Vetores

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Produto de vetores 
PRODUTO ESCALAR 
Dados os vetores ),,( 111 zyxu e ),,( 222 zyxv
 
212121,. zzyyxxvuvu
 
Exemplos: 
1) )8,5,3(u e )1,2,4(v 
2) Dados os vetores )1,,4( au e )3,2,(av e os pontos 
A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determinar o valor de a tal que 
5).( ABvu 
5).( ABvu 
 
2
 
Módulo de um vetor 
Dado ),,( 111 zyxu
 
temo que módulo de u
 
é igual a: 
2
1
2
1
2
1. zyxuuu
 
Exemplos: 
1) )2,1,2(u 
2) Versor de u
 
3) Sabendo que a distância entre os pontos A(-1,2,3) e B(1,-1,m) 
é 7, calcular m. 
 
3
 
3) Determinar a para que o vetor )
4
1
,
2
1
,(av seja 
unitário. 
Propriedades do produto escalar 
Dados os vetores ),,( 111 zyxu , ),,( 222 zyxv
 
, 
),,( 333 zyxw
 
e a . 
1) 0. uu
 
e 0. uu
 
0u
 
 
4
 
2) uvvu ..
 
3) wuvuwvu ..).( 
4) )()()( vauvuavua 
5) 
2
. uuu 
Exemplos: 
 
5
 
1) Provar que 
222
.2 vvuuvu 
2) Provar que 
222
.2 vvuuvu