Cálculo III Lista 2

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PUCPR – Escola Politécnica 
Cálculo III – Lista 2. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 
Referência: ZILL, D. G., CULLEN, M. R.; Equações Diferenciais. Vol. 1. Pearson Makron Books, 
2001. 
Equações lineares homogêneas com coeficientes constantes 
1. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. 
a. 2𝑦′′ − 𝑦′ − 3𝑦 = 0 
b. 9𝑦′′ − 6𝑦′ + 𝑦 = 0 
c. 𝑦′′ − 4𝑦′ + 13𝑦 = 0 
d. 𝑦′′′ − 5𝑦′′ + 3𝑦′ + 9𝑦 = 0 Resp. 𝑐1𝑒
−𝑥 + 𝑐2𝑒
3𝑥 + 𝑐3𝑥𝑒
3𝑥 
e. 𝑦′′′ + 𝑦′′ − 2𝑦 = 0 Resp. 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑒−𝑥(𝑐2 cos 𝑥 + 𝑐3 sen 𝑥) 
f. 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
+
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 0 Resp. 𝑐1+𝑐2𝑥 + 𝑒
−𝑥 2⁄ (𝑐3 cos
√3
2
𝑥 + 𝑐4 sen
√3
2
𝑥) 
 
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas 
a. 𝑦′′ + 16𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = −2 Resp. 𝑦 = 2 cos 4𝑥 −
1
2
sen 4𝑥 
b. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0, 𝑦′(1) = 1 Resp. 𝑦 = 𝑒2(𝑥−1) − 𝑒𝑥−1 
c. 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
− 3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0, 𝑦′′(0) = 𝑦′′′(0) = 1 
Resp. 𝑦 = 2 − 2𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥 −
1
2
𝑥2𝑒𝑥 
 
3. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas 
a. 𝑦′′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦(1) = 0 Resp. 𝑒5𝑥−𝑥𝑒5𝑥 
b. 𝑦′′ + 𝑦 = 0, 𝑦′(0) = 0, 𝑦′ (
𝜋
2
) = 2 Resp. −2 cos 𝑥 
 Equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes pelo método dos 
coeficientes a determinar 
4. Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar. 
a. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 6 Resp. 𝑦 = 𝑐1𝑒
−𝑥 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 + 3 
b. 𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 2𝑥 
c. 
1
4
𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 Resp. 𝑦 = 𝑐1𝑒
−2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
−2𝑥 + 𝑥2 − 4𝑥 +
7
2
 
d. 𝑦′′ − 16𝑦 = 2𝑒4𝑥 
e. 𝑦′′ + 4𝑦 = 3 sen 2𝑥 Resp. 𝑦 = 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2 sen 2𝑥 −
3
4
𝑥 cos 2𝑥 
f. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = 𝑒𝑥 cos 2𝑥 Resp. 𝑐1𝑒
𝑥 cos 2𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑥 sen 2𝑥 +
1
4
𝑥𝑒𝑥 sen 2𝑥 
 
5. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas 
a. 𝑦′′ + 4𝑦 = −2, 𝑦 (
𝜋
8
) =
1
2
 e 𝑦′ (
𝜋
8
) = 2 Resp. 𝑦 = √2 sen 2𝑥 −
1
2
 
b. 5𝑦′′ + 𝑦′ = −6𝑥, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = −10 
Resp. −200 + 200𝑒−𝑥 5⁄ − 3𝑥2 + 30𝑥 
 
2 
 
6. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas 𝑦′′ +
𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦(0) = 0 e 𝑦(𝜋) = 𝜋 
Resp. 6 cos 𝑥 − 6 (cotg 1) sen 𝑥 + 𝑥2 − 1 
Equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes pelo método de variação dos 
parâmetros. 
7. Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Especifique 
um intervalo no qual a solução geral seja válida. 
a. 𝑦′′ + 𝑦 = sec 𝑥 
Resp. 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sen 𝑥 + 𝑥 sen 𝑥 + (cos 𝑥 )ln|cos 𝑥|; (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) 
b. 𝑦′′ − 𝑦 = cosh 𝑥 
Resp. 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 +
1
2
𝑥 senh 𝑥; (−∞, ∞) 
c. 𝑦′′′ − 2𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒3𝑥 
Resp. 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
2𝑥 + 𝑐3𝑒
−𝑥 +
1
8
𝑒3𝑥; (−∞, ∞) 
 
8. Resolva a equação diferencial 4𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 2⁄ pelo método da variação dos 
parâmetros, sujeita à condição inicial 𝑦(0) = 1 e 𝑦′(0) = 0. 
Resp. 𝑦 =
1
4
𝑒−𝑥 2⁄ +
3
4
𝑒𝑥 2⁄ +
1
8
𝑥2𝑒𝑥 2⁄ −
1
4
𝑥𝑒𝑥 2⁄