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Universidade Federal da Bahia Instituto de Matema´tica Disciplina: Ca´lculo A Co´digo: MAT A02 Professor: Isaac C. Lazaro EXERCICIOS Questa˜o 1: Usando a definic¸a˜o encontre a derivada das func¸o˜es abaixo nos pontos indica- dos: (1) y = 1 n √ x x=1. (2) y = 1 xn x=1 (3) y = 1 x2 x=-2 Questa˜o 2: Calcule o valor dos seguintes limites, se existir: (1) y = lim x→∞ 3 √ x3 − 2x√ x+ 10 . (2) lim x→∞ 5 √ x3 + 4x− 5 x2 (3) lim x→1+ x2 − 3x+ 2 (x− 1)2 (4) lim x→0+ x sen ( 1 x ) Questa˜o 3: (1) Determine o valor a de modo que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua. f(x) = x2, se x < 1 −x+ 2, se x > 1 a, se x = 1 (2) E´ poss´ıvel definir a func¸a˜o abaixo no ponto x = 3, para que mesma seja cont´ınua? f(x) = x2 − x− 2, se x < 3 −2x+ 2, se x > 3 a, se x = 1 Questa˜o 4: Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo . (1) f(t) = 1√ t2 − 1. (2) f(u) = ( u2 − 1 u2 + 1 )3 (2) f(x) = (x2 + 7x)−10 Questa˜o 5: Encontre: (1) Uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x x2 + 1 no ponto de abscissa x = 1. (2)Uma equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal a` curva y = sen(x2 + 2x) no ponto (0, 0). (3) Uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada pela equac¸a˜o x2 + xy+ y2− 1 no ponto (1,−1). Questa˜o 6: Calcule dy dx nos seguintes casos: (1) y = u u−1 u = (x 2 + 1)3 (2) y = t t2+1 t = (x2 − 1 x3 )3 Questa˜o 7: Encontre as equac¸o˜es das retas que passam pelo ponto (2,−3) e que e´ tan- gentes ao gra´fico de y = x2 + x. Verifique tambe´m que na˜o existe reta que passe pelo ponto(2, 7) e seja tangente ao mesmo gra´fico. Questa˜o 8: Uma part´ıcula se move sobre o gra´fico da para´bola y = x2− 6x. Ache o ponto da curva no qual a taxa de variac¸a˜o da ordenada e´ igual a quatro vezes a taxa de varic¸a˜o da abscissa. Questa˜o 9: Um reservato´rio tem a forma de um cone com ve´rtice para baixo e 2m de al- tura . O raio da cobertura e´ 1m. Enche-se o reservato´rioa raza˜o 3m/s. Qua˜o rapidamente se eleva o n´ıvel da a´gua no instante em que sua profundidade e´ de 1,5m. (O volume de um cone de altura h e raio da base r e´ V = pir2h 3 .) Questa˜o 10: Um trem deixa uma estac¸a˜o e vai em direc¸a˜o ao norte a raza˜o de 40km/h, no mesmo instante, um outro trem na mesma estac¸a˜o, sai em direc¸a˜o ao leste a raza˜o de 20km/h. Ache a taxa que esta˜o separando-se os dois trens 1h apo´s a partida. Questa˜o 11: alcule os seguintes limites: (1) lim x→0 sen 2x sen 4x . (2) lim x→0 sen ax sen bx . (3) lim x→0 3x+ sen 2x x+ sen 4x . (4) lim x→0 tg x x . Questa˜o 12:Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x sen pi 2x no ponto de abscissa x = 1 Questa˜o 13: Verifique que as func¸o˜es y = sen 3x e sen − x satisfazem a equac¸a˜o diferencial y′′ − 2y′ + y = 0 Questa˜o 13: Dada a func¸a˜o f(x) = sen 2x+ cos 2x. Verifique f ′(x) = 0 para todo x ∈ R. Conclua a` partir da´ı que sen 2x+ cos 2x = 1 para todo x ∈ R.( sugesta˜o: Se uma func¸a˜o tem derivada nula em um intervalo enta˜o ela e´ nula neste interval
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