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INTEGRAL INDEFINIDA TABELA DE INTEGRAIS kcxdxc 1, 1 1 nkdxx n xn n kxdxx ||ln 1 kdxa a ax x ln kedxe xx kxdxsenx cos ksenxdxxcos kxtgdxx 2sec kxgdxxec cotcos 2 kxdxxtgx sec.sec kxecdxxgecx coscot.cos kxarctgdxx21 1 Nos exercícios de 1 à 31, calcule as seguintes integrais indefinidas: 1) dxx 2) dx3 3) dxx )13( 4) dxxx )1( 2 5) dxxx )324( 3 6) dxxxx )752( 24 7) dxx2 1 8) dxx x )( 1 9) dxxx x )3( 3 12 10) dxx x )2( 4 13 11) dxxx )43)(52( 12) dxxx )32( 13) dxxx )cos( 2 4 3 14) dxxsen2 15) dxxx )cos52( 5 16) dxxsen x )7( 2 17) dxe x x )3( 4 2 18) dxexsen x )25( 19) dx x x 2 2)1( 20) dx x x 1 12 21) dxxe 5 22) dxx )5( 23) dxx x )( 31 3 2 24) dx x x )( 3 4 4 25) dxx x )cos2( 1 26) dxe x xx )3( 2cos sin 27) dx x xx )( 4 25 12 28) dxxx 3 29) dxx 2)32( 30) dxx xe )2( 3 31) dxxx x )( 2ln ln 32) dxxx )1(cossec 32 33) dxxecxtg 22 cos. 34) dxtgxx.cos 35) dxxx 22 )1()1( 36) dxx t ex )( 3 3 2 37) dxxx3 3 2 16 )()2(8 Nos exercícios de 38 à 41, determine a função y, com x IR, tal que 38) 2)0( ' 2 y xy dx dy 39) 1)1( 1' 3 y xxy dx dy 40) 1)0( 32' y xy dx dy 41) 0)1( 3' 2 1 y xy dx dy 42) Encontrar uma primitiva F, da função xxxf 32)( , que satisfaça 1)1( F . 43) Encontrar uma primitiva da função 1)( 2 1 x xf que se anule no ponto x = 2. 44) Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade cxxxsendxxf x 2 2 cos)( , determine )( 4 f . 45) Encontrar uma função f tal que 0)(' xsenxf e 2)0( f . 46) Uma partícula desloca-se em linha reta e sabe-se que no instante t, t 0, a velocidade é v (t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição s = 1 (s(0) = 1). Determine a posição s (t) da partícula nos instantes t e t = 4. 47) Uma partícula desloca-se com velocidade v (t) = t + 3, t 0. Sabe-se que s (0) = 2. a) Qual a posição da partícula no instante t = 3 b) Determine a aceleração desta partícula no instante t = 1. 48) Um balão esférico tem seu volume expandindo-se, no instante t, a uma taxa de 2t dt dV . Sabendo que V (0) = 3, determine seu volume no instante t = 2. 49) Uma partícula se move em linha reta com aceleração a (t) e a condições iniciais dadas, determine a função posição. a) 4)0(5)0( 62)( 2 sev tta dt dv b) 2)0(1)0( 1524)( 23 sev ttta dt dv GABARITO 1) kx 2 2 2) kx 3 3) kxx 2 3 2 4) kxxx 23 23 5) kxxx 324 6) kxxxx 7 2 5 35 2 235 7) k x 1 8) kxx ln 2 2 9) kx x x 2 2 2 1 2 3 10) k x x 3 4 3 1 2 11) kxx x 202 2 73 2 12) kxx 2 3 3 2 23 13) kx xsen 34 3 3 14) kx cos2 15) kxsenx 5 3 6 16) kxx ln2cos7 17) ke xx 12 3 3 18) kexx x 2cos5 19) kxx x 1ln2 20) kxx 2 2 21) kex 5 22) kxx 52 3 3 2 23) kx x 3 ln 5 3 3 5 24) kxx 3 2 3 14 614 3 25) kxxsen 22 26) kxex sec3 27) k xx x 3 2 3 12 2 28) kx 2 9 9 2 29) kxxx 96 23 4 3 30) kx xe 33 22 2 3 31) kx 2 ln 32) kxtgxsen 33) kxtg 34) kx cos 35) kxxx 3 2 5 35 36) k x xe x 2 2 3 2 3 3 2 2 37) kxxxx 42 2 3 7 2 34 38) 23 3 x 39) 4 1 24 24 xxx 40) 132 xx 41) 4 11 4 3 2 xx 42) 10 1 25 3 23 5 xx 43) 2 31 x x 44) 8 )22( 45) 1cos x 46) 21)4(1)( 2 settts 47) a) 2 31 2 )1(23)( 2 setts t b) 1 48) 3 17 3 )2(3)( 3 VetV t 49) a) 45)( 2 2 4 ttts t b) 2)( 2 15 65 245 tts ttt INTEGRAL INDEFINIDA COM MUDANÇA DE VARIÁVEL E POR PARTES Nos exercícios de 1 à 34, calcule as integrais indefinidas, usando o método da mudança de variáveis: 1) dxe x64 2) dxxsen )2( 3) dxe x45 4) dxxxsen )5(cos)3( 5) dxex x324 6) dxxx 532 )1( 7) dxxxx )22()32( 102 8) dxxx )2(cos.2 2 9) dxx xln10 10) dxxsenx )(. 2 11) dxxxsen )(cos).( 4 12) dxx xsen )(cos )( 5 13) dx x xxsen )cos( )cos(5)(2 14) dxxsen x )(. 2 2 15) dxx43 16) dxxx 32 1 17) dxx 14 5 18) dxxe x )42cos(5 19) dxx x 3 2 1 20) dx xx x 3 2 13 21) dxx x e e 1 5 22) dxx e x 2 1 23) dxx x2ln 24) dxxx 2)3(ln 3 25) dxx x 1 2 2 26) dxee xx 522 )2( 27) dxxsen x 3 cos 28) dxx )35(sec 2 29) dxx 2)2( 1 30) dxee xx )2cos( 31) dxxx 2345 32) dxxx 243 33) dxxx 7 1 )2( 32 34) dxx x 5 2 1 dxx x e e )2cos( 3 3 resp. ketge xx )]2()2ln[sec( 33 3 1 Nos exercícios de 35 à 56, calcule as integrais indefinidas, usando o método de integração por partes: 35) dxxx cos. 36) dxex x.3 37) dxxx ln.2 38) dxxsenx. 39) dxxln5 40) dxxln 41) dxex x3. 42) dxxx )2cos(.3 43) dxex x.2 44) dxxx )2ln(. 45) dxxsenx . 2 46) dxxe x cos 47) dxxx ln. 2 48) dxxsenx )5(. 49) dxxx )2cos().1( 50) dxxsen 3 51) dxe x x )cos( 2 52) dxxx ln. 53) dxxx 2cos. 54) dxe xx 1 3 .1 55) senxdxe x2 56) dxxe x )4cos(3 dxxsenx. GABARITO 32) k xe 3 2 6 33) kx )2cos( 34) kxe 4 5 4 35) kxsenx 5 )5( 3 )3cos( 36) kxe 3 4 3 37) kx 18 )1( 63 38) kxx 11 )32( 112 39) kxsen )2( 2 40) kx 2)(ln5 41) kx 2 )cos( 2 42) kxsen 5 )( 5 43) kx 4 )(cos 4 44) kxx 5)ln(cos2 45) kx 4 )cos( 2 46) kx )4ln(3 47) kx 9 )1(2 2 3 348) k x 4 )14ln(5 49) k xe x 2 )42sin( 5 5 50) k x 3 )1ln( 3 51) kxx )ln( 3 52) kex )1ln(5 53) ke x 1 54) kx 2)(ln 55) k x )3ln( 3 56) kx 2ln 2 2 57) ke x 62 12 1 )2( 58) kxsen )3ln( 59) kxtg )35( 5 1 60) k x 2 1 61) kesen x )2( 2 1 62) kx 2 3 )34( 2 9 5 63) kx 2 3 )13( 2 9 1 64) kx 7 8 )2( 3 24 7 65) kx 5 4 )1( 2 8 5 66) kxxx cossin 67) kexe xx 33 68) kxx x 2 2 2ln 69) kxxx sincos 70) kxxx 5ln5 71) kxxx ln 72) kxx exe 93 33 73) k xxx 4 )2cos(3 2 )2sin(3 74) kexe xx 22 75) kx xx 42 )2ln( 22 76) kxxxxx cos2sin2cos2 77) kxexe xx 2 cossin 78) kxxx 93 ln 33 79) kxsenxx )5()5cos( 25 1 5 80) kxxsenx )2cos()2( 4 1 2 1 81) kxxxsen 3 3 22 coscos 82) ksen xxex )cos(2)( 225 2 83) kxxxxx 9 4 3 2 ln 84) kxxxsenx )2cos()2( 2 12 4 1 85) kee xx x 11 1 86) kxesenxe xx cos2 22 5 1 87) kxexsene xx )4cos()4( 3 4 33 25 4 INTEGRAL POR FRAÇÕES PARCIAIS 2) Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando o método das frações parciais: a) dxx x 42 b) dxxx x 652 c) dx x x 1 12 2 d) dx x x 2)1( 3 e) dx xx xx 32 13 2 2 f) dx x x 3 2 )2( 1 g) dx xx x 2 3 h) dx xx xx 2 2 1 i) dx xx xx 12 1 2 3 j) dx xx xx 34 1 2 3 k) dx x x 9 3 2 3 l) dxxx 2 1 2 m) 3 2 2 3 3 x x x x dx n) 3 3 2 4 2 2 1 x x x x dx o) 3 4 2 3 1 4 x x x x dx GABARITO: a) k xx 2 )2ln( 2 )2ln( b) kxx )3ln(3)2ln(2 c) k xx 2 )1ln( 2 )1ln(3 d) kx x 1 4)1ln( e) kx xx 4 )3ln(19 4 )1ln( f) kx xx 2)2(2 5 2 4)2ln( g) kxx )1ln(4ln3 h) kxxx )1ln(3ln i) kxx x x 1 3 2 )1ln(42 2 j) kx xxx 2 )3ln(31 2 )1ln(3 2 4 2 k) kxxx )3ln(4)3ln(5 2 2 l) kxx 3 )2ln( 3 )1ln( m) ln( 1) 3ln( 1) ln( 3) 4 8 8 x x x k n) 2ln( 1) ln(2 1) 3 3 2 2ln( 1) x x x x k o) 13ln( 2) 15ln( 2) 3ln( )1 16 16 4 4 x x x x k INTEGRAIS COM SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Expressão no integrando Substituição Interpretação Geométrica 22 xa senax . 22 xa tan.ax 22 ax sec.ax Identidades: Derivadas Integrais xyxtgy 2sec' kxxdxtg secln xtgxyxy .sec'sec kxtgxxdx seclnsec 1) Calcule as integrais dadas abaixo, utilizando a substituição trigonométrica: a) dx x 16 1 2 b) dx x x 2 2 4 c) dx xx 25 1 22 d) dx xx 24 1 e) dx x 9 1 2 f) dx x 225 1 g) dxxx 216 h) dx xx 29 1 i) dx x x 2 2 3 4 j) dx x 249 1 k) dx x x 93 2 2 l) dx xx 3 1 24 m) 1623 xx dx GABARITO: a) kx x 44 162ln b) ksen xxx 2 4 2 1 22 c) k x x 25 252 d) k xx x 24 2 1 2 ln e) kxx 33 92ln f) ksen x 5 1 g) k x 3 16 3 2 1cos22 xxsen basensenbaba coscos)cos( xtgx 22 1sec 2 )2cos( 2 12 xxsen absenbasenbasen coscos)( 2 )2cos( 2 12cos x x x a x a x a INTEGRAL DEFINIDA 1) Calcule as seguintes integrais definidas: a) 1 0 )3( dxx b) dxxsen )6( c) 2 1 4dx d) 2 0 3 )13( dxxx e) 1 0 2 13 )5( dxx f) 2 1 13 )( 3 dxxx x g) 1 0 2 )2( dxxe x h) 2 2 )3(cos dxxsenx i) 2 1 52 )( dxxex j) 2 1 2 )13( dxxx 2) Calcule as seguintes integrais definidas, usando o método da mudança de variáveis: a) 1 1 4 dxe x b) 3 0 )3cos(3 dxx c) 1 0 1 2 2 dxx x d) 1 0 1 1 dx x e) 2 0 2 1 2 1 )2cos( dxx f) 4 0 )4cos(6)2(4 dxxxsen g) 1 1 3 4dxex x h) 1 0 32 )1( dxxx i) 1 0 72 )3( dxxx j) 2 0 2 3 dxsen x 3) Calcule as seguintes integrais definidas, usando o método de integração por partes: a) 1 0 .6 dxex x b) 2 1 )ln(8 dxx c) 0 .3 dxsenxx d) 2 0 )5cos(.4 dxxx e) 3 1 )4ln(.2 dxxx f) 2 )(. dxxsenx GABARITO: 1. a) 7/2 b) 0 c) 12 d) 8 e) 3/4 f) 45/8 g) 3,1 h) 2 i) – 21,96 j) 47/6 2. a) 13,64 b) c) ln2 d) ln2 e) 4 f) 2 g) 0 h) 1/2 i) 3685,93 j) 1,75 3. a) – 6 b) 3,09 c) 3 d) – 1,09 e) 16,97 f) 3 CÁLCULO DE ÁREAS Nos exercícios de 1 à 12, calcule a área da região hachurada: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 1 3 xxy 42 x y 1 3 2 1 x y x y –1 0 3 652 23 xxxy x y 2xy xy 1 x y xy ln 1 2 1 4 x y 2xy xxy 42 y x 4 2 xseny xy cos y x –1 0 2 1 xy xey y x 9) 10) 11) 12) 13) GABARITO 1) 3 22 2) 3 2 3) 6 59 4) 3 1 5) 3 8 6) 2,7 7) 0,82 8) 4,35 9) 28,6 10) 22 11) 2 9 12) 2ln 13) 1,44 2 2 xy 6 xy 3xy y x 2 1 2 1 1 x y 1 y x 12 xy 1 xy yx 2 2 xy 8 2 2 xy y x 1 2 0 2xy xy x y OUTRAS APLICAÇÕES Nos exercícios de 14 à 24, resolva as seguintes integrais: 14) 2 2 1 a x dx 15) 2 1 5 x dx 16) 2 2 2 5x dx 17) 41 x x dx 18) 2 1 1 x x dx 19) 2 2 5 ( 2)x dx 20) 2 2 3 1 4 x x dx 21) 2 1 2 2x x dx 22) 2 1 4 8x x dx 23) 24cos xdx 24) 3(2 )cossen x xdx RESPOSTAS 14) 1 ( )x a a arctg k 15) 1 5 5 ( )xarctg k 16) 10 10 10 2 ( )xarctg k 17) 21 2 ( )arctg x k 18) 21 1 2 2 2 ln(4 ) ( )xx arctg k 19) 22 5 5 ( )xarctg k 20) 2 31 4 2 ln(1 4 ) (2 )x arctg x k 21) ( 1)arctg x k 22) 21 2 2 ( )xarctg k 23) (2 ) 2 4 sen xx k Nos exercícios de 25 à 30, encontre a área limitada pelas curvas dadas. 25) 25 3y x e y x 9/2 26) 21 3y x e y 32/3 27) 1 2 ; 2x x y e y x 1/3 28) 2 3 3y x e y x 1/6 29) 2 1y x x e y x 4/3 30) 2 2 6 1y x e y x 36 31) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro da posição. a) Determine a função posição s (t), sabendo que s (0) = 3. tetS 23)( b) Determine a posição da partícula no instante t = 5. 66.079,39 31) Sabendo que a população de uma cidade dobra em 50 anos, em quanto anos será ela o triplo, admitindo que a razão de crescimento é proporcional ao número de habitantes? 79,24 32) A cidade de Rio Verde tinha uma população de 25.000 habitantes em 1960 e uma população de 30.000 em 1970. Admitindo que a razão de crescimento é proporcional ao número de habitantes, que população seus planejadores podem esperar para o ano de 2011? 63.352 32) Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional ao número presente. Depois de 3 horas existem 8.000 bactérias. a) Calcule o número de bactérias depois de 4 horas. 20.158 b) Quando essa população alcançará 30.000 bactérias? 4,4 h 33) Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de Newton. Portanto, se T (t) é a temperatura do objeto no tempo t e Ta é a temperatura ambiente constante, temos a relação )( adt dT TTk . Usand-o estes dados, considere uma substância colocada numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30º C e resfriando a substância de 100º C para 70º C em 15 minutos. Encontre o momento em que a temperatura da substância será de 40º C. 52,56 33) Suponha que a temperatura de uma xícara de café recém-passado seja de 90º C. Um minuto mais tarde a temperatura já diminuiu para 85º C numa sala a 20º C. Que período de tempo decorrerá (considerando a lei de resfriamento de Newton seja válida) até que a temperatura do café atinja 65º C. 2,12 34) Determinar o tempo necessário para que uma certa quantia de dinheiro se duplique colocada a 5% ao ano, continuamente acumulados. Sugestão: x dt dx 05,0 . 13,86 34) Uma pessoa deposita R$ 20.000,00 em uma conta poupança que paga 8% ao ano de juros compostos continuamente. Determine: a) O saldo da conta após 3 anos. 25.424,98 b) O tempo necessário para que a quantia inicial se triplique. 13,73 35) Suponha que o corpo de uma vítima de assassinato em Rio Verde foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00 h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8º C. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,1º C. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20º C. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5º C. aprox. 22:45 h OBS: as substâncias radioativas decaem a uma taxa proporcional à massa remanescente, isto é, se m(t) é a massa remanescente da massa inicial 0m da substância depois de um tempo t, então km dt dm . 36) Gilmar acordou no domingo às 08:00 hs da manhã. Pensando nos preparativos para o almoço, lembrou de colocar a coca-cola na geladeira para gelar. No momento em que colocou a garrafa na geladeira ela estava a uma temperatura de 26 ºC. Dentro do refrigerador a temperatura era de 2 ºC. Depois de trinta minutos, abriu a porta da geladeira e notou que a temperatura da coca-cola era 15 ºC. a) Qual é a temperatura da coca-cola depois de uma hora na geladeira? b) Quanto tempo demoraria a coca-cola atingir a temperatura de 8 ºC? 37) O nuclídeo radioativo tório 234 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se 100mg deste material reduzirem-se a 82,04mg em uma semana, determine: a) Uma expressão que determine a quantidade presente em qualquer instante. tetM 02828,0100)( b) O tempo necessário para que a massa do material decaia à metade do seu valor original. 22,5 mg 38) A meia-vida do rádio-226 é de 1590 anos. a) Uma amostra de rádio-226 tem uma massa de 200mg. Encontre uma fórmula para a massa que permanece após t anos. tetM 0004359,0200)( b) Calcule a massa após 1000 anos. 129,4 c) Quando a massa será reduzida a 30mg? Aprox. 4361 39) Os cientistas podem determinar a idade de um objeto antigo por um método chamado datação de carbono-14. O bombardeamento da atmosfera superior por raios cósmicos converte nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono, C14 , com uma meia vida de cerca de 5.730 anos. A vegetação absorve o dióxido de carbono pela atmosfera e os animais assimilam o C14 através das cadeias alimentares. Quando uma planta ou animal morre, ele para de repor seu carbono, e a quantidade de C14 diminui através do decaimento radioativo. Portanto o nível de radioatividade também deve decair exponencialmente. Um pedaço de tecido foi descoberto tendo cerca de 74% de C14 radioativo em relação às plantas terrestres nos dias de hoje. Estime a idade do tecido. 2500 40) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e um indutor L, ligados em série, conforme abaixo, com uma força eletromotriz V constante. Fechado o interruptor S em t = 0, segue-se, de uma das leis de Kirchhoff para circuitos elétricos que, se t > 0, a corrente satisfaz a equação diferencial VRIL dt dI . Suponha 12R e 4L . Se uma pilha fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado quanto t = 0, então a corrente começa com 0)0( I . Determine: a) A corrente I em função de t. )1(5)( 3tetI b) A corrente depois de 1 segundo. 4,75 c) O valor limite da corrente. 5 41) Suponha que a resistência R e a indutância L permaneçam a mesma como no exercício anterior, mas, em vez de uma pilha, use um gerador que produz uma voltagem variável de voltstsenV )30(60 . Encontre I(t). tettsen 310150105 )30cos(10)30( R L S V INTEGRAL IMPRÓPRIA 1) Encontrar a área sob a curva xey , 0x . 2) Investigar a integral imprópria 7 )5( 1 2 dxx . 3) A integral imprópria 05 dxe x converge? Justifique. Nos exercícios de 27 à 37, investigue a convergência ou divergência das integrais impróprias. 4) 0 dxex 5) dxex x 2 6) 1 ln xdx 7) e xx dx 2)(ln 8) 4 dxex 9) dxex x 10) 1 3x dx 11) 1 x dx 12) 0 2 dxex x 13) dx x x 24 3 )3( 4 14) 0 54 dxxe x 15) Suponha que engenheiros de produção estimaram que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa de tetf 2,0700)( milhares de metros cúbicos mensais, onde t é o tempo desde o início da produção. Qual é a estimativa da quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço? 16) Engenheiros da Petrobrás estimaram que um poço de petróleo pode produzir óleo a uma taxa de tt eetP 1,004,0 8080)( milhares de barris por mês, onde t representa o tempo, medido em meses, a partir do momento em que foi feita a estimativa. Determine o potencial de produção de óleo desse poço a partir dessa data. RESPOSTAS 1) 1 2) 2 1 3) 5 1 4) 1 5) 0 6) diverge 7) 1 8) diverge 9) diverge 10) 2 1 11) diverge 12) 4 1 13) ? 14) ? 15) 3500 16) ?
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