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Geometria Euclidiana(Guia de estudo)

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Questão 1/2 - Geometria Euclidiana
Considere a seguinte afirmação e sua representação: 
“Se uma reta r possui dois pontos distintos, A e B, num plano ββ, então r está contida nesse plano”. 
 
Fonte: Citação e imagem elaborada pelo autor desta questão.
Levando em consideração a dada afirmação e sua representação e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre hipótese e tese, assinale a alternativa que representa a separação correta da hipótese e da tese.
Nota: 50.0
	
	A
	Hipótese: reta r que possui dois pontos distintos, A e B, num plano ββ; Tese: r está contida nesse plano.
Você acertou!
Antes de iniciar a demonstração, é necessário separar a hipótese da tese. Na proposição “Se uma reta r possui dois pontos distintos, A e B, num plano ββ, então r está contida nesse plano”, temos:
Hipótese:  uma reta r possui dois pontos distintos, A e B, num plano ββ
Tese: r está contida nesse plano
Em muitos casos, a hipótese é precedida de “se” ou “quando” e a tese de “então”, facilitando a separação. Quando estas proposições estão escritas de maneira diferente o ideal é reescrevê-las, de modo que facilite a separação (livro-base, p. 24).
	
	B
	Tese: reta r que possui dois pontos distintos, A e B, num plano ß; Hipótese: r está contida nesse plano.
	
	C
	Hipótese: reta r; Tese: plano.
	
	D
	Tese: reta r; Hipótese: plano.
	
	E
	Hipótese: dois pontos distintos, A e B; Tese: reta r.
Questão 2/2 - Geometria Euclidiana
Considere o seguinte fragmento de texto: 
“A contribuição de Euclides para o conhecimento matemático inicia com duas definições fundamentais, a de reta e a de ponto. [...] A partir desses conceitos, realiza-se uma sistematização geométrica através de cinco axiomas ou postulados”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CRUZ, Donizete Gonçalves; SANTOS, Carlos Henrique. Algumas diferenças entre a Geometria Euclidiana e as Geometrias Não Euclidianas - Hiperbólica e Elíptica a serem abordados nas séries do Ensino Médio. Anais XEPREM. Encontro Paranaense de Educação Matemática. A Educação Matemática no Paraná 20 anos: avanços, desafios e perspectivas. 17 a 19 de set. de 2009. Disponível em http://www.unicentro.br/editora/anais/xeprem/CC/29.pdf. Acesso em 05 maio 2016. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre as ideias primitivas de ponto, reta e plano, relacione corretamente os elementos às suas respectivas características: 
Ponto
Reta
Plano
(  ) Ilimitada e sem espessura e são representadas por letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c, d, ...
( ) Conjunto infinito de pontos e sem limites em todas as direções. Sua representação é por letras minúsculas do alfabeto grego: α,β,δ,λ,φ,θ,ρ,ω...α,β,δ,λ,φ,θ,ρ,ω...
( ) É o que não tem partes. Sua representação é por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, D, E, ...
Agora, selecione a sequência correta:
Nota: 50.0
	
	A
	1 – 2 – 3
	
	B
	1 – 3 – 2
	
	C
	2 – 1 – 3 
	
	D
	2 – 3 – 1
Você acertou!
Ponto é o que não tem partes. A tradução desta ideia poderia ser aquilo cuja parte é nada ou algo que não possui dimensões ou aquilo para o qual é absurdo conceber partes. Representamos os pontos por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, D, E, ...
Reta é imaginada ilimitada e sem espessura e são representadas por letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c, d, ...
Plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos e sem limites em todas as direções. Os planos são representados por letras minúsculas do alfabeto grego:  α,β,δ,λ,φ,γ,θ,ρ,ω...α,β,δ,λ,φ,γ,θ,ρ,ω...(livro-base, p. 25-29).
	
	E
	3 – 1 – 2
“A aplicação da tecnologia GNSS RTN (Real Time Kinematic Global Navigation Satellite System) para medição predial direta é extremamente difícil e muitas vezes impossível. Em razão disso, a tecnologia de medição em tempo real é suportada por métodos indiretos de operação. Uma destas soluções é a utilização do método de interseção de retas”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: KRZYzEK, Robert.MATHEMATICAL analysis of the algorithms used in modernized methods of building measurements with rtn gnss technology. Bol. Ciênc. Geod. [online]. 2015, v. 21, n. 4, p. 848-866. <http://dx.doi.org//10.1590/S1982-21702015000400050>. Acesso em 10 mar. 2017. 
Com base no excerto de texto lido e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre plano, retas e segmentos, é correto afirmar que a interseção de retas ocorre quando:
	
	A
	há uma única reta.
	
	B
	duas ou mais retas são paralelas.
	
	C
	há pontos pertencentes a uma reta.
	
	D
	duas ou mais retas têm um ponto em comum.
	
	E
	não há pontos em comum nas retas dadas.
Questão 2/2 - Geometria Euclidiana
Considere o fragmento de texto a seguir.
“O objetivo deste estudo foi verificar o estresse e a resistência ao deslocamento, pela análise de elementos finitos, de diferentes tipos de fixação em cirurgia ortognática mandibular. [...] Foram verificados os valores da tensão nas placas e parafusos. A resistência ao deslocamento foi verificada no segmento proximal, uma vez que o segmento distal era estável”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STRINGHINI, Diego José et al. Resistance and Stress finite element analysis of different types of fixation for mandibular orthognathic surgery. Braz. Dent. J. [online]. 2016, vol. 27, n. 3, p. 284-291. <http://dx.doi.org/10.1590/0103-6440201600336>. <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-64402016000300284&lang=pt>. Acesso em 10 mar. 2017.
Com base no dado fragmento de texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre plano, retas e segmentos, pode-se definir segmento de reta como:
	
	A
	uma reta que contém infinitos pontos.
	
	B
	um conjunto constituído por dois pontos, que são os extremos do segmento, e por todos os pontos que se encontram entre estes dois.
	
	C
	um conjunto constituído por dois pontos.
	
	D
	a extremidade de uma reta.
	
	E
	um conjunto constituído por três pontos.
“Os polígonos são identificados pelo número de lados ou ângulos que possuem. Cada segmento de reta que forma o polígono é chamado de lado ou aresta e o encontro de dois lados do polígono é denominado vértice”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Coleção Mathemoteca: Materiais manipulativos para o ensino de figuras planas. Anos iniciais do ensino fundamental regular. v. 4, São Paulo: Saraiva, 2012, p. 32. 
Com base no fragmento de texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre segmentos, analise as afirmativas:
I. O triângulo é formado por três pontos que não pertencem a uma mesma reta, unidos por três segmentos determinados por estes três pontos.
II. Os segmentos são denominados vértices do triângulo e os pontos são os seus lados.
III. O paralelogramo é composto por quatro segmentos determinados por quatro pontos.
IV. Os quatro pontos do paralelogramo são dispostos em duas retas, sendo cada dupla de pontos pertencentes a uma mesma reta.
São corretas apenas as afirmativas:
 
	
	A
	I, II e III
	
	B
	I, III e IV
	
	C
	I e III
	
	D
	II e IV
	
	E
	I e II
Questão 2/2 - Geometria Euclidiana
Atente para trecho de texto e figura a seguir: 
“Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos P, tais que A-B-P é chamado de semirreta de origem A, que contém o ponto B”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COSTA, D. M. V. et al. Elementos de Geometria: Geometria plana e espacial. 3. Ed. Curitiba: UFPR, 2012. <www.exatas.ufpr.br/portal/docs_degraf/elementos.pdf>. Acesso em: 17 nov. 2016. 
Com base no trecho e figura apresentados e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre semirretas, é certo afirmar quea notação correta para a semirreta apresentada é:
	
	A
	SSAB
	
	B
	SPA
	
	C
	SPB
	
	D
	SBP
	
	E
	SBA
“Dados dois pontos distintos A e B, sempre existem: um ponto C entre A e B e um ponto D, tal que B está entre A e D”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LYRA, Marcelo. Gp Plano de aula 01. <http://www.academia.edu/8615669/Gp_-_plano_de_aula_01>. Acesso em 10 abr. 2017.
Com base na afirmação apresentada e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre retas e semirretas, é correto afirmar que uma consequência da dada afirmação é que:
	
	A
	Há apenas um ponto entre cada dois pontos de uma reta. Também é fato que uma semirreta AB contém somente os pontos contidos no segmento AB.
	
	B
	Entre cada dois pontos de uma reta há apenas um ponto. Também é fato que uma semirreta AB contém uma infinidade de pontos além daqueles contidos no segmento AB.
	
	C
	Existe uma infinidade de pontos entre quaisquer dois pontos de uma reta. Também é fato que uma semirreta AB contém somente os pontos contidos no segmento AB.
	
	D
	Entre quaisquer dois pontos de uma reta existe uma infinidade de pontos. Também é fato que uma semirreta AB contém uma infinidade de pontos além daqueles contidos no segmento AB.
	
	E
	Há dois pontos entre cada dois pontos de uma reta. Também é fato que uma semirreta AB contém somente os pontos contidos no segmento AB.
 
Questão 2/2 - Geometria Euclidiana
Considere o fragmento de texto a seguir. 
“Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro, plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. Chama-se Linha de Terra - LT (ou xy) a interseção dos dois planos.    
     
Os ângulos diedros são ângulos formados por duas faces planas. Portanto os dois planos de projeção formam quatro ângulos diedros retos I, II, III e IV.
O 1° diedro é formado pelos semiplanos Superior Vertical (S.V.) e Anterior Horizontal (A.H.), denotado pelo número romano I.
O 2° diedro é formado pelos semiplanos: Superior Vertical (S.V.) e Posterior Horizontal (P.H.), denotado pelo número romano II.
O 3° diedro é formado pelos semiplanos: Inferior Vertical (I.V.) e Posterior Horizontal (P.H.), denotado pelo número romano III.
O 4° diedro é formado pelos semiplanos: Inferior Vertical (I.V.) e Anterior Horizontal (A.H.), denotado pelo número romano IV”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BARISON, Maria Bernadete. Geometria Descritiva: Método do Monge. <http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_3t.php>. Acesso em 10 mar. 2017.
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre planos e semiplanos, pode-se afirmar que uma reta r determina:
	
	A
	quatro semiplanos distintos, cuja interseção é a reta r.
	
	B
	dois ou três semiplanos distintos, cuja interseção é a reta r.
	
	C
	dois semiplanos distintos, e somente dois, cuja interseção é a reta r.
	
	D
	um único semiplano, sem interseções.
	
	E
	quatro semiplanos distintos, e somente quatro, sem interseções.
 
“A origem da palavra régua é francesa (règle) e significa “lei ou regra”. Trata-se de um instrumento cuja primeira ideia que nos impõe é a do traçado reto e de medida. A régua é um instrumento utilizado em geometria para traçar segmentos de reta e medir pequenas distâncias. A ferramenta também é utilizada em técnicas de impressão e desenho”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Régua online em tamanho real: Sobre a régua. <http://www.reguaonline.com/sobre-a-regua.html>. Acesso em 10 mar. 2017. 
Considerando o dado trecho de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Eucliana sobre os instrumentos de medida, assinale a alternativa que representa outros instrumentos utilizados para medir comprimentos:
	
	A
	trena de fita, trena digital, fita métrica, paquímetro, micrômetro.
	
	B
	galvanômetro, voltímetro, amperímetro.
	
	C
	ampulheta, clepsidra, relógio.
	
	D
	balança mecânica, eletrônica e yoctobalança.
	
	E
	termômetro, pirômetro. 
Questão 2/2 - Geometria Euclidiana
Considere o fragmento de texto a seguir: 
“A principal característica da concepção de fração como medida, é a utilização repetida da fração 1/b para determinar uma distância. Normalmente, solicita-se a medida da distância entre dois pontos e utiliza-se a representação visual de uma reta numérica ou de uma régua”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GARCIA, Vera Clotilde. Sistemas Numéricos: medida de segmentos. UFRGS. <http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/racionais-web/racionais_diferentes_concepcoes_medida_segmento.htm>. Acesso em 11 mar. 2017.
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Eucliana sobre medição de segmentos, qual é a medida de um segmento AB, sabendo que o A é igual a 7, e B é igual a 3?
	
	A
	2
	
	B
	3
	
	C
	4
	
	D
	5
	
	E
	10
Considere a seguinte afirmativa: 
“Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. [...] A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: PORTAL MATEMÁTICA. Retas. <http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas.php>. Acesso em 11 mar. 2017. 
Considerando a afirmativa apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Eucliana sobre medição de segmentos, é correto afirmar que:
	
	A
	A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero. Esse número é zero se, e somente se, os pontos são coincidentes.
	
	B
	A todo par de pontos do plano corresponde um número igual a zero.
	
	C
	A todo par de pontos do plano corresponde um número maior que zero.
	
	D
	A todo par de pontos do plano corresponde um número menor ou igual a zero. Este número é zero se, e somente se, os pontos são coincidentes.
	
	E
	A todo par de pontos do plano corresponde um número menor que zero.
 
Questão 2/2 - Geometria Euclidiana
Considere a seguinte afirmativa: 
“A correspondência biunívoca resume-se numa operação de ‘fazer corresponder’. Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: PORTAL MATEMÁTICA. História das letras. <http://www.somatematica.com.br/numeros.php>. Acesso em 11 mar. 2017. 
Considerando a afirmativa apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Eucliana sobre medição de segmentos e correspondência biunívoca, analise as assertivas que seguem e marque V para as asserções verdadeiras, e F para as asserções falsas:
I. ( ) Os pontos de uma reta sempre podem ser colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de maneira que a diferença entre esses números resulte na distância entre os pontos correspondentes.
II. ( ) Os pontos de uma reta não podem ser colocados em correspondência biunívoca com os números reais, afinal, a diferença entre esses números não resulta na distância entre os pontos correspondentes.
III. (  ) O número correspondente a um ponto da reta é a coordenada desse ponto.
IV. ( ) O número correspondente a um ponto da reta é a ordenada desse ponto.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
	
	A
	V – F – V – V
	
	B
	F – V – V – F
	
	C
	V – F – F – V
	
	D
	F – V – F – V
	
	E
	V – F – V – F
“CÍRCULO – vem do Latim circulus, ‘pequeno anel’, diminutivo de circus, ‘arena redonda’, do Grego kyklos, ‘redondo, circular’, do IndoEuropeusker, ‘dobrar, curvar’”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ORIGEM da palavra. Geometria. . Acesso em 22 mar. 2017. 
De acordo com a citação apresentada e os conteúdos do livrobase Geometria Euclidiana sobre círculos, assinale a alternativa correta: 
A- Raio pode ser definido como qualquer segmento do círculo que une dois pontos. 
B- Diâmet r o pode ser definido como qualquer segmento que une três pontos colineares do círculo. 
C- Uma reta é tangente ao círculo se, e somente se, for perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência. X
D- Qualquer reta que passa pelo centro do círculo é tangente a ele. 
E- O raio de um círculo e sempre maior que o seu diâmetro.
Analise os triângulos que seguem:
 Fonte: Imagem elaborada pelo autor desta questão. Considerando as imagens apresentadas e os conteúdos do livrobase Geometria Euclidiana sobre triângulos congruentes, é correto dizer que os dois triângulos são congruentes pelo caso: 
A ALA (ângulo lado ângulo) 
B LAL (lado ângulo lado) X
C LLL (lado lado lado) 
D AAA (ângulo ângulo ângulo) 
E LAA (lado ângulo ângulo
“As retas paralelas e as retas transversais e seus ângulos constituem ferramentas com as quais poderemos estudar os ângulos de um triângulo. [...] Num plano, duas retas são paralelas se, e somente se, elas são coincidentes ou não têm nenhum ponto comum”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GONÇALVES JUNIOR, Oscar. Matemática por assunto: Geometria plana e espacial. MG: Scipione, 1988, p. 52. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livrobase Geometria Euclidiana sobre triângulos e retas paralelas, analise as afirmativas a seguir: 
( ) Se duas retas distintas r e s são perpendiculares a uma terceira, então elas não se interceptam.
( ) Se as retas r e s se interceptam, formase um triângulo comdois ângulos retos. 
 ( ) Se duas retas distintas não se interceptam, então elas são paralelas. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
B --V – F – V
Considere as seguintes definições:
“Inscrição - Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e, nesse caso, dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono. Circunscrição - Um polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BRASIL. MEC-SEED / MCT. Geometria: Inscrição e circunscrição. <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/21665/saibamais.html>. Acesso em 22 mar. 2017. 
De acordo com as definições apresentadas e com os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre círculos e polígonos, analise as afirmativas a seguir:
I.  O circuncentro é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo.
II. As mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se em um mesmo ponto, chamado de incentro do triângulo.
III. Um quadrilátero convexo pode ser inscrito em um círculo se, e somente se, possuir um par de ângulos opostos suplementares.
IV. Todo triângulo pode ser inscrito em um círculo.
São corretas apenas as afirmativas:
	
	A
	I e II
	
	B
	II e III
	
	C
	III e IV
	
	D
	I, III e IV
	
	E
	II, III e IV
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é também lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro). 
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se e somente se, não têm pontos internos comuns."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, V. 9. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993, p. 21. 
Considerando o fragmento de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre ângulos internos e externos do triângulo, assinale a alternativa correta.
	
	A
	Todo ângulo interno de um triângulo mede mais que qualquer um dos ângulos externos não adjacentes a ele.
	
	B
	Todo ângulo externo de um triângulo mede o dobro dos ângulos internos não adjacentes a ele.
	
	C
	Todo ângulo externo de um triângulo mede mais que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes a ele.
	
	D
	Todo ângulo externo de um triângulo mede metade dos ângulos internos não adjacentes a ele.
	
	E
	Todo ângulo externo de um triângulo mede um terço dos ângulos internos não adjacentes a ele.
 
Observe a ilustração a seguir:
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COUCEIRO, Karen C.U.S. Geometria euclidiana. Curitiba: InterSaberes, 2016. p. 149.
Levando em consideração os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, assinale a alternativa que representa o teorema demonstrado por meio da dada ilustração.
	
	A
	Teorema das paralelas
	
	B
	Teorema de Tales
	
	C
	Teorema de Pitágoras
	
	D
	Teorema das perpendiculares
	
	E
	Teorema da proporcionalidade
Questão 1/12 - Geometria Euclidiana Obetiva
Observe as figuras a seguir:
 
 
Fonte: Figuras elaboradas pelo autor desta questão.
Considerando o ângulo agudo como interno, a imagem apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre ângulos, assinale a alternativa que define corretamente os ângulos αα e ββ:
Nota: 10.0
	
	A
	O ângulo αα representa uma região angular externa, e o ângulo ββ representa uma região angular interna.
Você acertou!
“Podemos medir ângulos na região angular externa ou interna. A figura 2.4 mostra um exemplo de região angular externa que mede 315º e uma região angular interna que mede 45º” (livro-base, p. 60).
 
Figura 2.4: Regiões angulares
 
	
	B
	O ângulo αα representa uma região angular interna, e o ângulo ββ representa uma região angular externa.
	
	C
	Os ângulos αα e ββ representam regiões angulares internas
	
	D
	Os ângulos αα e ββ representam regiões angulares externas.
	
	E
	Os ângulos αα e ββ não representam regiões angulares.
Questão 2/12 - Geometria Euclidiana
Considere a figura a seguir:
 
 
Fonte: Figura elaborada pelo autor desta questão. 
Considerando a figura apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre ângulos, pode-se afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	α>βα>β
	
	B
	α<βα<β
	
	C
	α=βα=β
Você acertou!
“A interseção de duas retas distintas, resulta na formação de quatro ângulos [figura 2.15]. Os ângulos AÔB e DÔC são opostos pelo vértice. O mesmo ocorre com os ângulos AÔD e BÔC.
 
Figura 2.15: Ângulos opostos pelo vértice
 
2.3.4 Proposição: Os ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida” (livro-base, p. 66, 67).
	
	D
	α=2βα=2β
	
	E
	α=β2α=β2
Questão 3/12 - Geometria Euclidiana
Analise o triângulo apresentado:
 
 
 
Fonte: Imagem elaborada pelo autor desta questão.
  
Considerando o triângulo apresentado, onde  ¯¯¯¯¯¯¯¯AB=¯¯¯¯¯¯¯¯ACAB¯=AC¯ , e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, é correto afirmar que:
Nota: 0.0
	
	A
	 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ADAD¯ é a bissetriz relativamente à base ¯¯¯¯¯¯¯¯BCBC¯ , mas não corresponde à sua mediana e altura.
	
	B
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯ADAD¯ é a altura relativamente à base ¯¯¯¯¯¯¯¯BCBC¯ , mas não corresponde à sua mediana e bissetriz.
	
	C
	 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ADAD¯ é a mediana e a altura relativamente à base ¯¯¯¯¯¯¯¯BCBC¯, mas não corresponde à sua bissetriz.
	
	D
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯ADAD¯ é a mediana relativamente à base ¯¯¯¯¯¯¯¯BCBC¯, mas não corresponde à sua altura e bissetriz.
	
	E
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯ADAD¯  é a mediana, a altura e a bissetriz relativamente à base ¯¯¯¯¯¯¯¯BCBC¯.
Em um triângulo isósceles, a mediana relativamente à base é também a bissetriz e a mediana (livro-base, p. 75).
Questão 4/12 - Geometria Euclidiana
Considere a seguinte figura: 
 Fonte:Imagem elaborada pelo autor desta questão. 
Tendo em vista a figura apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre ângulos internos e externos do triângulo, é correto afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	Os ângulos B^AC, A^CBBA^C, AC^B   e A^BCAB^C são ângulos externos desse triângulo e o ângulo B^CDBC^D  é um dos seus ângulos internos.
	
	B
	Os ângulos  B^AC, A^CBBA^C, AC^B e A^BCAB^C são ângulos internos desse triângulo e o ângulo  B^CDBC^D  é um dos seus ângulos externos.
Você acertou!
“Dado um triângulo ABC, os ângulos B^AC, B^CA e A^BCBA^C, BC^A e AB^C são chamados de ângulos internos do triângulo, e os suplementos desses ângulos recebem o nome de ângulos externos do triângulo” (livro-base, p. 86).
	
	C
	Os ângulos  B^AC e A^BCBA^C e AB^C   são ângulos internos desse triângulo e os ângulos B^CD e A^CBBC^D e AC^B  são seus ângulos externos.
	
	D
	Os ângulos  B^ACBA^C  e  A^CBAC^B são ângulos internos desse triângulo e os ângulos são B^CDBC^D  e A^BCAB^C  seus ângulos externos.
	
	E
	Os ângulos B^AC e A^BCBA^C e AB^C  são ângulos externos desse triângulo e os ângulos  B^CD e A^CBBC^D e AC^B  são seus ângulos internos.
Questão 5/12 - Geometria Euclidiana
Considere a figura que segue:
Fonte: Figura elaborada pelo autor desta questão.
 
Considerando a dada figura, onde BÔD=43,2°BÔD=43,2° e AÔB=86,74°AÔB=86,74°, e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre ângulos, é correto afirmar que o ângulo AÔDAÔD mede:
 
Nota: 10.0
	
	A
	43,2°
	
	B
	86,74°
	
	C
	93,26°
	
	D
	129,94°
Você acertou!
Conforme axioma XI: se uma semirreta SOC divide um ângulo AÔB, então:  AÔB=AÔC+CÔB.AÔB=AÔC+CÔB.   Neste exercício, AÔD=AÔB+BÔD=86,74°+43,2°=129,94°AÔD=AÔB+BÔD=86,74°+43,2°=129,94°  (livro-base, p. 64,65).
	
	E
	136,8°
Questão 6/12 - Geometria Euclidiana
Observe trecho de texto que segue: 
“Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°). [...]
O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.  [...] Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais)”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-trigonometria.htm>. Acesso em 19 abr. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre o teorema de Pitágoras, qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 2m cada?
Nota: 10.0
	
	A
	2
	
	B
	2√22
Você acertou!
Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Assim, chamando a hipotenusa de a, temos:
a2=22+22a2=4+4a=√8=2√2a2=22+22a2=4+4a=8=22
	
	C
	2√323
	
	D
	4
	
	E
	8√282
Questão 7/12 - Geometria Euclidiana
Atente para a seguinte citação:
“O estudo da área de um triângulo pode ser usado para diversas coisas, sendo o mais importante e mais simples polígono. Suas aplicações envolvem a segurança de estruturas em construções civis. Por exemplo, muitos telhados são construídos em forma triangular devido à segurança apresentada”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ESTUDO PRÁTICO. Área do triângulo.<http://www.estudopratico.com.br/area-do-triangulo-definicao-formulas-e-exemplos/>. Acesso em 18 mar. 2017. 
Considerando a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos isósceles, é correto afirmar que um triângulo isósceles é definido pela seguinte assertiva:
Nota: 10.0
	
	A
	Para ser isósceles, um triângulo tem que possuir um dos lados congruentes. Os dois lados não congruentes são chamados laterais e o terceiro lado é chamado base.
	
	B
	Triângulo isósceles possui um dos lados congruentes, sendo que os dois lados não congruentes são chamados bases e o terceiro lado é chamado lateral.
	
	C
	Se um triângulo possui os três lados congruentes, então ele é dito isósceles, mas não equilátero.
	
	D
	Se um triângulo possui dois lados congruentes, então ele é dito isósceles. Os dois lados congruentes são chamados laterais e o terceiro lado é chamado base.
Você acertou!
Se um triângulo possui dois lados congruentes, então ele é dito isósceles. Os dois lados congruentes são chamados laterais e o terceiro lado é chamado base (livro-base, p. 73).
	
	E
	Um triângulo é dito isósceles quando possuir dois lados congruentes, os quais são chamados de bases e o terceiro lado é chamado de lateral.
Questão 8/12 - Geometria Euclidiana
Leia a seguinte citação: 
“O que é o número ππ? A maneira mais rápida de responder a essa pergunta é dizer que ππ é a área de um círculo de raio 1. (Por exemplo, se o raio do círculo mede 1 cm, sua área mede π cm2π cm2). Podemos também dizer que ππ é o comprimento de uma circunferência de diâmetro igual a 1”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, Elon Lages. O que é o número p? <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>. Acesso em 14 mar. 2017. 
Tendo em vista a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana, assinale a alternativa correta em relação à circunferência, círculo e conceitos a eles relacionados.
Nota: 10.0
	
	A
	O número ππ é maior sempre que as circunferências têm comprimentos e diâmetros maiores.
	
	B
	O comprimento de qualquer circunferência é igual ao dobro do diâmetro.
	
	C
	O diâmetro é uma corda corresponde ao quadrado do raio.
	
	D
	O valor de ππ tem um número limitado de casas decimais.
	
	E
	O comprimento de uma circunferência de raio rr pode ser expresso por C=2π.rC=2π.r .
Você acertou!
No raciocínio apresentado para obter o número ππ temos que o comprimento de uma circunferência é C=2π.rC=2π.r  . Para obter  ππ dividimos o comprimento pelo diâmetro ou seja, o comprimento é igual ao produto de  ππ pelo dobro do raio. (livro-base p.186)
Questão 9/12 - Geometria Euclidiana
Leia a citação a seguir. 
“Em uma das paisagens marcianas fotografadas pelo robô Curiosity é possível ver uma rocha, em meio a tantas outras, com uma característica não natural. A rocha nitidamente parece estar com cortes em ângulos retos, cortes estes provavelmente feitos por algum tipo de máquina, o que evidentemente indica que houve ou ainda há vida inteligente no planeta vermelho. A NASA definitivamente não tem como censurar todas as fotos, são milhares de fotos e com detalhes difíceis de perceber”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: PIRAMIDAL.NET. Rocha nitidamente com corte em ângulo reto é fotografada em Marte. <https://piramidal.net/2013/05/23/rocha-nitidamente-com-corte-em-angulo-reto-e-fotografada-em-marte/>. Acesso em 17 mar. 2017. 
Com base na citação apresentada e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre ângulos retos, é correto afirmar que ângulo reto é um ângulo cuja medida é:
Nota: 10.0
	
	A
	45°
	
	B
	80°
	
	C
	90°
Você acertou!
Ângulo reto é um ângulo cuja medida é 90º (livro-base, p. 67).
	
	D
	180°
	
	E
	360°
Questão 10/12 - Geometria Euclidiana
Considere a citação a seguir: 
“A noção de altura da edificação está associada à noção de ‘invólucro da edificação’, isto é, ao volume total definido pelos paramentos exteriores do edifício, incluindo a cobertura. É este ‘invólucro da edificação’ que interessa definir nos instrumentos de planeamento territorial, dado que é ele que estabelece a quantidade de construção que é realizada ou pode ser realizada numa dada porçãodo território”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://www.engenhariacivil.com/dicionario/altura-da-edificacao>. Acesso em 22 mar. 2017. 
Considerando a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, qual deve ser a altura mínima de uma escada a ser encostada no topo de um prédio que possui 30m de altura, sabendo que o pé da escada deve distar 8,5m da base do prédio?
Nota: 10.0
	
	A
	980 m
	
	B
	972,25 m
	
	C
	72,25 m
	
	D
	48,5 m
	
	E
	31,18 m
Você acertou!
Conforme o livro-base (p. 146-152), podemos visualizar a situação com a seguinte representação:
Como o prédio forma um ângulo reto com o chão, visualizamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o comprimento mínimo da escada e os catetos são a altura do prédio (30m) e a distância entre o prédio e o pé da escada (8,5m). Aplicando o teorema de Pitágoras podemos encontrar a terceira medida (x):
x2=302+8,52x2=900+72,25x2=972,25x=√972,25x≅31,18mx2=302+8,52x2=900+72,25x2=972,25x=972,25x≅31,18m
Questão 11/12 - Geometria Euclidiana (questão opcional)
Considere o trecho de texto que segue:
 “Em qualquer triângulo ABC, temos as três desigualdades: AB < AC + BC , AC < AB + BC e BC < AB + AC. A ideia por trás dessas desigualdades é que, em qualquer triângulo, nenhum lado pode ser maior que a soma dos outros dois lados”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAGAS, Emiliano Augusto. Desigualdade triangular. <http://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/desigualdade_triangular-1.pdf>. Acesso em 19 abr. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre desigualdade triangular, é possível construir um triângulo com as seguintes medidas:
Nota: 10.0
	
	A
	15, 20 e 37
	
	B
	8, 9 e 10
Você acertou!
Observe que 8+9= 17 > 10   e, conforme vimos, “em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer é sempre maior que o comprimento do terceiro lado” (livro-base, p. 95).
	
	C
	12, 15 e 30
	
	D
	6, 12 e 24
	
	E
	5, 5 e 15
Questão 12/12 - Geometria Euclidiana (questão opcional)
Observe a figura a seguir:
 
 
Fonte: Imagem elaborada pelo autor desta questão.
Considerando a imagem apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre medida de ângulos, assinale a alternativa que define corretamente os ângulos αα e ββ :
Nota: 10.0
	
	A
	αα é um ângulo nulo e ββ é um ângulo raso.
	
	B
	αα é um ângulo raso e ββ é um ângulo nulo.
Você acertou!
“Quando os lados do ângulo são formados por duas semirretas opostas, este ângulo é denominado ângulo raso. Se os lados do ângulo forem formados por duas semirretas coincidentes, ele é denominado ângulo nulo” (livro-base, p.59).
 
Figura 2.3 Ângulo raso e ângulo nulo (livro-base, p.59).
	
	C
	αα e ββ são ângulos nulos.
	
	D
	αα e ββ são ângulos rasos.
	
	E
	αα e ββ são ângulos retos.
Questão 1/3 - Geometria Euclidiana Discursiva
Observe a figura a seguir:
 
Fonte: Figura elaborada pelo autor desta questão. 
Com base na imagem apresentada e nos conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, demonstre a seguinte proposição:
Se um triângulo ABC tem dois ângulos congruentes, então esse triângulo é isósceles. 
	Demonstração. Seja ABC um triângulo em que ^B=^CB^=C^. Queremos provar que AB = AC. Faremos uma comparação do triângulo ABC com ele mesmo, de modo que os vértices possuam a seguinte correspondência:
A⟷A,B⟷C e C⟷BA⟷A,B⟷C e C⟷B.
 
Pode-se observar nas figuras que BC = CB, ^B=^C, ^C=^B.B^=C^, C^=B^.  Pelo segundo caso de congruência de triângulos (ALA: ângulo-lado-ângulo), segue-se que esta correspondência é uma congruência. Assim, AB = AC (livro-base, p. 73,74).
Resposta: 
	
Questão 2/3 - Geometria Euclidiana
Considere a passagem de texto a seguir: 
“Para que possamos realizar uma medida de uma grandeza física de forma correta precisamos: 1. Escolher o instrumento adequado para a medida; 2. Aprender o procedimento de utilização do instrumento escolhido; 3. Aprender a ler a escala de medida desse instrumento e avaliar o resultado criticamente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/484402/mod_resource/content/6/Ap%C3%AAndice%201%20-%20Instrumentos%20de%20medidas>. Acesso em 23 mar. 2017. 
Considerando a passagem de texto apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre medidas de segmentos, apresente ao menos uma situação favorável ao uso dos seguintes instrumentos: régua, fita métrica, e micrômetro.
Nota: 33.3
	O aluno deve identificar que o uso favorável da régua é na medição de segmentos entre 0 a 30cm, como nas atividades escolares. A fita métrica é utilizada para segmentos entre 0 e 100cm e há a possibilidade da flexibilidade, como pela utilização das costureiras. Já um micrômetro mede segmentos pequenos e favorece a precisão na leitura de decimais. A ilustração de cada um destes instrumentos está contida no livro-base (p. 42,43).
Resposta: 
	
Questão 3/3 - Geometria Euclidiana
Leia o excerto de texto que segue:
 “Em qualquer triângulo ABC, temos as três desigualdades: AB < AC + BC , AC < AB + BC e BC < AB + AC. A ideia por trás dessas desigualdades é que em qualquer triângulo, nenhum lado pode ser maior que a soma dos outros dois lados”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAGAS, Emiliano Augusto. Desigualdade triangular. <http://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/desigualdade_triangular-1.pdf>. Acesso em 24 mar. 2017.
Considerando do excerto de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre desigualdade triangular, responda:
É possível construir um triângulo com os lados 7cm, 15cm e 23cm? Justifique sua resposta.
Nota: 33.3
	Não, pois a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer deve ser maior que o comprimento do terceiro lado, e, no exemplo dado, 7+15 = 22, mas 22 < 23. A desigualdade triangular fornece a única restrição para a construção de triângulos com comprimentos de lados determinados (livro-base, p. 96,97).
Resposta:

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