Cálculo de Lajes

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Cálculo de Lajes 
 
Roteiro de cálculo segundo notas de aula 
 
Dados de projeto: 
 
Classe de Agressividade Ambiental (CAA); 
Utilização; 
Tipo de Aço (CA); 
Tipo de revestimento; 
 
Passo 1: Determinação do tipo de laje 
 
λ � ℓ�ℓ� 
 
ℓx – lado da laje com maior quantidade de engastes e/ou menor dimensão; 
ℓy – lado da laje com menor quantidade de engastes e/ou maior dimensão; 
 
Sendo: 
 
1 � λ � 2 
Armada em duas direções ou em cruz; 
 
 
Sendo: 
 
λ � 2 
Armada em uma direção; 
 
 
Passo 2: Condições de contorno da laje 
 
Para haver engaste 
 
 
ℓ	 
 �23
 ∗ ℓ� 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℓ	 
 �ℓ�4 
 
 
 
 
 
Atenção: Laje em balanço é sempre engastada e 
armada em uma só direção 
Passo 3: determinação da altura da laje 
 
Antes deve ser determinado 2 coeficientes que variam de acordo com a direção das armaduras 
das lajes (em uma direção ou em cruz), tipo de aço adotado, conforme procedimentos abaixo: 
 
Valores de ϕ2 para lajes armadas em uma só direção e de acordo com as condições de 
contorno: 
 
 
 
Valores de ϕ3 para lajes armadas em duas direções (em cruz) e de acordo com as condições de 
contorno: 
 
Valores de ϕ2 para ambos os tipos de lajes, de acordo com o tipo de aço: 
 
AÇO VIGAS E LAJES NERVURADAS LAJES MACIÇAS 
CA-25 25 35 
CA-32 22 33 
CA-40 20 30 
CA-50 17 25 
CA-60 15 20 
Tabela 03 (Valores de ϕ3) 
 
Altura mínima de lajes de acordo com a utilização e conforme consta na NBR-6118/2014: 
 
Características 
Espessura 
mínima (cm) 
Lajes de cobertura em balanço 7 
Lajes de piso não em balanço 8 
Lajes em balanço 10 
Lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN 10 
Lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN 12 
Lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de ℓ/42 para lajes 
de piso biapoiadas e ℓ/50 para laje de piso contínuas 
15 
Lajes lisas 16 
Lajes-cogumelo, fora do capitel. 14 
 
 
Determinação da altura útil da laje (d): 
 
� 
 ℓ��2 ∗ �3 
 
d – altura útil da laje (em “cm”); 
ℓx – direção de maior quantidade de engastes e/ou menor vão (em “cm”); 
ϕ2 – Coeficiente de acordo com as direções de armadura (em uma só ou em cruz); 
ϕ3 – Coeficiente de acordo com o tipo de aço da armadura; 
 
Obs: para efeito de evitar propagação de erros, não se deve arredondar o valor de d; 
 
Altura total da laje (h): 
 
 
ℎ � � + ���	 
 
d – altura útil da laje (em “cm”); 
h – altura total da laje (em “cm”); 
Cnom – cobrimento nominal de acordo com a Classe de Agressividade Ambiental – CAA (em 
“cm”); 
 
Obs: somente considera-se uma laje engastada a outra se a diferença de “h” seja menor ou 
igual a 2cm. Caso negativo, a maior laje é somente apoiada na menor. 
Classe de Agressividade Ambiental – CAA 
 
Classe de 
Agressividade 
Ambiental 
Agressividade 
Classificação geral do tipo de 
ambiente para efeito de projeto 
Risco de deterioração 
da estrutura 
I Fraca 
Rural 
Insignificante 
Submersa 
II Moderada Urbana (a), (b) Pequeno 
III Forte 
Marinha (a) 
Grande 
Industrial (a), (b) 
IV Muito Forte 
Industrial (a), (c) 
Elevado 
Respingos de maré 
Tabela 6.1 da NBR-6118/2014 
 
a - Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) para 
ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos 
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 
 
b - Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões de 
clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas de 
chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove. 
 
c - Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em 
indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
 
Tipo de estrutura Componente ou elemento 
Classe de agressividade ambiental (tabela 
anterior) 
I II III IV c 
Cobrimento nominal (mm) 
Concreto Armado 
Laje b 20 25 35 45 
Viga / Pilar 25 30 40 50 
Elementos estruturais em 
contato com o solo d 
30 40 50 
Concreto 
Protendido 
Laje b 25 30 40 50 
Viga / Pilar 30 35 45 55 
Tabela 7.2 da NBR-6118/2014 
 
a - Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva 
deve respeitar os cobrimentos para concreto armado. 
 
b - Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com 
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como 
pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências desta Tabela podem 
ser substituídas pelas de 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ³ 15 mm. 
 
c - Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água 
e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente 
agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. 
 
d - No trecho dos pilares em contato 
Passo 4: Carga nas lajes 
 
Peso próprio da laje (Pp): 
 
�� � γ���� ∗ ℎ 
 
 
Pp – peso próprio da laje (em “kN/m²”); 
γγγγconc – peso específico do concreto armado (25 kN/m³); 
h – altura total da laje (em “m”); 
 
Obs: caso haja alvenaria fora do alinhamento com as vigas, segue-se o procedimento abaixo: 
 
 
 
Carga de alvenaria: 
 
Peso da alvenaria em relação a posição em relação a ℓx 
 
 
 
 
���� � �� ∗ ���� ∗ 1 ∗ γalv	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
���� � �� ∗ ���� ∗ ℓ� ∗ γalv 
 
 
 
 
 
 
 
Carga permanente (galv) na alvenaria 
 
Laje armada em uma só direção 
$��� � 3 ∗ ����2 ∗ ℓ�% 
 
Laje armada em cruz 
$��� � ����ℓ� ∗ ℓ� 
 
 
 
Palv – peso da alvenaria (em “kN”); 
galv – carga de alvenaria (em “kN/m²”); 
PD – pé direito do pavimento (em “m”); 
ealv – espessura da alvenaria (em “m”); 
γγγγalv – peso específico da alvenaria (em “kN/m³”); 
ℓx – vão menor da laje (em “m”); 
 
 
 
 
Peso específico dos materiais de construção 
 
Materiais 
Peso específico 
aparente 
(kN/m³) 
Rochas 
Arenito 26 
Basalto 30 
Gneiss 30 
Granito 28 
Mármore e calcáreo 28 
Blocos artificiais 
Blocos de armagamassa 22 
Cimento amianto 20 
Lajotas cerâmicas 18 
Tijolos furados 13 
Tijolos maciços 18 
Tijolos sílico-calcáreos 20 
Revestimentos 
e concretos 
Argamassa de cal, cimento e areia 19 
Argamassa de cimento e areia 21 
Argamassa de gesso 12,5 
Concreto simples 24 
Concreto armado 25 
Madeiras 
Pinho, cedro 5 
Louro, imbúia, pau óleo 6,5 
Guajuvirá, guatambu, grápia 8 
Angico, cambriúva, ipê róseo 10 
Metais 
Aço 78,5 
Alumínio e ligas 28 
Bronze 85 
Chumbo 114 
Cobre 89 
Ferro fundido 72,5 
Estanho 74 
Latão 85 
Zinco 72 
Materiais 
diversos 
Alcatrão 12 
Asfalto 13 
Borracha 17 
Papel 15 
Plástico em folhas 21 
Vidro plano 26 
Tabela 1 da NBR-6120/1980 
 
 
 
 
 
Valores mínimos das cargas verticais 
 
Local 
Carga 
(kN/m²) 
Arquibancadas 
Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as previstas em 
2.2.1.5 
- 
Balcões 
Escritórios e banheiros 2 
Salas de diretoria e de gerência 1,5 
Bancos 
Sala de leitura 2,5 
Sala para depósito de livros 4 
Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 
2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo 
de 
6 
Casa de 
máquinas 
(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em cada caso, 
porém com o valor mínimo de 
7,5 
CinemasPlatéia com assentos fixos 3 
Estúdio e platéia com assentos móveis 4 
Banheiro 2 
Clubes 
Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos 3 
Sala de assembléia com assentos móveis 4 
Salão de danças e salão de esportes 5 
Sala de bilhar e banheiro 2 
Corredores 
Com acesso ao público 3 
Sem acesso ao público 2 
Depósitos 
A ser determinada em cada caso e na falta de valores 
experimentais conforme o indicado em 2.2.1.3 
- 
Edifícios 
residenciais 
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5 
Despensa, área de serviço e lavanderia 2 
Escadas 
Com acesso ao público (ver 2.2.1.7) 3 
Sem acesso ao público (ver 2.2.1.7) 2,5 
Escolas 
Anfiteatro com assentos fixos 3 
Corredor e sala de aula 3 
Outras salas 2 
Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2 
Forros Sem acesso a pessoas 0,5 
Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 3 
Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 3 
Garagens e 
estacionamentos 
Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima 
de 25 kN por veículo. Valores de φ indicados em 2.2.1.6 
3 
Ginásios de 
esporte 
 5 
Hospitais 
Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia, 
sala de raio X e banheiro 
2 
Corredor 3 
Laboratórios 
Incluindo equipamentos, a ser determinado em cada caso, porém 
com o mínimo 
3 
Lavanderias Incluindo equipamentos 3 
Lojas 4 
Restaurantes 3 
Teatros 
Palco 5 
Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas - 
Terraços 
Sem acesso ao público 2 
Com acesso ao público 3 
Inacessível a pessoas 0,5 
Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser 
fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica 
- 
Vestíbulo 
Sem acesso ao público 1,5 
Com acesso ao público 3 
Tabela 1 da NBR-6120/1980 
 
Carga total (p): 
 
� � $ + & 
 
p – carga total atuante na laje (em “kN/m²”); 
g – carga permanente atuante na laje – peso próprio + revestimentos (em “kN/m²”); 
q – carga acidental ou de uso atuante na laje (em “kN/m²”); 
 
 
Passo 5: Determinação dos momentos fletores 
 
É necessário, antes de tudo, classificar as lajes em isoladas ou contínuas. 
 
Lajes isoladas: são aquelas que se repetem por todo o pavimento, possuindo as mesmas 
características, dimensões, finalidades e acabamentos. Situação mais rara. 
 
Lajes contínuas: são os casos mais comuns, ondem as lajes possuem dimensões e cargas 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação dos momentos fletores para lajes isoladas: 
 
Armadas em uma só direção 
 
 
Momento fletor positivo (M): 
 
� � � ∗ ℓ�
%
	 
 
 
M – momento fletor na direção x (em “kN*m”); 
m – coeficiente m; 
ℓx – direção de maior quantidade de engastes e/ou menor vão (em “m”); 
p – carga total atuante na laje (em “kN/m²”); 
 
 
Momento fletor negativo (X): 
 
' � (� ∗ ℓ�
%
� 
 
 
M – momento fletor na direção x (em “kN*m”); 
n – coeficiente n; 
ℓx – direção de maior quantidade de engastes e/ou menor vão (em “m”); 
p – carga total atuante na laje (em “kN/m²”); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadas em duas direções 
 
 
 
 
 
Momentos fletores positivos (Mx e My): 
 
�� � � ∗ ℓ�
%
	� 
 
�� � � ∗ ℓ�
%
	� 
 
Mx – momento fletor na direção x (em “kN*m”); 
My – momento fletor na direção y (em “kN*m”); 
mx – coeficiente m na direção x; 
my – coeficiente m na direção y; 
ℓx – direção de maior quantidade de engastes e/ou menor vão (em “m”); 
p – carga total atuante na laje (em “kN/m²”); 
 
 
Momentos fletores negativos (X): 
 
'� � (� ∗ ℓ�
%
�� 
 
'� � (� ∗ ℓ�
%
�� 
 
 
Xx – momento fletor na direção x (em “kN*m”); 
Xy – momento fletor na direção y (em “kN*m”); 
nx – coeficiente n na direção x; 
ny – coeficiente n na direção y; 
ℓx – direção de maior quantidade de engastes e/ou menor vão (em “m”); 
p – carga total atuante na laje (em “kN/m²”); 
 
Determinação dos momentos fletores para lajes contínuas: 
 
Armadas em uma só direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadas em cruz 
 
Para essa situação é necessário a consulta das tabelas de Marcus ou Czerny. 
 
 
 
Passo 6: Dimensionamento das barras da armadura 
 
Limitações da armadura: 
 
 
)*á, � -. 
 
φmáx – diâmetro máximo da barra de aço (em “mm”); 
h – altura da laje (em “mm”); 
 
 
 
 
7�	 � 0� � 
 
 
 
Sp – espaçamento da armadura principal (em “cm”); 
 
 
10�	 � 02 � 33�	 
 
 
Ss – espaçamento da armadura secundária (em “cm”); 
 
 
Legenda 
20cm 
2*h 
0,2*As 
0,9cm² 
0,018*(fcd/fyd)*Ac 
 
As – armadura principal (em “cm²”); 
Asx – armadura principal na direção de ℓx (em “cm²”); 
Asy – armadura principal na direção de ℓy (em “cm²”); 
Asmin / Asminp – armadura mínima principal (em “cm²”); 
Assec – armadura secundária (em “cm²”); 
Sp – espaçamento da armadura principal (em “cm”); 
Ss – espaçamento da armadura secundária (em “cm”); 
φ – bitola da barra de aço (em “mm”); 
bw – base de 1 metro; 
Ac – área da seção de concreto – (bw*h) (em “cm²”); 
 
 
Procedimento de cálculo pelo método clássico 
 
 
Para lajes armadas em uma direção: 
32	4�� � 0,035 ∗ �7��7��
 ∗ 3� 
 
 
32	4�2 � 
 
 
 
Para lajes armadas em cruz: 
 
32	4� � 0,023 ∗ �7��7��
 ∗ 3� 
 
7�� �
�7�810 
γ� 
 
7�� � 7�8
γ2 
 
 
 
Verificação de necessidade de armadura dupla: 
 
Para fck ≤ 35MPa 
 
���� � 0,272 ∗ 9: ∗ �% ∗ 7�� 
 
 
Mcalc – momento fletor resistido pela laje (em “kN*cm”); 
d – altura útil da laje (em “cm”); 
bw – base de cálculo da laje (em “cm”); 
 
 
 
1 se βx ≤ 0,259 
(Ecs/fyd)*(1-βx/βx)*(3,5/1000) se βx > 0,259 
Para fck > 35MPa 
 
���� � 0,228 ∗ 9: ∗ �% ∗ 7�� 
 
 
Mcalc – momento fletor resistido pela laje (em “kN*cm”); 
d – altura útil da laje (em “cm”); 
bw – base de cálculo da laje (em “cm”); 
 
 
Obs: se M ≤ Mcalc não há necessidade de armadura dupla (negativa); 
 
Obs1: M é o maior momento fletor positivo e Mcalc é o máximo momento fletor suportado pela 
laje para não haver necessidade de armadura dupla; 
 
Obs2: para comparara com o Mcalc, o momento M deve ser majorado pelo coeficiente de 
ponderação γγγγf=1,40 (Md); 
 
Obs3: como normalmente não são usadas armaduras duplas, costuma-se usar a expressão Mcalc 
nas fórmulas de dimensionamento, ao invés de Md; 
 
 
Cálculo da armadura principal: 
 
32 � �����(β2 ∗ β= ∗ � ∗ 7��)	 
 
 
 
β2 � 
 
 
 
?�2 � 0,85 ∗ 5600 ∗ √ �7�810 
 
 
β� � 1,25 ( √1,5625 ( � �����0,272 ∗ 9: ∗ �% ∗ 7��
 
 
β= � 1 ( (0,40 ∗ β�) 
Mcalc – momento fletor majorado (em “kN*cm”); 
ββββs – coeficiente adimensional em função de ββββx; 
ββββz– coeficiente adimensional de ββββx; 
ββββx– coeficiente adimensional; 
Ecs– módulo de elasticidade secante do concreto (em “kN/cm²”); 
 
ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm²/m) 
Espaçamento 
Diâmetro Nominal (φφφφ) mm 
4,2 5 6,3 8 10 12,5 
5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00 
5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73 
6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83 
6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23 
7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 
7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 
8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 
8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 
9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 
9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 
10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 
11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 
12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42 
12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 
13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 
14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 
15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 
16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 
17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 
17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 
18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,9419 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 
20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 
22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 
24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 
25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 
26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 
28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46 
30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 
33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79