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Prof: Araújo profengaraujo@hotmail.com Conteúdo Programático: AV1 Teorema de Superposição○ Teorema de Thevenin○ Teorema de Norton○ das correntes de malha○ das tensões de nó○ Método de Análise de Circuitos• Definição○ Associação○ Formas de Onda○ Capacitores e Indutores• AV2 Resposta Natural○ Resposta a um degrau○ Solução Geral○ Circuitos RC e RL• Circuitos RLC - Paralelo• Metodologia de Ensino: Quadro branco com apostila Metodologia de Ensino: AV1• AV2• AV3• Referências Bibliográficas: Introdução a circuitos elétricos - Riedel / Nilson AV1 - 04/04 AV2 - 06/06 AV3 - 20/06 Término do Período: Outras informações: Uso de Periódico da biblioteca• Atividade estruturada, valendo ponto• Aulas Práticas: Apresentação da bancada• Teorema de superposição• Teorema de Thevenin• Teorema de Norton• Resistência interna do gerador de funções• O transformador• Capacitor em regime DC - Cronômetro• Capacitor em regime DC - Osciloscópio• Circ Elétricos I quarta-feira, 6 de fevereiro de 2013 19:02 Página 1 de Circ-Elet I 9A 12Ω 6Ω I2’’ 36V 12Ω 6Ω I2’ 9A36V 12Ω 6Ω I2 = ? Teorema da Superposição: "A corrente que atravessa ou a tensão entre os terminais de um elemento do circuito linear é igual a soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada uma das fontes." Ex 1: Encontrar a corrente que passa no resistor de 6Ω. a) Contribuição de E: E = R.I b) Contribuição de I: A RR EI 2 18 36 612 36 21 ' 2 ==+ = + = AI RR RI 69. 3 29. 18 129. 612 12 . 21 1 '' 2 ===+ = + = corrente não desejada - método de divisão de correntes - WIRP WIRP WIRP 216)6.(6.2 24)2.(6.2 384)8.(6.2 22'' 2 " 6 22' 2 ' 6 22 26 === === === Ω Ω Ω 24 + 216 = 240W WW 384240 ≠ I2 = I2' + I2" = 2 + 6 = 8 Métodos de Análise de Circuitos quarta-feira, 20 de fevereiro de 2013 18:59 Página 2 de Circ-Elet I Contribuição de I Contribuição de E: mA k m kk kI RR RI 2 18 366. 126 6 . 21 1 ' 2 ==+ = + = mA kkkRR EI 5,0 18 9 126 9 21 '' 2 ==+ = + = mAIII 5,25,02''2'22 =+=+= Exercício: Encontre a corrente no resistor de 2Ω do circuito abaixo: Contribuição de E1: contribuição de I: contribuição de E2: A RR EI 2 42 12 21 ' = + = + = AI RR RI 2 6 123. 24 4 . 12 2 '' == + = + = A RR EI 1 42 6 21 ''' = + = + = AIIII 1122'''''' =−−+=++= sempre corrigir o sentido no diagrama, se der negativo Corrente I2 = ? I2 = ? = = E2=6V I=3AR1=2Ω R2=4Ω E1=12V I OBS: Não pode modificar o circuito! Ex.2 quarta-feira, 20 de fevereiro de 2013 19:30 Página 3 de Circ-Elet I Qualquer circuito de corrente continua linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo. OBS: E=9V Rth = RN Eth = PN x IN th th N R EI = Rth = RN Ex:1 E=9V R2=3Ω R2=6Ω a b Cálculo de RN: a b ←RN Ω=+ == 2 63 6.3 2 1 R RRN Cálculo de IN: E=9V R1=3Ω R2=6Ω a b A R EIN 33 9 1 === Equivalente Norton: a b Teorema de Norton quarta-feira, 27 de fevereiro de 2013 19:49 Página 4 de Circ-Elet I a b profengaraujo@hotmail.com jleoncio@live.estacio.br Ex2 quarta-feira, 27 de fevereiro de 2013 20:11 Página 5 de Circ-Elet I Fontes de Tensão Fonte de Corrente Métodos das correntes de malha: * Associar a cada malha uma corrente *Indicar as polaridades das tensões dos elementos de circuito; * Aplicar lei de Kirchoff das Tensões (LKT); * Resolver as equações lineares das malhas. 1) Corrente já associada: I0 2) Polaridades (indicadas) + - - + início 4 x I0 = 4 x 4 = 16V + - + - Eq da malha: -500 + 5iΔ + 20i0 = 0 5iΔ + 20i0 = 500 (/5) = IΔ + 4i0 = 100 (1) Pelo nó a: 5iΔ + iΔ = i0 .: 5iΔ = i0 (2) Substituindo (2) em (1): IΔ + 4.6iΔ = 100 (1) iΔ = 4A => i0 = 24A => V0 =480V a Fontes dependentes quarta-feira, 6 de março de 2013 18:59 Página 6 de Circ-Elet I 3) Para o circuito abaixo, calcule Vo. – 2 Va + 1 k io + 12 + 1 k io + 2 k io = 0 – 2 Va + 4 k io = – 12; Va = 3 k io � (– 2)(3 k io) + 4 k io = – 12 � – 2 k io = – 12 � io = 6 mA � Vo = 2 k io = (2 k)(6 m) � Vo = 12 V. + - + - terra malha 1 malha 2 Malha 2: -Va + 1ki0 + 2ki0 =0 Va = 3ki0 36V 6V 6V 18V 12V 4) Determine Vo no circuito abaixo. – 24 + 2 io – 2 Va + 3 io + io = 0 � 6 io – 2 Va = 24 � 3 io – Va = 12; – Va – 2 Va + 3 io = 0 � 3 Va = 3 io � Va = io � 3 io – io = 12 � 2 io = 12 � io = 6 A � Vo = 3 io = = (3)(6) � Vo = 18 V. + - - + malha 1 malha2 6V 12V 12V 18V 6V 5) Equacionar o circuito abaixo pelo método das malhas. Em seguida, escrever o sistema sob a forma matricial e calcular as correntes das malhas utilizando a regra de Kramer. malha 1 malha 2 malha 3 VVV VVVVVV VVVi iiii 7212 6 12 12 432112 4 1 6 1 12 1 4612 12 6 2 4612 122 122 0 0 00 0000 000 0 2010 =⇒= = −++ ⇒= ++⇒++=+ ++=+ ++=+ Exemplos quarta-feira, 6 de março de 2013 19:30 Página 7 de Circ-Elet I 4 io 3 kΩ 3 kΩ 3 kΩ + - Vo 10 mA io v 4 io = 10m + v/6k + v/3k; io = v/3k � 4 v/3 k – v/6 k – v/3 k = 10 m � 8 v – v – 2v = 60 � 5 v = 60 � v = 12 V � Vo = v/2 = 12/2 � Vo = 6 V. i1 = v/6k Ex. 3 2 0 V 20 Ω 8 io 10 Ω v1 v2 2 Ω io 5 Ω 2 Ω + – + – P5Ω = ? circuito possui 3 nós (v1, v2 e gnd) Para o nó 1: (v1 – 20)/2 + v1/20 + (v1 – v2)/5 = 0 � 10 v1 – 200 + v1 + 4 v1 – 4 v2 = 0 � 15 v1 – 4 v2 = 200. Para o nó 2: (v1 – v2)/5 = v2/10 + (v2 – 8 io)/2 � (v2 – v1)/5 + v2/10 + (v2 – 8 io)/2 = 0 � 2 v2 – 2 v1 + v2 + 5 v2 – 40 io = 0 � 8 v2 – 2 v1 – 40 io = 0 � 4 v2 – v1 – 20 io = 0 � 4 v2 – v1 – 20(v1 – v2)/5 = 0 � 4 v2 – v1 – v1 + 4 v2 = 0 � – 5 v1 + 8 v2 = 0; resolvendo o sistema: v2 = 10 V e v1 = 16 V; io = (16 – 10)/5 = 1,2 A � P5 Ω = (6)(1,2) � P5 Ω = 7,2 W. Lei de kirchoff: ∑ (corr. q entram) = ∑ (corr. q saem) ( )1200415 4410200 5202 20 21 2111 2111 021 =− −+=−⇒ − += − += VV VVVVVVVV iii ( )26,11610 588225 5 4022 5422 102 8 5 2121 22212122 21 21 22021 22021 430 VVVV VVVVVVVVVVVV VViVVVViVV iii =⇒= =−−+−⇒=− − +− =−+−⇒= − + − =+ W R VP VV 2,7 5 6 61016 22 5 5 === =−= Ω Ω Levando (2) em (1): 5 21 0 VVi −= + - + - + - i1→ i2↓ ←i3 Ex. 2 quarta-feira, 13 de março de 2013 19:09 Página 8 de Circ-Elet I Calcule a corrente i e as tensões vc e vd do circuito abaixo, utilizando o método das tensões de nó.1) (1/15) vc 4 Ω 6 Ω a b + – 1,5 V + – vd 2 Ω + vc – 10 Ω 12 V 1 Ω + – i + - + - v v Vb = 1,5V como Vc = Va - Vb: 1561015610 21 babbacbba VVVVVVVVV iii − += − ⇒+= − += VVV AViVV VVVVVVVVVV dd c c babababba 5,015,105,0.25,1 5,0 15 5,7 15 5,75,19 9)5,1(66122441066 =−=⇒=++− ===⇒=−= ===⇒=⇒−+=− i1→ i2↓ 2) Determine, no circuito abaixo: i ,v e id. 10 V 1 Ω + – + – 2 Ω i /2 2 Ω + 4 V – 3 Ω + v – i id a b c d Pela malha: a - b - c - d: 04 2 110 =+++− ii Aiii 46 2 =⇒=+ 2V Pela malha: a - b - d: Vvvvi 60410010 =⇒=++−⇒=++− P/ o nó b: Aiii vViiii dddd 13 )6( 2 4)6(4 32 4432 =⇒++ − =⇒++ − =⇒+++= 3) Determine vo para o circuito abaixo e verifique se a potência fornecida ao circuito é igual à potência consumida. 10 V + – 6 Ω is 3 Ω 3 is + – 2 Ω + vo – i2↑ WiViPPPP WiiiPPP ViV Aiiiiii Ai sc ssiVf s s s 3 6551.32 3 5 .10.1.2.10 3 651. 3 5 .3 3 5 .10.310 3.3 15505 3 530323 3 5 6 10 00 2 326 0310 00 00000 =+++=++=++= =+=+=+= == =⇒=⇒=+ ⇒=++ == ΩΩΩ Exercícios quarta-feira, 13 de março de 2013 19:34 Página 9 de Circ-Elet I Exemplos: 1) C = 1μF; vc(t) = 6 cos 2000t v; ic(t) = ? ic(t) = -12 sen2000t mA 2) C = 1F; vc(t) = ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(11010 1 1 : 1/ ;)(00 1 1 : 10/ );(0;00 1 10:0/ ; 1 11 00 Vd a vdtv a tp Vatdavdatv a tp Vvdtvitp vdi C tv t a t a tt t t =+=+=> =+=+=<< =+=⇒=< ∞−+= ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∞− ∞− ττ ττ τ ττ i (t) a 1/a t v(t) 1 1/a t 3) Uma corrente constante de 10 mA está carregando um capacitor de 4 µF. Sabendo-se que o capacitor está inicialmente descarregado, calcule a tensão neste capacitor após 20 ms. ic(t) = 10mA; C = 4μF; vc(20ms) = ? Vv tkVtVvdvdtv c t tt c 5010.20.10.5,2)10.20( 5,210.5,2 10.4 10.10)0( 10.4 10.10)0(10.10 10.4 1)( 333 3 0 6 3 06 3 0 3 6 | == ===+=+= −− − − − − − − ∫∫ τττ 4) Um capacitor de 1µF tem uma tensão de 10 sen 2000t V. Ache a corrente que passa neste capacitor. C = 1μF; vc(t) = 10.sen2000t V; ic(t) = ? ( ) ( ) ( ) ( ) .20001220001200010 6 mAtsentitsen dt tdvCti cc −=∴−== − ( ) ( ) [ ] mAtt dt tsend dt tdvCtic 2000cos202000].2000[cos10.10 20001010 66 ==== −− Capacitores quarta-feira, 20 de março de 2013 19:06 Página 10 de Circ-Elet I ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 tidv L tiou dt tdiLtv L t t LL L L +== ∫ ττ Exemplos: 1) Determine, para o circuito abaixo, as correntes i(t) e i6(t). 2 H + - 6 cos 100 t V i6(t) 6 H i(t) 3 H i(t) = ? i6(t) = ? ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] mAtsentmsentiti mAtsensenti didv L ti HL t tt eq eq 100510015. 9 3)( 63 3)( ;10015100 100 1 . 4 6 0100cos6 4 11 ;422 36 3.623//62 6 0 0 == + = = = +=∞−+= =+= + +=+= ∫∫ ∞− τ ττττ Resolução alternativa de i6(t): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) mAtsentisendidti Vttttv tt dt tsend ttvtvtv tvtvtv ttt 1005100 100 15,0100cos 6 30100cos3 6 1 100cos3100cos3100cos6 100.100cos10.30100cos610010.152100cos6 0 600606 6 3 3 26 62 =∴ ==+= =−= =−=−=−= =++− ∫∫ − − τττττ 2) A forma de onda da corrente em um indutor de 10 mH é a da figura que se segue. Determine a correspondente forma de onda de tensão. i(t)(mA) 20 10 2 4 t(ms) ( ) ( ) VtvmAtitp 00:0/ =⇒=< ( ) ( ) ( ) mV dt td tv Att c c ti mstp adj op 10010.1001010.10 10 10.2 10.20 :20/ 33 3 3 === === << −− − − ( ) ( ) ( ) ( ) mVtv dt td tvAtti mstmsp 100 10.401010.1010.4010 :42/ 3 33 −= +− =⇒+−= << − −− mx m x mA mA 40 2 80 202 4 ==⇒⇔ ( ) ( ) ( ) V dt d tvmAti mstp 0010.100 :4/ 3 ==⇒= > − v(t)(mV) 100 -100 2 4 t(ms) triângulos semelhantes Indutores quarta-feira, 20 de março de 2013 19:44 Página 11 de Circ-Elet I 2) Determine o circuito equivalente da Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. RTH =R1//R3 + R2//R4 = 6//3 + 12//4 RTH = 2 + 3 = 5Ω 3) Encontre o circuito equivalente Norton para o circuito abaixo. ETH =? LKT - Lei de Kirchoff das Tensões 0 = -V1 + V2 + ETH => ETH = V1 - V2 VEEETH 6544872.16 1272. 9 6 . 412 12 . 36 6 −=−=−= + − + = Observar inversão da fonte ETH Cálculo de RN: Soma de R1 e R2 (série) RN = R1 + R2 = 5 + 4 = 9Ω Cálculo de IN: divisor de corrente AIN 556,59 5010. 45 5 == + = 4) Encontre a corrente que passa pelo resistor R utilizando os 3 teoremas de solução, isto é, Superposição, Thevenin e Norton. Superposição: Contribuição de E1: RR EIR + = + = 2 72 3//6 1' 189 )6(18 6 3186 18 3 6 6 18 3//6 1 + + = + ++ = + + = + = R R R RR R RR EIT 2 12 )2(9 18 .6 189 )6(18 . 6 6 . 6 6 '' + = + = + + + = + = RRR R R I R I TR A RRR III RR + = + + + =+= 2 84 2 12 2 72 ''' Contribuição de E2: Exercícios quarta-feira, 27 de março de 2013 18:57 Página 12 de Circ-Elet I Thevenin: Cálculo de RTH : RTH = 6//3 = 2Ω Cálculo de ETH : (observar V6) -72 + ETH -V6 = 0 VVETH 84127218.36 67272 6 =+=+ +=+= Norton: RN = RTH = 2Ω Cálculo de IN: Contribuição de E1: AIN 362 72 ' == Contribuição de E2: AIN 362 72 ' == AIN 63 18 '' == AIII NNN 42636 ''' =+=+= A RR I R I N + = + = + = 2 8442. 2 2 2 2 5) Equacionar o circuito abaixo pelo método das malhas. Em seguida, escrever o sistema sob a forma matricial e calcular as correntes das malhas utilizando a regra de Kramer. 30 V 2 Ω 4 Ω 5 Ω 3 Ω 10 V 1 Ω + – + – + – 6 Ω 20 V Lei de Kirchoff: Observar as polaridades: 1) -10 + I1 +2I1 -2I2 +20 = 0 3I2 + 2I2 = -10 2) -20 -2I1 + 2I2 + 3I2 + 4I2 - 4I3 =0 -2I1 + 9I2 - 4I3 = 20 3) -4I2 + 4I3 + 5I3 + 30 + 6I3 =0 -4I2 + 15I3 = -30 1 2 3 2976048405(det) 30 20 10 1540 492 023 301540 20492 10023 3 2 1 321 321 321 =−−=∆ − − = −− −− − −=+− =−+− −=+− I I I III III III AII AII AII 78,1 297 530 81,0 297 240 79,2 297 830 207 15430 4920 0210 3 3 2 2 1 1 −= − = ∆ ∆ = == ∆ ∆ = −= − = −−− − −− = ∆ ∆ = Exercício: quarta-feira, 27 de março de 2013 19:48 Página 13 de Circ-Elet I 24 V + – 10 Ω i2 5 Ω 0,8 vg 2 Ω + vg – 20 Ω i1 io 4) Calcule, para o circuito abaixo: i2 , i1 e io. corrente de terra = 0 ; i2 = 0 i2 = 0 VVg 2024.210 10 = + = Ai 2,316. 255 520.8,0. 520 5 1 −==+ −= sent. contrário Ai iii T 8,12 8,122,316 0 10 = =−=−=− 5) Sabendo-se que vo = 250 mV, determine: v1, vg e vo/vg. vg + – 40 Ω 10 Ω 100 Ω 20 i1 + v1 – 25 Ω 12,5 Ω 50 i2 + vo – 50 Ω i1 i2 mAmVi mViV AVi iiiV 2 25 50 25 50)10.5.(100.100 10.5 500 25,0 500 25,0 500 50050. 5,1250 50 .5,12.5,12 1 3 4 21 40 2 2200 −= − == −=−== −=−=−=−= −= + == − − 40 25,6 250 25,6)125,0.(50).4010( 125,0 20 5,25,225,020 0 1 1321 == −=−=+=−= − =⇒−=−−=+= m m V V mVmiV mAmimAmmiii g g 6) Para o circuito abaixo, determine vg e demonstre que Pf = Pr. 12,6 V 50 kΩ + – + – 1,5 k Ω + vg – 10 V 250 Ω ib + – + – 39 ib 0,6 V Aplicar lei de Kirchoff das correntes 1 2 a 12250.50)1( 02506,0.506,12)1( 250 250 =+ =+++− iik iik b b Pelo nó a: Pf = Pot Fornecida Pr = potencia recebida Aiiik iiiii bbb bbb 4 250250 10.21240.250.50 4039 − =⇒=+ =⇒=+ VVikVi gbg 7,301039.5,1.250)2( 250 =⇒=+−+− mVkkPPPP mWPPPP kkr if b 26,109)10.2.39.(5,1)10.2.40.(250)10.2.(50 26,10910.2.39.107,3.10.2.3910.2.12 242424 5,125050 444 103912 =++=++= =++=++= −−− −−− Exercicios quarta-feira, 27 de março de 2013 20:57 Página 14 de Circ-Elet I 7) No circuito, para io = 5 A, calcule: 1) Vs; 2) A potência recebida pela fonte de tensão independente; 3) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; 4) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; 5) A potência total dissipada nos 2 resistores. Vs – + 5 Ω 6 io 10 Ω 5 A io a Pelo nó a: Aiiii 2056 5050 =⇒++= (i0 = 5A) 1 2 pela malha 1: (continua nas fotos) VV iiV s s 50501005.1020.5 0105 05 =−=−= =+− Exercícios quarta-feira, 27 de março de 2013 21:55 Página 15 de Circ-Elet I 0,2 H + - 3 V + v2 - 5 H 0,8 H 5 Ω + v1 - 1 Ω 3 Ω - 0,8 A 2,5 H 4 Ω 9 Ω + v3 - V1 = ? V2 = ? V3 = ? Como as fontes são CC, os indutores são curto-circuitos. Indutores deixa passar CC e barra CA, capacitores são inversos + - 3 V + v2 - 5 Ω + v1 - 1 Ω + v1 - 1 Ω 3 Ω - 0,8 A 4 Ω 9 Ω + v3 - V2 = 0V Logo: Para o nó a: i1 = i2 + i3 Va Vb 36419 4431236 341 3 321 =− −+=− − += − ∴+= ba baaa baaa VV VVVV VVVViii Para o nó b: 2,743 2,733 9 8,0 3 )8,0( 43 =− =−− =− − ∴=−+ ba bba bba VV VVV VVVii (1) (2) De (1) e (2), Va = 1,8V e Vb = -0,45V V1 = 3-Va = 3 - 1,8 = 1,2V; V3 = -0,45V 1) Para o circuito abaixo, determine v1, v2 e v3. 7) Para o circuito e a forma de onda v(t) abaixo, determine i(t). i(t) + v(t) - 3 H v(t)(V) 2 -1 1 2 t(s) Expressão: )()(1)( 0 0 tidv L ti L t t LL +ΤΤ= ∫ AtiVtvtp 0)(0)(:0/ =⇒=< tAidti Vtvtp t L t L 3 22. 3 1)0(2 3 1)( 2)(:10/ | 0 0 =Τ=+Τ= =<< ∫ Atttidti Vtvtp t L t L +−=++−=+−−=+Τ−=+Τ−= −=<< ∫ 133 2 3 1 33 2)1( 3 1 3 2)1.( 3 1)1(1 3 1)( 1))(:21/ | 1 0 Aidti Vtvtp L t L 3 11 3 2)2(.0 3 1)( 0)(:2/ 2 =+−=+Τ= => ∫ Revisão AV1 quarta-feira, 3 de abril de 2013 18:58 Página 16 de Circ-Elet I Um capacitor de 0,4 µF possui uma forma de onda de tensão mostrada abaixo. Ache a corrente para t = – 4, – 1, 2, 5 e 9 ms. vc(t) (V) 10 -2 -5 -10 4 8 10 t (ms) Expressão: dt tdVCti cc )()( = OBS Vt m battvmtmp C +=+=−<<− 5,12 8 10)(:210/ 5,12 8 10.10 8 10 10 : ==⇒=∆ bbSemelhança Semelhança Δ mA dt t m d tic 5,010.8 10 .10.4,0 5,12 8 10 .10.4,0)( 366 == + = − −− )( )( adjcat opcat tgabaxy ==⇒+= ktVVt m tgtvtmp mA dt t m d ti C c 5 2 10)(:02/ 5,0 10.8 10 .10.4,0 5,12 8 10 .10.4,0)( 366 −= −==<<− == + = − −− mA dt ktd ti ktVVt m tgtvmtp c C 5,010. 4 5 .10.4,04 5 .10.4,0)( 4 5 4 5)(:40/ 366 −= −= − = −= −==<< −− [ ] A dt d ti Vtvmtmp c C 05.10.4,0)( 5)(:84/ 6 = − = −=<< − mA dt t m d ti Vt m tgtvmtmp c C 110. 2 5 .10.4,0 25 2 5 .10.4,0)( 25 2 5)(:108/ 366 = = − = −==<< −− Rev AV1 quarta-feira, 3 de abril de 2013 19:40 Página 17 de Circ-Elet I Calcule a tensão Vxy do equivalente Thevenin nos pontos x e y do circuito abaixo: 1- Aplicar super posição para encontrar a contribuição de cada fonte. 3 . 2 3 2 . 2 2 . // // ' EER R E RR R E RRR RRV xy == + = + = Contribuição de 3E: Contribuição de E: EEEVVV EER R E RR R E RRR RRV xyxyxy xy 3 2 3 "' )3.( 2 3 2)3.( 2 2)3.( // // " −=−=+= −=−=− + =− + = Rev AV1 quarta-feira, 3 de abril de 2013 20:10 Página 18 de Circ-Elet I DESENVOLVIMENTO: EQUIPAMENTO Osciloscópio: Fonte de tensão C.C.; Multímetro. PROCEDIMENTO: Ligue o osciloscópio e realize os ajustes básicos (brilho, foco, etc); Selecione REDE ou LINE na chave de fonte de sincronismo; Ajuste a chave de base de tempo para 1ms/div; Ajuste o traço no centro da tela (será a referência); Conecte a ponta de prova em um dos canais (C H1 ou CH2) e posicione a chave CA-o-CC em C.C., no canal selecionado; Posicione a chave de ganho vertical em 5V/div; Ligue a fonte de C.C. e ajuste para 20V de saída. Use o multímetro. Respondendo a Atividade Estruturada ATIVIDADE ESTRUTURADA 1. Tentativa número 1. Tensão(A) chave ganho vertical(B) No de divisoes da tela(C) Tensão medida no osciloscópio(D) (A)20V (B)5v/div (C)4 div (D)20,08V (A)-23V (B)5V/div (C)-5 < div < -4 (D)-22,61 (A)14,24 (B)5V/div (C)3 < div < 4 (D)14,37V (A)0,50 (B)200mV/div (C)2 < div < 3 (D)513mV (A)1,3 (B)500mV/div (C)2 < div < 3 (D)1,31V (A)6,0 (B)5V/div (C)3 div (D)6,116V (A)-28V (B)10V/div (C)-3 < div < -2 (D)28,6V Nome: Jorge Leoncio Alves de Oliveira Matrícula: 201202211461 Curso: Eng. Controle e Automação Tensão(A) | chave ganho vertical(B) | N. de divisoes da tela(C) | Tensão medida no osciloscópio(D): (A)20V | (B)5v/div | (C)4 div | (D)20,08V (A)-23V | (B)5V/div | (C)-5 < div < -4 | (D)-22,61 (A)14,24 | (B)5V/div | (C)3 < div < 4 | (D)14,37V (A)0,50 | (B)200mV/div | (C)2 < div < 3 | (D)513mV (A)1,3 | (B)500mV/div | (C)2 < div < 3 | (D)1,31V (A)6,0 | (B)5V/div | (C)3 div | (D)6,116V (A)-28V | (B)10V/div | (C)-3 < div < -2 | (D)28,6V Equipamentos Utilizados, disponibilizados no local de trabalho: Osciloscópio: TEKTRONIX - DPO 4032 Fonte CC: ICEL PS-5000D Multímetro: FLUKE 189 Atividade Estruturada 1 sábado, 6 de abril de 2013 09:17 Página 19 de Circ-Elet I RTH = ? ETH = ? R = ?, p/ I = 5mA Ω==++= kkkkkkkRTH 24//6)22//()15( V k k kk kETH 3010 30050. 46 6 == + = Ω==−=−= k m mk m mRER THth 6,3 5 18 5 5.4,230 5 5. R = ? 2) L = 2H; vL(t) = ? V dt tdiLtv Ati tp L L L 0)()( 0)( 1/ == = < V dt td tv Attti tp L L 20)10.(2]1010[2)( )1010(10 2 20)( 31/ −=−= +− = +−=+−= << V dt td tv Atti tp L L 2010.2]5010[2)( )5010()( 63/ == −− = −= << 506010 1 6 10 10 1020260240 2 3 20 20 =⇒=+⇒= + =⇒=⇒=+⇒= + yyy xxx x AV1 - Correção quarta-feira, 17 de abril de 2013 19:08 Página 20 de Circ-Elet I Io Leq Req Resposta Natural + Vo - Ceq Req Resposta a um degrau ou Resposta Forçada: Circuito RL: iL(t) + vL(t) - Leq RTh VTh RTh iL(t) + vL(t) - Leq RTh VTh + - Circuito RC: iC(t) + vC(t) - CeqRTh VTh + - iC(t) + vC(t) - Ceq RTh VTh RTh Resposta Natural de um circuito RC: C R a b Vg R1 + – t = 0 C R Vg v(t) + – i(t) + - :0/ ≥tp O capacitor será considerado totalmente descarregado no tempo = 5τ = 5.RC ( ) ( ) 0=+ titi RC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RC tk RC t tv ektveek RC t tvdt RCtv tdv dt RCtv tdv tv RCdt tdv RC tv dt tdvC R tv dt tdvC −+− =⇒=⇒+−=⇒−= −=⇒−= =+⇒÷=+ ∫∫ .ln 1 11 0)(0 1 ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;;tempodeconstante : 0:0/ 1 0 1 Ae R V R tv tiVeVtv RCcomoOBS eVtvkekVvtp t g t g RC t g RC g ττ τ −− −− ===⇒ = =⇒==== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) JCVCVeeCVeRC R V dte R V dttPW We R V e R V eVtitvtP g gg t g t g RR t g t g t gR 2 2 0 2 0 22 0 22 0 22 2 110 222 . =−−=−−= −===∞ === ∞− ∞ −∞ −∞ −−− ∫∫ ττ τττ 0 1 v(t) Vg t OBS: Se a troca da chave ocorrer num tempo t = t0 ( ) ( ) 00 / 0 ttpeVtv RC tt ≥= − − Circuitos RC e RL quarta-feira, 24 de abril de 2013 18:54 Página 21 de Circ-Elet I 0,01 µF 100 kΩ t = 0 + v - 6 V 1kΩ + – ( ) ( ) ( ) Vetvetv sRC eVtvSolução t RC t t 1000 383 0 66 ;1010.10.100 ;: 310 − −− − =∴= == = − − 1) Calcule a tensão v para t > 0 no circuito em regime estacionário abaixo. mskRC VVg 11010.10.101,0.100 6 363 ===== = −−µτ idem Obs: Tempo de descarregamento 5xτ 2) A chave do circuito abaixo ficou na posição x por um longo tempo antes de ser deslocada em t = 0 para a posição y. Determine, para t > 0, vc(t), v0(t) e i0(t) e a energia total dissipada no resistor de 60 kΩ. 0,5 µF 240 kΩ y 100 V 10 kΩ + – x 32 kΩ + vC(t) - i0(t) + v0(t) - 60 kΩ p/ achar energia, calcula-se primeiro a potência ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mJeedtedttPW mWeeetitvtP mAe k e k tv ti Veetv kk k tv VeeeVtv mskRCVVV kkkk kk kkkkkR t kk ttt k t t tt C t t RC t C g eq 2,1 50 110.6010.60 ;6010..60. 60 60 60 60.100.6,0 4832 48 ;.100.100. 405,0.80;100 ;80324832 60240 60.2403260//240 03 0 350 0 6060 5032525 0060 25 25 0 0 2525 0 2510.40 0 0 3 =− −=== === === == + = === ===== Ω=+=+ + =+= ∞−− ∞ −− ∞ −−−− − − −− − − − ∫∫ − µτ Exemplo: quarta-feira, 24 de abril de 2013 19:38 Página 22 de Circ-Elet I Resposta Forçada de um circuito RC t = 0 iC(t) C vC(t) R iR I0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AeItie RC RIC dt eRIRId C dt tdvCti VeIRtveeRItveRC C I tve dte C I tvede C I dt tved eet C I tv RCdt tdvC dt tdvC R tvI titiI tp RC t C RC t RC t C C RC t C RC t RC t C RC t C RC t t RC t C RC t RC tC RC t RC t RC dt C CCC CR −− − −− =∴ −−= − == −=∴ −=⇒ −= = ⇒= ⇒= ∫ = =+=÷+= += > ∫ ∫ 00 00 00 0 0 00 0 0 0 1 1.11. . . 1)( 0/ µ Solução Geral: ( ) ( ) ( ) VeRIVRItv eRIRIeVeRIeVvvtv RC t C RC t RC t RC t RC t fnC − −−−− −+= −+= −+=+= 000 00000 1 tensão final tensão inicial tensão final contempla as duas formas anteriores (natural e forçada) Resposta Forçada quarta-feira, 24 de abril de 2013 20:13 Página 23 de Circ-Elet I + v(t) - 2 µF 10 kΩ t = 0 10 V Ache v(t) para t > 0 se v(0-) = 6 V.1) t inicial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Veetv msRCVRI eRIVRItv mskCR evvvtv tt RC t t fif 5050 63 0 000 41010610 ;2010.2.10.10;10 ; 202.10. )( −− − − − −=−+= === −+= === −+= µτ τ img gráfico v(t) x t 2) A chave do circuito abaixo foi mantida por um longo tempo na posição 1. Em t = 0, a chave é colocada na posição 2. Determine v0(t) e i0(t) p/ t > 0. 0,25 µF 60 kΩ 1 2 40 V 20 kΩ + – t = 0 160 kΩ 75 V + v0(t) - 8 kΩ – + 40 kΩ i0(t) a b ( ) ( ) ( ) ;5,1 40 60 ;40 200 160.408160//408 6075 200 16075 40160 160 3040 80 6040 2060 60 0/ 0 mA kR VI k k kkkkkkRR V k k kk kV V k k kk kV tp N ab N Neq ab −= − == Ω=+=+== −=−=− + = == + = < norton Novo circuito: 30 V + – 0,25 µF 40 kΩ 1,5 mA ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) .25,210090.10.25,0)'9060.(25,0 90606030605,140305,140 10010061000 0 10010025,0.40 0 mAeeeF dt tdvCti Veeemkmktv ttt ttk t −−−− −− − −=−=+−== +−=++−=−−+−= µ µ vc(t)(V) 30 - 27 - 60 10 50 t(ms) Exercício quarta-feira, 15 de maio de 2013 19:02 Página 24 de Circ-Elet I Resposta Natural de um Circuito RL: t = 0 IS R0 L R i(t) + v(t) - Resolvendo a E.D.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R L JeLItWee L RRIdeRI dptWWeRItpVeRItvtRitv AeItieitie i ti eet L R i ti t L Ritix L Rdx L Rd dt L R ti tdi ti L R dt tdi ti L R dt tdiLtRi dt tdiL tp t L R t L R t L R t R t L R R t L R t L R t L R t L R t L R i ti tti i tti i = −=∴ − −== ====∴= =∴=∴=∴=∴−=∴ ∴−−=−∴−=∴−=∴ ∴−=∴−=∴=+∴÷=+ > −−− −− −−−− ∫ ∫ ∫∫ τ τ ττ τ τ τ τ :tempodeconstante ;1 2 1 2 1 ;; ;0 00 ln 00lnlnln 0)(0 0/ 2 2 0 0 2 2 00 2 2 0 0 2 2 00 0 0 ln 0000 Ex: Para o circuito abaixo, determine i(t) e v(t) em regime estacionário. t = 0 100 V 150 Ω 10 H 50 Ω i(t) 75 Ω + v(t) - ( ) ( ) Aii tp 2 50 10000 :0/ === < +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ttttt t eq eq eeee dt ed ti dt tdi tv AetiAiI s R L R tp Aii tp 10101010 10 10 0 1001002002502105010 ;220 1,0 100 10 ;100 15075 150.7550150//7550 0/ 2 50 10000 :0/ −−−− − −+ +− −=+−=+=+= =⇒== === Ω= + +=+= > === < τ V Resposta Natural RL quarta-feira, 15 de maio de 2013 19:31 Página 25 de Circ-Elet I 20 A 0,1 Ω t = 0 iL(t) 2 H 2 Ω 10 Ω i0(t) 40 Ω + v0(t) - 2) A chave do circuito abaixo ficou fechada por um longo tempo antes de ser aberta em t = 0. Determine, para t > 0: a) iL(t); b) i0(t) e c) v0(t). Qual é a energia dissipada no resistor de 10 Ω ? p/ t > 0; iL(t)=?; i0(t)=?; V0(t)=?; W10Ω=? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AetiAiI s R L R tp Aii tpa t L eq eq LL 5 0 20200 2,0 10 2 ;1040//1020/ 2000 :0/) −+ +− =⇒== === Ω=+= > == < τ ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) JeeedtetW Weetvtp Veetitvc Aeetitib tt t t tt tt L 256256 10 125602560 2560 10 160 10 16044040 420 5 1 4010 10 0 0 10 0 10 10 10 252 0 10 55 00 55 0 =−−= −== = − == −=−== −=−= + −= ∞− ∞ − ∞ − Ω − − Ω −− −− ∫ Resposta Forçada de um circuito RL: R Vs t = 0 i(t) L + v(t) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ln ln )( )()( 0 00 00 0 0 GeralSoluçãoAe R VI R V tie R VI R V ti t L R R VI R V ti L R R Vyd L R R Vy dy dt L R R V ti tdi R V ti L R dt tdi L V ti L R dt tdi LVtRi dt tdiL Vtvtv t L R ss t L R s s s s t ti I s tti I s s ss s sRL ⇒ −+=∴= − − ∴−= − − ∴ −= −∴−= − −= − ⇒ −−=⇒+−= ÷=+ =+ − − ∫∫ ττ i(t) Vs/R 0,6321 Vs/R τ 5 τ t v(t) Vs τ 0,367 Vs 5 τ t ) ( ) ) ( ) ( ) .A R V6321,0ie R V R Vi:t/pb ;e R V R V tizeroéI,zeroéindutordoinicialenergiaaQuandoa:.Obs s1ss t L R ss 0 ≅τ∴−=ττ= −=⇒ − − Exemplos quarta-feira, 15 de maio de 2013 20:05 Página 26 de Circ-Elet I 24 V 2 Ω b a t = 0 200 mH + v(t) - i(t) 10 Ω 8 A A chave do circuito abaixo foi mantida na posição a por um longo tempo. Em Determine a expressão de i(t) para t > 0;a) Qual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a chave é colocada na posição b ?b) Esta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito ?c) Quantos ms depois que a chave é colocada na posição b a tensão entre os terminais do indutor atinge 24 V ? d) Plote i(t) e v(t) em função de t.e) t = 0, a chave é deslocada da posição a para a b. Esta chave é do tipo que faz a ligação com b antes de abrir em a para que a corrente no indutor não seja interrompida. ) ;12 2 24 :,;8: 0 AiéidefinalvalorobposiçãonaAIaposiçãoNaa ==−= ( ) ( ) ;0/201212812100 2 200 101,0 >→−=−−+=⇒=== − − tpAeetims R L t t τ ) ( ) ( ) ( ) ( ) Veem dt ed m dt tdiLtvb tt t 1010 10 402002002012200 −− − == − == ( ) Vevtp 40.4000/ )0( ==⇒= ++ ) ( ) ( ) VvVvSimc 40162401682: 2 =+=⇒−=−= +Ω ) ( ) mstteeeVtvpd ttt 08,51 10 5 3ln 5 3ln10 5 3lnln 40 24402424/ 101010 = − =∴=−∴=∴=∴=⇒= −−− v(t)(V) 40 500 t(ms) i(t)(A) 12 - 8 51,08 500 t(ms) e) Exemplo quarta-feira, 22 de maio de 2013 19:25 Página 27 de Circ-Elet I Circuito RLC Paralelo Resposta Natural 0)()()( =++ tititi RLc 0)()0()(1)( 0 =+++ ∫ R tvidv Ldt tdvC t Lττ )(0)()(1)(2 2 C R tdv tv Ldt tvdC ÷=++ 0)(1)(1)(2 2 =++ tv LCdt tdv RCdt tvd (DERIVANDO A EXPRESSÃO): Supondo a solução do tipo v(t)=A.est ⇒ − −−= − +−= = =− ±−= − ±−=− ±−= − ±− = =++⇒= ++ =++ =⇒=⇒ LCRCRC s LCRCRC s s LCRCRC s LCRCRCLCRCRC LCRCRC s LCRC s s LCRC s sAe Ae LC Ase RC eAs eAstvAsetv st ststst stst 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 4 . 4 11 4 1 2 11 .41 2 11 2 1 .411 0101. 011 )(")(' 2 2 2 1 2 22 2 22 2 2 Logo, v1 = A1 es1t e v2 = A2 es2t são soluções da EDL. v(t) = v1(t) + v2(t) será a solução geral da EDL (Princípio da Superposição). Se v1(t) e v2(t) são soluções, então: Fazendo: Frequências Complexas 2 0 2 2 2 0 2 1 0 1 2 1 ωαα ωαα ω α −−−= −+−= ⇒= ⇒= s s LC RC Frequencia de Neper (rad/s) Frequência de Ressonância (Rad/s) RLC paralelo quarta-feira, 22 de maio de 2013 19:44 Página 28 de Circ-Elet I 1a) α2 > ω02 => s1 e s2 serão dois números reais distintos => Resposta Superamortecida. 2a) α2 < ω02 => s1 e s2 serão dois números complexos conjugados => Resposta Subamortecida. 3a) α2 = ω02 => s1 e s2 serão dois números reais iguais => Resposta criticamente Amortecida. Exemplo: Para o circuito RLC, paralelo com R = 200Ω, L = 50mH e C = 0,2μF, determine: a) Os valores de s1 e s2 b) Tipo de Resposta c) Repetir a e b para R = 312,5Ω d) O valor de R para obter uma resposta criticamente amortecida. a) srads srads srad LC srad RC /20000)10()10.25,1()10.25,1( /5000)10()10.25,1()10.25,1( /10 10.2,0.10.50 11 /10.25,1 10.2,0.200.2 1 2 1 24244 2 24244 1 4 630 4 6 −=−−−= −=−+−= === === −− − ω α b) α2 > ω02 => s1 e s2 serão dois números reais distintos => Resposta Superamortecida. c) srad RC /8000 10.2,0.5,312.2 1 2 1 6 === −α α2 < ω02 => s1 e s2 serão dois números complexos conjugados => Resposta Subamortecida. d) α = ω0 sradjs sradjs /)60008000( /)60008000(10)8000(8000 2 82 1 +−= +−=−+−= Ω==⇒= 25 2 1 2 1 C LCR LCRC Hipóteses quarta-feira, 22 de maio de 2013 20:13 Página 29 de Circ-Elet I Considerações sobre as formas de resposta natural do circuito RLC paralelo: 1) Resposta superamortecida: Quando α2 > ω02, as raízes são reais e distintas. Então v(t) = A1eS1t + A2eS2t, onde A1 e A2 são determinados a partir de v(0+) e v'(0+): v(0+) = A1e0 + A2e0 logo: v(0) = A1 + A2 ; v'(t) = A1S1eS1t + A2S2eS2t p/ t = 0; v'(0) = A1S1 + A2S2 Como ic(t) + ir(t) + iL(t) = 0, ic(t) = ir(t) - iL(t) p/ t = 0+ : ic(0+) = ir(0+) - iL(0+) como q(t) = Cv(t) => C tq tv )()( = dt tdq Cdt tdv )( . 1)( = ic(t) C ti tv c )()(' ==> 2211)0( )0(1)0()0(1 )0()0( )0(' )0()0(:0/ SASAi R v C i R v CC i R v v C i vtp LL c L c += +−= +−= −− = == + + + + + + ++ Ex: Para o circuito RLC com v(0) = 12V, i2(0-) = 30mA, C = 0,2uF, L = 50mH e R = 200ohm. Determine: a) as correntes iR(0+), iC(0+), iL(0+) b) v'(0+) c) A expressão de v(t) d) Esboce um gráfico de v(t) para 0 ≤ t ≤ 250μs b) v'(0+) = => A1 = -14 c) Considerações quarta-feira, 29 de maio de 2013 19:04 Página 30 de Circ-Elet I 1) Resposta criticamente amortecida: Quando α2 = ω02, as raízes são reais e iguais. S1 = S2 = -α = neste caso: v(t) = D1teSt + D2teSt, v(t) = D1te-αt + D2te-αt, Para determinar D1 e D2 emprega-se v(0+) e v'(0+): v(0+) = D10e0 + D2e0 => D2= (v0+) 2RC 1 − tttttt tttt eDeeDeDeteD dt edD dt etdD dt eDetDd tv αααααα αααα αααα −−−−−− −−−− −−−=−+−+=+= + = 212121 21 )())((][].[]...[)(' Ex: Seja o circuito RLC paralelo abaixo, V0 = 0V e I0 = -12,25mA. a) Determine o valor de R que resulta em uma resposta criticamente amortecida b) Calcule v(t) para t >= 0 c) Faça um gráfico de v(t) em função de t para 0 <= t <= 7ms. e-αt c) Criticamente Amortecida quarta-feira, 29 de maio de 2013 19:54 Página 31 de Circ-Elet I 1) Resposta criticamente amortecida: Quando α2 < ω02, as raízes são pares complexos conjugados. S12 = Ondeωd -> Frequencia Angular Amortecida ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tsenAAtAAeeAeAtv jSejS dd ttjtj dd dd ωω ωαωα αωαωα 2121 )( 2 )( 1 21 cos...)( −++==+= −−=+−= −−−+− 1.)()).(1( 2202202022,1−−±−=−−±−=−±−= αωααωαωααS ωd j ( ) ( ) 211 21 )]0()0([1)0(')0( ..cos..)( BBii C veBv tseneBteBtv dLR d t d t ωα ωω αα +−=+−== += +++ −− B1 B2 Resposta Subamortecida quarta-feira, 29 de maio de 2013 20:09 Página 32 de Circ-Elet I Dados os pares de expressões para tensões e correntes a seguir, verifique se o elemento envolvido é um R, C, L, RL, RC e determine os valores: a) v = 100sen(ωt + 40o) e i = 20sen(ωt + 40o) b) v = 1000sen(377t + 10o) e i = 5sen(377t - 80o) c) v = 500sen(157t + 30o) e i = 1sen(157t + 120o) d) v = 100sen(377t + 10o) e i = 10sen(377t - 60o) e) v = 500sen(157t + 40o) e i = 30sen(157t + 80o) Im 2 VmR f iv = −= = θθθ piω C X LX C L ω ω 1 = = )(.. )(. RCCRtg RL R L tg ωθ ωθ = = a) Ω=== =−= 5 200 100 Im 04040 VmR oooθ circuito puramente resistivo b) HVmLLVmX L ooo 531,0 5.377 1000 ImIm 90)80(10 ===⇒== =−−= ω ω θ c) F Vm C C VmXC ooo µ ωω θ 74,12 500.157 1Im1 Im 9012030 ===⇒== −=−= circuito puramente indutivo circuito puramente capacitivo LLtg VmR o ooo ... 10 .37770 10 10 100 Im 70)60(10 ⇒= Ω=== =−−=θd) e) CCtg VmR o ooo ....6,166.157)40( 6,16 30 500 Im 408040 ⇒=− Ω=== −=−=θ Revisão quarta-feira, 5 de junho de 2013 19:29 Página 33 de Circ-Elet I
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