 28u.c. 
 
 21u.c. 
 
7u.c. 
 
 49u.c. 
 
 8a Questão (Ref.: 201408227287) 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integr
pela fronteira 
 
 
 
 
-1 
 
6 
 
-6 
 
-3 
 
3 
 
 
 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada 
. 
 
 
 
Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
se que C é a curva representada 
 
 
 1a Questão (Ref.: 175126) Pontos: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 2t j 
 3t2 i + 2t j 
 t2 i + 2 j 
 - 3t2 i + 2t j 
 0 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 175096) Pontos: 1,0 / 1,0 
Descreva a curva definida pela função vetorial:r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 52895) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 
- 11 
 
-12 
 
5 
 
11 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 51733) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i - 3tj 
 
(sent)i + t³j 
 
(cost)i + 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 52316) Pontos: 1,0 / 1,0 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(d) 
 
(e) 
 
(c) 
 
(a) 
 
(b) 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 53923) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no ponto 
P(1,0,1). 
 
 
 
1 
 
e 
 
0 
 
2e 
 
3e 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 43927) Pontos: 1,0 / 1,0 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=8x - 10y -30 
 z=-8x+10y-10 
 z=8x-12y+18 
 z=-8x+12y -14 
 z=-8x+12y-18 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 42776) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se 
move ao longo de uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para 
as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo 
I, as coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os pontos 
P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual 
a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento 
no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) (V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 6) (F) 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 54255) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 cos2(wt) 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 56428) Pontos: 1,0 / 1,0 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são 
funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a 
taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t= 
0 
 
 
18 
 
8 
 
10 
 
20 
 
12 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 63787) Pontos: 0,0 / 1,0 
Se resistores elétricos de R1, R2 e R3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor 
de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 . 
Encontre o valor de ∂R∂R2 quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms. 
 
 
Resposta: 
 
 
Gabarito: 
∂R∂R2=(RR2)2 para os valores R1 = 30 , R2 = 45 e R3 = 90 
1/R = 1/15 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 53169) Pontos: 0,0 / 1,0 
 Sejam P(x,y), Q(x,y) ,∂P∂y e ∂Q∂x funções uniformes e contínuas em 
um domínio conexo limitado por uma curva fechada C. Então , pelo 
Teorema de Green: 
∮Pdx+Qdy=∫R∫(∂Q∂x-∂P∂y)dxdy ( onde ∮ indica que C é fechada e 
percorrida no sentido positivo) 
Calcule a integral de linha ∮C (x-2y)dx+(2x-3y)dy sobre a circunferência 
unitária x=cost , y=sent ; 0 < t < π utilizando o Teorema de 
Green. 
 
 
Resposta: 
 
 
Gabarito: 
Sejam P(x,y)=x-2y e Q(x,y)=2x-3y. Portanto 
∂P∂y=-2 e ∂Q∂x=2 
 Utilizando o teorema de Green: 
∮Pdx+Qdy=∫R∫(∂Q∂x-
∂P∂y)dxdy=∫R∫4dxdy=4∫0π∫01rdrdθ=4∫0π[r22]01dθ=4∫0πdθ2=2∫0πdθ=2π 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 51703) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 58110) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
2i 
 
2j 
 
2i + 2j 
 
i/2 + j/2 
 
2i + j 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 58156) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 253692) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
7 
 
35/2 
 
35/6 
 
35/4 
 
35/3 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 59853) Pontos: 0,0 / 1,0 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 1 
 -2 
 0 
 2 
 -1 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 253828) Pontos: 0,0 / 1,0 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o 
divergente da função F(x,y,z). 
 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 58206) Pontos: 0,0 / 1,0 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
 7e-7 
 
7 
 
7e 
 
e7 
 
e-1 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 58266) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
π2 
 
2 
 
8π2 
 
8π3 
 
82