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Apostila de Cálculo 2 UDESC 2010.1

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Assim,
1
1 + x
= 1 + (−1)x+ −1 (−1− 1)
2!
x2 +
−1 (−1− 1) (−1− 2)
3!
x3 + · · ·
+
−1 (−1− 1) (−1− 2) · · · (−1− k + 1)
k!
xk + · · ·
= 1− x+ 2
2!
x2 +
−6
3!
x3 + · · ·+ −1 (−1− 1) (−1− 2) · · · (−1− k + 1)
k!
xk + · · ·
1
1 + x
= 1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·+ (−1)kxk + · · · =
∞∑
k=0
(−1)k xk.
EXEMPLO 5.18.2 Expresse como uma série de potências a função f(x) =
ln(x+ 1)
x
.
Solução: Vamos analisar inicialmente a função ln(x+ 1). A sua derivada é igual a
1
x+ 1
, e
no exemplo anterior mostramos que
1
x+ 1
= 1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·+ (−1)nxn + · · · =
∞∑
n=0
(−1)n xn,
portanto, devemos integrar ambos os membros da igualdade, obtendo
ln(x+ 1) =
∫
1
1 + x
dx =
∞∑
n=0
∫
(−1)n xndx =
∞∑
n=0
(−1)n x
n+1
n+ 1
.
Como queremos f(x) =
ln(x+ 1)
x
, devemos dividir todos os membros por x, donde,
ln(x+ 1)
x
=
∞∑
n=0
(−1)n x
n
n+ 1
.
EXEMPLO 5.18.3 Desenvolver em série de funções a função f (x) =
1√
1 + x
.
Solução: Temos que
f (x) =
1√
1 + x
= (1 + x)−
1
2 .
182
Portanto, basta substituir n = −1
2
na fórmula da série binomial. Assim,
1√
1 + x
= 1 +
(
−1
2
)
x+
−1
2
(−1
2
− 1)
2!
x2 +
−1
2
(−1
2
− 1) (−1
2
− 2)
3!
x3 + · · ·
+
−1
2
(−1
2
− 1) (−1
2
− 2) · · · (−1
2
− k + 1)
k!
xk + · · ·
= 1− 1
2
x+
−1
2
(
−3
2
)
2!
x2 +
−1
2
(
−3
2
)(
−5
2
)
3!
x3 + · · ·
+
−1
2
(
−3
2
)(
−5
2
)
· · · (1− 2k
2
)
k!
xk + · · ·
1√
1 + x
= 1− 1
2
x+
1 · 3
222!
x2 − 1 · 3 · 5
233!
x3 + · · ·+ (−1)k 1 · 3 · 5 · ... · (2k − 1)
2kk!
xk + · · ·
EXEMPLO 5.18.4 Desenvolver em série de funções a função f (x) =
1√
1− x2 .
Solução: Podemos aproveitar o resultado do Exemplo 5.18.3 substituindo x por (−x2) .
Teremos então
1√
1 + (−x2) = 1−
1
2
(−x2)+ 1 · 3
222!
(−x2)2 − 1 · 3 · 5
233!
(−x2)3 + · · ·
+(−1)n 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2nn!
(−x2)n + · · ·
1√
1− x2 = 1 +
1
2
x2 +
1 · 3
222!
x4 +
1 · 3 · 5
233!
x6 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
2nn!
x2n + · · ·
EXEMPLO 5.18.5 Desenvolver em séries de funções a função f (x) = arcsinx.
Solução: Como a derivada da função f (x) = arcsinx é f ′ (x) =
1√
1− x2 podemos
aproveitar o resultado do Exemplo 5.18.4 e integrá-lo termo a termo, obtendo∫
dx√
1− x2 =
∫
dx+
1
2
∫
x2dx+
1 · 3
222!
∫
x4dx+
1 · 3 · 5
233!
∫
x6dx+ · · ·
+
1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
2nn!
∫
x2ndx+ · · ·
que resulta em
arcsinx = x+
1
2 · 3x
3 +
1 · 3
222!5
x5 +
1 · 3 · 5
233!7
x7 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
2nn! (2n+ 1)
x2n+1 + · · ·
ou seja
arcsinx = x+
∞∑
n=1
1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
2nn! (2n+ 1)
x2n+1.
OBSERVAÇÃO 5.18.6 Vale ressaltar que o desenvolvimento obtido em todos os exemplos ante-
riores é válido apenas para |x| < 1.
183
EXEMPLO 5.18.7 Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular
lim
x→0
arctan(x)− sin x
x3 cos x
.
Solução: Começamos com o desenvolvimento em série de potências de f(x) = arctanx.
Como
f ′(x) =
1
1 + x2
= (1 + x2)−1
é mais simples iniciar pelo desenvolvimento de f ′. No Exemplo 5.18.1 obtemos que
(1 + x)−1 = 1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·+ (−1)nxn + · · ·
trocando x por x2, segue que
f ′(x) = (1 + x2)−1 = 1− x2 + x4 − x6 + · · ·+ (−1)nx2n + · · ·
então, integrando termo a termo, temos que
arctanx =
∫
1
1 + x2
dx = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · ·+ (−1)
nx2n+1
2n+ 1
+ · · · (I)
Ainda, sabemos que o desenvolvimento em série para o seno é
sinx = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · ·+ (−1)
nx2n+1
(2n+ 1)!
+ · · · (II)
Tomando a diferença entre as equações (I) e (II) obtemos
arctanx− sinx = x3
(−1
3
+
1
3!
)
+ x5
(
1
5
− 1
5!
)
+ · · ·+ x2n+1
(
(−1)n
2n+ 1
+
(−1)n+1
(2n+ 1)!
)
+ · · ·
Podemos obter a série de MacLaurin para cosx facilmente, basta derivar termo a termo
a série de sinx desenvolvida acima, obtendo
cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
+ · · · .
Agora podemos tomar o quociente desejado e simpli�car, para obter que
arctan(x)− sinx
x3 cos x
=
x3
(−1
3
+
1
3!
)
+ x5
(
1
5
− 1
5!
)
+ · · ·+ x2n+1
(
(−1)n
2n+ 1
+
(−1)n+1
(2n+ 1)!
)
+ · · ·
x3
(
1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ (−1)
nx2n
(2n)!
+ · · ·
)
=
(−1
3
+
1
3!
)
+ x2
(
1
5
− 1
5!
)
+ · · ·+ x2n−2
(
(−1)n
2n+ 1
+
(−1)n+1
(2n+ 1)!
)
+ · · ·(
1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
+ · · ·
)
Finalmente, podemos aplicar o limite em ambos os lados dessa igualdade e encontrar que
lim
x→0
arctan(x)− sin x
x3 cosx
=
(−1
3
+
1
3!
)
+ 0
1 + 0
=
−1
3
+
1
6
= −1
6
.
184
5.19 Exercícios Gerais
1. Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Cal-
cule também lim
n→∞
un, caso exista.
(a) un =
n
4n+2
(b) un =
(−1)n
5−n (c) un =
(−1)n√n
n+1
(d) un =
100n
n
3
2+4
(e) un =
n+1√
n
(f) un =
lnn
n
(g) un = ln
(
1
n
)
(h) un =
n2
5n+3
(i) un = cos
npi
2
(j) un = arctann (k) un =
(
1− 2
n
)n
(l) un =
n2
2n
(m) un =
3n
e2n
(n) un = 1 + (−1)n (o) un = n
√
n (p) un = 7
−n3n−1
2. Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(a)
{
1
3
, 2
9
, 4
27
, 8
81
, · · ·} (b) {1
3
, −2
9
, 4
27
, −8
81
, · · ·} (c) {1
2
, 3
4
, 5
6
, 7
8
, · · ·} (d) {0, 1
4
, 2
9
, 3
16
, · · ·}
3. Classi�que, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(a) un =
n
2n−1 (b) un = n− 2n (c) un = ne−n (d) un = 5
n
2n2
(e) un =
10n
(2n)!
(f) un =
nn
n!
(g) un =
1
n+lnn
(h) un =
n!
3n
4. Suponha que un seja uma sequência monótona tal que 1 ≤ un ≤ 5. Esta sequência
deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?
5. Suponha que un seja uma sequência monótona tal que un ≤ 5. Esta sequência deve
convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?
6. Pode-se obter aproximações de
√
k utilizando a sequência recursiva un+1 =
1
2
(
un +
k
un
)
,
onde u1 =
1
2
.
(a) Encontre as aproximações u2, u3, u4, u5, u6 para
√
10.
(b) Mostre que, se L = lim
n→∞
un, então L =
√
k.
7. Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), de�nida
pela recorrência un+1 = un + un−1, onde u1 = u2 = 1.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
(b) Os termos da nova sequência xn =
un+1
un
dão uma aproximação para o igualmente
famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por τ. Determine uma aproximação
dos cincos primeiros termos dessa nova sequência.
(c) Supondo que τ = lim
n→∞
xn, mostre que τ =
1
2
(1 +
√
5).
8. Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo.
A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se
possível.
185
(a)
∞∑
n=1
1
(2n− 1) (2n+ 1) (b)
∞∑
n=1
8
(4n− 3) (4n+ 1)
(c)
∞∑
n=1
2n+ 1
n2 (n+ 1)2
(d)
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
(e)
∞∑
n=1
2n−1
5n
(f)
∞∑
n=1
1√
n (n+ 1)
(√
n+ 1 +
√
n
)
(g)
∞∑
n=1
1
1.2.3.4.5. · · · .n.(n+ 2) (h)
∞∑
n=1
3n+ 4
n3 + 3n2 + 2n
9. Analise se as a�rmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justi�que seus argumen-
tos, exibindo contra-exemplos para as a�rmações falsas ou provando as a�rmações
verdadeiras.
(a) Toda sequência limitada é convergente.
(b) Toda sequência limitada é monótona.