P2CH-2013-12-13_Gabarito

Prévia do material em texto

UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mar-
cello, Mario, Milton, Monique e Paulo
Data: 13/12/2013
2a Chamada
1. Seja F = {
[
a b
c d
]
∈ R2×2| c = −b, d = c+ 4 a}
Qual a dimensão de F?
(a) 2
(b) 0
(c) 1
(d) 3
2. Sabendo-se que T (v − 2u) = (4, 3) e T (2w + v) =
(7, 2), então T (u+w) é igual a:
(a) 12 (3,−1)
(b) (−3, 1)
(c) (1,−3)
(d) 12 (−1, 3)
3. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3| 3 z − y + x = 0} e b =
([1, 1, 1]). A soma das coordenadas do vetor de S
mais próximo de b é
(a) 2411
(b) − 411
(c) 4611
(d) 1611
4. Se já sabemos que a matriz n×n A tem somente au-
tovalores reais, e não é diagonalizável, o que poderia
ser também suposto sobre A:
(a) A possui dois autovalores iguais
(b) A tem n autovalores distintos
(c) A possui n autoespaços linearmente independen-
tes
(d) A é simétrica
5. Seja T : R2 → R2 linear tal que (2,−1) é um vetor do
núcleo de T e (2,−2) é autovetor de T associado ao
autovalor 2. A primeira coluna da matriz de T com
relação à base canônica é:
(a) (−2, 2)T
(b) (−4, 4)T
(c) (−2,−4)T
(d) (2, 4)T
6. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(3, 8), (2, 5)} duas
bases de R2. A matriz de mudança da base α para a
base β é igual a:
(a)
[ −5 2
8 −3
]
(b)
[
3 2
8 5
]
(c)
[ −5 8
2 −3
]
(d)
[
3 8
2 5
]
7. A matrix A =
4/5 3/5 03/5 −4/5 0
0 0 1
 representa qual
transformação linear na base canônica?
(a) Uma reflexão através do plano x− 3y = 0
(b) Uma projeção no plano x− 3y = 0
(c) Uma reflexão através da reta gerada pelo vetor
(1,−3, 0)
(d) Uma projeção na reta gerada pelo vetor
(1,−3, 0)
8. A condição em a e b para que a equação 2 −1 22 1 1
0 4 a
 ~x =
 −20
b

tenha solução única é:
(a) a 6= −2
(b) a = −2, b = 4
(c) a = −2, b 6= 4
(d) a+ 4 = b
9. Queremos provar: "O teorema de Pitágoras vale
em qualquer espaço vetorial com produto interno".
Tomando-se dois vetores ortogonais entre si, {~v, ~u}, a
partir de qual dos argumentos se comprova essa pro-
posição?
I Argumento A: ||~v + ~u||2 =< v + u, v + u >= ...
II Argumento B: ||~v − ~u||2 =< v − u, v − u >= ...
(a) Qualquer um dos argumentos pode ser
parte da prova
(b) Somente o argumento A pode ser parte da prova
(c) Somente o argumento B pode ser parte da prova
(d) Nenhum dos argumentos é parte da prova
Gabarito Pág. 1
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Podemos
afirmar que:
(a) Todo conjunto com n + 1 vetores em V é
linearmente dependente
(b) Uma união de conjuntos de vetores linearmente
independentes com menos do que n vetores é
também linearmente independente
(c) Existe um conjunto gerador de V com n vetores
linearmente dependentes
(d) Existe um conjunto linearmente independente
com n vetores de V que não é um gerador
11. O conjunto β abaixo é uma base ortogonal de R5.
Use este fato para calcular a terceira coordenada do
vetor v = (2, 1, 13, 7,
√
2,
√
2) na base β.
β = { (1, 0, 0, 1, 1, 1), (1, 4, 4, 1, 1,−3),
(0,−1, 0, 0, 1,−1), (2, 1, 0,−5, 2, 1),
(−3, 1, 0, 0, 2, 1), (1, 4, 7, 1, 1,−3) }
(a) -1/3.
(b) -
√
3/3.
(c)
√
3/3.
(d) 1/3
12. Seja v=(1,2,4,5,6) a projeção ortogonal do vetor
u=(-1,0,-1,0,0) no subespaço W . Então a projeção
ortogonal de u no complemento ortogonal de W é:
(a) (-2,-2,-5,-5,-6)
(b) (0,2,3,5,6)
(c) (2,2,4,5,6)
(d) (0,-1,0,5,6)
13. Sejam A, B e C matrizes tais que C = AB. Consi-
dere as proposições:
I Se B é injetiva e A não é injetiva, C pode ser
injetiva.
II Se B é sobrejetiva e A não é sobrejetiva, C pode
ser sobrejetiva.
(a) A proposição I é verdadeira e proposição
II é falsa
(b) A proposição I é verdadeira e proposição II é
verdadeira
(c) Ambas as proposições I e II são verdadeiras
(d) Ambas as proposições I e II são falsas
14. Seja P2 o conjunto dos polinômios da forma p(t) =
a0 + a1t + a2t
2 e seja T : P2 → P2 dada por T (p) =
p+ p′. Então é FALSO afirmar que:
(a) T tem dois autovetores linearmente inde-
pendentes
(b) Todos os autovetores de T são múltiplos do
mesmo vetor
(c) T não é diagonalizável
(d) T tem um autovalor igual a 1
15. Suponha que T é uma transformação linear e λ1 e λ2
são autovalores de T . Se sabemos que ambos u e v são
autovetores associados a λ1, e que w é um autovetor
associado a λ2, então podemos afirmar que:
(a) Se w é uma combinação linear de u e v
então λ2=λ1
(b) u e v são linearmente dependentes
(c) u e v são linearmente independentes
(d) Se w não é combinação linear de u e v então
λ2 6= λ1
Gabarito Pág. 2
Gabarito dos 68 Testes Gerados
Teste 001: 1D 2D 3A 4C 5C 6C 7A 8D 9C 10B 11B 12C 13C 14D 15A
Teste 002: 1A 2C 3C 4C 5B 6D 7A 8A 9A 10D 11C 12B 13A 14B 15D
Teste 003: 1B 2D 3A 4C 5C 6B 7B 8A 9C 10B 11A 12D 13A 14D 15C
Teste 004: 1A 2C 3A 4C 5B 6A 7A 8C 9D 10D 11A 12B 13B 14C 15C
Teste 005: 1B 2D 3D 4B 5D 6B 7C 8C 9B 10D 11C 12A 13D 14B 15A
Teste 006: 1A 2D 3B 4B 5C 6D 7A 8C 9C 10C 11C 12B 13D 14A 15A
Teste 007: 1C 2D 3D 4C 5B 6B 7B 8C 9C 10C 11A 12A 13A 14D 15B
Teste 008: 1C 2A 3B 4D 5C 6C 7C 8A 9B 10B 11C 12D 13A 14D 15B
Teste 009: 1D 2B 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10A 11B 12B 13C 14A 15C
Teste 010: 1C 2B 3D 4C 5A 6B 7D 8B 9D 10B 11A 12D 13B 14D 15A
Teste 011: 1C 2A 3B 4D 5D 6C 7C 8C 9C 10A 11A 12B 13A 14D 15B
Teste 012: 1B 2D 3D 4C 5C 6A 7C 8D 9C 10C 11A 12D 13D 14A 15A
Teste 013: 1C 2D 3D 4C 5B 6A 7B 8B 9D 10B 11D 12B 13A 14A 15A
Teste 014: 1D 2A 3A 4C 5D 6D 7A 8D 9B 10C 11D 12C 13A 14A 15C
Teste 015: 1A 2C 3C 4B 5D 6C 7C 8B 9C 10D 11D 12A 13B 14A 15D
Teste 016: 1A 2B 3C 4B 5A 6D 7C 8D 9D 10C 11D 12C 13A 14C 15A
Teste 017: 1D 2B 3A 4A 5D 6A 7A 8A 9B 10B 11D 12C 13C 14D 15B
Teste 018: 1D 2A 3A 4D 5C 6C 7C 8D 9B 10D 11C 12D 13A 14B 15C
Teste 019: 1A 2B 3C 4C 5D 6D 7B 8A 9A 10A 11C 12D 13C 14B 15C
Teste 020: 1C 2B 3C 4C 5A 6C 7A 8C 9A 10B 11A 12B 13A 14B 15C
Teste 021: 1B 2A 3C 4A 5B 6B 7A 8C 9B 10A 11D 12A 13B 14C 15D
Teste 022: 1A 2D 3B 4A 5D 6C 7A 8C 9C 10B 11B 12D 13C 14A 15C
Teste 023: 1A 2B 3A 4C 5D 6A 7B 8C 9B 10C 11A 12C 13C 14B 15D
Teste 024: 1D 2D 3D 4D 5A 6A 7A 8A 9A 10C 11C 12B 13C 14D 15B
Teste 025: 1A 2B 3D 4C 5C 6B 7C 8B 9B 10D 11C 12A 13C 14A 15A
Teste 026: 1D 2A 3B 4D 5A 6B 7D 8B 9C 10A 11D 12A 13A 14B 15C
Teste 027: 1B 2C 3B 4C 5B 6D 7B 8B 9D 10A 11A 12D 13D 14C 15D
Teste 028: 1A 2B 3A 4C 5B 6A 7C 8B 9A 10B 11D 12D 13A 14B 15B
Teste 029: 1A 2B 3D 4A 5A 6C 7A 8D 9C 10C 11B 12D 13D 14D 15C
Teste 030: 1B 2D 3A 4C 5A 6C 7A 8A 9D 10B 11A 12C 13D 14B 15C
Teste 031: 1D 2D 3B 4C 5C 6A 7C 8A 9A 10B 11D 12C 13B 14A 15B
Teste 032: 1A 2B 3D 4D 5A 6D 7B 8B 9B 10B 11C 12D 13D 14C 15C
Teste 033: 1C 2B 3C 4C 5A 6C 7A 8D 9C 10B 11B 12B 13B 14A 15A
Teste 034: 1D 2A 3B 4B 5C 6C 7B 8D 9D 10A 11B 12A 13D 14B 15A
Teste 035: 1C 2A 3D 4A 5A 6A 7C 8D 9A 10C 11B 12B 13B 14B 15D
Teste 036: 1D 2B 3D 4D 5A 6D 7C 8C 9B 10C 11B 12C 13A 14A 15A
Teste 037: 1C 2A 3A 4B 5B 6C 7D 8B 9B 10A 11C 12D 13A 14D 15A
Teste 038: 1C 2A 3B 4A 5C 6C 7B 8D 9B 10D 11B 12A 13B 14A 15D
Teste 039: 1C 2B 3D 4B 5B 6C 7A 8A 9A 10A 11B 12C 13A 14C 15B
Teste 040: 1D 2C 3A 4B 5D 6A 7D 8D 9B 10D 11B 12A 13C 14C 15C
Teste 041: 1C 2D 3B 4A 5A 6D 7B 8A 9B 10A 11A 12B 13D 14C 15B
Teste 042: 1A 2D 3C 4C 5B 6A 7C 8C 9A 10B 11D 12D 13B 14D 15D
Teste 043: 1B 2C 3C 4C 5C 6B 7C 8A 9A 10D 11A 12D 13A 14B 15A
Teste 044: 1C 2C 3A 4B 5A 6D 7A 8A 9B 10C 11C 12A 13C 14B 15B
Teste 045: 1C 2B 3B 4A 5A 6A 7B 8C 9D 10A 11A 12D 13D 14B 15C
Teste 046: 1C 2B 3D 4B 5D 6B 7B 8C 9C 10C 11C 12A 13D 14D 15A
Teste 047: 1D 2B 3D 4A 5C 6C 7D 8C 9B 10D 11C 12B 13A 14A 15D
Teste 048: 1C 2C 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9B 10A 11B 12C 13B 14D 15A
Teste 049: 1C 2D 3B 4B 5C 6A 7D 8A 9B 10D 11A 12A 13A 14B 15C
Teste 050: 1B 2D 3B 4B 5A 6B 7B 8C 9D 10A 11C 12C 13C 14C 15D
Teste 051: 1D 2C 3C 4C 5A 6A 7C 8B 9D 10C 11A 12D 13A 14B 15B
Teste 052: 1B 2B 3B 4B 5A 6D 7A 8C 9D 10D 11C 12C 13D 14B 15A
Teste 053: 1C 2A 3D 4B 5A 6B 7B 8C 9A10A 11A 12C 13C 14B 15B
Teste 054: 1D 2C 3D 4B 5D 6B 7C 8B 9C 10C 11B 12A 13B 14D 15C
Teste 055: 1A 2A 3C 4D 5D 6B 7D 8C 9D 10A 11C 12A 13B 14B 15D
Teste 056: 1D 2C 3B 4B 5B 6C 7A 8B 9C 10B 11C 12C 13A 14A 15D
Gabarito Pág. 1
Teste 057: 1D 2A 3B 4A 5B 6A 7D 8B 9B 10C 11D 12D 13A 14A 15C
Teste 058: 1D 2D 3A 4C 5D 6C 7C 8D 9C 10D 11C 12A 13B 14B 15B
Teste 059: 1A 2A 3A 4A 5B 6D 7B 8B 9B 10A 11B 12C 13D 14C 15D
Teste 060: 1C 2D 3D 4A 5D 6B 7A 8B 9B 10A 11B 12A 13C 14A 15D
Teste 061: 1D 2A 3C 4A 5D 6B 7D 8C 9D 10D 11A 12C 13C 14A 15A
Teste 062: 1C 2A 3B 4C 5A 6B 7D 8D 9D 10B 11A 12D 13B 14D 15A
Teste 063: 1A 2A 3A 4A 5D 6A 7D 8C 9D 10B 11D 12B 13B 14D 15B
Teste 064: 1A 2B 3D 4C 5C 6B 7C 8D 9A 10C 11A 12B 13B 14B 15A
Teste 065: 1A 2C 3B 4B 5C 6C 7D 8A 9C 10C 11B 12B 13B 14D 15A
Teste 066: 1D 2D 3C 4B 5B 6A 7C 8D 9A 10A 11B 12C 13A 14B 15A
Teste 067: 1C 2C 3C 4D 5C 6B 7B 8D 9B 10B 11B 12D 13A 14A 15A
Teste 068: 1A 2C 3B 4D 5C 6A 7A 8C 9C 10A 11B 12B 13B 14B 15A
Gabarito Pág. 2