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Apostila de estatística

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SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA
histórico
A Matemática é considerada “a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da linguagem”. Originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário, empírico. A Estatística, ramo da Matemática Aplicada teve origem semelhante. 
	Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam eqüitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de “Estatística”. 
	Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos.
	No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramente científica. Gottfried Achenwall 
batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências.
O estadista Disraeli (inglês) afirmou: “há três tipos de mentiras: mentiras, mentiras descabeladas e estatísticas”.
A mesma substância pode ser veneno ou remédio: depende do uso que se faça dela. Utilizada com propriedade, a Estatística auxilia o pesquisador a ir, mais longe do que seus olhos alcançam. Uma amostra bem colhida possibilita conhecer a intimidade do universo que a gerou.
considerações iniciais
	Atualmente, o público leigo (leitor de jornais e revistas) posiciona-se em dois extremos divergentes e igualmente errôneos quanto à validade das conclusões estatísticas: ou crê em sua infalibilidade ou afirma que elas nada provam. Os que assim pensam ignoram os objetivos, o campo e o rigor do método estatístico: ignoram a Estatística, quer teórica quer prática, ou a conhecem muito superficialmente.
	Na era da energia nuclear, da automação, do computador, da internet, da informação, etc., os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para a organização dos negócios e recursos do mundo moderno. 
A estatística tem basicamente duas finalidades: descrever os fenômenos e suas características e fazer predições sobre as ocorrências futuras de certo fenômeno em condições semelhantes aquelas em que ele ocorreu no passado. Tais avaliações, feitas com base num conjunto de dados representativos do fenômeno em estudo, estarão sempre sujeitas a certo nível de incerteza, variável conforme o grau de regularidade do fenômeno. No processamento dos dados, seja para descrever o fenômeno em estudo ou predizer propriedades, comportamento futuro, podem ser necessários conhecimentos, informações, técnicas ou teorias desenvolvidas por outras ciências, razão pela qual o estatístico muitas vezes tem de ser orientado por especialistas na área em estudo, tanto na coleta quanto na análise dos dados e interpretação dos resultados.
Portanto podemos definir a estatística como ramo da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões; ou ainda como conjunto de procedimentos obtidos para reunir, organizar, interpretar um conjunto de dados numéricos para tirar conclusões ou fazer previsões a respeito de determinado fato. As representações podem ser feitas de várias formas, como tabelas, gráficos,...
	A aplicação prática da estatística, nas mais diversas áreas de conhecimento humano comprova sua utilidade, destacadamente nos ramos onde a experimentação é de fundamental importância como, por exemplo, na medicina, na engenharia, no controle de qualidade,... Entre as áreas de trabalho, basta citar os mapas e relatórios de venda, produção, crescimento e desempenho, de larga utilização na indústria e o comércio, os quais retratam a posição dos dados em determinados instantes e as respectivas projeções para o futuro.
	Outro ponto bastante importante em termos de aplicação estatística refere-se ao modelo matemático aplicável ao fenômeno em estudo. Em termos gerais vale dizer que o modelo ideal é aquele que considera o maior número possível de variáveis significativas do fenômeno. O grande inconveniente desse modelo é que ele nem sempre é operacionalmente viável. Mas esta é uma restrição “contornável” pela habilidade matemática do estatístico ou da equipe encarregada do estudo e pelo nível de sofisticação do equipamento disponível para o processamento das informações. O que pode ser impossível de ser executado por um solitário aluno em sala de aula, utilizando uma calculadora manual, pode ser elementar para um centro de pesquisa governamental, ligado a uma grande universidade e equipado com computadores de última geração. Em síntese, a dificuldade apresentada pelo modelo matemático é simplesmente relativa. Devemos primeiro buscar a qualidade, as dificuldades devem ser enfrentadas com criatividade e utilizando ao máximo os recursos disponíveis. Aqui, vale uma recomendação: use sempre, em primeiro lugar, a inteligência.
	O planejamento de qualquer trabalho deve sempre visar algum problema ou objetivo previamente definido. Uma vez estabelecido o alvo, deve-se tentar imaginar quais são os procedimentos e quais as informações necessárias para se atingir a meta visada ou a solução do problema proposto. Quanto às informações, deve-se identificar aonde, como e quando poderão ser obtidas. O grupo em estudo também deve ser analisado, observando-se seus limites, as características individuais dos seus elementos e as condições em que serão efetuados os levantamentos dos dados. Deve-se prever o universo da pesquisa, o detalhamento do tempo de sua execução (passo a passo) e a precisão necessária dos dados coletados.
	As empresas de qualquer tipo, privadas, estatais, ou governamentais, são as vigas-mestras da Economia dos povos, seus diretores exigem de seus administradores a importante tarefa de tomar decisões e, o conhecimento e o uso da estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. 
Através de sondagem, por meio de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou longo prazo.
A Estatística ajudará na seleção e organização da estratégia a ser adotada no empreendimento, ou ainda na escolha das técnicas de verificação da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possíveis lucros e ou perdas.
UNIDADE I
1 – Arredondamento
O arredondamento de um número à unidade mais próxima (casas decimais) reduz seus dígitos significativos ao número de dígitos significativos garantido pelo cálculo realizado. Quando o resto a ser arredondado for “exatamente 5”, a convenção é fazer o arredondamento para o par mais próximo. Esta prática faz com que, ao longo das operações, as diminuições e acréscimos devidos aos arredondamentos tentam a se compensar.
Exemplos:
18,758 (arredondar ao centésimo mais próximo ou 2 casas decimais) = 18,76
18,758 (arredondar ao décimo mais próximo 1 casa decimal) = 18,8
18,758 (arredondar a unidade mais próximo ou número inteiro) = 19
89,1750 (arredondar ao centésimo mais próximo ou 2 casas decimais) = 89,18
	Arredonde
	Para o valor + próximo
	resultado
	88,287
	2 casas decimais
	
	78,283
	2 casas decimais
	
	98,245
	2 casas decimais
	
	48,255
	2 casas decimais
	
	169,97
	1 casa decimal
	
	169,97
	Inteiro
	
	44,2450000001
	2 casas decimais
	
	6,95
	1 casa decimal
	
	6,85
	1 casa decimal
	
	35,386
	2 casas decimais
	
	38,345
	2 casas decimais
	
	77,5001
	1 casa decimal
	
	385,93
	Inteiro
	
	385,53
	1 casa decimal
	
	149,3
	Inteiro
	
	254,5500001
	1 casa decimal254,6500001
	1 casa decimal
	
	99,27
	1 casa decimal
	
	99,27
	Inteiro
	
	288,549
	2 casas decimais
	
	288,549
	1 casa decimal
	
	325,455
	Inteiro
	
	325,455
	2 casas decimais
	
	325,455
	1 casa decimal
	
	83,5
	Inteiro
	
	84,5
	Inteiro
	
	82,5
	2 casas decimais
	
	33,366
	2 casas decimais
	
	102,68
	2 casas decimais
	
	157,558
	Inteiro
	
	1587,3658
	2 casas decimais
	
	5798,45487
	1 casa decimal
	
	387,326
	Inteiro
	
	258,8901
	2 casas decimais
	
UNIDADE II – (UNIDADE DE APOIO)
2 - A Estatística pode ser dividida em três ramos:
Estatística Descritiva – se preocupa com a coleta, organização e descrição dos dados. Utiliza-se de números para descrever fatos e simplifica informações. Tem por finalidade tornar as coisas fáceis de entender, de relatar e de discutir. Os dados coletados são resumidos e organizados em tabelas ou mostrados em gráficos. Evidentemente, ao resumir os dados através do uso da estatística descritiva muitas informações irão necessariamente se perder.
Exemplos: Taxa de Inflação, Taxa de Acidentes de Trânsito, Custo de Vida, Índice de Aprovação, Taxa de Desemprego, etc.
–	Estatística Indutiva ou Inferência Estatística – é aquela que se preocupa com a interpretação e análise de dados amostrais para tirar conclusões (Tomar Decisões). A partir de ocorrências observadas nas repetições passadas de um determinado fenômeno, pode-se concluir ou predizer a evolução do mesmo ao longo do tempo.
–	Teoria das Probabilidades – é útil para analisar situações que ocorrem ao acaso. Exemplos: acertar na Mega-Sena, jogo de dados e cartas, a decisão de um fabricante de empreender uma grande campanha visando aumentar sua participação no mercado, a decisão de parar de imunizar pessoas com menos de vinte anos contra determinada doença, etc.
estatística descritiva
Neste curso estudaremos a Estatística Descritiva, e para tanto serão necessários alguns conceitos que são de suma importância para o desenvolvimento da disciplina, são eles:
–	População ou Universo – é o conjunto composto de todos os elementos (ou observações) (pessoas ou objetos) do grupo de estudo, com pelo menos uma característica comum. A população pode ser:
Finita – é a que contém um número finito de elementos.
Infinita – é a que contém um número infinito de elementos. Pode ser enumerável ou não-enumerável.
–	Amostra – é um subconjunto da população (necessariamente finito) escolhida através de critérios estatísticos, através da qual se fazem juízo ou inferência (conclusões).
– Censo – Processo de levantamento que estuda a população inteira.
– Amostragem – Processo de estudo que usa uma amostra da população.
–	Variável – São os aspectos que estão sendo considerados na pesquisa. Em estatística, a característica de interesse poderá ser qualitativa ou quantitativa. Temos, portanto, variáveis qualitativas ou variáveis quantitativas.
Variável Qualitativa - quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos. 
Variável Qualitativa Nominal – é aquela onde os elementos são alocados em categorias que não possuem ordem entre si. Ex: Sexo (masculino, feminino), estado de origem (PR, SC, SP, etc.).
Variável Qualitativa Ordinal – é aquela onde os elementos são alocados em categorias (postos) que são ordenadas entre si. Ex: Nível de Instrução (Ensino Fundamental Completo, Ensino Médio Completo, Ensino Superior Completo, Pós-Graduação), Classe Social (alta, média, baixa).
Exemplos:
População: Moradores de Florianópolis.
Variável: Cor dos Olhos (azuis, verdes, castanhos, pretos,...) [Qualitativa Nominal].
População: Peças produzidas por uma máquina.
Variável: Qualidade (perfeita, ou defeituosa) [Qualitativa Nominal].
População: Candidatos ao exame de classificação da UFSC.
 Variável: Sexo (Masculino, ou Feminino) [Qualitativa Nominal].
População: Professores.
Variável: Nível de Instrução (Graduação, Mestrado, Doutorado) [Qualitativa Ordinal].
Variáveis Quantitativas - Quando os resultados das observações forem expressos através de valores numéricos, temos então, que podem ser discretas ou contínuas.
Variável Quantitativa Discreta – Variável enumerável; em um intervalo assume um número finito de valores. Normalmente a variável discreta resulta de contagem, razão pela qual, seus valores são expressos através de números inteiros não-negativos.
Variável Quantitativa Contínua – É aquela que, em um intervalo qualquer, pode variar infinitamente. São grandezas mensuráveis, como, por exemplo, peso, altura,...
Exemplos:
População: Casais residentes em Florianópolis.
Variável: Número de filhos [discreta].
População: Alunos da FESSC.
Variável: Altura dos alunos [contínua].
População: Peças produzidas por uma máquina.
Variável: Diâmetro externo [contínua].
– 	Atributo – É uma qualidade da variável.
–	Aleatório – Ocorre ao acaso. O mesmo que randômico impossível de prever, estocástico,...
– 	Determinístico – O oposto de aleatório.
 	Dados Brutos – São os dados obtidos na amostragem (ou censo), e que ainda não foram numericamente organizados.
– 	Rol – é toda seqüência de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é, cada termo a partir do segundo é maior ou igual (menor ou igual) ao seu antecessor. 
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Nos estudos estatísticos, na maioria das vezes, por impossibilidade econômica ou temporal, limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população, denominada amostra. Para que as conclusões sejam confiáveis é necessário que a amostra seja representativa da população, isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da população, portanto devemos ter muito cuidado na escolha da amostra para minimizar os erros que poderiam induzir á conclusões erradas. 
Exemplo: Para conhecer a estatura média da mulher brasileira, adotam-se os critérios a seguir na escolha:
Escolhem-se aleatoriamente mulheres adultas (logicamente as crianças ou adolescentes ainda não estão com a altura definida e ocasionaria um erro);
Escolhem-se aleatoriamente mulheres em todas as regiões do Brasil (sabidamente no nordeste as pessoas têm, em geral, menor estatura que no resto do país);
As quantidades de mulheres devem ser proporcionais às quantidades de mulheres das várias regiões;
Em cada região, escolhem-se mulheres de todas as classes sociais;
As quantidades de mulheres em cada região devem ser proporcionais às quantidades de mulheres nas várias classes sociais.
Tais critérios procuram tornar a tendência da amostra o mais próxima possível da tendência da população. É muito complexo o problema de como selecionar a amostra de uma população, de modo a se poder tirar conclusões válidas sobre ela. 
as três principais técnicas de amostragem
Amostragem Casual ou Aleatória Simples – Esse tipo de amostragem é equivalente a um sorteio aleatório. Nesse tipo de amostragem é necessário que os elementos da população sejam numerados. Quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. A fim de facilitá-lo, foi elaborada uma tabela – Tabela de Números Aleatórios (TNA) - construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa necessidade. Os números assim obtidos irão indicar os elementos da amostra.
Amostragem Proporcional Estratificada – Muitas vezes a população se divide em subpopulações – estratos. Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. Quando empregamos a Amostragem Proporcional Estratificada, que, além de considerar a existência de estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos.
AmostragemSistemática – Quando os elementos da amostra já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. Exemplos: linha de produção, prédio de uma rua, prontuários de um hospital, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema feito pelo pesquisador. Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o tamanho da amostra em 10% da população.
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EXERCÍCIOS SOBRE TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Considerando a população abaixo, extraia uma amostra aleatória simples de n = 10 funcionários. Use a segunda linha da tabela de números aleatórios.
	1 Aristóteles 
	8 Anastácia
	15 Arnaldo 
	21 Bartolomeu 
	27 Bernardino 
	2 Cardoso 
	9 Carlito 
	16 Cláudio 
	22 Emílio 
	28 Ercílio 
	3 Ernestino
	10 Edevaldo 
	17 Francisco
	23 Felício 
	29 Fabrício 
	4 Geraldo 
	11 Gabriel 
	18 Getúlio 
	24 Hiraldo 
	30 João da Silva 
	5 Joana 
	12 Joaquim
	19 Joaquina 
	25 José da Silva
	31 José de Souza 
	6 Josefa
	13 Josefina
	20 Maria José 
	26 Maria Cristina 
	32 Mauro 
	7 Paula 
	14 Paulo 
	
	
	
2. Suponha que o tempo de serviço destes funcionários, em anos completos, são os seguintes valores:
	Aristóteles 2
	Anastácia 5
	Arnaldo 2
	Bartolomeu 1
	Bernardino 11
	Cardoso 16
	Carlito 3
	Cláudio 1
	Emílio 13
	Ercílio 10 
	Ernestino 7
	Edevaldo 2
	Francisco 0
	Felício 10
	Fabrício 5
	Geraldo 8
	Gabriel 8
	Getúlio 2
	Hiraldo 10
	João da Silva 4
	Joana 2
	Joaquim 22
	Joaquina 3
	José da Silva 4
	José de Souza 2
	Josefa 1
	Josefina 5
	Maria José 3
	Maria Cristina 3
	Mauro 11
	Paula 4
	Paulo 2
	
	
	
	
	
	
	
	
Apresente a amostra da variável tempo de serviço associada à amostra de funcionários obtida no exercício anterior.
Usando a terceira coluna da tabela de números aleatórios, extraia uma amostra aleatória simples de 6 (seis) letras do alfabeto da língua portuguesa.
Os elementos de uma certa população estão dispostos numa lista, cuja numeração vai de 1650 a 7740. Descreva como você usaria uma tabela de números aleatórios para obter uma amostra de 100 elementos. Seria necessário efetuar nova numeração?
Seja um conjunto de 20 crianças numeradas de 1 a 20. Usando a tabela de números aleatórios, divida aleatoriamente estas crianças em dois grupos de 10 crianças. Use a primeira coluna da tabela de números aleatórios.
Usaremos, como exemplo, a população dos N = 32 funcionários. Através da técnica de Amostragem Sistemática, obtenha uma amostra de n = 5. E listar o conjunto dos funcionários sorteados.
	1 Aristóteles 
	8 Anastácia
	15 Arnaldo 
	21 Bartolomeu 
	27 Bernardino 
	2 Cardoso 
	9 Carlito 
	16 Cláudio 
	22 Emílio 
	28 Ercílio 
	3 Ernestino
	10 Edevaldo 
	17 Francisco
	23 Felício 
	29 Fabrício 
	4 Geraldo 
	11 Gabriel 
	18 Getúlio 
	24 Hiraldo 
	30 João da Silva 
	5 Joana 
	12 Joaquim
	19 Joaquina 
	25 José da Silva
	31 José de Souza 
	6 Josefa
	13 Josefina
	20 Maria José 
	26 Maria Cristina 
	32 Mauro 
	7 Paula 
	14 Paulo 
	
	
	
7. Observe o quadro abaixo:
	Professores
	P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
	Servidores
	S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
	Alunos
	A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 ........... A28 A29 A30
 
De acordo com a técnica de Amostragem Estratificada Proporcional, obtenha uma amostra de tamanho n = 10. Para saber quais irão fazer parte da amostra, usar a tabela de números aleatórios (3ª linha).
De acordo com a técnica de Amostragem Estratificada Uniforme, obtenha uma amostra de tamanho n = 9. Para saber quais irão fazer parte da amostra, usar a tabela de números aleatórios (3ª linha).
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DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS
Dados Absolutos – são os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a contagem ou medida.
Dados Relativos – são os resultados de comparações por quociente (razões) que se estabelecem entre dados absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades. Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas.
Percentagens – o emprego das percentagens é de grande valia quando o intuito é destacar a participação da parte no todo.
Exemplo:
	Matrículas nas Escolas da Cidade de SÃO JOSÉ - Março/2003
	Categorias
	N0 de Alunos
	%
	10 Grau
	19.286
	91,0
	20 Grau
	1.681
	7,9
	30 Grau
	234
	1,1
	TOTAL
	21.201
	100,0
	Fonte: Dados Hipotéticos
	
Índices – são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
Exemplos: - Densidade demográfica = 
- Renda per capita = 
		- Produção per capita = 
Coeficientes – são razões entre o número de ocorrência e o número total (número de ocorrências e número de não-ocorrências).
Exemplos: - Coeficiente de natalidade = 
- Coeficiente de mortalidade = 
	- Coeficiente de evasão escolar = 
Taxas – são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 para tornar o resultado mais inteligível.
Exemplos: 	 - Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1.000
- Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1.000
- Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100
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método estatístico
	Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos na Antiguidade por acaso e, outros, por necessidades práticas, sem aplicação de um método. Atualmente, quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo. Se bem que muito desse conhecimento possa ter sido observado inicialmente por acaso, a verdade é que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos. Podemos então dizer que:
Método – é o conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. 
Método Experimental – consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. É o método preferido no estudo da Física, da Química etc.
Método Estatístico – diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Exemplos: preço das mercadorias, nas ciências sociais, etc.
Fases do Método Estatístico
Para o desenvolvimento de um trabalho estatístico é necessário seguir normas ou diretrizes. As fases a serem seguidas são: a) definição do problema; b) planejamento; c) coleta de dados; d) crítica dos dados; e) apuração dos dados; f) análise e divulgação dos dados.
Definição do Problema – é o tiro de largada para a obtenção de sua solução. Sem problema não há solução possível. Dado o problema verifique se ele já foi resolvido ou ao menos estudado por alguém. Se foi certifique-se de que as soluções obtidas estão corretas e atendem as suas necessidades. Se não, procure a solução. 
Planejamento – No planejamento deve-se determinar os procedimentos necessários para resolver o problema e, principalmente decidir como fazer o levantamento das informações sobre o assunto objeto de estudo. Que dados deverão ser obtidos? Como obtê-los? É nessa faze que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, se censitário, isto é abrangendo todo o universo ou por amostragem, se a contagem for parcial. Ainda, é importante nessa fase o cronograma das atividades, através do qual são fixados os prazos para as várias fases, os custos envolvidos, o material necessário, o delineamento da amostra, a forma como serão colhidos os dados.
Coleta de Dados – é essencialmente operacional, se refere à obtenção, reunião e registro sistemático de dados. A coleta de dados é classificada de acordo com o tempo:
Contínua (registro) – quando feita continuamente, tal como o número de vendas a vista de uma empresa comercial;
Periódica – é feita em intervalos constantes de tempo, como nos censos (de 10 em 10 anos)e as avaliações mensais dos alunos;
Ocasional – quando feita de modo que não se considera o tempo nem o período. É feita quando requer o estudo de um fenômeno, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros, etc.
Três são as formas de coleta de dados mais usadas:
Observação Direta – consiste em fazer uma observação do fato através de uma pessoa ou de uma câmera de TV. Exemplos: nascimentos, censo demográfico, etc.
Entrevista (Questionário) – é o método mais eficiente, porem muito caro, pois a entrevista pessoal é feita com cada um dos componentes, seja da amostra ou da população.
Auto-entrevista (Questionário) – permite que se faça pesquisa com grande número de elementos, a um custo relativamente baixo, principalmente quando sua distribuição é feita pelo correio. Estudos comprovam que em média 20% dos questionários são devolvidos.
Algumas considerações sobre a elaboração de um questionário.Todo cuidado é necessário na elaboração das perguntas de um questionário, pois se for mal formulado levará a dados não confiáveis. Observe sempre:
Explicar o objetivo do questionário, como ele pode ser devolvido e quais as questões cujas respostas são indispensáveis;
A redação deve ser clara, leve e dirigida ao leitor, como se o entrevistador estivesse conversando com ele;
As questões devem ser curtas e objetivas, nunca exigindo duas ou mais informações numa mesma pergunta;
Deve-se preferir questões cujas respostas sejam quantificáveis, seguindo certa escala ou então as do tipo “sim” ou “não”;
Deve-se evitar questões:
Declarativas ou opinativas, a menos que este seja o objeto do estudo;
Que exijam cálculos ou raciocínios complicados ou ainda a consulta a longas notas explicativas;
Polêmicas ou que possam ferir suscetibilidades;
Para facilitar as respostas, as questões devem estar dispostas em ordem cronológica e segundo um grau crescente de dificuldade;
Prever e dispor as respostas numa forma tal que facilite a sua tabulação para processamento posterior;
Uma vez confeccionado o questionário e antes de ser utilizado na pesquisa, devemos fazer o que se denomina pré-testes ou pesquisa-piloto, que corresponde à experimentação do questionário, a fim de verificar se as perguntas estão formuladas de forma clara e se não há nenhum problema no seu entendimento.
Crítica dos Dados – Os dados brutos, isto é, antes de organizá-los, devem ser submetidos a uma crítica com o objetivo de eliminar valores impróprios e erros grosseiros que possam interferir nos resultados obtidos.
Apuração dos Dados – é a etapa do processamento dos dados e dispor os resultados mediante critérios de classificação. A apuração pode ser manual ou mecânica, dependendo da urgência e dos recursos que o pesquisador dispõe.
Análise e Apresentação dos Dados – Após a apuração dos valores representativos, eles podem ser expostos em tabelas, listas, gráficos, tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo estudado, que é a parte mais importante do trabalho estatístico, já que o objetivo último é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra), através dos métodos da Estatística Indutiva.
TABELAS
A análise estatística se inicia quando um conjunto de dados torna-se disponível de acordo com a definição do problema da pesquisa. Um conjunto de dados seja de uma população ou de uma amostra contem muitas vezes um número muito grande de valores. Além disso, esses valores, na sua forma bruta, encontram-se muito desorganizados. Eles variam de um valor para outro sem qualquer ordem ou padrão. Os dados precisam então ser organizados e apresentados em uma forma sistemática e seqüencial por meio de uma tabela ou gráfico. Quando fazemos isso, as propriedades dos dados tornam-se mais aparentes e tornamo-nos capazes de determinar os métodos estatísticos mais apropriados para serem aplicados no seu estudo. A organização dos dados denomina-se Séries Estatísticas.
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. 
Os dados de uma pesquisa organizados em tabelas ou gráficos fornecem informações coerentes e seguras para o diagnóstico de um problema ou para tomada de decisões. A elaboração de tabelas obedece à resolução n0 886 de 26 de outubro de 1966, do Conselho Nacional de Estatística (alguns autores citam a resolução como sendo do IBGE). Uma tabela compõe-se, basicamente, dos seguintes itens:
Título - acha-se localizado no topo da tabela e deve conter informações suficientes para que possam ser respondidas as seguintes questões: o que? (referente ao fato); onde? (relativo ao lugar); quando? (relativo à época);
Cabeçalho - é a parte (linha) superior da tabela, que especifica o conteúdo das colunas;
Corpo - é o conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a variável em estudo;
Coluna Indicadora - é a parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
Linhas - são retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;
Casa ou célula - é o espaço destinado a um só número;
Rodapé - fica reservado para a identificação da fonte de dados, bem como para as informações pertinentes em geral.
De acordo com a resolução a que nos referimos, devemos colocar um traço horizontal (--) quando o valor for zero, três pontos (...) quando não dispomos dos dados e um ponto de interrogação (?) quando temos dúvidas quanto a exatidão de determinado valor.
A seguir será apresentado um exemplo de tabela com indicações dos itens:
	
SITUAÇÃO DAS COMPANHIAS AÉREA do BRASIL – JUNHO DE 2008
	Companhias
	Prejuízo
R$ 1.000.000,00
	N0 Funcionários
	N0 de Aeronaves
	Taxa de Ocupação %
	VASP
	153
	7.620
	50
	55
	VARIG
	 93
	15.000
	81
	61
	TRANSBRASIL
	 80
	3.600
	21
	45
	TAM
	 29
	4.500
	54
	50
	TOTAL
	 355
	30.720
	206
	
	Fonte: Fonte Fictícia
Gráficos Estatísticos
Os gráficos permitem a representação da relação entre variáveis e podem facilitar a compreensão dos dados, se apresentados de forma clara e objetiva. Também propiciam uma idéia preliminar satisfatória da concentração e/ou dispersão de valores, uma vez que através deles os dados estatísticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis. 
	O Gráfico Estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
	A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade dar uma idéia, a mais imediata possível, dos resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. Não há apenas uma maneira de representar graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. 
	A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente útil:
Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros.
Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo.
Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. É importante que o gráfico seja construído com o máximo de cuidado, seja com o traçado, seja com a escala. 
A modificação de uma escala pode alterar o traçado do gráfico e desviar a análise correta.
Podemos classificar os gráficos estatísticos segundo a forma:
Diagramas – são gráficos geométricos dispostos em duas dimensões;
Cartogramas – são ilustrações relativas a cartas geográficas, largamente difundidas em Geografia, História e Demografia;
Pictogramas – representação gráfica feita com figuras;
Estereogramas – são as representações em 3 dimensões utilizando volumes;
Os gráficos estatísticospodem também ser classificados segundo o objetivo:
Gráfico de Informação – são gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara da intensidade das modalidades e dos valores relativos ao fenômeno observado. São tipicamente explosivos, devendo, portanto, ser o mais completo possível, dispensando comentários explicativos adicionais.
Gráfico de Análise – esses gráficos prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à face de análise dos dados, sem deixar de ser também informativo. Quando se usam gráficos para apresentar os resultados de uma análise esses freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela, inclui-se, muitas vezes, um texto dissertativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela tabela.
Observação – Muitas vezes, o uso indevido dos gráficos pode trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando a confundir o leitor. Portanto, diferentes tipos de gráficos representando, o mesmo fenômeno pode dar a impressão de que os gráficos representam dados nitidamente diferentes, bem como nos casos em que mudança(s) e/ou problema(s) de escala na construção e/ou outros detalhes técnicos certamente será (ão) recebido(s) por leigos ou leitores distraídos como informações contrárias parcialmente ou completamente equivocadas. 
Em estatística são usados vários tipos de gráficos. Dentre eles temos:
Gráfico de Linha – os dados são colocados num sistema cartesiano ortogonal. Em geral representam dados de uma tabela. Graficamente temos pontos que são ligados através de segmentos de retas. As linhas são particularmente mais eficientes do que os demais tipos de gráficos, quando existem flutuações nas séries, ou quando há necessidade de se representar várias séries em um mesmo gráfico. Podemos ter gráficos de linha simples ou linhas múltiplas.
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Gráfico de Barras – é a representação de uma tabela de dados por meio de retângulos de mesma medida e separados por distâncias iguais. As freqüências dos fatos observados são dadas pelas alturas dos retângulos, anotadas no eixo y, se as barras forem verticais (também chamadas de colunas). Se as barras forem horizontais, ocorre o contrário. Podemos ter gráfico de barras simples ou gráfico de barras múltiplas.
 �
Gráfico de Setores – os dados são representados em setores circulares que são proporcionais aos valores. São utilizados principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. À volta do círculo (360o) corresponde o total (100%) dos dados e estabelecemos através de uma regra de três o ângulo relativo ao setor circular de acordo com cada valor.
Cartograma – é a representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados coma áreas geográficas ou políticas.
Pictograma – constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras.
Gráfico Polar – é o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas (sazonais), séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade.
Histograma – é formado por retângulos justapostos, sendo o número de retângulos igual ao número de intervalos de classes. A base de cada retângulo é igual à amplitude do intervalo de classe, enquanto sua altura representa a freqüência do intervalo de classe. A área do histograma é proporcional à soma das freqüências.
Polígono de Freqüência – é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantada pelos pontos médios dos intervalos de classe.
Ogiva de Galton – é utilizada para representar as freqüências acumuladas de uma distribuição. É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
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RESUMINDO AS Etapas para realização de uma pesquisa 
1 - Entendendo o problema do requerente da pesquisa:
Escutando o problema
Localizando os pontos de risco
Ajustando expectativas em relação aos resultados
Custo/benefícios
Tempo-resposta
2 - Estabelecimento do que será mensurado
3 - Definições do mercado-alvo da pesquisa
4 - Formas de abordagem
5 - Bancos de dados
6 – Definição dos procedimentos estatísticos de amostragem
Censo ou amostra
Tamanho da amostra e erro estatístico
Desenho da amostra
7 – Custos
8 – Questionários
Construção do questionário
Pré-teste
Revisão
Reprodução do questionário
9 – Construção do plano amostral
10 – Fase de campo
Recrutamento de entrevistados
Treinamento
Realização das entrevistas
11 – Procedimentos dos questionários
Edição
Codificação
Digitação
Tabulação
12 – Análise
13 – Apresentação
�
UNIDADE III
3 - PREPARAÇÕES de dados para análises estatísticas
3.1. Preparação Simples
	O método é empregado na preparação de um conjunto de dados de baixo volume e consiste numa simples classificação dos valores em ordem crescente de grandeza.
Exemplo 1: Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 9 revendedores autorizados em todo o sul do Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 18; 14; 10; 13; 9; 13; 8; 7; 16.
Rol ( 
3.2 Preparação por agrupamento através de valores distintos.
	O método é empregado na preparação de um conjunto de dados de médio volume, normalmente valores inteiros com baixa amplitude.
Exemplo 2: Uma indústria “ABC” embala peças para o setor de exportação. O controle de qualidade desta empresa preocupado com a ausência de seus colaboradores sem justa causa fez um levantamento do número de falta por colaborador no 1° trimestre de 2004, empresa esta localizada no interior de Porto Alegre/RS. Selecionou uma amostra aleatória de 50 colaboradores e anotou a quantidade de faltas por colaborador e obtiveram os seguintes dados:
	2
	0
	1
	3
	4
	2
	4
	2
	2
	4
	1
	2
	0
	1
	3
	1
	1
	1
	3
	3
	3
	3
	2
	0
	2
	2
	2
	1
	2
	2
	2
	3
	4
	2
	0
	3
	3
	1
	2
	4
	2
	3
	2
	1
	1
	0
	3
	2
	2
	3
Levantamento do número de faltas dos seus colaboradores da Empresa “ABC” localizada em 
Porto Alegre – Rio Grande do Sul – no 1° trimestre de 2004 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Fonte: Fictícia
Valores distintos (xi): são os valores que ocorrem no conjunto.
Freqüência absoluta (fi): número de ocorrência (repetições) de cada valor distinto.
Freqüência relativa unitária (fri): representa a proporção de observações de um valor individual em relação ao número total de observações.
Freqüência percentual (f%): fri x 100.
Freqüência acumulada (Fi): é o somatório acumulado da freqüência absoluta.
�
UNIDADE IV
4 - Representação Gráfica da distr. de freqüência
4.1 Histograma através de valores distintos: Gráfico do exemplo 2�
3.3 Preparação por agrupamento através de classes
	O método é empregado na preparação de um conjunto de dados de alto volume, normalmente valores reais ou inteiros com alta amplitude.
Regras:
Determinar o tamanho da amostra (n);
Determinar o Maior e Menor valor no banco de dados;
Determinar o número de classes (NC) ou quantidade de classes;
Determinar o tamanho da classe (TC).
NC = 
TC = 
Exemplo 3: Um levantamento salarial foi realizado na empresa “XYZ” localizada em São José – Santa Catarina, somente nos setores administrativos desta empresa. Pesquisa esta realizada com uma amostra de 60 funcionários no mês de abril de 2004. Obtiveram os seguintes dados abaixo que já estão organizados em ordem crescente de grandeza:
	1000
	1400
	1600
	1700
	1800
	1900
	2100
	2200
	2500
	2700
	1100
	1400
	1600
	1700
	1800
	2000
	2100
	2400
	2500
	2800
	1200
	1500
	1600
	1700
	1800
	2000
	2100
	2400
	2500
	2800
	1200
	1500
	1700
	1800
	1900
	2000
	2200
	2400
	2500
	2900
	1300
	1500
	1700
	1800
	1900
	2000
	2200
	2400
	2600
	3000
	1400
	1600
	1700
	1800
	1900
	2100
	2200
	2500
	2700
	3000
Levantamento salarial em R$ no setor administrativo da empresa “XYZ” – São José
Santa Catarina – Abril de 2004
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 Fonte: Fictícia
4.2 Histograma de valores em classes ou agrupamentos: Gráfico do exemplo 3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
�
ATIVIDADES DE PREPARAÇÃO DE DADOS PARA ANÁLISE ESTATÍSTICA
Organizar os dados através de preparação simples, a distribuição abaixo representa as notas observadas de 15 alunos em uma avaliação da Instituição A, realizada no dia 10/03/2004.
	4,00
	4,05
	4,00
	4,03
	3,95
	3,98
	4,00
	4,01
	4,00
	4,10
	3,80
	4,00
	3,97
	4,07
	4,00
Organizar os dados através de valores distintos e fazer a distribuição de freqüência, o quadro abaixo apresenta o nº de acidentes diários, observados num cruzamento Y de São José durante 30 dias no ano de 2001.
	10
	9
	8
	15
	11
	12
	10
	9
	13
	15
	14
	11
	10
	14
	13
	10
	8
	9
	14
	15
	10
	9
	11
	10
	12
	14
	9
	11
	14
	12
Organizar os dados através de valores distintos e fazer o histograma, o quadro abaixo representa a carga horária semanal trabalhada por funcionário da Indústria “Pão de Ló” localizada no Oeste catarinense levantamento de dados realizado em março de 2004. 
	64
	66
	64
	65
	63
	64
	63
	66
	64
	65
	66
	63
	63
	64
	64
	64
	62
	64
	63
	63
	66
	65
	62
	63
	64
	64
	66
	64
	65
	63
	65
	65
	62
	63
	64
	66
	63
	63
	64
	64
	
Organizar os dados através de valores distintos, fazer a distribuição de freqüência e traçar o histograma, a distribuição abaixo representa o consumo em kg, de um produto colocado em oferta no supermercado “Preço Bom”, que limitou o consumo máximo por cliente em 15kg.
	11
	8
	9
	14
	12
	11
	11
	8
	14
	14
	15
	10
	11
	13
	14
	9
	9
	8
	15
	14
	11
	8
	12
	9
	13
	13
	10
	10
	15
	11
Organizar os dados através de agrupamentos (classes) e fazer a distribuição de freqüência, A distribuição abaixo é referente aos aluguéis em R$ gerenciados por uma imobiliária “Aqui é Fácil” localizada em São José – Santa Catarina no mês de agosto de 2003.
	400
	480
	410
	330
	370
	340
	330
	290
	320
	330
	300
	340
	290
	290
	320
	330
	390
	350
	250
	260
	290
	340
	340
	330
	380
	320
	260
	270
	470
	500
	400
	450
	390
	360
	440
	420
	440
	400
	350
	390
Organizar os dados através de agrupamentos (classes) e traçar o histograma, a distribuição abaixo representa pesos em gr de frangos que serão encaminhados para o abate, levantamento realizado em fevereiro de 2004 das granjas “Frango D`Bom” localizada em Tijucas – Santa Catarina. 
	1240
	1390
	1330
	1370
	1250
	1300
	1260
	1400
	1340
	1380
	1410
	1390
	1120
	1600
	1410
	1140
	1360
	1130
	1320
	1500
	1230
	1470
	1440
	1230
	1330
	1450
	1210
	1440
	1600
	1250
	1490
	1360
	1280
	1300
	1430
	1270
	1320
	1390
	1300
	1550
	1370
	1360
	1460
	1360
	1290
	1380
	1300
	1350
	1170
	1360
	1200
	1450
	1320
	1300
	1100
	1310
	1220
	1400
	1330
	1400
Organizar os dados através de agrupamentos (classes), fazer a distribuição de freqüência e traçar o histograma, o quadro abaixo representa a distribuição das idades de um grupo de pessoas da associação XYZ.
 
	54
	38
	73
	47
	72
	49
	69
	60
	46
	30
	46
	47
	63
	35
	80
	53
	54
	54
	40
	65
	35
	69
	59
	48
	62
	60
	65
	57
	59
	52
	64
	39
	52
	50
	58
	55
	51
	42
	75
	52
	54
	38
	73
	47
	72
	49
	69
	60
	46
	30
�
UNIDADE V
5 – Medidas Estatísticas
5.1 Medidas de TENDÊNCIA CENTRAL (posição)
5.1.1 Média (
 ): é um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente a média representa o ponto de equilíbrio de uma distribuição.
Aplicações: Ensino, estoque de supermercados, avaliações de clientes de banco.
OBS: média sozinha não tem representação.
Média para preparação simples
Média do Exemplo 1 (página 29): Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 9 revendedores autorizados em todo o sul do Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 
Rol ( 7; 8; 9; 10; 13; 13; 14; 16; 18. 
 = 
 
Média para agrupamento através de valores distintos
Média do Exemplo 2 (página 29): Uma indústria “ABC” embala peças para o setor de exportação. O controle de qualidade desta empresa preocupado com a ausência de seus colaboradores sem justa causa fez um levantamento do número de falta por colaborador no 1° trimestre de 2004 empresa esta localizada no interior de Porto Alegre/RS. Selecionou uma amostra aleatória de 50 colaboradores e anotou a quantidade de faltas por colaborador e obtiveram os seguintes dados:
Levantamento do número de faltas dos seus colaboradores da Empresa “ABC” localizada em 
Porto Alegre – Rio Grande do Sul – no 1° trimestre de 2004 
	Nº de Faltas
xi
	Nº de Colaboradores
fi
	
	
	0
	5
	
	
	1
	10
	
	
	2
	18
	
	
	3
	12
	
	
	4
	5
	
	
	Total
	50
	
	
 Fonte: Fictícia
Média por agrupamento através de classes
Média do Exemplo 3 (página 31): Um levantamento salarial foi realizado na empresa “XYZ” localizada em São José – Santa Catarina, somente nos setores administrativos desta empresa. Pesquisa esta realizada com uma amostra de 60 funcionários no mês de abril de 2004. Obtiveram os seguintes dados abaixo: 
	1000
	1400
	1600
	1700
	1800
	1900
	2100
	2200
	2500
	2700
	1100
	1400
	1600
	1700
	1800
	2000
	2100
	2400
	2500
	2800
	1200
	1500
	1600
	1700
	1800
	2000
	2100
	2400
	2500
	2800
	1200
	1500
	1700
	1800
	1900
	2000
	2200
	2400
	2500
	2900
	1300
	1500
	1700
	1800
	1900
	2000
	2200
	2400
	2600
	3000
	1400
	1600
	1700
	1800
	1900
	2100
	2200
	2500
	2700
	3000
Levantamento salarial em R$ no setor administrativo da empresa “XYZ” 
São José – Santa Catarina – Abrilde 2004
	Valor em R$
Classes
	Nº de Funcionários (fi)
	
	
	1000 |---1250
	4
	
	
	1250 |---1500
	4
	
	
	1500 |---1750
	13
	
	
	1750 |---2000
	10
	
	
	2000 |---2250
	12
	
	
	2250 |---2500
	4
	
	
	2500 |---2750
	8
	
	
	 2750 |---|3000
	5
	
	
	TOTAL
	60
	
	
 Fonte: Fictícia
* Média Real =
	
		
* Média Estimada = 
�
EXERCÍCIOS SOBRE MÉDIA (
)
1 – Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 kg. Se as unidades que compõem determinado lote pesam (em kg): 3; 4; 3,5; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4 e 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?
R: Sim, o lote será aprovado. 
R: 
2 – Inspecionam-se quinze rádios antes da remessa. Os números de defeitos por unidade são: 1, 0, 3, 4, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1. Determine a média do número de defeitos por rádio.
R: 
3 – Quatro amigos trabalham num supermercado por tempo parcial com os seguintes salários horários:
	Bill: R$2,20
	Ed: R$2,40
	Tom: R$2,50
	Don: R$2,10
Determine o salário horário médio dentre os quatros.
Se Bill trabalha 20 horas, Ed 10 horas, Tom 20 horas e Don 15 horas numa semana, determine seus salários totais e seus salários horários médios.
Se cada um trabalha 40 horas numa semana, determine o salário horário médio e o salário total.
R: a) Sm= R$2,30 / funcionário
 b) St= R$149,50 e Sm= R$2,30 / funcionário
 c) Sm= R$2,30/ funcionário e St= R$368,00.
4 – Um produto é vendido em três supermercados por R$13,00/kg, R$13,20/kg e R$13,50/kg. Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto?
R: R$13,23/kg
5 – Um produto é vendido em três supermercados por R$130,00/kg, R$132,00/kg e R$135,00/kg. Determine em média quantos quilos do produto se compra com R$1,00?
R: R$132,33/kg
Peso=0,00756kg por R$1,00
6 – Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D e E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale respectivamente R$200,00; R$300,00; R$500,00; R$1.000,00 e R$5.000,00. A loja vendeu em determinado mês 20; 30; 20; 10 e 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por esta loja? 
R: R$682,35/unidade.
7 – Um caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 kg. 
(a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passagens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passará pela balança? 
(b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?
R: (a) O caminhão não passará. (b) 6,385kg/caixa.
�
8 – Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.
	No de acidentes por dia (xi)
	No de dias (fi)
	0
1
2
3
4
	30
5
3
1
1
R: 
9 – O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.
	Salários (R$)
	Número de funcionários (fi)
	400,00 |-- 500,00
	12
	500,00 |-- 600,00
	15
	600,00 |-- 700,00
	8
	700,00 |-- 800,00
	3
	800,00 |-- 900,00
	1
	 900,00 |--|1.000,00
	1
R: 
10 – Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo:
	Aluguel (R$)
	Número de casas (fi)
	 0 |-- 200,00
	30
	200,00 |-- 400,00
	52
	400,00 |-- 600,00
	28
	600,00 |-- 800,00
	7
	 800,00 |--|1.000,00
	3
Calcule o aluguel médio para estas residências.
R: 
11 – Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato. O seguinte quadro foi obtido:
	Tempo de mão-de-obra (horas)
	Número de motores (fi)
	0 |-- 4
	1
	4 |-- 8
	5
	 8 |-- 12
	10
	12 |-- 16
	12
	16 |--|20
	4
Determine o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revisão de cada motor.
Com base nesta informação, qual deve ser o tempo total de mão-de-obra para a revisão de dez motores que aguardam revisão?
Se a empresa dispõe no momento de dois homens trabalhando 12 horas por dia nestas revisões conseguirá provavelmente revisar estes dez motores em quatro dias? 
R: a) 11,625h/motor, b) 116,25h, c) Não conseguirá revisar os motores em 4 dias.
12 – Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de produtos para supermercados, fez um levantamento do consumo de seu principal produto em vários supermercados obtendo em determinado mês, a tabela:
	Número de unidades consumidas
	Número de supermercados (fi)
	 0 |-- 1.000
	10
	1.000 |-- 2.000
	50
	2.000 |-- 3.000
	200
	3.000 |-- 4.000
	320
	4.000 |-- 5.000
	150
	 5.000 |--|6.000
	30
Determine o consumo médio deste produto por supermercado pesquisado.
R: 3.342,1 unidades / supermercado
13 – Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais. Em termos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi substituída pela nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso segundo a tabela:
	Aumento de peso em kg
	Número de animais (fi)
	0 |-- 1
	1
	1 |-- 2
	5
	2 |-- 3
	35
	3 |-- 4
	37
	4 |--|5
	28
Calcular o aumento médio de peso por animal.
Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médio de peso de 3,100 kg/animal, esta nova ração pode a princípio ser considerada mais eficiente?
R: a) 3,311kg/animal, b) sim, a ração pode ser considerada eficiente.
�
5.1.2 Moda (Mo): É o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.
Moda para preparação de dados simples
Moda do Exemplo 1 (página 29): Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 9 revendedores autorizados em todo o sul do Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 
Rol ( 7; 8; 9; 10; 13; 13; 14; 16; 18. 	
Mo = _____________ (______________)
Moda para agrupamento através de valores distintos.
Moda do Exemplo 2 (página 29): Uma indústria “ABC” embala peças para o setor de exportação. O controle de qualidade desta empresa preocupado com a ausência de seus colaboradores sem justa causa fez um levantamento do número de falta por colaborador no 1° trimestre de 2004 empresa esta localizada no interior de Porto Alegre/RS. Selecionou uma amostra aleatória de 50 colaboradores e anotou a quantidade de faltas por colaborador e obtiveram os seguintes dados:
Levantamento do número de faltas dos seus colaboradores da Empresa “ABC” localizada em 
Porto Alegre – Rio Grande do Sul – no 1° trimestre de 2004 
	Nº de Faltas
xi
	Nº de Colaboradores
fi
	
	
	0
	5
	
	
	1
	10
	
	
	2
	18
	
	
	3
	12
	
	
	4
	5
	
	
	Total
	50
	
	
 Fonte: Fictícia
Mo = 
Moda para agrupamento através de classes
Moda real pode ser calculada aplicando-se um dos processos anteriores, quando existe disponibilidade dos dados originais. Quando os dados originais não estão disponíveis pode-se aplicar um dos métodos de estimativa.
O método de estimativa pressupõe que a moda esteja na classe de maior freqüência, o que nem sempre é verdade.
Moda do Exemplo 3 (página 31): Um levantamento salarial foi realizado na empresa “XYZ” localizada em São José – Santa Catarina, somente nos setores administrativos desta empresa. Pesquisa esta realizada com uma amostra de 60 funcionários no mês de abril de 2004. Obtiveram os seguintes dados abaixo: 
Levantamento salarial em R$ no setor administrativo da empresa “XYZ”
São José – Santa Catarina – Abril de 2004
	Valor em R$
Classes
	Nº de Funcionários (fi)
	
	
	1000 |---1250
	4
	
	
	1250 |---1500
	4
	
	
	1500 |---1750
	13
	
	
	1750 |---2000
	10
	
	
	2000 |---2250
	12
	
	
	2250 |---2500
	4
	
	
	2500 |---2750
	8
	
	
	 2750 |---|3000
	5
	
	
	TOTAL
	60
	
	
 Fonte: Fictícia
Moda Bruta (
)
Identificar a classe modal:_____________________________
 = 
Moda czuber (
)
Identificar aclasse modal, a classe anterior e a posterior.
Podemos calcular através da fórmula:
 = li + 
Legenda:
li = limite inferior da classe modal
C = tamanho (amplitude) da classe
(1 = variação da freqüência absoluta (fi) da classe modal com a freqüência absoluta (fi) da classe anterior.
(2 = variação da freqüência absoluta (fi) da classe modal com a freqüência absoluta (fi) da classe posterior.
�
EXERCÍCIOS SOBRE MODA (Mo)
1 – Calcule a Moda Bruta para a distribuição representativa dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.
	Salários (R$)
	Número de funcionários (fi)
	1.000,00 |-- 1.200,00
	2
	1.200,00 |-- 1.400,00
	6
	1.400,00 |-- 1.600,00
	10
	1.600,00 |-- 1.800,00
	5
	 1.800,00 |--| 2.000,00
	2
2 – Calcule a Moda de Czuber para a tabela do exercício anterior.
R: 
3 – Interprete o valor da moda obtida no problema nº2.
4 – Calcule a Moda Bruta para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:
	Consumo por nota (R$)
	Número de notas (fi)
	 0 |-- 50,00
	10
	 50,00 |-- 100,00
	28
	100,00 |-- 150,00
	12
	150,00 |-- 200,00
	2
	200,00 |-- 250,00
	1
	 250,00 |--| 300,00
	1
R: 
5 – Calcule a Moda de Czuber para a tabela do problema anterior.
R: 
 
6 – Interprete o valor obtido no problema nº5.
7 – Calcule a Moda de Czuber para a distribuição abaixo que representa nota de 60 alunos em uma prova de Matemática:
	Notas
	Número de alunos
	0 |-- 2
	5
	2 |-- 4
	20
	4 |-- 6
	12
	6 |-- 8
	20
	 8 |--|10
	3
R: 
; 
8 – Interprete a Moda de Czuber do problema nº7.
9 – A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho, por dia, em uma indústria Petroquímica, verificada durante um mês. Calcule a Moda de Czu​ber para a distribuição.
	No de acidentes
	Número de dias
	0 |-- 2
	20
	2 |-- 4
	6
	4 |-- 6
	3
	6 |--|8
	1
R: 
10 – Interprete o valor obtido no problema nº9.
11 – Calcule a moda da distribuição do número de acidentes diários, observados em um cruzamento, durante 40 dias:
	No de acidentes por dia
	No de dias
	0
1
2
3
4
	30
5
3
1
1
R: 
12 – Interprete o valor obtido no problema nº11.
13 – Calcule a moda da série representativa da idade de 50 alunos de uma classe de primeiro ano de uma Faculdade:
	Idade (anos)
	No de alunos
	17
18
19
20
21
	3
18
17
8
4
R: 
14 – Interprete o valor obtido no problema nº13.
15 – A distribuição abaixo representa as alturas de 70 alunos de uma classe. Calcule a Moda de Czuber para esta distribuição.
	Alturas (cm)
	Número de alunos
	150 |-- 160
	2
	160 |-- 170
	15
	170 |-- 180
	18
	180 |-- 190
	18
	190 |-- 200
	16
	200 |--|210
	1
R: 
 e 
16 – Interprete o valor obtido no problema nº15.
17 – A distribuição abaixo representa o consumo, em kg, de um produto colocado em oferta em um supermercado, que limitou o consumo máximo por cliente em 5kg. Calcule a Moda de Czuber.
	Consumo (kg)
	Número de clientes
	0 |-- 1
	12
	1 |-- 2
	15
	2 |-- 3
	21
	3 |-- 4
	32
	 4 |--|5
	54
R: 
�
5.1.3 Mediana (Md): É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Para um número par de termos a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores intermediários.
Interpretação:
50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e 50% estão acima ou coincidem com a mediana.
Fórmula da posição da Mediana
Pmd = 
Mediana para preparação de dados simples
Mediana do Exemplo 1 (página 29): Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 9 revendedores autorizados em todo o sul do Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 
Rol ( 7; 8; 9; 10; 13; 13; 14; 16; 18. 	
Mediana para agrupamento através de valores distintos.
Mediana do Exemplo 2 (página 29): Uma indústria “ABC” embala peças para o setor de exportação. O controle de qualidade desta empresa preocupado com a ausência de seus colaboradores sem justa causa fez um levantamento do número de falta por colaborador no 1° trimestre de 2004 empresa esta localizada no interior de Porto Alegre/RS. Selecionou uma amostra aleatória de 50 colaboradores e anotou a quantidade de faltas por colaborador e obtiveram os seguintes dados:
Levantamento do número de faltas dos seus colaboradores da Empresa “ABC” localizada em 
Porto Alegre – Rio Grande do Sul – no 1° trimestre de 2004 
	Nº de Faltas
xi
	Nº de Colaboradores
fi
	
Fi
	
	0
	5
	5
	
	1
	10
	15
	
	2
	18
	33
	
	3
	12
	45
	
	4
	5
	50
	
	Total
	50
	---
	
 Fonte: Fictícia
Mediana para agrupamento através de classes
Mediana do Exemplo 3 (página 31): Um levantamento salarial foi realizado na empresa “XYZ” localizada em São José – Santa Catarina, somente nos setores administrativos desta empresa. Pesquisa esta realizada com uma amostra de 60 funcionários no mês de abril de 2004. Obtiveram os seguintes dados abaixo: 
Levantamento salarial em R$ no setor administrativo da empresa “XYZ”
São José – Santa Catarina – Abril de 2004
	Valor em R$
Classes
	Nº de Funcionários (fi)
	Fi
	
	1000 |---1250
	4
	4
	
	1250 |---1500
	4
	8
	
	1500 |---1750
	13
	21
	
	1750 |---2000
	10
	31
	
	2000 |---2250
	12
	43
	
	2250 |---2500
	4
	47
	
	2500 |---2750
	8
	55
	
	 2750 |---|3000
	5
	60
	
	TOTAL
	60
	---
	
 Fonte: Fictícia
Fórmula da posição da Mediana
Pmd = 
Fórmula do Valor da Mediana
Md = li + 
. C
Legenda: 
li = limite inferior da classe mediana
Pmd = posição da mediana
 = freqüência acumulada da classe anterior
fi = freqüência da classe mediana
C = amplitude da classe mediana
Medidas de Ordenamento ou Separatrizes
São os valores que subdividem uma disposição em rol.
Medidas: QUARTIS, DECIS E PERCENTIS.
Os Quartis dividem a disposição em 4 partes iguais
Q1, Q2, Q3
Os Decis dividem a disposição em 10 partes iguais
D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9
Os Percentis ou Centis dividem a disposição em 100 partes iguais
P1, P2, P3, P4, P5, P6, ... , P99
Macete:
Independente do tipo de separatriz, converter a mesma para um Centil ou Percentil correspondente.
Exemplos:
	Md= C50
	D9= C90
	Q1= C25
	P1= C1
	Q2= C50
	P34= C34
	Q3= C75
	P60= C60
	D1= C10
	P99= C99
	D2= C20
	C5
Separatrizes do Exemplo 1 (página 29): Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 9 revendedores autorizados em todo o sul do Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 
Rol ( 7; 8; 9; 10; 13; 13; 14; 16; 18. 	
Fórmula da Posição do Centil: Pci = 
Fórmula para o Valor da Separatriz: S = a + (b – a) . (Pci– Pa)
Legenda:
Pci = posição do Centil
n = tamanho da amostra
i = valor do Centil
S = valor de qq separatriz (Md, Q, D ou C)
a = limite inferior onde se encontra a separatriz
Pa = posição do limite inferior 
Separatrizes do Exemplo 2 (página 29): Uma indústria “ABC” embala peças para o setor de exportação. O controle de qualidade desta empresa preocupado com a ausência de seus colaboradores sem justa causa fez um levantamento do número de falta por colaborador no 1° trimestre de 2004 empresa esta localizada no interior de Porto Alegre/RS. Selecionou uma amostra aleatória de 50 colaboradores e anotou a quantidade de faltas por colaborador e obtiveram os seguintes dados:
Levantamento do número de faltas dos seus colaboradores da Empresa “ABC” localizada em 
Porto Alegre – Rio Grande do Sul – no 1° trimestre de 2004 
	Nº de Faltas
xi
	Nº de Colaboradores
fi
	
Fi
	
	0
	5
	5
	
	1
	10
	15
	
	2
	18
	33
	
	3
	12
	45
	
	4
	5
	50
	
	Total
	50
	---
	
 Fonte: Fictícia
�
Separatrizes para agrupamento através de classes
Separatrizes do Exemplo 3 (página 31): Um levantamento salarial foi realizado na empresa “XYZ” localizada em São José – SantaCatarina, somente nos setores administrativos desta empresa. Pesquisa esta realizada com uma amostra de 60 funcionários no mês de abril de 2004. Obtiveram os seguintes dados abaixo: 
Levantamento salarial em R$ no setor administrativo da empresa “XYZ”
São José – Santa Catarina – Abril de 2004
	Valor em R$
Classes
	Nº de Funcionários (fi)
	Fi
	
	1000 |---1250
	4
	4
	
	1250 |---1500
	4
	8
	
	1500 |---1750
	13
	21
	
	1750 |---2000
	10
	31
	
	2000 |---2250
	12
	43
	
	2250 |---2500
	4
	47
	
	2500 |---2750
	8
	55
	
	 2750 |---|3000
	5
	60
	
	TOTAL
	60
	---
	
 Fonte: Fictícia
Fórmula da posição da Separatriz (Pci)
Pci = 
Fórmula do Valor da Separatriz (S)
S = li + 
. C
Legenda:
li = limite inferior da classe que se encontra a separatriz desejada
Pci = posição do centil
 = freqüência acumulada da classe anterior
fi = freqüência da classe mediana
C = amplitude da classe mediana
�
EXERCÍCIOS SOBRE SEPARATRIZES (S)
De acordo com as tabelas abaixo, calcule as seguintes separatrizes: Md; Q1; Q3; D1; D5; C10; C33; C90;
Tabela A – Número de Dias de Permanência Num Hotel Balneário – SC em 2006
	Número de permanência (xi)
	Número de hóspedes (fi)
	
	
	2
	3
	
	
	4
	6
	
	
	6
	4
	
	
	8
	2
	
	
	10
	7
	
	
	12
	5
	
	
	14
	4
	
	
	16
	6
	
	
	Total
	37
	
	
b) Tabela B – Valores da Diária Com Café da Manhã em Algumas Hospedagens de Lages em 2007
	Valor das diárias (em R$)
	Hospedagens ou hotéis (fi)
	
	
	130,00 |-- 150,00
	4
	
	
	150,00 |-- 170,00
	8
	
	
	170,00 |-- 190,00
	5
	
	
	190,00 |-- 210,00
	7
	
	
	210,00 |-- 230,00
	3
	
	
	230,00 |--|250,00
	5
	
	
	Total
	32
	
	
�
5. 2 Medidas de DISPERSÃO 
Medidas estatísticas mais comuns são: Variância; Desvio padrão e Amplitude.
A dispersão é uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média.
5.2.1 Desvio Padrão
É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média.
�
 A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B.
�
�
5.2.2 Variância e Desvio Padrão Na População
A variância: é uma média dos desvios quadráticos. 
Variância da população (
)
 = 
Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância
 =
 
Variância e Desvio Padrão Na Amostra
Variância da Amostra (S2 ou V )
 
 = 
OBS: Como a dispersão nas amostras é menor do que na população, se faz um ajuste matemático.
Desvio Padrão da amostra ( S ou DP ) = Raiz quadrada da variância
 =
 
Variância e Desvio Padrão do Exemplo 1 (página 29): Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 9 revendedores autorizados em todo o sul do Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 
Rol ( 7; 8; 9; 10; 13; 13; 14; 16; 18. 	
Variância e Desvio Padrão do Exemplo 2 (página 29): Uma indústria “ABC” embala peças para o setor de exportação. O controle de qualidade desta empresa preocupado com a ausência de seus colaboradores sem justa causa fez um levantamento do número de falta por colaborador no 1° trimestre de 2004 empresa esta localizada no interior de Porto Alegre/RS. Selecionou uma amostra aleatória de 50 colaboradores e anotou a quantidade de faltas por colaborador e obtiveram os seguintes dados:
Levantamento do número de faltas dos seus colaboradores da Empresa “ABC” localizada em 
Porto Alegre – Rio Grande do Sul – no 1° trimestre de 2004 
	Nº de Faltas
xi
	Nº de Colaboradores
fi
	
x - x
	
(x - x)2 
	0
	5
	
	
	1
	10
	
	
	2
	18
	
	
	3
	12
	
	
	4
	5
	
	
	Total
	50
	
	
 Fonte: Fictícia
Variância e Desvio Padrão do Exemplo 3 (página 31): Um levantamento salarial foi realizado na empresa “XYZ” localizada em São José – Santa Catarina, somente nos setores administrativos desta empresa. Pesquisa esta realizada com uma amostra de 60 funcionários no mês de abril de 2004. Obtiveram os seguintes dados abaixo: 
Levantamento salarial em R$ no setor administrativo da empresa “XYZ”
São José – Santa Catarina – Abril de 2004
	Valor em R$
Classes
	Nº de Funcionários (fi)
	
Xi
	
Xi - x
	
(Xi - x)2 
	1000 |---1250
	4
	
	
	
	1250 |---1500
	4
	
	
	
	1500 |---1750
	13
	
	
	
	1750 |---2000
	10
	
	
	
	2000 |---2250
	12
	
	
	
	2250 |---2500
	4
	
	
	
	2500 |---2750
	8
	
	
	
	 2750 |---|3000
	5
	
	
	
	TOTAL
	60
	
	
	
 Fonte: Fictícia
�
5.2.3 Coeficiente de Variação
O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses. 	O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como porcentagem do valor da média.
CV = 
(%) Quanto menor o valor deste coeficiente, mais homogênea é a amostra.
Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média:
ÓTIMO (até 10% ), ( BOM (10% a 20% ), ( REGULAR (20% a 30%), ( RUIM (acima de 30% )
5.2.4 Coeficiente de Assimetria - Análise Horizontal
			 			
	 A > 0	
	A = 0
	 A < 0
	 Assimetria positiva
	Simétrica
	Assimetria negativa
5.2.5 Coeficiente Percentílico de Curtose - Análise Vertical
K = 
K < 0,263 Leptocúrtica ( amostra homogênea
K = 0,263 Mesocúrtica ( amostra intermediária
K > 0,263 Platicúrtica ( amostra heterogênea
�
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE DISPERSÃO
A distribuição da renda mensal proveniente do aluguel de duzentas casas pertencentes a uma empresa imobiliária encontra-se na tabela abaixo. Calcule todas as medidas estatísticas e descreva as características do banco de dados (Coef. de assimetria, Coef. Percentílico de Curtose, Coef. de Variação)
	Renda mensal R$
	Número de casas (f)
	 750 |---1250
	12
	1250 |---1750
	26
	1750 |---2250
	45
	2250 |---2750
	60
	2750 |---3250
	37
	3250 |---3750
	13
	3750 |--|4250
	7
2) Considere os seguintes conjuntos de números A = {20; 21; 21; 22; 22; 23; 23; 24} e B = {16; 18; 20; 22; 22; 24; 26; 28}, calcule todas as medidas estatísticas e caracterize cada conjunto. Se existir aponte as semelhanças.
3) Um teste de estatística foi aplicado em duas classes, e os resultados da avaliação foram os seguintes: Calcular o coeficiente de variação de Variação (CV) para os dois conjuntos.
	
	
4) Considere os seguintes resultados relativos ao quadro abaixo: Quanto ao deslocamento das curvas de freqüência correspondentes, que tipo de distribuição tem em cada caso?
	Distribuição A
	Distribuição B
	Distribuição C
	
	
	
	Md = 50
	Md = 49
	Md = 50
	Mo = 50
	Mo = 50
	Mo = 49
5) Examinando o Gráfico 1, indicar qual das distribuições apresenta um desvio-padrão maior (supor que as áreas sob as curvas sejam iguais).
Gráfico 1 - distribuições A e B
�
UNIDADE VI
6 - Distribuição
6.1 Distribuição Normal – Curva de Gauss 
Exemplo: Selecionar, aleatoriamente de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros. “o estudante selecionado ter 180 cm ou mais”.
Qual a probabilidade que este evento ocorra isto é, P(X ( 180).
�
�
Legenda:
z - variável normal padronizada
x - variável normal
( - média
( - desvio padrão
�
Atividades
Num levantamento na linha de produção de tubos e conexões coletou uma amostra aleatória de 800 tubos com diâmetro normalmente distribuído com média igual a 30 mm e desvio padrão igual a 3mm. Qual a quantidade provável de tubos com as seguintes especificações (medidas) abaixo:
	Especificações de Medidas
	
Probabilidade %
	Quantidade de Tubos
	a)
	27 à 36 mm
	
	655
	b)
	24 a 39 mm
	
	781
	c)
	Acima de 27 mm
	
	673
	d)
	Acima de 33 mm
	
	127
	e)
	Abaixo de 24 mm
	
	18
	f)
	Abaixo de 36 mm
	
	782
	g)
	33 a 36 mm
	
	109
	h)
	21 a 24 mm
	
	17
	i)
	28 a 36 mm
	
	581
	j)
	28,5 a 34 mm
	
	480
	k)
	Acima de 31 mm
	
	297
	l)
	Abaixo de 27,8 mm
	
	186
	m)
	24,5 a 27,9 mm
	
	167
�
Aplicações da Estatística z
1 - Uma empresa observa que na fabricação de determinado tipo de vela há pequena variaçãonas dimensões e no peso entre elas. O diâmetro médio das velas segue distribuição normal com média de 4,45cm e desvio-padrão de 0,35cm. Para saber em quais candelabros as velas poderão ser colocadas, é interessante conhecer a probabilidade de as velas terem diâmetros:
Maior que 4,75cm;
Menor que 4,25cm;
Entre 4,25 e 4,75cm.
R: a) 19,49%; b) 28,43% e c) 52,08%.
2 - Os salários dos funcionários de um hotel fazenda têm distribuição normal em torno da média de R$1.500,00, com desvio-padrão de R$200,00. Qual a probabilidade de um funcionário:
Ganhar entre R$1.400,00 e RS 1.600,00?
Ganhar acima de R$1.500,00?
Ganhar acima de R$1.400,00?
Ganhar abaixo de R$1.400,00?
Ganhar acima de R$1.650,00.
R: a) 38,3%; b) 50%; c) 69,15%; d) 30,85% e e) 22,66%.
3 – Os pesos de 500 malas são normalmente distribuídos com média 66,2 kg e desvio-padrão de 4,3kg. Determine o número de malas que pesam:
Menos que 66,2 kg;
Entre 63 e 68 kg;
Menos de 70 kg;
Mais de 60 kg.
R: a) 50%, 250 malas; b) 43,32%, 217 malas; c) 81,06%, 405 malas; 92,51%, 463 malas.
4 - Um avião de oito lugares executa vôos turísticos ecológicos de uma cidade para uma ilha. O avião pode levar carga útil de 650 kg. Supondo que os passageiros têm peso médio de 600 kg e desvio-padrão de 80 kg, e que o peso é normalmente distribuído, qual a probabilidade de:
O peso dos oito passageiros estarem entre 350 e 680 kg?
Para existir a sobrecarga qual é a probabilidade?
Qual é a probabilidade se o piloto tenha que retirar 50 kg de gasolina, para evitar sobrecarga?
R: a) 84,04%; b) 26,76%; c) 16,2%.
5 - As alturas dos jovens de um acampamento são normalmente distribuídas com média de 1,70m e desvio-padrão de 0,30m. Os jovens deverão participar de diversas atividades esportivas. Para estabelecer as equipes. Encontre a probabilidade de um jovem medir:
Entre 1,58 e 1,85m;
Mais de 1,75m;
Menos de 1,60m;
Mais de 1,90m.
R: a) 34,69%; b) 43,25%; c) 37,07%; d) 25,14%.
�
6.2 Distribuição Binomial 
Considere a experiência de lançar um dado 3 vezes. Seja x o número de vezes que a face 1 ocorra. Apresente um espaço amostral com todas as possibilidades e calcule pelas regras da adição e multiplicação a probabilidade de que a face 1 ocorra 2 vezes.
Espaço Amostral
	Possibilidades
	XXX
	1XX
	X1X
	XX1
	11X
	X11
	1X1
	111
	x
	0
	1
	1
	1
	2
	2
	2
	3
x = número de vezes que a face 1 ocorre.
X = outra face
1 = face 1
P ( 1 ( 1 ( x ) + P ( x ( 1 ( 1 ) + P (1 ( x ( 1) =
= 
= 3 . 
= 3 . 
	O modelo da distribuição binomial é utilizado quando o problema solicita o cálculo da probabilidade de que um elemento favorável ocorra x vezes em n repetições da experiência.
	P { x } = 
. px . qn-x
		 
 = 
	Legenda:
n = número de repetições da experiência
x = número de vezes que o elemento favorável deve ocorrer.
p = probabilidade de que o elemento favorável ocorra em uma única realização da experiência.
q = probabilidade de que o elemento favorável não ocorra em uma única realização da experiência.
Resolvendo o exercício anterior temos:
n = 3 (número de repetições)
x = 2 (o elemento favorável deve ocorrer)
p = 
 (probabilidade de que o elemento favorável ocorra)
q = 
 (probabilidade de que o elemento favorável não ocorra)
P { 2 } = 
.
			
= 
 = 3
P{ 2 } = 3 . 
Exercícios
Uma linha de produção apresenta 10% de peças defeituosas, na compra de 5 peças qual a probabilidade de que:
2 sejam defeituosas.
4 sejam perfeitas
No máximo uma seja defeituosa.
No mínimo 4 sejam perfeitas.
20% dos rádios apresentam defeitos até o terceiro ano da garantia (serão substituídos). Em um lote de dez rádios qual a probabilidade de que sejam substituídos:
2 rádios.
No máximo 1 rádio
No mínimo 1 e no máximo 3.
No mínimo 1 rádio.
	Referindo-se ao problema anterior, considerando-se um lote de 80 rádios, qual a probabilidade de quem sejam substituídos.
10 rádios
n = 80
x = 10
p = 0,20
q = 0,80
P = { x=10 } = P {10} = 
 . (0,20)10 . (0,80)70
no mínimo 8 e no máximo 18 rádios.
n = 80
x = 8, 9, ..., 18
p = 0,20
q = 0,80
P = { 8 ( x ( 18 } = P{8} + P{9} + P{10} + ... P {18}
no máximo 15 rádios
n = 80
x = 0, 1, 2, ..., 15
p = 0,20
q = 0,80
P = { x ( 15 } = P {0} + P {1} + ... + P{15}
	
Com o aumento do número de repetições da experiência, o cálculo, através da distribuição binomial torna-se impraticável. Neste caso recomenda-se que o cálculo seja realizado por estimativa através da aproximação da curva normal a binomial. A distribuição normal aproximada tem a média calculada pela seguinte fórmula:
		( = n . p
	E o desvio padrão calculado pela seguinte fórmula:
		
 = 
	Para efeito de aproximação os valores discretos da distribuição binomial são convertidas em valores contínuos na distribuição normal. Com isso podemos resolver as três situações anteriores.
	
20% dos rádios apresentam defeitos até o terceiro ano de garantia (serão substituídos). Em um lote de 80 rádios qual a probabilidade de que sejam substituídos:
10 rádios
n = 80
x = 10
p = 0,20
q = 0,80
Pela distribuição binomial P = {x = 10}
Pela distribuição normal P = { 9,5 ( x ( 10,5}
( = n . p
( = 80. 0,20 = 16
 = 3,58
Calculamos para: 
x = 9,5
z1 = 
= 46,56%
x = 10,5
z2 = 
 = 43,82%
	
De 9,5 à 10,5 = 46, 56% - 43,82% = 2,74%. 
Conclusão: 2,74% esta é a probabilidade para que 10 rádios sejam substituídos.
no mínimo 8 e no máximo 18 rádios.
n = 80			 	
x = 8, 9, 10, ..., 18		
p = 0,20
q = 0,80
( = 16
= 3,58
Pela distribuição binomial P = { 8 ( x ( 18}
Pela distribuição normal P = { 7,5 ( x ( 18,5 }
x = 7,5					x = 18,5
z1 = 
 = - 2,37			z2 = 
 = 0,70
z1 = 49,11%				z2 = 25,80%
Total = 49,11% + 25,80% = 74,91%
Conclusão: 74,91% esta é a probabilidade para que entre 8 e 18 rádios sejam substituídos.
no máximo 15 rádios
n = 80
x = 0, 1, 2, 3, ..., 15
p = 0,20
q = 0,80
( = 16
= 3,58
Pela binomial	P = { 0 ( x ( 15 }
Pela normal P = { -0,5 ( x ( 15,5}
�
UNIDADE VII
7 - Probabilidade
7.1 Introdução
	A probabilidade de que um evento “A” ocorra é igual ao número de casos favoráveis a ocorrência de “A” dividido pelo número total de casos possíveis.
	P(A) = 
Exemplo:
	Uma caixa contém 3 peças perfeitas e 2 defeituosas. Retirando-se uma peça de forma aleatória, qual a probabilidade de que seja perfeita?
S = { P1, P2, P3, D1, D2 }
A = Peça perfeita
P(A) = 
 = 0,60 
Exemplo:
	No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrência de uma face par?
A = face par					Espaço Amostral
	P(A) = 
 = 0,50 
Quanto maior o número de repetições de uma experiência, maior será a aproximação entre a freqüência relativa de ocorrência de um evento e a sua probabilidade teórica.
Exemplo:
	No lançamento de 2 dados qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja 7?
 Espaço Amostral
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
7.2 Regra de adição
	Se 2 eventos são tais que: a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, eles são denominados mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de um (ou) do outro é determinada através da adição das probabilidades individuais.
P (A ( B) = P(A) + P(B)
Exemplo: Na retirada de um a carta de um baralho comum, qual a probabilidade de que seja rei ou valete?
 
Espaço Amostral
	Carta
Naipe
	A
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	J
	Q
	K
	( ouro
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	X
	
	X
	( copa
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	X
	
	X
	 espada
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	X
	
	X
	( pau
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	X
	
	X
			
Pela fórmula inicial:
A = rei ou valete
 P(A) = 
 ( P(A) = 
= 0,1538 
				
Pela fórmula da adição:
A = rei
B = valete
 P(A ( B) = P(A) + P(B)
 P (A ( B) = 
 + 
 = 
 = 0,1538
	Se dois eventos podem ocorrer ao mesmo tempo durante a realização de uma experiência, a probabilidade de ocorrência de um ou do outro é determinada pela seguinte fórmula:
	
P(A ( B) = P(A) + P(B) – P (A ( B)
P(A ( B) = probabilidade de ocorrência

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