BANCO DE DADOS CALCULO II (TODAS AS RESPOSTAS EM ORDEM ALFABÉTICA)

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Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que
O ponto (1,0) e 
ponto de Mínimo 
local.
A derivada de segunda ordem, mista, da função f(x;y) = 2x2 + x2y é: fxy = 2x
A derivada direcional permite calcular a taxa de variação do vetor gradiente de f (
∇
f) e o versor u. Encontre a 
derivada direcional da função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxz em P(1,0,12) na direção do vetor v=i+2j+2k.
2
A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 As funções que satisfazem à equação de Laplace são 
ditas funções harmônicas. Considere as funções: 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 3) 
f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas:
1,3,4
A função vetorial abaixo representa uma reta cujo vetor direção possui coordenadas: r(t)= (2+2t) i +(1-3t) j+(-1+t)k
v= ( Raiz14/7; -
3Raiz14/14; 
raiz14/14)
A função vetorial abaixo representa uma reta que passa pelo ponto r(t)= (2+2t)i+(1-3t)j+(-1+t)k (2, 1, -1)
A função z = x5 + y4 - 5x - 32y - 3 terá um ponto de sela em (-1;2)
Aplique o teorema de Green para calcular a integral 
∮
C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, 
x + y =1 e y = 0
0
Aplique o teorema de Green para calcular a integral 
∮
C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx -2
Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial: V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k 
divV→=ex-
ey+2zseny 
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são: F(t) = (-2+t²;3+4t²)
v = (4; 16)
As coordenadas do vetor tangente à função f(x), para t pertencente ao intervalo ]0;+oo[ em t0=2 são: 
 (4; -1)
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t
∈
[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 2π2
Calcular a integral de linha ∫C (x-y+z-2)ds onde C é o segmento de reta do ponto P(0,1,1) até o ponto Q(1,0,1). -2 
Calcular o operador divergente aplicado ao campo vetorial V(X,Y,Z)=(xcosy)i+(xyz)j+(exz2)k no ponto (0,π4,22). 322
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz. 1
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 7e
-7
Calcule a área entre y=2-x2 e y=0 no 1° Quadrante 05//3
Calcule a derivada de 2ª Ordem D
2
f/dxdy da função f(x,y) = (y/2)e
2x
+xln(2y) e2x+(2/y)
Calcule a derivada parcial da função w=3x+6y-z no ponto P0(ln2,ln3,ln5).
wx(ln2,ln3,ln5)=3; 
wy(ln2,ln3,ln5)=6; 
wz(ln2,ln3,ln5)=-1
Calcule a integral de linha ∫C (xy+2y-z)ds ao longo da curva r(t)=2ti+tj+(2-2t)k sendo 0≤t≤1. 2
Calcule a integral da função vetorial: [∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 3π4+1
Calcule a integral de linha da seguinte função, f(x,y) =2> que percorre o caminho representado pela vetor R(t) = 3> no 
intervalo de t em [0,1].
 5/6
Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 
2 π.
2π2
Calcule a integral de linha 
∮
c (x
2
 ydx (x-2y)dy, onde a curva "c" é o segmento da parábola y = x
2
 de 
(0,0) a (1,1)
.-2/15.
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = ∫ ∫ (xy + x2)dxdy, onde R = [0.1] x [0,1]. 7/12 (u.v.)
Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 14
calcule a única resposta correta para ∫C(x -y + z-2)ds onde C é o segmento de reta x=t; y = 1 - te z = 1de (0, 1, 1)a (1, 0, 
1), 0≤t≤1
-2
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. (-sent, cost,1)
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2)... Considere a resposta em t=π4 (-22,22,π2)
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0)... Correta (1-cost,sent,0)
Calcule a velocidade de uma partícula... r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. (2t,et,(1+t)et)
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, ... Correto (0,-1,2)
Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x2 + y3).senx.
fx = 2x.senx + (x
2
 + 
y
3
).cosx e fy = 
3y
2
.senx
Calcule as derivadas parciais da função z=3xey no ponto P0(1,ln2). ∂z∂x=6; ∂z∂y=6.
Calcule e indique a única resposta correta para a integral I=∫02∫0π2xsenydydx. 2
Calcule e marque a única resposta correta para as derivadas parciais de f(x,y,z)=x3yz2+x+2y+4.
fx=3x2yz2+1; fy=
x3z2+2; fz=2x3yz
.
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente 
∇
f da função f(x,y,z)=e-x + e-y + e-z em P0(1,1,1).
∇
f=<-1e,-1e,-1e>
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1)
∇
f=<-e,-e,-e>
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2).
∇
f=<22,22,22>
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2).
∇
f=<8,8,8>
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=-e-x-e-y-e-z no ponto P0(1,1,1).
∇
f=<1e,1e,1e>
Calcule o limite de: lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 11
Calcule o versor tangente T(0),se: r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk. T(0)=<35,45>
Calcule o vetor gradiente da função f(x,y,z) = 2 ex + 2ey + 2ez no ponto A = (1, 1, 1)
 (2e)i + (2e)j + 
(2e)k
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
 
r'(t)=v(t)=12i - j
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 16
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função 
de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
0 e 0
Considerando a função f(x,y)=20x2.y2.senx , simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de f(x,y) 
em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx e fy são, nesta ordem:
fx(x,y) = 
40x.y
2
.senx + 
20x
2
y
2
.cosx e 
fy(x,y) = 
40x
2
y.senx
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
I e II
Considerando que a equação define y como uma função diferenciável de x, use a Diferenciação Implícita para encontrar o valor de 
dydx no ponto dado. x3 - 2y2 + xy = 0, (1,1).
 4/3
Considere a função f(x,y)= y.lnx + x.ey ... Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F): 
1) (V) 2) (V) 3) 
(F) 4) (V) 5) (F)
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função 
F(x,y,z).
6*x*y^(3) + 5*y^(2) 
+ 4*z^(3) +
Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t
∈
[0,2π]. Calcule ∫c fds.
2.(2π+8π33)
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 Uma partícula A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. situada em B(0,-1,0) B deve 
tomar.
(0, -2, 0)
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) .Outra partícula B situada em B(0,-1,0) A 
deve tomar.
(-4, -6, -10)
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). Seja z=sen(xy)+xseny . Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; 
x=u2 +v2 e y=u.v.
2
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis 18
Dada a equação da trajetória r(t)=t2+1i+t-1j , a posição da partícula no instante t=2 é (5;1)
Dada a equação da velocidade v(t)=(sent)i+t2j, o vetor aceleração no instante t=0 tem módulo: 1
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
1x+1y+1z 
+3cos(y+2z)
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x
 3x2.sen(x) + (x3 + 
y3).cos(x)
De acordo com o gráfico abaixo marque a alter q indica volume do sólido limitado pelo plano x+y+z=3 no primeiro quadrante 9/2 u.v
Descrevaa curva definida pela função vetorial: r(t) = 
〈
1+t,2+5t,-1+6t
〉
x=1+t ; y=2+5t, z
=-1+6t
Determine 37,33 π
Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). z=-8x+12y -14 
Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 1
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 2π
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). .-7/2.
Determine a integral dupla em coordenada polar de 0 ≤ θ ≤ π2 ;
0 ≤ r ≤ 2senθ e f(r,θ) = cosθ
 1/2
Determine a Intregral c yds ao longo da curva C. Y=2Raiz de x ... XE [3,8] 25,33
Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao
vetor v = i + j + k.
x=3+t; y=-4+t; z=-
1+t
Determine a única resposta correta para: (a) a derivada de r(t) =(1+t3)i+ te-tj+sen2tk ------ (b) o versor 
tangente T em t=0.
(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-
tj + 2cos2tk 
(b) T(0)=15j + 25k
Determine as derivadas de primeira ordem da função: f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
fx = 2xy - 3y
2
 , 
fy = x
2
 - 6xy + 2z, 
 fz = 2y
Determine e indique a única resposta correta para fx,fy,fz, se f(x,y,z)=exylnz.
fx=yexylnz; 
fy=xexylnz; 
fz=exyz
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = x
2
 + 3y
2
, paralela ao eixo x, no ponto 
P = (3;2).
6
Determine o plano tangente à superfície esférica x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). x+6y+3z=22
Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. (12)i -(12)j+(22)k
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k r2(t)=(7t 
- t²)i+(6t - 5)j+t²k
aeronaves colidem 
no instante t=5 
("C")
Elimine o parâmetro tpara encontrar... x=3t-5 e y=2t+1 y=(23)x+133
Encontrando Derivadas. Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
(cost - tsent)i + 
(sent + tcost)j + k
Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. . 92u.a.
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 9/2
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0
1/t
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 cos t
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 33
Encontre a diferencial total da função z= e^(x^2+ y^2 ) (senx)^2 das três variáveis x, y e z.
dz= e^(x^2+ y^2 
)(2xsen^2 
zdx+2ysen^2 
zdy+sen2zdx)
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 3y = x² r =3 tg θ . sec θ
Encontre a integral 
∬
dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): ½ ua
Encontre dwdt se: w = x.y + z, x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0?
2
Encontre o lim┬(t→3)
⁡〖
(3t^2 i-(2e^2t-1)j-cos
⁡
(tπ)k)
〗
27i - (2e^6 - 1)j + 
k
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1.. r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 2j
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
v(t)=-
2sen(2t)i+2cos(2t
)j
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 8π2
Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 
e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒
〖
(3 ¿x ¿ y)dydx .
〗
 
1
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 - 7 E 13
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k (-sen t)i + (cos t)j
Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o reta C (0,0,0) ao pon (1,1,1) passa prime por (1,1,0). Dado a paramet r(t) = ti + tj + 
tk, 0 ≤ t ≤ 1.
0
Marque apenas a alternativa correta:
Foram feitas 
medidas do raio 
da base e da 
altura de um cone
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r
2
 = 4r cosΘ (x - 2)2 + y2 = 4
Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx π2
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está:
Limitado pela 
circunferência do 
círculo de raio 
igual a 5, com 
centro em (0, 0).
O limite de uma função vetorial r(t). Assim, de acordo com o teorema acima, limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k i + j + k
O limite de uma função vetorial r(t)... Torema acima.. limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k k
O limite de uma função vetorial r(t)...teorema acima.. Correta...limt→0 r(t)= (1+t3)i+te-tj+(sentt)k i + k
O valor da integral é: 12π
O valor da integral dupla é: (π/2)(e-1)
O vetor de posição ... r(t) = t3 i + t2 j 6ti+2j
O vetor de posição de um... velocidade t = 1. 3t
2 
i
 
+ 2t j
Quais dos campos abaixo são conservativos? 1. F=yzi+xzj+xyk, 2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k, 3. F=yi+(x+z)j-yk, 4. F=-
yi+xj, 5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
campos 1, 2 e 6
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
(cost - tsent)i + 
(sent + tcost)j + k
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio... Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C 
é a hélice circular dada por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. .
423
Sabendo que uma partícula se move ao v = (2t; -4t; 1) e que a sua posição no instante t=0 era (1;1;0), q posição 
em qualquer t maior que zero.
s (t) = (t^2 +1; 1 - 
2t^2; t)
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
21u.c.
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é:
2sent i - 
cost j + t2 k + 
C
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é:
2sent i - cost j + 
t
2 
k + C
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é 2i + j + π24k
Seja f(x,y) = (xy)1/3 . Calcule as derivadas parciais de f nos pontos (x,y) tais que xy ≠ 0.
fx = \( { 1\over 
3}\)(xy)-2/3.y e fy 
=\( { 1\over 3}\)(xy)-
2/3.x 
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂x
2sen(x - 3y)cos(x - 
3y)
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂y
-6sen(x - 3y)cos(x - 
3y)
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
∂f∂x=1 , ∂f∂y=-
yy2+z2 e ∂f∂z=-
zy2+z2
Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por: 12(e-1)
Seja f(x,y)=2x+6y uma função de multivariáveis continua e diferenciável, e as funções x(t) e y(t) também 
continuas e diferenciáveis. Sabendo que dx/dt=2 e dy/dt=6. Então, a derivada total de f(x,y) é:
40
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função [1 , 4] , y alo [1 , 2] e z varia no 
intervalo [1 , 2].
35/4
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função [1 , 3] , y alo [2 , 5] e z varia no intervalo 
[3 , 4].
203 * ( 3*x^(1/2) - 
1 ) / 24
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral F(x,y,z) sobre a curva C r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia 
no intervalo [0 , 1]
 2 * (14)^(1/2)
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral F(x,y,z) sobre a curva C r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no 
intervalo [0 , 1]
4 * (14)^(1/2)
Seja Ψ (x,y,z) = sen x + 2xy + zy, calcule o laplaciano de Ψ - sen(x) + 6
Seja ∫((cost)i + 3t
2
)j dt, (sent)i + t³j
Seja ∫((cost)i + (4t
3
)j) dt, (sent)i + t4j
Seja r(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k ..1)( )Quando, 2)( )A velocidade, 3)( )O módulo, 4)( )A aceleração, 5)( )O vetor, 6)( )r(t) 
1)(V) 2)(V) 3) (V) 
4)(V) 5) (V) 6) (F)
Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preços unitários são R$ 250,00 e R$ 550,00, respectivamente. A receita 
obtida em um mês pela venda de 300 unidades do primeiro produto e 100 unidades do segundo produto será de:
R$ 130.000,00
Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preços unitários são R$ 250,00 e R$ 550,00, respectivamente. O lucro obtido em 
um mês pela venda de 300 unidades do primeiro produto e 100 unidades do segundo produto, considerando que para a produção e venda 
desses produtos os respectivos custos unitários são de R$ 100,00 e 150,00, será de:
85.000,00
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (-6 sen 6t, 6 
cos 6t)
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma... P(1,0,1). 1
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 0
Simbolizamos por fxy à derivada parcial de segunda ordem mista da função f(x,y). Assim, para f(x,y) = sen x + 2.cos y, fxy 
será
0
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
9((rcos(θ))2+16r2
=400
Supondo que r(t)é o vetor ... I) O vetor velocidade, II) A aceleração, III) O versor v(t)|v(t), IV) A velocidade de uma , 
correto?
I,III e IV 
Suponha que a temperatura em um ponto P0(x,y,z) do espaço seja dada por T(x,y,z)=801+x2+2y2+3z2, onde T é medida em graus 
Celsius e x,y,z em metros. Calcule o vetor gradiente 
∇
T no ponto P0(1,1,-2).
∇
T(1,1,-2)=58(-i - 2j 
+ 6k)
Um competidor em sua asa-delta... r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k... Intervalo de.. [0, 4Pi].. t = 0. 3
Um objeto de massa m...dado por r(t) = acoswt i + asenwt j...Observação: a > 0.
-
 awsenwt i + awc
oswtj
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a 
força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
 60PI
Uma montanha tem seu relêvo dado pela função h(x,y)= 2x2-3y3, onde h é dado em metros lineares por metro de altura. A taxa de 
variação na direção negativa de Y, partido de um ponto P (1,1) é (em m):
3
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-
2,1].
8(u.v.)
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = 
e
(x+2y) 
dxdy, para os intervalos R= [0,1]x[0,3].
1/2(e-1)(e6-1)
Usando o Teorema de Green calcular 
∮
C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 12
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e 
abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2).
 64*Pi(2-SQRT(2))/3; 
onde Pi = 3,14