P 2ª Chamada 2012-1

Prévia do material em texto

UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 11 de julho de 2012
Prova de 2a Chamada
1. Seja λ autovalor de uma matriz A. É falso afirmar
que:
(a) A e AT sempre têm os mesmos autoespa-
ços;
(b) Se A for não-singular, então 1/λ é autovalor de
A−1
(c) λn é autovalor de An;
(d) A e AT sempre têm os mesmo autovalores;
2. Seja A6×3 uma matriz com colunas linearmente inde-
pendentes. A seguinte fórmula representa a projeção
ortogonal de um vetor qualquer ~b sobre a imagem de
A:
(a) A(ATA)−1AT~b
(b) (ATA)−1AT~b
(c) A−1~b
(d)
(
I − (ATA)−1AT )~b
3. A forma totalmente escalonada de uma matriz A4×5
é igual a
 1 0 1 1 00 1 1 1 0
0 0 0 0 1
. Assinale a alternativa
correta:
(a) O posto de A é 3.
(b) A dimensão do núcleo de A é 1.
(c) A~x = ~b tem solução para todo lado direito da
forma ~b = (b1, b2, b3, 0).
(d) AAT é invertível.
4. Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e T : V →
V uma transformação linear. Se ~v é autovetor associ-
ado a 3 e ~u é autovetor associado a -2, então é falso
afirmar que:
(a) T (~v + ~u) = 3T (~v)− 2T (~u).
(b) T (2~v − 3~u) = 6~v + 6~u.
(c) T é diagonalizável.
(d) {~v, ~u} é LI.
5. Qual dos seguintes conjuntos não é um subespaço:
(a) O conjunto de soluções de A~x = ~b, onde
~b 6= ~0.
(b) O núcleo de uma matriz real m× n.
(c) A imagem de uma matriz real m× n.
(d) O complemento ortogonal do espaço gerado por
um único vetor não nulo.
6. A reta que melhor ajusta os dados da tabela
x y
1 2
2 -3
5 8
,
no sentido dos mínimos quadrados é y = 2x− 3. Use
este fato para calcular a projeção ortogonal do vetor
(2,−3, 8) sobre 〈(1, 2, 5), (1, 1, 1)〉:
(a) (−1, 1, 7)
(b) (3,−4, 1)
(c) (−6, 8,−2)
(d) (2,−3)
7. Seja A uma matriz m× n qualquer. É falso afirmar
que:
(a) O núcleo de A é o complemento ortogonal
do espaço coluna de A.
(b) O núcleo de A é o complemento ortogonal do
espaço linha de A.
(c) O núcleo de AT é o complemento ortogonal do
espaço coluna de A.
(d) O núcleo de A é o complemento ortogonal da
imagem de AT .
8. Seja F = {(a, b, c, d, e) ∈ R5|a = d − 2b, b = 2e + a}.
Então, uma base para F será:
(a) {(2, 0, 0, 2,−1), (0, 2, 0, 4, 1), (0, 0, 1, 0, 0)}.
(b) {(0, 1, 0, 2, 1/2), (1,−2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}.
(c) {(1, 0, 0, 1,−1/2), (0, 1, 0, 2, 1/2)}.
(d) {(1,−2, 1), (0, 1, 0)}.
9. Quais são os autovalores e bases dos respectivos au-
toespaços da matriz T =

−45 −35 0 0−35 45 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
?
(a) λ1 = 1 e {[1,−3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e
λ2 = −1 e {[0, 0,−1, 1] , [3, 1, 0, 0]}
(b) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e
λ2 = −1 e {[3, 1,−1, 1]}
(c) λ1 = −1 e {[1, 3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e
λ2 = 1 e {[0, 0, 1, 1] , [3, 1, 0, 0]}
(d) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e
λ2 = 0 e {[3, 1,−1, 1]}
Gabarito Pág. 1
10. Sejam ~v1, ~v2, ~v3 e ~w vetores quaisquer de R3. Assinale
a alternativa falsa.
(a) 3 det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
= det
([
3~v1 3~v2 3~v3
])
(b) det
([
~v1 ~v2 + ~w ~v3
])
=
det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
+ det
([
~v1 ~w ~v3
])
(c) det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
= 0 se, e somente se,
{~v1, ~v2, ~v3} é LD.
(d) det
([
~v1 ~v2 + 2~v3 ~v3
])
= det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
11. Se V é um espaço vetorial com produto interno e H ⊂
V é um subespaço de dimensão 3, então todo conjunto
ortogonal de 3 vetores não nulos de H é uma base de
H.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
12. Se T : R2 → R2 é uma reflexão ortogonal em relação a
uma reta, então T possui dois autovetores linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
13. Se as colunas de An×n formam um conjunto orto-
normal, então det(A) = 0.
(a) A afirmativa é falsa.
(b) A afirmativa é verdadeira.
14. Seja A uma matriz quadrada. Se ~v pertence ao núcleo
de A e ~w pertence à imagem de A, então 〈~v, ~w〉 = 0.
(a) A afirmativa é falsa.
(b) A afirmativa é verdadeira.
15. Calcule det


2 −1 2 1
3 0 −3 −2
0 0 1 0
−7 0 −5 4

.
(a) -2
(b) 0
(c) 12
(d) 3
Gabarito Pág. 1
Gabarito dos 130 Testes Gerados
Teste 001: 1C 2B 3C 4A 5A 6A 7C 8A 9C 10A 11D 12B 13C 14B 15B
Teste 002: 1C 2D 3B 4D 5D 6A 7B 8C 9B 10B 11D 12B 13D 14A 15A
Teste 003: 1B 2A 3C 4C 5D 6D 7B 8C 9A 10A 11B 12A 13B 14A 15D
Teste 004: 1B 2A 3C 4A 5B 6B 7D 8B 9D 10A 11B 12D 13A 14A 15D
Teste 005: 1A 2C 3D 4D 5A 6A 7A 8B 9D 10B 11D 12B 13B 14A 15B
Teste 006: 1B 2A 3B 4A 5D 6C 7B 8B 9A 10A 11D 12B 13D 14D 15C
Teste 007: 1D 2D 3D 4C 5D 6B 7A 8B 9C 10B 11B 12A 13A 14A 15C
Teste 008: 1B 2B 3A 4B 5D 6A 7C 8A 9A 10C 11C 12D 13B 14B 15D
Teste 009: 1A 2D 3A 4B 5A 6D 7A 8B 9B 10D 11A 12B 13B 14A 15C
Teste 010: 1A 2C 3D 4C 5A 6C 7B 8B 9B 10C 11A 12B 13C 14B 15A
Teste 011: 1D 2C 3A 4A 5C 6D 7B 8D 9B 10D 11C 12C 13A 14A 15C
Teste 012: 1A 2A 3B 4C 5B 6B 7A 8A 9C 10B 11A 12B 13D 14C 15C
Teste 013: 1B 2B 3D 4A 5D 6B 7D 8C 9B 10A 11A 12A 13C 14D 15C
Teste 014: 1C 2A 3B 4A 5B 6B 7B 8A 9C 10D 11A 12B 13C 14A 15A
Teste 015: 1D 2B 3A 4A 5C 6B 7B 8D 9C 10B 11C 12B 13C 14A 15A
Teste 016: 1D 2A 3D 4B 5B 6B 7A 8C 9A 10A 11B 12A 13D 14B 15D
Teste 017: 1A 2D 3A 4B 5A 6D 7B 8D 9B 10A 11A 12C 13B 14B 15C
Teste 018: 1D 2A 3D 4A 5A 6B 7B 8B 9B 10B 11D 12D 13D 14C 15C
Teste 019: 1A 2D 3C 4A 5A 6A 7B 8B 9B 10D 11C 12B 13A 14D 15B
Teste 020: 1A 2B 3D 4A 5B 6B 7A 8B 9C 10B 11A 12C 13C 14D 15A
Teste 021: 1B 2C 3B 4A 5C 6A 7D 8B 9A 10C 11A 12A 13C 14B 15B
Teste 022: 1B 2A 3B 4C 5B 6B 7D 8A 9C 10A 11B 12A 13D 14A 15C
Teste 023: 1A 2A 3A 4D 5A 6B 7B 8B 9C 10C 11C 12D 13A 14B 15C
Teste 024: 1C 2C 3C 4C 5A 6B 7B 8A 9A 10D 11C 12D 13B 14B 15A
Teste 025: 1A 2D 3B 4D 5C 6B 7B 8A 9B 10B 11D 12D 13A 14A 15A
Teste 026: 1A 2B 3A 4A 5A 6A 7B 8B 9B 10C 11D 12B 13D 14C 15C
Teste 027: 1A 2A 3C 4C 5B 6B 7C 8B 9C 10A 11C 12D 13A 14B 15A
Teste 028: 1B 2D 3B 4B 5B 6C 7B 8A 9D 10A 11C 12A 13C 14A 15C
Teste 029: 1D 2B 3A 4D 5C 6A 7C 8D 9B 10D 11A 12C 13B 14D 15A
Teste 030: 1C 2D 3A 4B 5A 6A 7B 8C 9B 10B 11C 12D 13D 14A 15D
Teste 031: 1C 2D 3B 4D 5A 6B 7C 8D 9B 10C 11C 12B 13C 14A 15A
Teste 032: 1D 2D 3D 4C 5A 6B 7A 8D 9C 10A 11C 12A 13D 14A 15B
Teste 033: 1D 2A 3B 4C 5C 6B 7B 8C 9A 10B 11C 12C 13A 14B 15D
Teste 034: 1A 2B 3C 4C 5B 6B 7A 8B 9B 10A 11A 12D 13A 14C 15B
Teste 035: 1B 2A 3D 4B 5B 6B 7D 8A 9C 10B 11D 12A 13D 14A 15A
Teste 036: 1B 2B 3D 4A 5A 6D 7D 8B 9A 10A 11B 12A 13D 14B 15C
Teste 037: 1A 2B 3B 4A 5B 6C 7A 8D 9B 10A 11D 12A 13B 14D 15D
Teste 038: 1D 2D 3C 4A 5A 6A 7A 8C 9A 10B 11B 12C 13B 14A 15B
Teste 039: 1A 2A 3B 4B 5D 6A 7D 8A 9A 10C 11D 12C 13B 14B 15B
Teste 040: 1C 2A 3A 4B 5C 6B 7D 8D 9B 10A 11A 12A 13B 14B 15C
Teste 041: 1A 2B 3B 4D 5B 6C 7A 8D 9A 10B 11B 12A 13A 14D 15B
Teste 042: 1C 2B 3A 4B 5C 6A 7C 8A 9C 10B 11D 12B 13B 14D 15C
Teste 043: 1B 2A 3B 4B 5D 6B 7C 8B 9A 10A 11A 12D 13C 14D 15A
Teste 044: 1C 2A 3C 4A 5B 6D 7B 8C 9C 10D 11C 12A 13B 14A 15B
Teste 045: 1B 2C 3C 4B 5D 6A 7B 8A 9B 10B 11C 12D 13A 14C 15C
Teste 046: 1B 2D 3B 4D 5A 6C 7B 8A 9B 10D 11B 12A 13C 14C 15D
Teste 047: 1C 2D 3C 4A 5A 6D 7A 8A 9B 10A 11D 12D 13B 14B 15D
Teste 048: 1D 2C 3A 4C 5C 6B 7C 8D 9B 10D 11D 12B 13A 14D 15B
Teste 049: 1D 2B 3D 4B 5B 6B 7C 8D 9A 10C 11C 12B 13C 14C 15B
Teste 050: 1B 2C 3A 4A 5A 6B 7D 8C 9B 10A 11A 12B 13D 14B 15C
Teste 051: 1C 2A 3B 4B 5B 6B 7D 8C 9B 10A 11A 12A 13A 14C 15C
Teste 052: 1C 2C 3D 4B 5A 6A 7D 8B 9A 10B 11A 12B 13A 14C 15B
Teste 053: 1A 2B 3C 4D 5B 6D 7C 8B 9A 10D 11D 12B 13C 14A 15B
Teste 054: 1A 2B 3B 4A 5D 6A 7A 8D 9A 10B 11B 12B 13D 14C 15D
Teste 055: 1C 2A 3C 4A 5A 6B 7A 8B 9C 10D 11A 12C 13C 14D 15B
Teste 056: 1A 2B 3D 4D 5A 6B 7B 8A 9D 10D 11A 12B 13C 14D 15A
Gabarito Pág. 2
Teste 057: 1B 2A 3A 4A 5A 6B 7B 8C 9C 10B 11B 12D 13A 14D 15C
Teste 058: 1A 2A 3C 4B 5A 6A 7D 8C 9D 10A 11D 12C 13B 14C 15D
Teste 059: 1C 2B 3C 4B 5D 6A 7A 8A 9A 10D 11C 12A 13D 14D 15B
Teste 060: 1A 2B 3C 4A 5B 6A7C 8A 9A 10B 11B 12B 13C 14A 15B
Teste 061: 1D 2B 3C 4A 5A 6A 7C 8B 9A 10A 11D 12C 13D 14B 15D
Teste 062: 1C 2C 3B 4B 5B 6A 7B 8A 9C 10A 11D 12A 13B 14D 15D
Teste 063: 1A 2A 3C 4D 5A 6B 7A 8A 9B 10B 11B 12D 13B 14D 15C
Teste 064: 1A 2B 3D 4A 5D 6B 7B 8D 9B 10C 11B 12A 13C 14A 15A
Teste 065: 1A 2A 3A 4C 5B 6A 7A 8B 9B 10B 11C 12D 13B 14D 15D
Teste 066: 1C 2C 3A 4A 5D 6C 7A 8D 9D 10A 11C 12C 13A 14B 15B
Teste 067: 1B 2B 3C 4B 5B 6A 7A 8B 9C 10D 11D 12A 13D 14A 15A
Teste 068: 1C 2C 3D 4A 5C 6B 7D 8A 9B 10D 11A 12D 13B 14B 15B
Teste 069: 1B 2D 3B 4A 5A 6C 7A 8B 9A 10C 11B 12A 13B 14C 15C
Teste 070: 1A 2A 3A 4D 5B 6A 7C 8D 9A 10B 11B 12D 13B 14B 15C
Teste 071: 1D 2D 3D 4B 5B 6D 7B 8D 9C 10B 11C 12A 13A 14C 15A
Teste 072: 1A 2A 3B 4C 5A 6D 7C 8B 9A 10B 11C 12A 13A 14D 15B
Teste 073: 1B 2A 3A 4D 5B 6C 7A 8A 9B 10A 11B 12D 13B 14C 15D
Teste 074: 1D 2B 3D 4A 5C 6D 7C 8C 9B 10B 11A 12C 13A 14D 15B
Teste 075: 1D 2C 3D 4D 5B 6A 7C 8D 9B 10B 11B 12C 13C 14C 15A
Teste 076: 1B 2A 3B 4A 5C 6B 7D 8B 9B 10A 11A 12C 13C 14D 15C
Teste 077: 1A 2B 3B 4D 5C 6D 7B 8D 9C 10B 11B 12C 13A 14C 15A
Teste 078: 1D 2A 3B 4C 5B 6A 7B 8D 9B 10D 11D 12B 13A 14A 15A
Teste 079: 1C 2C 3B 4B 5D 6B 7B 8A 9B 10A 11A 12C 13A 14A 15C
Teste 080: 1D 2A 3B 4D 5D 6B 7B 8B 9D 10C 11C 12B 13C 14A 15A
Teste 081: 1A 2D 3D 4C 5A 6B 7D 8C 9D 10C 11D 12B 13A 14A 15C
Teste 082: 1D 2A 3D 4A 5B 6C 7A 8D 9D 10A 11B 12D 13C 14B 15A
Teste 083: 1D 2C 3A 4A 5D 6B 7D 8B 9D 10D 11C 12A 13B 14A 15C
Teste 084: 1A 2C 3A 4C 5B 6C 7D 8A 9A 10A 11B 12C 13B 14B 15D
Teste 085: 1C 2C 3B 4A 5B 6B 7A 8B 9A 10A 11D 12D 13B 14A 15C
Teste 086: 1B 2A 3C 4C 5A 6C 7B 8A 9B 10C 11A 12B 13C 14D 15B
Teste 087: 1B 2B 3B 4C 5D 6A 7C 8A 9A 10D 11B 12B 13A 14C 15D
Teste 088: 1A 2B 3B 4B 5C 6A 7A 8D 9C 10A 11A 12D 13C 14B 15B
Teste 089: 1A 2A 3C 4C 5B 6A 7A 8A 9C 10B 11D 12B 13B 14D 15B
Teste 090: 1A 2A 3A 4A 5C 6A 7B 8C 9D 10B 11B 12B 13B 14D 15A
Teste 091: 1A 2B 3A 4B 5D 6D 7A 8A 9D 10D 11D 12A 13C 14C 15B
Teste 092: 1C 2B 3A 4B 5A 6C 7B 8C 9B 10B 11A 12C 13A 14A 15C
Teste 093: 1C 2B 3B 4B 5B 6B 7A 8D 9D 10A 11A 12A 13C 14C 15D
Teste 094: 1C 2D 3A 4B 5A 6C 7C 8A 9A 10C 11B 12A 13D 14C 15B
Teste 095: 1B 2D 3A 4D 5B 6B 7C 8D 9B 10B 11A 12D 13A 14D 15A
Teste 096: 1A 2A 3A 4B 5B 6A 7D 8C 9C 10D 11B 12A 13B 14B 15C
Teste 097: 1B 2B 3A 4D 5A 6A 7A 8A 9B 10B 11C 12B 13C 14D 15C
Teste 098: 1B 2D 3B 4D 5D 6D 7A 8D 9B 10B 11B 12A 13A 14A 15C
Teste 099: 1D 2D 3A 4B 5B 6D 7A 8C 9A 10C 11D 12A 13A 14B 15B
Teste 100: 1D 2D 3A 4D 5B 6D 7B 8B 9C 10B 11A 12B 13A 14A 15D
Teste 101: 1B 2A 3A 4D 5A 6D 7B 8B 9B 10B 11A 12C 13D 14A 15D
Teste 102: 1D 2D 3A 4D 5A 6A 7A 8C 9B 10D 11A 12D 13B 14B 15B
Teste 103: 1C 2C 3C 4D 5D 6B 7B 8C 9B 10B 11C 12D 13A 14A 15A
Teste 104: 1B 2C 3A 4B 5A 6A 7A 8A 9C 10B 11D 12C 13D 14D 15D
Teste 105: 1A 2A 3C 4D 5D 6A 7A 8D 9A 10B 11C 12B 13B 14D 15C
Teste 106: 1D 2B 3A 4B 5A 6C 7B 8C 9B 10B 11A 12A 13D 14C 15C
Teste 107: 1A 2C 3A 4C 5B 6C 7D 8C 9D 10B 11C 12D 13B 14B 15B
Teste 108: 1A 2A 3C 4A 5C 6D 7A 8D 9A 10B 11B 12C 13B 14B 15D
Teste 109: 1A 2A 3B 4A 5C 6A 7D 8C 9C 10B 11A 12B 13C 14D 15D
Teste 110: 1A 2A 3B 4C 5A 6A 7A 8D 9C 10C 11B 12B 13B 14B 15D
Teste 111: 1C 2A 3B 4D 5B 6C 7C 8A 9B 10A 11C 12A 13B 14C 15A
Teste 112: 1A 2C 3B 4D 5D 6B 7A 8B 9B 10A 11C 12D 13D 14D 15A
Teste 113: 1B 2C 3D 4A 5B 6B 7D 8C 9A 10C 11A 12C 13D 14C 15D
Teste 114: 1B 2A 3D 4C 5B 6A 7D 8C 9A 10A 11B 12D 13A 14B 15C
Teste 115: 1A 2C 3A 4B 5D 6D 7A 8B 9D 10B 11D 12A 13B 14A 15D
Gabarito Pág. 3
Teste 116: 1C 2D 3B 4D 5C 6C 7B 8B 9A 10C 11C 12B 13B 14A 15C
Teste 117: 1C 2A 3A 4B 5A 6A 7A 8B 9B 10B 11B 12D 13D 14C 15C
Teste 118: 1B 2D 3D 4D 5B 6A 7B 8C 9C 10D 11B 12A 13A 14A 15A
Teste 119: 1A 2C 3C 4A 5A 6B 7B 8A 9B 10B 11D 12B 13C 14A 15D
Teste 120: 1B 2B 3B 4B 5C 6A 7B 8A 9C 10A 11A 12D 13A 14C 15C
Teste 121: 1B 2A 3A 4A 5C 6A 7B 8D 9C 10C 11D 12A 13B 14C 15D
Teste 122: 1B 2B 3B 4B 5A 6B 7A 8A 9A 10D 11D 12A 13A 14D 15D
Teste 123: 1B 2B 3C 4D 5C 6B 7C 8A 9C 10B 11D 12C 13A 14A 15D
Teste 124: 1C 2A 3D 4B 5A 6B 7A 8D 9B 10C 11D 12C 13B 14B 15A
Teste 125: 1C 2B 3C 4A 5D 6B 7D 8B 9A 10A 11C 12C 13D 14B 15C
Teste 126: 1C 2B 3D 4A 5B 6B 7B 8A 9B 10A 11D 12D 13D 14D 15B
Teste 127: 1D 2A 3C 4B 5A 6B 7A 8B 9C 10B 11A 12A 13B 14C 15B
Teste 128: 1A 2A 3D 4A 5D 6D 7A 8D 9A 10B 11D 12B 13C 14B 15B
Teste 129: 1A 2A 3C 4A 5B 6B 7D 8A 9D 10C 11C 12C 13C 14D 15B
Teste 130: 1B 2B 3A 4A 5C 6D 7B 8B 9B 10A 11A 12D 13A 14C 15D
Gabarito Pág. 4