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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matema´tica
Disciplina: Ca´lculo A Co´digo: MAT A02
Professor: Isaac C. Lazaro
EXERCICIOS
Questa˜o 1: Usando a definic¸a˜o encontre a derivada das func¸o˜es abaixo nos pontos indica-
dos:
(1) y =
1
n
√
x
x=1.
(2) y =
1
xn
x=1
(3) y =
1
x2
x=-2
Questa˜o 2: Calcule o valor dos seguintes limites, se existir:
(1) y = lim
x→∞
3
√
x3 − 2x√
x+ 10
.
(2) lim
x→∞
5
√
x3 + 4x− 5
x2
(3) lim
x→1+
x2 − 3x+ 2
(x− 1)2
(4) lim
x→0+
x sen (
1
x
)
Questa˜o 3:
(1) Determine o valor a de modo que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua.
f(x) =

x2, se x < 1
−x+ 2, se x > 1
a, se x = 1
(2) E´ poss´ıvel definir a func¸a˜o abaixo no ponto x = 3, para que mesma seja cont´ınua?
f(x) =

x2 − x− 2, se x < 3
−2x+ 2, se x > 3
a, se x = 1
Questa˜o 4: Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo .
(1) f(t) =
1√
t2 − 1.
(2) f(u) = (
u2 − 1
u2 + 1
)3
(2) f(x) = (x2 + 7x)−10
Questa˜o 5: Encontre:
(1) Uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
2x
x2 + 1
no ponto de abscissa x = 1.
(2)Uma equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal a` curva y = sen(x2 + 2x) no ponto
(0, 0).
(3) Uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada pela equac¸a˜o x2 + xy+ y2− 1 no ponto
(1,−1).
Questa˜o 6: Calcule dy
dx
nos seguintes casos:
(1) y = u
u−1 u = (x
2 + 1)3
(2) y = t
t2+1
t = (x2 − 1
x3
)3
Questa˜o 7: Encontre as equac¸o˜es das retas que passam pelo ponto (2,−3) e que e´ tan-
gentes ao gra´fico de y = x2 + x. Verifique tambe´m que na˜o existe reta que passe pelo
ponto(2, 7) e seja tangente ao mesmo gra´fico.
Questa˜o 8: Uma part´ıcula se move sobre o gra´fico da para´bola y = x2− 6x. Ache o ponto
da curva no qual a taxa de variac¸a˜o da ordenada e´ igual a quatro vezes a taxa de varic¸a˜o
da abscissa.
Questa˜o 9: Um reservato´rio tem a forma de um cone com ve´rtice para baixo e 2m de al-
tura . O raio da cobertura e´ 1m. Enche-se o reservato´rioa raza˜o 3m/s. Qua˜o rapidamente
se eleva o n´ıvel da a´gua no instante em que sua profundidade e´ de 1,5m. (O volume de
um cone de altura h e raio da base r e´ V =
pir2h
3
.)
Questa˜o 10: Um trem deixa uma estac¸a˜o e vai em direc¸a˜o ao norte a raza˜o de 40km/h,
no mesmo instante, um outro trem na mesma estac¸a˜o, sai em direc¸a˜o ao leste a raza˜o de
20km/h. Ache a taxa que esta˜o separando-se os dois trens 1h apo´s a partida.
Questa˜o 11: alcule os seguintes limites:
(1) lim
x→0
sen 2x
sen 4x
.
(2) lim
x→0
sen ax
sen bx
.
(3) lim
x→0
3x+ sen 2x
x+ sen 4x
.
(4) lim
x→0
tg x
x
.
Questa˜o 12:Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x sen pi
2x
no ponto
de abscissa x = 1
Questa˜o 13: Verifique que as func¸o˜es y = sen 3x e sen − x satisfazem a equac¸a˜o
diferencial y′′ − 2y′ + y = 0
Questa˜o 13: Dada a func¸a˜o f(x) = sen 2x+ cos 2x. Verifique f ′(x) = 0 para todo x ∈ R.
Conclua a` partir da´ı que sen 2x+ cos 2x = 1 para todo x ∈ R.( sugesta˜o: Se uma func¸a˜o
tem derivada nula em um intervalo enta˜o ela e´ nula neste interval

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