FAF2_-_Matemática Financeira 01_14

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Fundamentos de Administração Financeira Matemática Financeira 
 Alexandre Leme Sanches alex_sanches68@hotmail.com
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Conceitos Básicos de Matemática Financeira
A Matemática Financeira é a ciência que estuda o valor do dinheiro no tempo e tem como fundamento básico a seguinte afirmação:
“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro, que não estejam na mesma data”.
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Problemas Estudados
 Comprar a vista ou a prazo.
 Comprar, alugar ou Leasing.
 Reformar ou trocar.
 Continuar ou abandonar.
 Comprar “A” ou “B”.
 Alugar ou Financiar.
 Cuidados com bancos e financeiras.
 Tratamento de Risco e Incerteza.|
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Princípios Básicos
 Considerar Alternativas.
 Expressar sempre valores em $ (hmo, kWh, status, litros).
 Buscar sempre o projeto de maior rentabilidade.
 Abandonar o passado.
 Considerar somente as diferenças.|
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Exemplo: Motores A e B
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Critérios de Aprovação de um Projeto
 Critérios Financeiros;
 Critérios Econômicos;
 Critérios Técnicos;
 Critérios Legais;
 Critérios Ambientais;
 Critérios Intangíveis.|
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Remuneração dos Fatores de produção
Trabalho: 
Terra: 
Técnica:
Capital:
 Salário
 Aluguel
 Royalty
 Juros|
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Exemplos de aplicação de Juros:
 Compras a Crédito;
 Cheque Especial;
 Prestação da casa própria;
 Financiamentos;
 Empréstimos.|
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Aplicação de Juros
“Os Juros ($) aumentam com o passar do tempo”|
Juros → Tempo
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Onde:
J: Juros ($) (≠ taxa de juros);
P: Valor Presente;
i: Taxa de Juros;
n: Número de Períodos Passados.|
J = P.i.n
Juros Simples
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Fn = P. (1 + i. n)
Exemplo:
P = 1.000 ($); i = 10% a.p.; n = 5p; J5 = ?, F5 = ?
J5 = P.i.n = 1.000 x 0,1 x 5 = 500 ($).
F5 = P. (1 + i. n) = 1.000 x (1 + 0,1 x 5) = 1.000 x 1,5
F5 = 1500|
Valor Futuro para Juros Simples (F)
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“No final de cada período, os juros são incorporados ao capital, ou seja, no período seguinte haverá juros sobre os juros”.
Fn = P (1 + i)n
Ex. Para um capital de R$ 100.000,00, investido a 20% a.a. durante 3 anos, qual o valor futuro (F3) para o caso de considerarmos Juros Simples e Juros Compostos?|
Juros Compostos
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Juros Simples.
Fn = P. (1 + i. n)
F0 = 100.000 (1 + 0,2.0) = 100.000 (1,0) = 100.000
F1 = 100.000 (1 + 0,2.1) = 100.000 (1,2) = 120.000
F2 = 100.000 (1 + 0,2.2) = 100.000 (1,4) = 140.000
F3 = 100.000 (1 + 0,2.3) = 100.000 (1,6) = 160.000|
Solução
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Juros Compostos.
Fn = P (1 + i)n
F0 = 100.000 (1 + 0,2)0 = 100.000 (1) = 100.000
F1 = 100.000 (1 + 0,2)1 = 100.000 (1,2) = 120.000
F2 = 100.000 (1 + 0,2)2 = 100.000 (1,2)2 = 144.000
F3 = 100.000 (1 + 0,2)3 = 100.000 (1,2)3 = 172.800|
Solução
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Portanto:
Solução
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Graficamente temos
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Diagrama de Fluxos de Caixa
Denomina-se Diagrama de Fluxos de Caixa o Gráfico onde o eixo horizontal representa o tempo (períodos) e cada eixo vertical representa o fluxo monetário referente àquele período.
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Exemplo: 
Obs.: Se (+) ou (-), depende do referencial.
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Relações de Equivalência
 Finalidade: Transportar valores de dinheiro no tempo e assim permitir que tais valores sejam somados ou subtraídos. 
 As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no tempo.
 Para se calcular as equivalências existem basicamente duas ferramentas, o método analítico (equações) e as tabelas financeiras.
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Relações de Equivalência
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Simbologia:
 i = taxa de juros por período;
 n = número de períodos a ser capitalizado;
 P (ou PV) = quantia de dinheiro na data de hoje;
 F (ou FV) = quantia de dinheiro no futuro;
 A (ou PMT) = série uniforme de pagamento;
 G = série gradiente de pagamento.
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Relações entre P e F
P
 0 1 2 3 n-2 n-1 n
Dado P Achar F 
F
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Relações entre P e F
 Solução Analítica Solução por Tab. Financeira
Analogamente
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Tabelas Financeiras (F/P, i, n)
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Tabelas Financeiras (P/F, i, n)
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Exemplo:
P = 10.000 ($); i = 5% a.m.; n = 5 meses; F5 = ?
Solução Analítica:
F = P(1 + i)n
F5 = 10.000 (1,05)5
F5 = 10.000 (1,2763)
F5 = 12.763 ($) 
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Exemplo:
P = 10.000 ($); i = 5% a.m.; n = 5 meses; F5 = ?
Solução pela Tabela Financeira:
F = P (F/P, i, n)
F5 = 10.000 (F/P, 5%, 5)
F5 = 10.000 (1,2763)
F5 = 12.763 ($) 
 
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Resolver inversamente o mesmo problema para encontrar P.
P = ?; i = 5% a.m.; n = 5 meses; F5 = 12.763 ($)
Analiticamente:
P = F (1 + i)-n
P = 12.763 (1,05)-5
P = 12.763 / (1,2763)
P = 10.000 ($)
Exemplo:
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Exemplo:
P = ?; i = 5% a.m.; n = 5 meses; F5 = 12.763 ($)
Pela Tabela Financeira:
P = F (P/F, i, n)
P = 12.763 (P/F, 5%, 5)
P = 12.763 (0,7835)
P = 10.000 ($)
Resolver inversamente o mesmo problema para encontrar P.
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1) Achar o valor equivalente ao diagrama de Fluxos de Caixa abaixo, no final do 4o período, a uma taxa de 5% a.p. 
Exemplo:
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Exemplo:
V4 = 200 (1,05)4 – 100 (1,05) + 300 (1,05)-2 – 400 (1,05)-4
V4 = 243,1013 – 105 + 272,1088 – 329,0810
V4 = 81,13 ($)
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2) Uma aplicação financeira de R$ 200,00 rendeu após 7 meses, um montante de R$ 300,00. Qual a taxa mensal de Juros dessa aplicação?
Exemplo:
P = 200,00 ($); F = 300,00 ($); n = 7 meses; i = ?
F = P (1 + i)n
300 = 200 (1 + i)7
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Exemplo:
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3) Uma aplicação de R$ 200.000,00, efetuada em certa data, produz um montante de R$ 370.186,00 a uma taxa de 8% a.m. Calcule o prazo da operação.
P = 200.000 ($); F = 370.186 ($); i = 8% a.m.; n = ?
F = P (1 + i)n
370.186 = 200.000 (1,08)n
Exemplo:
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Exemplo:
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Exemplo:
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Resumindo
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Exercícios – Resolver pela tabela financeira
1) Quanto receberei, após três anos, por um investimento de R$ 2.400,00 a uma taxa de 12 % a.a. pelo regime de juros compostos? 
F = P (F/P; i; n)
F3 = 2.400 (F/P; 12%; 3)
F3 = 2.400 (1,4049)
F3 = 3.371,00
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Exercícios
2) Quanto pagarei, após 10 anos, por um empréstimo de R$ 100 a uma taxa de 10 % a.a. pelo regime de juros compostos? 
F = P (F/P; i; n) 
F10 = 100 (F/P; 10%; 10)
F10 = 100 (2,5937)
F10 = 259,37
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Exercícios
3) Quanto pagarei, após 10 meses, por um empréstimo de R$ 100 a uma taxa de 4 % a.m. pelo regime de juros compostos? 
F = P (F/P; i; n) 
F10 = 100 (F/P; 4%; 10)
F10 = 100 (1,4802)
F10 = 148,02
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Exercícios
4) Quanto deverei depositar hoje na Caderneta de Poupança, para daqui a 36 meses, sacar de R$ 10.000,00 a uma taxa de 1% a.m. pelo regime de juros compostos? 
P = F (P/F; i; n)
P = 10.000 (P/F; 1%; 36)
P = 10.000 (0,6989)
P = 6.989,00
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Exercícios
5) Quanto deverei depositar hoje na Caderneta de Poupança, para daqui a 48 meses, sacar de R$ 12.000,00 a uma taxa de 3% a.m. pelo regime de juros compostos? 
P = F (P/F; i; n)
P = 12.000 (P/F; 3; 48)
P = 12.000 (0,2420)
P = 2.904,00
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Séries Uniformes (A ou PMT)
Uma série uniforme “A” ou “PMT” é uma seqüência de fluxos de caixa iguais em “n” períodos conforme o diagrama abaixo:
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Relações entre A e P
 0 1 2 3 n-2 n-1 n
Dado A achar P
A
P
1p
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Relações entre A e P
Pela Tabela:
P = A (P/A, i, n) A = P (A/P, i, n)
Analiticamente:
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Relações entre A e P
Exemplo 1:
Um empresário pretende realizar um investimento que lhe proporcionará retorno de U$ 100.000,00/ano nos próximos 10 anos. Qual o valor a ser investido sabendo-se que o taxa de juros do investimento é de 6% a.a.?
A = 100.000; n =
10; i = 6%; P = ?
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Relações entre A e P
A = 100.000; n = 10; i = 6%; P = ?
R: O valor a ser investido (-) é de U$ 736.008,71
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Relações entre A e F
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Relações entre A e F
Pela Tabela:
F = A (F/A, i, n) A = F (A/F, i, n)
Analiticamente:
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Relações entre A e F
Exemplo 2:
A mensalidade de um clube é de R$ 100,00/mês e vence sempre no último dia do mês. Sabendo que não existe multa, você deseja deixar para pagar todas as mensalidades no último dia do ano, porém é cobrada uma taxa de juros de 4% a.m. Qual o valor a ser pago?
A = 100; i = 4% a.m.; n = 12, F = ?
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Relações entre A e F
R: O valor a ser pago (-) no último dia do ano é R$ 1502,58.
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Séries Perpétuas (Séries Uniformes Infinitas)
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Séries Perpétuas (Séries Uniformes Infinitas)
Exemplo 3:
Quanto eu devo acumular numa caderneta de poupança, para viver “permanentemente” sacando R$ 2.000,00/mês, sabendo que a caderneta de poupança paga 0,5% a.m.?
P = ?; A = 2000; i = 0,5%
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Séries Perpétuas (Séries Uniformes Infinitas)
P = ?; A = 2000; i = 0,5%
R: Devo acumular (-) R$ 400.000,00.
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Período de Capitalização
É o período, ao final do qual, são creditados (capitalizados) os juros.
Exemplo:
 Caderneta de Poupança – 1 mês.
 Títulos do Governo – 1 ano.
 Overnight – 1 dia (extinto).
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Taxa Efetiva de Juros
Uma taxa de juros é chamada “Efetiva”, quando a unidade de tempo da taxa é a mesma unidade de tempo do período de capitalização.
Exemplo: Todas as taxas vistas até agora.
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Equivalência entre Taxas Efetivas de Juros
(Em períodos distintos)
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Exemplo
Uma taxa efetiva de juros de 1% ao mês equivale a que taxa efetiva de juros anual?
ic = 1%; pc = 1 mês; pd = 12 meses; id = ?
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Exemplo
Se tivéssemos a taxa efetiva anual e desejássemos a taxa efetiva mensal?
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Equação simplificada para os períodos mais utilizados.
(Efetiva / Efetiva)
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Exemplo
Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre?
Pela Eq. Geral: 
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Exemplo
Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre?
Pela Eq. 
Simplificada: 
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Taxa Nominal de Juros:
Uma taxa de juros é chamada “Nominal” quando a unidade de tempo da taxa de juros é “Maior” que a unidade de tempo do período de capitalização.
Exemplo: Caderneta de Poupança, 6% a.a.c.m. (ao ano com capitalização mensal).
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Equivalência entre taxas de juros Nominais e Efetivas
1º caso: Mesmo Período
Onde:
ief, taxa efetiva;
in, taxa nominal;
nc, número de capitalizações dentro do período da taxa nominal.
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Exemplo:
A taxa nominal de juros de 12% a.a.c.m., equivale a que taxa efetiva anual?
in = 12% a.a.c.m.; ief =?
Obs.: A taxa “Nominal” beneficia quem recebe.
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Equivalência entre taxas de juros Nominais e Efetivas
2º caso: Períodos distintos. Equivalência entre Taxa Nominal de Juros e Taxa Efetiva de Juros no período de capitalização.
Onde:
ief, taxa efetiva;
in, taxa nominal;
nc, número de capitalizações dentro do período da taxa nominal.
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Exemplo
Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% a.a.c.m.?
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Equivalência entre Taxas
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Taxas de Juros Efetivas em condições de Inflação
Onde:
ief, taxa de juros efetiva (real);
i, taxa de juros anunciada;
iinf, inflação;
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Exemplo
Um investidor teve um rendimento total de 45% a.a. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 30%. Calcule a taxa efetiva de juros obtida pelo investidor.
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Taxas Cobradas Antecipadamente
Exemplo: Um banco empresta R$ 100,00 ao seu cliente a uma taxa de 10% a.m. a ser cobrada antecipadamente, o prazo de pagamento é de 1 mês. Calcule a taxa efetiva (real) cobrada.
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Exercícios
1) Uma taxa efetiva de juros de 5% ao mês equivale a que taxa efetiva de juros anual?
2) A taxa nominal de juros de 20% a.a.c.m., equivale a que taxa efetiva anual?
3) Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 18% a.a.c.m.?
4) Você aplicou R$ 1.000,00 num CDB e resgatou R$ 1.200,00 após um ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 10%. Determine a Taxa Efetiva paga pelo CDB.
5) Um banco empresta R$ 500,00 ao seu cliente a uma taxa de 12% a.a. a ser cobrada antecipadamente, o prazo de pagamento é de 1 ano. Calcule a taxa efetiva (real) cobrada.
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Respostas
1) 79,59% 
2) 21,94%
3) 1,5%
4) 9,09%
5) 13,64%
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Financiamentos
 Financiamento é um meio de captação de recursos financeiros com pagamento pré-definido.
 Prestação é a parcela (geralmente mensal) a ser paga composta de dois elementos: “Amortização” + “Juros”.
Obs.: As parcelas de “Juros” de Financiamentos são dedutíveis para efeito de Imposto de Renda.
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Financiamentos
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Financiamentos
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Financiamentos
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Financiamentos
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Financiamentos
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Sistema de Amortização
Sistema de Amortização é a forma de pagamento das prestações (Amortização + Juros). 
Os Sistemas de Amortização mais utilizados são:
 Sistema Price ou Francês.
 Sistema de Amortização Constante.
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Período de Carência
Período de Carência é um período após a liberação do valor financiado, no qual há um alívio do encargo financeiro sobre o devedor.
Existem basicamente dois sistemas:
 Com Pagamento dos Juros.
 Com Capitalização dos Juros.
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Sistema Price (Prestação Constante)
Muito utilizado em compras de curto/médio prazo e crédito direto ao consumidor (“n vezes mensais iguais”).
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Sistema Price (Prestação Constante)
Obs.: No sistema Price, a parcela de juros diminui com o passar do tempo, enquanto a parcela de amortização aumenta.
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Sistema Price (Prestação Constante)
Como a parcela de amortização aumenta com o passar do tempo, o SD reduz lentamente no início e rapidamente no final.
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Sistema Price (Prestação Constante)
Os Juros do período “k” são calculados sobre o Saldo Devedor (SD) do período “k-1”.
Pk = ak + jk
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
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Cálculos no Sistema Price (Quadro de Amortização).
Como opção, pode-se calcular o Saldo Devedor da seguinte forma:
SDk = P (P/A, i, n-k)
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Exemplo 1.
Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$ 1.000,00, a juros de 36% a.a.c.m., a ser pago em 4 parcelas mensais, amortizável pelo Sistema Price. Calcular também o SD2 sem o uso da tabela de amortização.
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Exemplo 1.
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Exemplo 1.
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Exemplo 1.
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Exemplo 1.
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Exemplo 1.
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Exemplo 1.
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SDk = p(P/A, i, n-k)
SD2 = 269 (P/A, 3%, 2) = 269 (1,9135) = 514,73
Exemplo 1.
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Sistema de Amortização Constante (SAC)
Utilizado em dívidas de longo prazo.
a = P/n (constante)
SDk = P – k.a
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Sistema de Amortização Constante (SAC)
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Cálculos no SAC (Quadro de Amortização)
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Cálculos no SAC (Quadro de Amortização)
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Cálculos no SAC (Quadro de Amortização)
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Cálculos no SAC (Quadro de Amortização)
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Cálculos no SAC (Quadro de Amortização)
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Cálculos no SAC (Quadro de Amortização)
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Exemplo 2
Montar o quadro de amortização para os dados do exemplo1, pelo Sistema de Amortização Constante.
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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Período de Carência.
Carência com pagamento dos
juros.
Nesse sistema, durante o período de carência, paga-se somente os juros sobre o Saldo Devedor que permanece constante.
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Exemplo 3
Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$ 1.000,00, a juros de 36% a.a.c.m., a ser pago em 4 parcelas mensais, amortizável pelo Sistema Price. Considerar 2 períodos de carência com pagamento dos juros.
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Exemplo 3
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Carência com capitalização dos juros.
Nesse sistema, durante o período de carência, não se paga juros nem amortização, sendo os juros incorporados ao Saldo Devedor.
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Exemplo 4
Resolver o exemplo 3 considerando carência com capitalização dos juros.
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Exemplo 4
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Exercícios
1) Construa o quadro de amortização de uma dívida de R$ 50.000,00, resgatada pelo sistema Price em cinco prestações a juros de 10% a.p.
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Exercício 1
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Exercício 1
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Exercício 1
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Exercício 1
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Exercício 1
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Exercício 1
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Exercício 1
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Exercício 2
2) Construa o quadro de amortização para os dados do exercício 1 pelo SAC.
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Exercício 2
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Exercício 2
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Exercício 2
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Exercício 2
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Exercício 2
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Exercício 2
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Exercício 2
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Exercício 3
3) Resolva o Exercício 2 considerando 3 períodos de carência com pagamento dos juros.
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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Exercício 3
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*
Exercício 3
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Exercício 4
4) Resolva o Exercício 2 considerando 3 períodos de carência com capitalização dos juros.
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Exercício 4
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Exercício 4
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Exercício 4
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*
Exercício 4
*
*
Exercício 4
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*
Exercício 4
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Exercício 4
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*
Exercício 4
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*
Exercício 4
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*
Exercício 4
*
*
Descontos Simples;
Descontos Compostos;
Desconto Comercial (por fora);
Desconto Racional (por dentro).
Descontos
*
*
Desconto: 
É o abatimento concedido, em virtude da antecipação do pagamento de uma dívida.
É a diferença entre o valor futuro de uma dívida e seu valor atual.
(com data de vencimento pré-determinada)
Conceitos
*
*
Valor Nominal = Valor Futuro
(Valor da dívida a ser paga no vencimento)
Valor Atual = Valor Presente
(Valor da dívida a ser paga antecipadamente, considerando o desconto)
Conceitos
*
*
Desconto Simples:
 Comercial
 Racional;
Desconto Composto:
 Comercial
 Racional;
Conceitos
*
*
Também denominado Desconto Bancário. 
A base de cálculo é o Valor Futuro (Nominal) da dívida.
Utiliza uma “Taxa de Desconto”
Dsc = F.i.n
Desconto Simples Comercial (Por fora)
*
*
Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto simples comercial) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o valor do desconto? Qual foi o valor pago (valor atual) pelo título?
Dsc = N.i.n
Dsc = 100.000,00 x 0,04 x 3
Dsc = 100.000,00 x 0,12
Dsc = 12.000,00
Va = N - Dsc = 100.000,00 – 12.000,00
Va = 88.000,00
Desconto Simples Comercial (Por fora)
*
*
A base de cálculo é o Valor Presente (Atual) da dívida.
Utiliza uma Taxa de Juros
F = P .(1+i.n) => N = Va.(1+i.n)
Va = N / (1+i.n)
Desconto Simples Racional (Por dentro)
*
*
Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto simples racional) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o valor do desconto? Qual foi o valor pago (valor atual) pelo título?
 
		Va = 100.000,00 / (1+ 0,04 x 3)
		Va = 100.000,00 / (1,12)
		Va = 89.285,71
 
		Dsr = 89.285,71 x 0,12
		Dsr = 10.714,29
Desconto Simples Racional (Por dentro)
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Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto simples racional) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o valor do desconto? Qual foi o valor pago (valor atual) pelo título?
 
Simplificando:
 Dsr = N – Va
Dsr = 100.000,00 – 89.285,71
Dsr = 10.714,29
Desconto Simples Racional (Por dentro)
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Novamente, a base de cálculo é o Valor Futuro (Nominal) da dívida.
Utiliza uma “Taxa de Desconto”
Va = N.(1-i)n
Dcc = N - Va
Desconto Composto Comercial (Por fora)
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Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto composto comercial) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o valor do desconto? Qual foi o valor pago (valor atual) pelo título? 
		Va = 100.000,00 x (1-0,04)3
		Va = 100.000,00 x 0,8847
		Va = 88.470,00
 
		Dsc = 100.000,00 – 88.470,00
		Dsc = 11.530,00
Desconto Composto Comercial (Por fora)
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Novamente, a base de cálculo é o Valor Presente (Atual) da dívida. 
É o mais justo e mais utilizado no mercado financeiro brasileiro.
Utiliza uma “Taxa de Juros”
Dcr = N. [(1+i)n-1] / [(1+i)n]
Va = N/(1+i)n
Desconto Composto Racional (Por dentro)
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Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto composto racional) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o valor do desconto? Qual foi o valor pago (valor atual) pelo título?
Va = 100.000,00/(1+ 0,04)3
Va = 100.000,00/(1,124864)
Va = 88.899,64
Dcr = 100.000,00.[(1 + 0,04)3 – 1]/(1+ 0,04)3
Dcr = 100.000,00.(1,124864 – 1)/1,124864
Dcr = 100.000,00 . 0,1110036
Dsr = 11.100,36
Desconto Composto Racional (Por dentro)
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Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto composto racional) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o valor do desconto? Qual foi o valor pago (valor atual) pelo título?
Simplificando:
 Dcr = N – Va
Dcr = 100.000,00 – 88.899,64
Dcr = 11.100,36
Desconto Composto Racional (Por dentro)
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Descontos
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Exercícios
1) Uma loja vendia uma determinada peça de roupa por R$ 100 para pagamento em 30 dias. Para pagamento à vista, há um desconto simples (comercial) de 30% a.m. Qual o preço à vista?
Dsc = N.i.n
Dsc = 100 x 0,30 x 1
Dsc = 30
Va = 100 – 30 = 70
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Exercícios
2) Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto simples racional (por dentro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?
Va = N / (1 + i.n)
Va = 575 / (1 + 0,075 . 2)
Va = 575 / 1,15 = 500
Dsr = N – Va
Dsr = 575 – 500 = 75
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Exercícios
3) Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto composto racional (por dentro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?
Va = N / (1 + i)n
Va = 575 / (1,075)2
Va = 497,57
Dcr = N – Va
Dcr = 575 – 497,57 = 77,43
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Exercícios
4) Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto composto comercial. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, qual o valor descontado e o valor do desconto?
Va = 2.000 / (1 - i)n
Va = 2.000 / (1 – 0,10)2
Va = 1.620,00
Dsr = N – Va
Dsr = 2.000,00 – 1.620,00 = 380,00
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 Obrigado!