EDO - Primeira Ordem - Lista

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Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matema´tica - IM
Disciplina: MATA04 - Ca´lculo C
Professor: Fellipe Antonio
NOME:
1a Lista de Exercı´cios: EDO de 1a Ordem
BLOCO 1: Me´todos de Resoluc¸a˜o de E.D.O., Trajeto´rias Ortogonais e Problemas de Cauchy
1) Resolva as seguintes EDO
(a)
y
x
dy − sen(x2)dx = 0 (c) dy
dx
=
2x+ xy2
4y + x2y
(b)
dy
dx
= ex+y (d)
√
1− x2 dy
dx
+ y3 = 0
2) Determine as trajeto´rias ortogonais a`s fam´ılias abaixo, sendo b ∈ R :
(a) y = −2x+ b (c) y2 = bx (e) y2 = bx3 (g)y = be−x
(b) y = ln(x3 + b) (d) x2 − y2 = b (f) xy = b
3) Verifique se as equac¸o˜es abaixo sa˜o exatas:
(a) (ycos(xy) + 3y − 1)dx+ (xcos(xy) + 3x)dy = 0 (d) y′ + xy = 3x
(b) (ex + y − 1)dx+ (3ey + x− 7)dy = 0 (e) eyy′ + (1 + x)e−y = 0
(c) 3x2 ln y dx+ x3y−1dy = 0 (f) y dx+ (2y − x)dy = 0
4) Resolva as equac¸o˜es exatas da questa˜o anterior. Verifique tambe´m se, para aquelas que
na˜o sa˜o exatas, e´ poss´ıvel encontrar facilmente um fator de integrac¸a˜o. Em caso afirmativo,
resolva-as.
5) Encontre um fator de integrac¸a˜o na forma xmyn e resolva as E.D.O. abaixo:
(a) y dx+ (2x− y2)dy = 0 (b) x3y dx− (x4 + y4)dy = 0
6) Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o homogeˆneas e, em caso afirmativo, determine o grau.
(a) f(x, y) = xsen
x
y
+
x2
y
(c) f(x, y) = cos
x+ 4y
x
(b) f(x, y) = x ln y + yex (d) f(x, y) = x2 + 2y2
7) Encontre as soluc¸o˜es das equac¸o˜es abaixo:
(a) x
dy
dx
− y
(
ln
(y
x
)
+ 1
)
= 0 (b) y dx− (x−√x2 + y2)dy = 0
8) Resolva as E.D.O. abaixo:
(a) (x− 4y − 3)dx− (x− 6y − 5)dy = 0 (b) (x− y − 1)dx+ (x+ 4y − 6)dy = 0
9) Uma curva C esta´ em coordenadas cartesianas retangulares. Seja P (x; y) um ponto dessa
curva, trac¸am-se as retas tangente e normal a` C em P. Sejam M e N os pontos em que a
reta tangente e a reta normal cortam respectivamente o eixo OY e OX. Determine a equac¸a˜o
da curva C sabendo que OM +ON = 2a, a > 0.
10) Resolva as seguintes E.D.O.:
(a) y′ +
2y
x
= x2 (b) y′ + y = 1 + x2
11) Resolva as equac¸o˜es abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condic¸o˜es
iniciais forem dadas, encontre a soluc¸a˜o particular:
1. xdy − ydx = 0 16. 2x ln ydx+ x
2
y
dy = 0
2. 2ydx+ (xy + 5x)dy = 0 17. (x+ 2y − 1)dx+ (2x− y − 7)dy = 0
3. xy′ − y = y3, 18. (x− y − 1)dx+ (x+ 4y − 6)dy = 0
4. 2y2y′ = 3y − y′, x = 3, y = 1 19. (x− 4y − 3)dx− (x− 6y − 5)dy = 0
5. (xy + x)dx+
√
4 + x2dy = 0, x = 0, y = 1 20. (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y + 1)dy = 0
6. y′sen x = y ln y, x =
pi
2
, y = e 21. y′ = cotg(x+ y)− 1
7. (x lnx)dy = ydx, x = 3, y = 4 22. x2y′ + xy = 2 + x2
8. xy′ = x+ y 23. y2dx+ (y2x+ 2xy − 1)dy = 0
9. y′ =
y + x
y − x, y(0) = 2 24. y
2dx+ (xy + 1)dy = 0
10. (y +
√
x2 − y2)dx = xdy 25. 3x2y2dx+ 4(x3y − 3)dy = 0
11. (x+ 3y)dx+ (3x− 2y)dy = 0 26. xy′ + 2y = ex2
12. x2y′ = x2 − xy + y2 27. (2x+ y4)y′ = y
13. (1− 2xy + 3x2y2)dx− (x2 + 3y2 − 2x3y)dy = 0 28. (4y
x
+ x
√
y
)
dx = dy
14. (ycos x)dx+ (sen x− sen y)dy = 0 29. (y + ey − e−x)dx+ (1 + ey)dy = 0
15. (2xy3 + 8x)dx+ (3x2y2 + 5)dy = 0, y(2) = −1
12) Forme as equac¸o˜es diferenciais das seguintes fam´ılias de curvas:
(a) x2 + y2 = C2 (d) y = C1cos2x+ C2sen2x
(b) y = Cex (e) y = (C1 + C2x)e
x + C3
(c) x3 = C(x2 − y2) (f) y = C1e2x + C2e−x
BLOCO 2: Aplicac¸o˜es de E.D.O.
13) Um homem usando pa´ra-quedas salta de uma grande altura. A massa do conjunto
(homem e pa´ra-quedas) e´ de 80Kg. Seja v(t) a velocidade no instante t segundos depois de
comec¸ar a queda. Durante os primeiros 16 segundos, a forc¸a ocasionada pela resisteˆncia do
ar e´ metade da velocidade em cada instante. Posteriormente, quando o para´-quedas e´ aberto
a forc¸a devida a resisteˆncia do ar e´ 8v. Considerando g = 10m/s2, determine:
(a) A expressa˜o para v(t) para t < 16s.
(b) A expressa˜o para v(t) para t > 16s.
14) Um circuito RL tem f.e.m. de 5V, resisteˆncia de 50Ω e indutaˆncia de 1 henry. Sabendo
que a corrente inicial do circuito e´ zero, determine a corrente no circuito no instante t.
15) O modelo mais simples para tratar o crescimento de uma populac¸a˜o foi proposto por
Malthus. Segundo ele, a taxa de variac¸a˜o da populac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo e´ proporcional
a` populac¸a˜o presente. Escreva a E.D.O. que representa esse modelo, encontre a soluc¸a˜o
geral para ela e descubra por que este modelo e´ conhecido como modelo de Crescimento
exponencial. Ele parece coerente?
16) A taxa de aumento (a) de uma populac¸a˜o e´ a soma das taxas de natalidade (n) e migrac¸a˜o
(g), menos a taxa de mortalidade (m), ou seja,
a = n+ g −m.
O aumento da populac¸a˜o num instante dado e´ igual ao produto da populac¸a˜o nesse instante
com a taxa de aumento da populac¸a˜o. Mas, se P (t) e´ func¸a˜o que representa a populac¸a˜o em
um instante t, o aumento da populac¸a˜o tambe´m e´ igual a` derivada da func¸a˜o P, assim:
dP
dt
= aP.
O modelo de Malthus, estudado no problema anterior, supo˜e que a taxa de aumento (a)
e´ constante. Existe um outro modelo para o crescimento de uma populac¸a˜o, proposto por
Pierre-Frac¸ois Verhulst e por Pearl, conhecido como Modelo Log´ıstico. Nele considera-se que
as taxas de natalidade e migrac¸a˜o sa˜o constantes e que a taxa de mortalidade e´ diretamente
proporcional a` populac¸a˜o presente, assim
a = n+ g −m = b− kP.
Escreva a equac¸a˜o diferencial obtida segundo esse modelo e encontre a soluc¸a˜o dessa E.D.O.
.
Observac¸a˜o: Em alguns livros, encontramos a equac¸a˜o acima representada por
dP
dt
= kP
(
1− P
L
)
,
nessa forma chamam a constante L de limite ma´ximo da populac¸a˜o ou capacidade do am-
biente. Para compreender melhor essa denominac¸a˜o, calcule o limite da soluc¸a˜o encontrada
quando t→∞.
17) Considere um tanque usado em determinada experieˆncia, que conte´m 200l de uma soluc¸a˜o
corante, com concentrac¸a˜o de 1g/l. Para preparar a pro´xima experieˆncia o tanque deve ser
lavado com a´gua, fluindo a taxa de 2l/min e, a soluc¸a˜o, bem homogeneizada, e´ drenada na
mesma taxa. Determine o intervalo de tempo decorrido ate´ que a concentrac¸a˜o de corante
no tanque atinja 1% do seu valor inicial.
18) Um tanque conte´m 5.000 litros de salmoura a uma concentrac¸a˜o de 10 g/l . Adiciona-se a
esse tanque salmoura com uma concentrac¸a˜o de sal de 20 g/l a` raza˜o de 10 l/min. A mistura
do tanque e´ continuamente agitada, de modo a manter a soluc¸a˜o homogeˆnea (deste modo, a
concentrac¸a˜o e´ a mesma em todos os pontos do tanque). Ao mesmo tempo, a mistura deixa
o tanque atrave´s de um buraco a` mesma raza˜o. Determinar a quantidade e a concentrac¸a˜o
de sal num instante t.
BLOCO 3: Problemas Teo´ricos
19) E´ poss´ıvel garantir a unicidade de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial y′ =
√
y2 − 9
passando pelo ponto (1, 4)? E passando pelo ponto (2,−3)? Justifique.
20) Considere as seguintes E.D.O. Lineares:
y′ + P (x)y = Q1(x) (1)
y′ + P (x)y = Q2(x). (2)
(a) Mostre que se ϕ1 e´ soluc¸a˜o de (1) e ϕ2 e´ soluc¸a˜o de (2) enta˜o ϕ1 + ϕ2 e´ soluc¸a˜o de
y′ + P (x)y = Q1(x) +Q2(x).
(b) Mostre que se Q1(x) = 0 e ϕ1 e´ soluc¸a˜o de (1) enta˜o, para todo α ∈ R, αϕ1 e´ soluc¸a˜o
de (1).
(c) Conclua que o conjunto das soluc¸o˜es de y′+P (x)y = 0 e´ um espac¸o vetorial sobre R (e´
poss´ıvel mostrar ainda que este espac¸o vetorial tem dimensa˜o 1! Mas na˜o chegaremos a
tanto agora...).
(d) Conclua que se ϕ1 e ϕˆ1 sa˜o soluc¸o˜es de (1) enta˜o Z(x) = ϕ1(x)− ϕˆ1(x) e´ soluc¸a˜o de
y′ + P (x)y = 0.
(e) Utilizando as definic¸o˜es de equac¸a˜o linear homogeˆnea, equac¸a˜o linear na˜o-homogeˆnea e
equac¸a˜o homogeˆnea associada, reescreva as concluso˜es dos itens (c) e (d).
21) O problema de valor inicial
y′ − 2
x
y = 0, y(0) = 0
tem duas soluc¸o˜es: ϕ1(x) = 0 e ϕ2(x) = x
2. Por que este resultado na˜o contradiz o teorema
de Existeˆncia e Unicidade das soluc¸o˜es?GABARITO
BLOCO 1: Me´todos de Resoluc¸a˜o de E.D.O., Trajeto´rias Ortogonais e Problemas de Cauchy
1) (a) y2 + cos x2 = k (c) 2 + y2 = k(4 + x2)
(b) −1 = ex+y + key (d) 1
2y2
= arcsen x+ k
2) (a) y =
x
2
+ a (c) y2 = −2x2 + a (e) y2 = −2
3
x2 + a (g) y2 = 2x+ a
(b) e−y =
−1
3x
+ a (d) y =
k
x
(f) y2 = x2 + a
3) Sa˜o Exatas: (a),(b) e (c). Na˜o sa˜o exatas: (d), (e), (f).
4) (a) sen (xy) + 3xy − x = k (d) λ(x, y) = λ(x) = ex2/2, (y − 3) = kex2/2
(b) ex + xy − x+ 3ey − 7y = k (e) λ(x, y) = λ(y) = e−y, 2x+ x2 + e2y = k
(c) x3 ln y = k (f) λ(x, y) = λ(y) = y−2,
x
y
+ 2 ln y = k
5) (a)λ(x, y) = x0y1 = y; 4xy2 − y4 = k (b)λ(x, y) = x0y−5 = y−5; x
4
4y4
− ln y = k
6) A menos do item (b) todas sa˜o homogeˆneas. Os graus sa˜o: (a) 1, (c) 0 e (d) 2.
7) (a)y = xekx (b)
√
x2 + y2 − x = ky2.
8) (a)(x− 2y − 1)2 = k(x− 3y − 2) (b)ln[(x− 2)2 + 4(y − 1)2] + arctg2y − 2
x− 2 = k.
9) ln k[(x− a)2 + (y − a)2] = 2arctg y − a
x− a
10) (a)y =
x3
5
+ kx−2 (b)x2 − 2x+ 3 + ke−x.
11)
1. y = kx 11. x2 + 6xy − 2y2 = k 21.− ln cos(x+ y) = x+ k
2. x2y5ey = k 12. y = x− x
k + lnx
22.y = 2x−1 lnx+ (x/2) + (k/x)
3. y2 = kx2(y2 + 1) 13. x− x2y + x3y2 − y3 = k 23. y2x = 1 + ke−y
4. y2 + ln y = 3x− 8 14. ysen x+ cos y = k 24. xy + ln y = k
5. y = −1 + 2e2−
√
4+x2 15. x2y3 + 4x2 + 5y = 7 25. x3y4 − 4y3 = k
6. ln y = cossec x− cotg x 16. x2 ln y = k 26. yx2 = k + 1
2
ex
2
7. y =
4 lnx
ln 3
17. x2 + 4xy − y2 − 2x− 14y = k 27. 2x = y4 + ky2
8. y = x(lnx+ k) 18.ln[(x− 2)2 + (y − 1)2] + arctag2y − 2
x− 2 = k 28. y = x
4(ln
√
x+ k)2
9. y2 − 2xy − x2 = 4 19. (x− 2y − 1)2 = k(x− 3y − 2) 29. y + ey = (x+ k)e−x
10. lnx = arcsen
y
x
+ k 20. 2(x+ y) + ln(x+ y) = x+ k
12)
(a)
dy
dx
=
−x
y
(c) 3y2 − x2 = 2xy dy
dx
(e)
d3y
dx3
− 2d
2y
dx2
+
dy
dx
= 0
(b)
dy
dx
− y = 0 (d) d
2y
dx2
+ 4y = 0 (f)
d2y
dx2
− dy
dx
− 2y = 0
BLOCO 2: Aplicac¸o˜es de E.D.O.
13) (a)v(t) = 1600− 1600e−t/160 (b)v(t) = 100 + (1500− 1600e−1/10)e−t/10.
14)I(t) =
−1
10
e−50t +
1
10
15) P (t) = Cekt, em que k e´ a constante de proporcionalidade entre a taxa de variac¸a˜o e a populac¸a˜o
presente. Como a populac¸a˜o inicial e´ diferente de 0 temos C 6= 0 e, como normalmente k > 0 (a
populac¸a˜o cresce), segundo esse modelo essa populac¸a˜o teria um crescimento muito ra´pido, o que em
geral na˜o se verifica em per´ıodos muito longos.
16) P (t) =
Cˆbebt
1 + kCˆebt
=
1
ebtCˆ
· (Cˆebt)
1
ebtCˆ
· (1 + kCˆebt)
=
b
k + C¯e−bt
, em que C¯ = Cˆ−1. Na formulac¸a˜o
dP
dt
= KP
(
1− P
L
)
,
a soluc¸a˜o seria P (t) =
LCeKt
L+ CeKt
. Note que lim
t→∞
P (t) = L =
b
k
.
17) t = (200 ln 10) minutos
18) Q(t) = 100.000− 50.000e−t/500 e c(t) = Q(t)
5000
= 20− 10e−t/50.
BLOCO 3: Problemas Teo´ricos
19) Sim e na˜o (respectivamente). Pelo Teorema de Existeˆncia e Unicidade de soluc¸o˜es, so´ podemos garantir
existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es para PVI com condic¸o˜es iniciais (x0, y0) quando
∂f
∂y
(x, y) existe e
e´ cont´ınua em um dom´ınio contendo o ponto (x0, y0). Isso ocorre em (1,4) e na˜o ocorre em (2,-3).
ERRATA: A EDO E´ y′ =
√
(y2 − 9). Se voceˆ resolveu esse exerc´ıcio com a outra versa˜o, a
resposta seria na˜o em ambos os casos.
20)#Dicas:
(a) Basta testar se ψ(x) = ϕ1(x) + ϕ2(x) e´ soluc¸a˜o da E.D.O.
(b) Basta testar se ψ(x) = αϕ1(x) e´ soluc¸a˜o da E.D.O.
(c) Basta mostrar que o conjunto S = {ϕ : ϕ′ + P (x)ϕ = 0} e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o
vetorial das func¸o˜es. Para fazer isso voceˆ deve apenas verificar que
(i) 0 ∈ S;
(ii) ϕ, ψ ∈ S ⇒ ϕ+ ψ ∈ S;
(iii) α ∈ R, ϕ ∈ S ⇒ αϕ ∈ S.
(d) O que ocorreria com o item (a) se voceˆ trocasse a func¸a˜o teste por ϕ1 − ϕ2? O que voceˆ teria que
adaptar? Ou mais claramente, −ϕ1 e´ soluc¸a˜o de que E.D.O. linear?
(e) Sera´ feito em sala
21)Porque este PVI na˜o satisfaz as hipo´teses do Teorema, observe que
∂f
∂y
(x, y) =
2
x
so´ esta´ definida para
x 6= 0.