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Aula Cálculo III - Estácio

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Prof: Jorge Bitencourt
email: jorge.rocha@estacio.br
Plano de Ensino:
1 - Objetivo
- equações diferenciais de primeira e segunda ordem;
- Soluções de equações diferenciais de primeira e segunda ordem;
- Transformada de Laplace
- Transformada inversa de Laplace
- Séries de Fourrier
2 - Ementa
3 - Metodologia
AV1: Teste + AE (Ativ Estruturada)
AV2: Prova Unificada
AV3: Prova Unificada
4 - Avaliação:
- material didático
- Zill & Cullen - equações diferenciais
- Boyce e Diprima - Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno
- Bronson - Moderna introdução às equações diferenciais
- Spigel - Transformada de Laplace 
5 - Referências bibliográficas:
2T
2C - atividades estruturadas
+ lista de exercícios
CCE0116 - Calc III
quarta-feira, 31 de julho de 2013
20:34
 Página 1 de Calc III 
O que vem a ser uma equação diferencial?
MRU:
t
dt
dx
xx
vtxxvtSS
+=
+=⇔+=
0
00
fxkam =+ ..






=
dt
dx
dt
d
dt
dv
)()()(
2
tftkx
dt
txd
m =+
fkx
dt
xd
m =+2
2
xey
dx
dy
dx
yd
=++ 322
2
EDO
EDO
EDO
x - variável dependente
t - variável independente
Massa - Mola
K
M
f
X
f = fm + fk
x - variável dependente
f - variável independente
Tipo•
Linearidade•
Ordem•
EDO - equações diferenciais ordinárias (uma única variável independente)○
EDP - Equações diferenciais parciais (duas ou mais variáveis independentes)○
Exemplos:○
x
v
y
u
x
t
v
x
u
x
dx
dv
dx
du
y
dx
dy
∂
∂
−=∂
∂
=∂
∂
−∂
∂
=−
=− 15 EDO
EDO
EDP
1)
2)
3)
4)
0
53
45
04
2
4
4
4
2
3
73
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
=+





+





=++
=
∂
∂
−
∂
∂
f
u
x
u
a
xy
dx
dyy
dx
yd
ey
dx
dy
dx
yd
x
y
x
y
x
5)
6)
7)
8)
EDP
EDP
EDP
EDO
EDO
Equações Diferenciais
quarta-feira, 31 de julho de 2013
21:20
 Página 2 de Calc III 
Equações Diferenciais (EDO)
Uma ED é classificada como LINEAR quando pode ser escrita na forma:
)()()(...)()( 11
1
1 xfyxadx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa nn
n
nn
n
n =++++
−
−
−
As EDL's são caracterizadas por:
1- A variável dependente e suas derivadas estarem elevadas a grau um.
2- Os coeficientes dependem apenas da variável independente.
Exemplos: OBS:
4
)4(
)()(
3
3
....
2
2
..
)(
)(
)(
)(
yy
yty
dt
yd
yty
dt
yd
yty
dt
yd
yty
dt
dy
nn
n
n
≠
==
==
==
==
∴∴
variável dependente
variável independente
xyyy =+
...
2)1
a2(y) = y (BAD) / a1(x) = 2 / a0(x) = 0 / f(x) = x Não é linear
xyyxyx cos54)1)(2
...
=+−−
a2(x) = (1 - x) / a1(x) = -4x / a0(x) = 5 / f(x) = cos(x) EDL - 2a ordem
0)(2)3 4
.
=+−
∴
yyyx
3a ordem Não é linear
034)4
...
2
)4(
3
=−+− yyxyxyx
a4(x) = x3 / a3(x) = 0 / a2(x) = -x2 / a1(x) = 4x / a0(x) = -3 / f(x) = 0 EDL - 4a ordem
0)5 2
..
2
..
=+⇔−= −kRR
R
kR
2a ordem Não é linear
a1(x) = x2 / a0(x) = (1 - x) / f(x) = xex EDL - 1a ordem
xx
x
xeyx
dx
dy
xxexyy
dx
dy
x
dxdxxexyydyx
=−+⇒=−−+
÷=−−+
)1(0)(
)(0)()6
22
2
Linearidade
quarta-feira, 7 de agosto de 2013
21:00
 Página 3 de Calc III 
Objetivo: Encontrar soluções (funções) que satisfaçam as EDO's dadas:
OBS: A função f tem que ser definida no intervalo I.
contínua, sem ponto de singularidade
..SP∃
Exemplo:
16
4xy = 2
1
xy
dx
dy
=
é solução de ?
x
y
RxI );,( +∞−∞∈⇒
x
y



+∞∈
−∞∈
=⇒= ),0(
)0,(1
x
x
I
x
y
4444164
416
4
16
33232
1
43
2
1
.
33
.
4
xxx
x
xx
x
x
xyy
xxyxy
=⇒





=⇒





=⇒=
==→=
é solução!
x
xey = é solução de 02
...
=+− yyy ?
00022220)2(2)2(
2
..
.
=⇒=−−+⇒=++−+
+=++=
+=
xxxxxxxxx
xxxxx
xx
xeexeexexeexee
xeexeeey
xeey
é solução!
y(x0)
y(x0)
y(x0)
.
PVI
y(x0)
y(x0)
PVC
..
y(x0) x0 ≠ x1
y(x1)
Número de Soluções:
Uma dada ED, geralmente, possui um número infinito de soluções. neste caso dizemos que uma solução, ou 
seja, uma função que satisfaz a ED é um membro da família de soluções. Exemplo:
1+=
x
Cy é uma solução da EDL 1
.
=+ yyx ?
111111)(
1
1112
2
.
1
=⇒=++−⇒=++−
−=⇒+=
−−−−
−−
CxCxCxCxx
CxyCxy
),0(: ∞∈xI
x
y
1
C = -1 (C < 0)
C = 0
C > 0
Objetivo
segunda-feira, 5 de agosto de 2013
21:00
 Página 4 de Calc III 
Uma solução y = f(x)para uma EDO é dita ser uma solução explícita. Dizemos que uma relação G(x,y) = 0 é 
uma solução implícita de uma EDO, em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.
-
x
y
+k-k
222 Ryx =+
kykI
kxkI
y
x
<<−
<<−
:
: 0),( 222 =−+= RyxyxG
22
22
yRx
xRy
−=
−=
Exemplo:
04),( 22 =−+= yxyxG
22: <<− xI
Se G(x,y) é solução de 
y
x
dx
dy
−= ?
dx
yxdG ),(
( ) 0422
dx
dyx
dx
d
=−+
0)4()()(
22
=
−
++
dx
d
dx
yd
dx
xd
y
x
dx
dy
x
dx
dyyx
dx
dyy
dx
dyyx −=⇒−=⇒−=⇒=+ 22022
c
xy
xdxydy +−=⇒−= ∫∫ 22
22
( )
CC
Cyxcxy
2
22
1
1
22
22
=
=+→=+
=> ydy = -xdx
Soluções Implícitas e Explícitas
segunda-feira, 5 de agosto de 2013
21:30
 Página 5 de Calc III 
Representa-se a estrutura, comportamento e/ou desempenho de sistemas através de modelos 
matemáticos. No domínio do tempo é comum representar a dinâmica de um sistema através de uma 
equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Exemplos:
S0
S 
V0
g
dt
tsd
−=2
2 )(
Corpo em queda livre:
x = 0 
K K K 
M
M
x(t) < 0 
x(t) > 0 
Sistema massa-mola:
0
)()(2
2
=+
−=
−=
Kxxm
tKx
dt
txd
m
Kxma
&&
Lei de resfriamento de Newton
T
0T
)( 0TTkdt
dT
−=
OBS: resistência do ar 
desprezível
0mgSEp =
2
2
1
mvEc =
00 <→> kTT
00 >→< kTT
Problema de valor inicial (PVI):
Resolver uma ED de 1a ordem, ẏ = f(x,y), sujeita a condição inicial y(x0) = y0, em que x0 é um valor no 
intervalo I é um PVI.
x
y
y0
x0
•
(x0,y0)
Exemplo:
y = Cex é uma família de soluções de ẏ = y, sendo o intervalo I(-∞,∞)
x
y
x0
(0,1)
(0,-2)
C > 0
C < 0
C = 0 → y = 0
C = 1 → y = ex
C = -2 → y = -2ex
xx CeyCey =→= &
∞
∞−
=
e
e
1
xx CeCe =
y(2) = 1
y(-2) = -3
y(0) = 0
2
2
2 11 −==⇒=→= e
e
CCeCey x ( ) 22 −− == xx eeey
2
2
2 333 e
e
CCeCey x −=−=⇒=−→=
−
− ( ) 22 33 +−=−= xx eeey
00 0 =⇒=→= CCeCey x
Obtendo a função:
Modelos Matemáticos
quarta-feira, 14 de agosto de 2013
19:00
 Página 6 de Calc III 
Existência e unicidade da solução que passa por (x0,y0). Seja R uma região no plano xy, definida por
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém em seu interior o ponto (x0,y0), Se f(x) e são contínuas em R, então 
existe uma única y = f(x) solução do PVI. x
f
∂
∂
x
y
y0
x0 b
d
c
a
•
(x0,y0)
região R
Representação de uma ED:
Forma normal: ẏ = H(x,y). Exemplos:
03)(3)()(
3)3
2
2
2
242)2
)1
243243
43
2
=−+⇒=+⇒
+
=
+−=⇒=+⇒=+
+=
yxyyxyxyyx
yx
yxy
eyyeyyeyy
senxyy
xx
x
&&&
&&&
&
a1(x,y) ≠ a1(x)
EDL 1a ordem
Forma diferencial: 
),(
),(),(
yxN
yxMyxHy
−
==&
0),(),(
),(),(),(
),(
=+