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Aula Circuitos Elétricos I - Prof. Araújo

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Prof: Araújo
profengaraujo@hotmail.com
Conteúdo Programático:
AV1
Teorema de Superposição○
Teorema de Thevenin○
Teorema de Norton○
das correntes de malha○
das tensões de nó○
Método de Análise de Circuitos•
Definição○
Associação○
Formas de Onda○
Capacitores e Indutores•
AV2
Resposta Natural○
Resposta a um degrau○
Solução Geral○
Circuitos RC e RL•
Circuitos RLC - Paralelo•
Metodologia de Ensino:
Quadro branco com apostila
Metodologia de Ensino:
AV1•
AV2•
AV3•
Referências Bibliográficas:
Introdução a circuitos elétricos - Riedel / Nilson
AV1 - 04/04
AV2 - 06/06
AV3 - 20/06
Término do Período:
Outras informações:
Uso de Periódico da biblioteca•
Atividade estruturada, valendo ponto•
Aulas Práticas:
Apresentação da bancada•
Teorema de superposição•
Teorema de Thevenin•
Teorema de Norton•
Resistência interna do gerador de funções•
O transformador•
Capacitor em regime DC - Cronômetro•
Capacitor em regime DC - Osciloscópio•
Circ Elétricos I
quarta-feira, 6 de fevereiro de 2013
19:02
 Página 1 de Circ-Elet I 
9A
12Ω
6Ω
I2’’
36V
12Ω
6Ω
I2’
9A36V
12Ω
6Ω
I2 = ?
Teorema da Superposição:
"A corrente que atravessa ou a tensão entre os terminais de um elemento do circuito linear é igual a 
soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada uma das fontes."
Ex 1: Encontrar a corrente que passa no resistor de 6Ω.
a) Contribuição de E:
E = R.I
b) Contribuição de I:
A
RR
EI 2
18
36
612
36
21
'
2 ==+
=
+
=
AI
RR
RI 69.
3
29.
18
129.
612
12
.
21
1
''
2 ===+
=
+
=
corrente não desejada
- método de divisão de correntes -
WIRP
WIRP
WIRP
216)6.(6.2
24)2.(6.2
384)8.(6.2
22''
2
"
6
22'
2
'
6
22
26
===
===
===
Ω
Ω
Ω
24 + 216 = 240W 
WW 384240 ≠
I2 = I2' + I2" = 2 + 6 = 8
Métodos de Análise de Circuitos
quarta-feira, 20 de fevereiro de 2013
18:59
 Página 2 de Circ-Elet I 
Contribuição de I
Contribuição de E:
mA
k
m
kk
kI
RR
RI 2
18
366.
126
6
.
21
1
'
2 ==+
=
+
=
mA
kkkRR
EI 5,0
18
9
126
9
21
''
2 ==+
=
+
=
mAIII 5,25,02''2'22 =+=+=
Exercício:
Encontre a corrente no resistor de 2Ω do circuito abaixo:
Contribuição de E1:
contribuição de I:
contribuição de E2:
A
RR
EI 2
42
12
21
' =
+
=
+
=
AI
RR
RI 2
6
123.
24
4
.
12
2
'' ==
+
=
+
=
A
RR
EI 1
42
6
21
''' =
+
=
+
=
AIIII 1122'''''' =−−+=++= sempre corrigir o sentido no diagrama, se der negativo
Corrente I2 = ?
I2 = ?
=
=
E2=6V
I=3AR1=2Ω R2=4Ω
E1=12V
I
OBS: Não pode modificar o circuito!
Ex.2
quarta-feira, 20 de fevereiro de 2013
19:30
 Página 3 de Circ-Elet I 
Qualquer circuito de corrente continua linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito 
equivalente constituído por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo.
OBS:
E=9V
Rth = RN
Eth = PN x IN
th
th
N R
EI = Rth = RN
Ex:1
E=9V
R2=3Ω
R2=6Ω
a
b
Cálculo de RN:
a
b
←RN Ω=+
== 2
63
6.3
2
1
R
RRN
Cálculo de IN:
E=9V
R1=3Ω
R2=6Ω
a
b
A
R
EIN 33
9
1
===
Equivalente Norton:
a
b
Teorema de Norton
quarta-feira, 27 de fevereiro de 2013
19:49
 Página 4 de Circ-Elet I 
a
b
profengaraujo@hotmail.com
jleoncio@live.estacio.br
Ex2
quarta-feira, 27 de fevereiro de 2013
20:11
 Página 5 de Circ-Elet I 
Fontes de Tensão Fonte de Corrente
Métodos das correntes de malha:
* Associar a cada malha uma corrente
*Indicar as polaridades das tensões dos elementos de circuito;
* Aplicar lei de Kirchoff das Tensões (LKT);
* Resolver as equações lineares das malhas.
1) Corrente já associada: I0
2) Polaridades (indicadas)
+ -
- +
início
4 x I0 = 4 x 4 = 16V
+ -
+
-
Eq da malha:
-500 + 5iΔ + 20i0 = 0
5iΔ + 20i0 = 500 (/5) = IΔ + 4i0 = 100 (1)
Pelo nó a:
5iΔ + iΔ = i0 .: 5iΔ = i0 (2)
Substituindo (2) em (1):
IΔ + 4.6iΔ = 100 (1)
iΔ = 4A => i0 = 24A => V0 =480V
a
Fontes dependentes
quarta-feira, 6 de março de 2013
18:59
 Página 6 de Circ-Elet I 
3) Para o circuito abaixo, calcule Vo.
– 2 Va + 1 k io + 12 + 1 k io + 2 k io = 0
– 2 Va + 4 k io = – 12; Va = 3 k io �
(– 2)(3 k io) + 4 k io = – 12 �
– 2 k io = – 12 � io = 6 mA �
Vo = 2 k io = (2 k)(6 m) � Vo = 12 V.
+ - + -
terra
malha 1
malha 2
Malha 2:
-Va + 1ki0 + 2ki0 =0
Va = 3ki0
36V
6V 6V
18V
12V
4) Determine Vo no circuito abaixo.
– 24 + 2 io – 2 Va + 3 io + io = 0 �
6 io – 2 Va = 24 � 3 io – Va = 12; 
– Va – 2 Va + 3 io = 0 � 3 Va = 3 io
� Va = io � 3 io – io = 12 �
2 io = 12 � io = 6 A � Vo = 3 io =
= (3)(6) � Vo = 18 V.
+ -
- +
malha 1
malha2
6V
12V
12V
18V
6V
5) Equacionar o circuito abaixo pelo método das malhas. Em seguida, escrever o sistema sob a 
forma matricial e calcular as correntes das malhas utilizando a regra de Kramer.
malha 1 malha 2
malha 3
VVV
VVVVVV
VVVi
iiii
7212
6
12
12
432112
4
1
6
1
12
1
4612
12
6
2
4612
122
122
0
0
00
0000
000
0
2010
=⇒=
=




 −++
⇒=





++⇒++=+
++=+
++=+
Exemplos
quarta-feira, 6 de março de 2013
19:30
 Página 7 de Circ-Elet I 
 
4 io 3 kΩ 
3 kΩ 
 
3 kΩ 
+ 
- 
Vo 
10 mA 
 io 
 
v 
 4 io = 10m + v/6k + v/3k; io = v/3k 
 
� 4 v/3 k – v/6 k – v/3 k = 10 m 
 
� 8 v – v – 2v = 60 � 5 v = 60 
 
� v = 12 V � Vo = v/2 = 12/2 � 
 
Vo = 6 V. 
i1 = v/6k
Ex. 3
 
2 0 V 20 Ω 8 io 10 Ω 
v1 v2 2 Ω 
io 
 
5 Ω 2 Ω 
+ 
– 
 
+ 
– 
 
P5Ω = ?
circuito possui 3 nós (v1, v2 e gnd)
 Para o nó 1: (v1 – 20)/2 + v1/20 + (v1 – v2)/5 = 0 � 10 v1 – 200 + v1 + 4 v1 – 4 v2 = 0 � 
15 v1 – 4 v2 = 200. Para o nó 2: (v1 – v2)/5 = v2/10 + (v2 – 8 io)/2 � 
(v2 – v1)/5 + v2/10 + (v2 – 8 io)/2 = 0 � 2 v2 – 2 v1 + v2 + 5 v2 – 40 io = 0 � 
8 v2 – 2 v1 – 40 io = 0 � 4 v2 – v1 – 20 io = 0 � 4 v2 – v1 – 20(v1 – v2)/5 = 0 � 
4 v2 – v1 – v1 + 4 v2 = 0 � – 5 v1 + 8 v2 = 0; resolvendo o sistema: v2 = 10 V e 
v1 = 16 V; io = (16 – 10)/5 = 1,2 A � P5 Ω = (6)(1,2) � P5 Ω = 7,2 W. 
Lei de kirchoff: ∑ (corr. q entram) = ∑ (corr. q saem)
( )1200415
4410200
5202
20
21
2111
2111
021
=−
−+=−⇒
−
+=
−
+=
VV
VVVVVVVV
iii
( )26,11610
588225
5
4022
5422
102
8
5
2121
22212122
21
21
22021
22021
430
VVVV
VVVVVVVVVVVV
VViVVVViVV
iii
=⇒=
=−−+−⇒=−




 −
+−
=−+−⇒=
−
+
−
=+
W
R
VP
VV
2,7
5
6
61016
22
5
5
===
=−=
Ω
Ω
Levando (2) em (1):
5
21
0
VVi −=
+ - + - + -
i1→
i2↓
←i3
Ex. 2
quarta-feira, 13 de março de 2013
19:09
 Página 8 de Circ-Elet I 
Calcule a corrente i e as tensões vc e vd do circuito abaixo, utilizando o método das tensões de nó.1)
(1/15) vc 4 Ω 6 Ω 
a b 
+ 
 
 
– 
1,5 V 
+ 
 
 
– 
 
vd 
2 Ω 
+ vc – 
 
10 Ω 
12 V 
1 Ω 
+ 
– 
 
i 
+ - + -
v v
Vb = 1,5V
como Vc = Va - Vb:
1561015610
21
babbacbba VVVVVVVVV
iii
−
+=
−
⇒+=
−
+=
VVV
AViVV
VVVVVVVVVV
dd
c
c
babababba
5,015,105,0.25,1
5,0
15
5,7
15
5,75,19
9)5,1(66122441066
=−=⇒=++−
===⇒=−=
===⇒=⇒−+=−
i1→
i2↓
2) Determine, no circuito abaixo: i ,v e id.
 
10 V 
1 Ω 
+ 
– 
 
+ – 
2 Ω 
i /2 
2 Ω 
 + 
4 V 
 – 
3 Ω 
+ 
v 
– 
i 
id 
a b c
d
Pela malha: a - b - c - d: 04
2
110 =+++− ii
Aiii 46
2
=⇒=+
2V
Pela malha: a - b - d:
Vvvvi 60410010 =⇒=++−⇒=++−
P/ o nó b: Aiii
vViiii dddd 13
)6(
2
4)6(4
32
4432 =⇒++
−
=⇒++
−
=⇒+++=
3) Determine vo para o circuito abaixo e verifique se a potência fornecida ao circuito é igual à 
potência consumida.
 
10 V + 
– 
 
6 Ω 
is 
3 Ω 3 is + 
– 
2 Ω 
+ 
vo
–
 
i2↑
WiViPPPP
WiiiPPP
ViV
Aiiiiii
Ai
sc
ssiVf
s
s
s
3
6551.32
3
5
.10.1.2.10
3
651.
3
5
.3
3
5
.10.310
3.3
15505
3
530323
3
5
6
10
00
2
326
0310
00
00000
=+++=++=++=
=+=+=+=
==
=⇒=⇒=+





⇒=++
==
ΩΩΩ
Exercícios
quarta-feira, 13 de março de 2013
19:34
 Página 9 de Circ-Elet I 
Exemplos:
1) C = 1μF; vc(t) = 6 cos 2000t v; ic(t) = ?
ic(t) = -12 sen2000t mA
2) C = 1F; vc(t) = ? ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) )(11010
1
1
:
1/
;)(00
1
1
:
10/
);(0;00
1
10:0/
;
1
11
00
Vd
a
vdtv
a
tp
Vatdavdatv
a
tp
Vvdtvitp
vdi
C
tv
t
a
t
a
tt
t
t
=+=+=>
=+=+=<<
=+=⇒=<
∞−+=
∫∫
∫∫
∫
∫
∞−
∞−
ττ
ττ
τ
ττ
 i (t) 
a 
1/a t 
 v(t) 
1 
1/a t 
3) Uma corrente constante de 10 mA está carregando um capacitor de 4 µF. Sabendo-se que o capacitor 
está inicialmente descarregado, calcule a tensão neste capacitor após 20 ms.
ic(t) = 10mA; C = 4μF; vc(20ms) = ?
Vv
tkVtVvdvdtv
c
t
tt
c
5010.20.10.5,2)10.20(
5,210.5,2
10.4
10.10)0(
10.4
10.10)0(10.10
10.4
1)(
333
3
0
6
3
06
3
0
3
6 |
==
===+=+=
−−
−
−
−
−
−
− ∫∫ τττ
4) Um capacitor de 1µF tem uma tensão de 10 sen 2000t V. Ache a corrente que passa neste capacitor.
C = 1μF; vc(t) = 10.sen2000t V; ic(t) = ?
( ) ( ) ( ) ( ) .20001220001200010 6 mAtsentitsen
dt
tdvCti cc −=∴−== −
( ) ( ) [ ] mAtt
dt
tsend
dt
tdvCtic 2000cos202000].2000[cos10.10
20001010 66 ==== −−
Capacitores
quarta-feira, 20 de março de 2013
19:06
 Página 10 de Circ-Elet I 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0
1
tidv
L
tiou
dt
tdiLtv L
t
t LL
L
L +== ∫ ττ
Exemplos:
1) Determine, para o circuito abaixo, as correntes i(t) e i6(t).
 2 H 
+ 
 
- 
6 cos 100 t V 
i6(t) 
6 H 
i(t) 
3 H 
i(t) = ?
i6(t) = ?
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
mAtsentmsentiti
mAtsensenti
didv
L
ti
HL
t
tt
eq
eq
100510015.
9
3)(
63
3)(
;10015100
100
1
.
4
6
0100cos6
4
11
;422
36
3.623//62
6
0
0
==
+
=
=





=
+=∞−+=
=+=
+
+=+=
∫∫
∞−
τ
ττττ
Resolução alternativa de i6(t):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) [ ] ( ) mAtsentisendidti
Vttttv
tt
dt
tsend
ttvtvtv
tvtvtv
ttt 1005100
100
15,0100cos
6
30100cos3
6
1
100cos3100cos3100cos6
100.100cos10.30100cos610010.152100cos6
0
600606
6
3
3
26
62
=∴





==+=
=−=
=−=−=−=
=++−
∫∫
−
−
τττττ
2) A forma de onda da corrente em um indutor de 10 mH é a da figura que se segue. Determine a 
correspondente forma de onda de tensão.
 i(t)(mA) 
20 
10 
2 4 t(ms) 
( ) ( ) VtvmAtitp 00:0/ =⇒=<
( )
( ) ( ) mV
dt
td
tv
Att
c
c
ti
mstp
adj
op
10010.1001010.10
10
10.2
10.20
:20/
33
3
3
===
===
<<
−−
−
−
( ) ( ) ( )
( ) mVtv
dt
td
tvAtti
mstmsp
100
10.401010.1010.4010
:42/
3
33
−=
+−
=⇒+−=
<<
−
−−
mx
m
x
mA
mA 40
2
80
202
4
==⇒⇔
( ) ( ) ( ) V
dt
d
tvmAti
mstp
0010.100
:4/
3
==⇒=
>
−
 v(t)(mV) 
100 
-100 
2 4 t(ms) 
triângulos semelhantes
Indutores
quarta-feira, 20 de março de 2013
19:44
 Página 11 de Circ-Elet I 
2) Determine o circuito equivalente da Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo.
RTH =R1//R3 + R2//R4 = 6//3 + 12//4
RTH = 2 + 3 = 5Ω
3) Encontre o circuito equivalente Norton para o circuito abaixo. 
ETH =?
LKT - Lei de Kirchoff das Tensões
0 = -V1 + V2 + ETH => ETH = V1 - V2
VEEETH 6544872.16
1272.
9
6
.
412
12
.
36
6
−=−=−=
+
−
+
=
Observar inversão da fonte ETH
Cálculo de RN:
Soma de R1 e R2 (série)
RN = R1 + R2 = 5 + 4 = 9Ω
Cálculo de IN: divisor de corrente
AIN 556,59
5010.
45
5
==
+
=
4) Encontre a corrente que passa pelo resistor R utilizando os 3 teoremas de solução, isto é, 
Superposição, Thevenin e Norton.
Superposição:
Contribuição de E1:
RR
EIR +
=
+
=
2
72
3//6
1'
189
)6(18
6
3186
18
3
6
6
18
3//6
1
+
+
=
+
++
=
+
+
=
+
=
R
R
R
RR
R
RR
EIT
2
12
)2(9
18
.6
189
)6(18
.
6
6
.
6
6
''
+
=
+
=
+
+
+
=
+
=
RRR
R
R
I
R
I TR
A
RRR
III RR +
=
+
+
+
=+=
2
84
2
12
2
72
'''
Contribuição de E2: 
Exercícios
quarta-feira, 27 de março de 2013
18:57
 Página 12 de Circ-Elet I 
Thevenin:
Cálculo de RTH : RTH = 6//3 = 2Ω
Cálculo de ETH : (observar V6)
-72 + ETH -V6 = 0
VVETH 84127218.36
67272 6 =+=+
+=+=
Norton:
RN = RTH = 2Ω
Cálculo de IN:
Contribuição de E1: AIN 362
72
'
==
Contribuição de E2:
AIN 362
72
'
== AIN 63
18
''
==
AIII NNN 42636
'''
=+=+=
A
RR
I
R
I N +
=
+
=
+
=
2
8442.
2
2
2
2
5) Equacionar o circuito abaixo pelo método das malhas. Em seguida, escrever o sistema sob a forma 
matricial e calcular as correntes das malhas utilizando a regra de Kramer.
 
30 V
 2 Ω 4 Ω 
5 Ω 3 Ω 
10 V 
1 Ω 
+ 
– 
 
+ 
– 
 
+ 
– 
 6 Ω 
20 V 
Lei de Kirchoff: Observar as polaridades:
1) -10 + I1 +2I1 -2I2 +20 = 0
3I2 + 2I2 = -10
2) -20 -2I1 + 2I2 + 3I2 + 4I2 - 4I3 =0
-2I1 + 9I2 - 4I3 = 20
3) -4I2 + 4I3 + 5I3 + 30 + 6I3 =0
-4I2 + 15I3 = -30
1 2 3
2976048405(det)
30
20
10
1540
492
023
301540
20492
10023
3
2
1
321
321
321
=−−=∆










−
−
=




















−−
−−
−





−=+−
=−+−
−=+−
I
I
I
III
III
III
AII
AII
AII
78,1
297
530
81,0
297
240
79,2
297
830
207
15430
4920
0210
3
3
2
2
1
1
−=
−
=
∆
∆
=
==
∆
∆
=
−=
−
=










−−−
−
−−
=
∆
∆
=
Exercício:
quarta-feira, 27 de março de 2013
19:48
 Página 13 de Circ-Elet I 
 
24 V + 
– 
 
10 Ω 
i2 
5 Ω 0,8 vg 
2 Ω 
+ 
vg 
–
 
20 Ω 
i1 io 
4) Calcule, para o circuito abaixo: i2 , i1 e io.
corrente de terra = 0 ; i2 = 0
i2 = 0
VVg 2024.210
10
=
+
=
Ai 2,316.
255
520.8,0.
520
5
1 −==+
−=
sent. contrário
Ai
iii T
8,12
8,122,316
0
10
=
=−=−=−
5) Sabendo-se que vo = 250 mV, determine: v1, vg e vo/vg.
 
vg 
+ 
– 
 
40 Ω 
10 Ω 
100 Ω 20 i1 
+ 
v1 
–
 
25 Ω 12,5 Ω 50 i2 
+ 
vo 
–
 
50 Ω 
i1 i2 
mAmVi
mViV
AVi
iiiV
2
25
50
25
50)10.5.(100.100
10.5
500
25,0
500
25,0
500
50050.
5,1250
50
.5,12.5,12
1
3
4
21
40
2
2200
−=
−
==
−=−==
−=−=−=−=
−=





+
==
−
−
40
25,6
250
25,6)125,0.(50).4010(
125,0
20
5,25,225,020
0
1
1321
==
−=−=+=−=
−
=⇒−=−−=+=
m
m
V
V
mVmiV
mAmimAmmiii
g
g
6) Para o circuito abaixo, determine vg e demonstre que Pf = Pr.
 
12,6 V 
50 kΩ 
+ 
– 
 
+ – 
1,5 k Ω 
+ vg – 
10 V 
 
250 Ω ib 
+ 
– 
 
+ – 
39 ib 0,6 V 
Aplicar lei de Kirchoff das correntes
1 2
a
12250.50)1(
02506,0.506,12)1(
250
250
=+
=+++−
iik
iik
b
b
Pelo nó a:
Pf = Pot Fornecida
Pr = potencia recebida
Aiiik
iiiii
bbb
bbb
4
250250
10.21240.250.50
4039
−
=⇒=+
=⇒=+
VVikVi gbg 7,301039.5,1.250)2( 250 =⇒=+−+−
mVkkPPPP
mWPPPP
kkr
if b
26,109)10.2.39.(5,1)10.2.40.(250)10.2.(50
26,10910.2.39.107,3.10.2.3910.2.12
242424
5,125050
444
103912
=++=++=
=++=++=
−−−
−−−
Exercicios
quarta-feira, 27 de março de 2013
20:57
 Página 14 de Circ-Elet I 
7) No circuito, para io = 5 A, calcule:
1) Vs;
2) A potência recebida pela fonte de tensão independente;
3) A potência fornecida pela fonte de corrente independente;
4) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente;
5) A potência total dissipada nos 2 resistores.
 
Vs – 
+ 
 
5 Ω 
6 io 
10 Ω 
 
5 A 
 
io 
a
Pelo nó a:
Aiiii 2056 5050 =⇒++= (i0 = 5A) 
1 2
pela malha 1: (continua nas fotos)
VV
iiV
s
s
50501005.1020.5
0105 05
=−=−=
=+−
Exercícios
quarta-feira, 27 de março de 2013
21:55
 Página 15 de Circ-Elet I 
 
0,2 H 
+ 
 
- 
3 V 
+ v2 - 
5 H 
0,8 H 
5 Ω 
+ v1 - 
1 Ω 
3 Ω 
- 0,8 A 
2,5 H 
4 Ω 9 Ω 
+ 
v3 
- 
V1 = ? V2 = ? V3 = ?
Como as fontes são CC, os indutores 
são curto-circuitos.
Indutores deixa passar CC e barra 
CA, capacitores são inversos
+
-
3 V
+ v2 -
5 Ω
+ v1 -
1 Ω
+ v1 -
1 Ω
3 Ω
- 0,8 A
4 Ω 9 Ω
+
v3
-
V2 = 0V
Logo: Para o nó a:
i1 = i2 + i3
Va Vb
36419
4431236
341
3
321
=−
−+=−
−
+=
−
∴+=
ba
baaa
baaa
VV
VVVV
VVVViii
Para o nó b:
2,743
2,733
9
8,0
3
)8,0( 43
=−
=−−
=−
−
∴=−+
ba
bba
bba
VV
VVV
VVVii
(1)
(2)
De (1) e (2), Va = 1,8V e Vb = -0,45V
V1 = 3-Va = 3 - 1,8 = 1,2V; V3 = -0,45V
1) Para o circuito abaixo, determine v1, v2 e v3.
7) Para o circuito e a forma de onda v(t) abaixo, determine i(t).
 i(t) 
 + 
v(t) 
 - 
3 H 
 v(t)(V) 
2 
-1 
1 2 t(s) 
Expressão:
)()(1)( 0
0
tidv
L
ti L
t
t LL
+ΤΤ= ∫
AtiVtvtp 0)(0)(:0/ =⇒=<
tAidti
Vtvtp
t
L
t
L 3
22.
3
1)0(2
3
1)(
2)(:10/
|
0
0
=Τ=+Τ=
=<<
∫
Atttidti
Vtvtp
t
L
t
L 





+−=++−=+−−=+Τ−=+Τ−=
−=<<
∫ 133
2
3
1
33
2)1(
3
1
3
2)1.(
3
1)1(1
3
1)(
1))(:21/
|
1
0
Aidti
Vtvtp
L
t
L 3
11
3
2)2(.0
3
1)(
0)(:2/
2
=+−=+Τ=
=>
∫
Revisão AV1
quarta-feira, 3 de abril de 2013
18:58
 Página 16 de Circ-Elet I 
Um capacitor de 0,4 µF possui uma forma de onda de tensão mostrada abaixo. Ache a corrente 
para t = – 4, – 1, 2, 5 e 9 ms.
 vc(t) (V) 
10 
-2 
-5 
-10 4 8 10 t (ms) 
Expressão:
dt
tdVCti cc
)()( =
OBS
Vt
m
battvmtmp C 





+=+=−<<− 5,12
8
10)(:210/ 5,12
8
10.10
8
10
10
: ==⇒=∆ bbSemelhança
Semelhança Δ
mA
dt
t
m
d
tic 5,010.8
10
.10.4,0
5,12
8
10
.10.4,0)( 366 ==




+
=
−
−−
)(
)(
adjcat
opcat
tgabaxy ==⇒+=
ktVVt
m
tgtvtmp
mA
dt
t
m
d
ti
C
c
5
2
10)(:02/
5,0
10.8
10
.10.4,0
5,12
8
10
.10.4,0)( 366
−=





−==<<−
==




+
=
−
−−
mA
dt
ktd
ti
ktVVt
m
tgtvmtp
c
C
5,010.
4
5
.10.4,04
5
.10.4,0)(
4
5
4
5)(:40/
366
−=





−=




−
=
−=





−==<<
−−
[ ] A
dt
d
ti
Vtvmtmp
c
C
05.10.4,0)(
5)(:84/
6
=
−
=
−=<<
−
mA
dt
t
m
d
ti
Vt
m
tgtvmtmp
c
C
110.
2
5
.10.4,0
25
2
5
.10.4,0)(
25
2
5)(:108/
366
=





=




−
=






−==<<
−−
Rev AV1
quarta-feira, 3 de abril de 2013
19:40
 Página 17 de Circ-Elet I 
Calcule a tensão Vxy do equivalente Thevenin nos pontos x e y do circuito abaixo:
1- Aplicar super posição para encontrar a contribuição de cada fonte.
3
.
2
3
2
.
2
2
.
//
//
'
EER
R
E
RR
R
E
RRR
RRV xy ==
+
=
+
=
Contribuição de 3E:
Contribuição de E:
EEEVVV
EER
R
E
RR
R
E
RRR
RRV
xyxyxy
xy
3
2
3
"'
)3.(
2
3
2)3.(
2
2)3.(
//
//
"
−=−=+=
−=−=−
+
=−
+
=
Rev AV1
quarta-feira, 3 de abril de 2013
20:10
 Página 18 de Circ-Elet I 
DESENVOLVIMENTO:
EQUIPAMENTO
Osciloscópio: 
Fonte de tensão C.C.; 
Multímetro.
PROCEDIMENTO:
Ligue o osciloscópio e realize os ajustes básicos (brilho, foco, etc); 
Selecione REDE ou LINE na chave de fonte de sincronismo; 
Ajuste a chave de base de tempo para 1ms/div; 
Ajuste o traço no centro da tela (será a referência); 
Conecte a ponta de prova em um dos canais (C H1 ou CH2) e posicione a chave CA-o-CC em C.C., no 
canal selecionado; 
Posicione a chave de ganho vertical em 5V/div; 
Ligue a fonte de C.C. e ajuste para 20V de saída. Use o multímetro. Respondendo a Atividade 
Estruturada ATIVIDADE ESTRUTURADA 1. Tentativa número 1. 
Tensão(A) chave ganho vertical(B) No de divisoes da tela(C) Tensão medida no osciloscópio(D)
(A)20V (B)5v/div (C)4 div (D)20,08V
(A)-23V (B)5V/div (C)-5 < div < -4 (D)-22,61
(A)14,24 (B)5V/div (C)3 < div < 4 (D)14,37V
(A)0,50 (B)200mV/div (C)2 < div < 3 (D)513mV
(A)1,3 (B)500mV/div (C)2 < div < 3 (D)1,31V
(A)6,0 (B)5V/div (C)3 div (D)6,116V
(A)-28V (B)10V/div (C)-3 < div < -2 (D)28,6V
Nome: Jorge Leoncio Alves de Oliveira
Matrícula: 201202211461
Curso: Eng. Controle e Automação
Tensão(A) | chave ganho vertical(B) | N. de divisoes da tela(C) | Tensão medida no osciloscópio(D):
(A)20V | (B)5v/div | (C)4 div | (D)20,08V
(A)-23V | (B)5V/div | (C)-5 < div < -4 | (D)-22,61
(A)14,24 | (B)5V/div | (C)3 < div < 4 | (D)14,37V
(A)0,50 | (B)200mV/div | (C)2 < div < 3 | (D)513mV
(A)1,3 | (B)500mV/div | (C)2 < div < 3 | (D)1,31V
(A)6,0 | (B)5V/div | (C)3 div | (D)6,116V
(A)-28V | (B)10V/div | (C)-3 < div < -2 | (D)28,6V
Equipamentos Utilizados, disponibilizados no local de trabalho:
Osciloscópio: TEKTRONIX - DPO 4032
Fonte CC: ICEL PS-5000D
Multímetro: FLUKE 189
Atividade Estruturada 1
sábado, 6 de abril de 2013
09:17
 Página 19 de Circ-Elet I 
RTH = ? ETH = ? R = ?, p/ I = 5mA
Ω==++= kkkkkkkRTH 24//6)22//()15(
V
k
k
kk
kETH 3010
30050.
46
6
==
+
=
Ω==−=−= k
m
mk
m
mRER THth 6,3
5
18
5
5.4,230
5
5.
R = ?
2) L = 2H; vL(t) = ?
V
dt
tdiLtv
Ati
tp
L
L
L
0)()(
0)(
1/
==
=
<
V
dt
td
tv
Attti
tp
L
L
20)10.(2]1010[2)(
)1010(10
2
20)(
31/
−=−=
+−
=
+−=+−=
<<
V
dt
td
tv
Atti
tp
L
L
2010.2]5010[2)(
)5010()(
63/
==
−−
=
−=
<<
506010
1
6
10
10
1020260240
2
3
20
20
=⇒=+⇒=
+
=⇒=⇒=+⇒=
+
yyy
xxx
x
AV1 - Correção
quarta-feira, 17 de abril de 2013
19:08
 Página 20 de Circ-Elet I 
 
Io Leq Req 
Resposta Natural
 
 + 
 Vo 
 - 
Ceq Req 
Resposta a um degrau ou Resposta Forçada:
Circuito RL: 
iL(t) 
 + 
vL(t) 
 - 
Leq 
RTh VTh 
RTh 
iL(t) 
 + 
vL(t) 
 - 
Leq 
RTh 
VTh 
 
+ 
- 
Circuito RC: 
iC(t) 
 + 
vC(t) 
 - 
CeqRTh 
VTh 
 
+ 
- 
iC(t) 
 + 
vC(t) 
 - 
Ceq 
RTh VTh 
RTh 
Resposta Natural de um circuito RC:
 
C R 
a b 
Vg 
R1 
+ 
– 
 
t = 0 
C R Vg 
v(t) + 
– 
 i(t) 
+ 
- 
:0/ ≥tp
O capacitor será considerado totalmente descarregado no tempo = 5τ = 5.RC
( ) ( ) 0=+ titi RC
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) RC
tk
RC
t
tv ektveek
RC
t
tvdt
RCtv
tdv
dt
RCtv
tdv
tv
RCdt
tdv
RC
tv
dt
tdvC
R
tv
dt
tdvC
−+−
=⇒=⇒+−=⇒−=
−=⇒−=
=+⇒÷=+
∫∫ .ln
1
11
0)(0
1
ln
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ;;tempodeconstante
:
0:0/ 1
0
1
Ae
R
V
R
tv
tiVeVtv
RCcomoOBS
eVtvkekVvtp
t
g
t
g
RC
t
g
RC
g
ττ
τ
−−
−−
===⇒
=
=⇒====
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) JCVCVeeCVeRC
R
V
dte
R
V
dttPW
We
R
V
e
R
V
eVtitvtP
g
gg
t
g
t
g
RR
t
g
t
g
t
gR
2
2
0
2
0
22
0
22
0
22
2
110
222
.
=−−=−−=





−===∞
===
∞−
∞
−∞ −∞
−−−
∫∫ ττ
τττ
0 1
 v(t) 
Vg 
t 
OBS: Se a troca da chave 
ocorrer num tempo t = t0
( )
( )
00 /
0
ttpeVtv RC
tt
≥=
−
−
Circuitos RC e RL
quarta-feira, 24 de abril de 2013
18:54
 Página 21 de Circ-Elet I 
 
0,01 µF 100 kΩ 
t = 0 
+ 
v 
- 
6 V 
1kΩ 
+ 
– 
 
( )
( ) ( ) Vetvetv
sRC
eVtvSolução
t
RC
t
t
1000
383
0
66
;1010.10.100
;:
310
−
−−
−
=∴=
==
=
−
−
1) Calcule a tensão v para t > 0 no circuito em regime estacionário abaixo.
mskRC
VVg
11010.10.101,0.100
6
363
=====
=
−−µτ
idem
Obs: Tempo de descarregamento 5xτ
2) A chave do circuito abaixo ficou na posição x por um longo tempo antes de ser deslocada em t = 0 
para a posição y. Determine, para t > 0, vc(t), v0(t) e i0(t) e a energia total dissipada no resistor de 60 
kΩ.
 
0,5 µF 240 kΩ 
y 
100 V 
10 kΩ 
+ 
– 
 
x 
32 kΩ 
+ 
vC(t) 
- 
i0(t) 
+ 
v0(t) 
- 
60 kΩ 
p/ achar energia, calcula-se primeiro a potência
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) mJeedtedttPW
mWeeetitvtP
mAe
k
e
k
tv
ti
Veetv
kk
k
tv
VeeeVtv
mskRCVVV
kkkk
kk
kkkkkR
t
kk
ttt
k
t
t
tt
C
t
t
RC
t
C
g
eq
2,1
50
110.6010.60
;6010..60.
60
60
60
60.100.6,0
4832
48
;.100.100.
405,0.80;100
;80324832
60240
60.2403260//240
03
0
350
0 6060
5032525
0060
25
25
0
0
2525
0
2510.40
0
0
3
=−





−===
===
===
==
+
=
===
=====
Ω=+=+
+
=+=
∞−−
∞
−−
∞
−−−−
−
−
−−
−
−
−
∫∫
−
µτ
Exemplo:
quarta-feira, 24 de abril de 2013
19:38
 Página 22 de Circ-Elet I 
Resposta Forçada de um circuito RC
 t = 0 
iC(t) 
C vC(t) R 
iR 
I0 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) AeItie
RC
RIC
dt
eRIRId
C
dt
tdvCti
VeIRtveeRItveRC
C
I
tve
dte
C
I
tvede
C
I
dt
tved
eet
C
I
tv
RCdt
tdvC
dt
tdvC
R
tvI
titiI
tp
RC
t
C
RC
t
RC
t
C
C
RC
t
C
RC
t
RC
t
C
RC
t
C
RC
t
t
RC
t
C
RC
t
RC
tC
RC
t
RC
t
RC
dt
C
CCC
CR
−−
−
−−
=∴
















−−=








−
==








−=∴







−=⇒







−=
=





⇒=






⇒=
∫
=
=+=÷+=
+=
>
∫ ∫
00
00
00
0
0
00
0
0
0
1
1.11.
.
.
1)(
0/
µ
Solução Geral:
( )
( ) ( ) VeRIVRItv
eRIRIeVeRIeVvvtv
RC
t
C
RC
t
RC
t
RC
t
RC
t
fnC
−
−−−−
−+=
−+=







−+=+=
000
00000 1
tensão final tensão inicial tensão final
contempla as duas formas anteriores
(natural e forçada)
Resposta Forçada
quarta-feira, 24 de abril de 2013
20:13
 Página 23 de Circ-Elet I 
 
+ 
v(t) 
- 
2 µF 
10 kΩ t = 0 
10 V 
Ache v(t) para t > 0 se v(0-) = 6 V.1)
t inicial
( )
( ) ( )
( ) ( ) Veetv
msRCVRI
eRIVRItv
mskCR
evvvtv
tt
RC
t
t
fif
5050
63
0
000
41010610
;2010.2.10.10;10
;
202.10.
)(
−−
−
−
−
−=−+=
===
−+=
===
−+=
µτ
τ
img gráfico v(t) x t
2) A chave do circuito abaixo foi mantida por um longo tempo na posição 1. Em t = 0, a chave é colocada na 
posição 2. Determine v0(t) e i0(t) p/ t > 0.
 
0,25 µF 60 kΩ 
1 2 
40 V 
20 kΩ 
+ 
– 
 
t = 0 
160 kΩ 75 V 
+ 
v0(t) 
-
 
8 kΩ 
– 
+ 
 
40 kΩ 
i0(t) 
a 
b 
( ) ( )
( )
;5,1
40
60
;40
200
160.408160//408
6075
200
16075
40160
160
3040
80
6040
2060
60
0/
0
mA
kR
VI
k
k
kkkkkkRR
V
k
k
kk
kV
V
k
k
kk
kV
tp
N
ab
N
Neq
ab
−=
−
==
Ω=+=+==
−=−=−
+
=
==
+
=
<
norton
Novo circuito:
 
30 V 
+ 
– 
 
0,25 µF 40 kΩ 1,5 mA 
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) .25,210090.10.25,0)'9060.(25,0
90606030605,140305,140
10010061000
0
10010025,0.40
0
mAeeeF
dt
tdvCti
Veeemkmktv
ttt
ttk
t
−−−−
−−
−
−=−=+−==
+−=++−=−−+−=
µ
µ
 vc(t)(V) 
30 
- 27 
- 60 
10 50 
t(ms) 
Exercício
quarta-feira, 15 de maio de 2013
19:02
 Página 24 de Circ-Elet I 
Resposta Natural de um Circuito RL:
 
t = 0 
IS R0 L R 
i(t) 
+ 
v(t) 
- 
Resolvendo a E.D.:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
R
L
JeLItWee
L
RRIdeRI
dptWWeRItpVeRItvtRitv
AeItieitie
i
ti
eet
L
R
i
ti
t
L
Ritix
L
Rdx
L
Rd
dt
L
R
ti
tdi
ti
L
R
dt
tdi
ti
L
R
dt
tdiLtRi
dt
tdiL
tp
t
L
R
t
L
R
t
L
R
t
R
t
L
R
R
t
L
R
t
L
R
t
L
R
t
L
R
t
L
R
i
ti
tti
i
tti
i
=








−=∴







−








−==
====∴=
=∴=∴=∴=∴−=∴
∴−−=−∴−=∴−=∴
∴−=∴−=∴=+∴÷=+
>
−−−
−−
−−−−
∫
∫
∫∫
τ
τ
ττ
τ
τ
τ
τ
:tempodeconstante
;1
2
1
2
1
;;
;0
00
ln
00lnlnln
0)(0
0/
2
2
0
0
2
2
00
2
2
0
0
2
2
00
0
0
ln
0000
Ex: Para o circuito abaixo, determine i(t) e v(t) em regime estacionário.
 
t = 0 
100 V 150 Ω 
10 H 
50 Ω 
i(t) 
75 Ω 
+ 
v(t) 
- 
( ) ( ) Aii
tp
2
50
10000
:0/
===
<
+−
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ttttt
t
eq
eq
eeee
dt
ed
ti
dt
tdi
tv
AetiAiI
s
R
L
R
tp
Aii
tp
10101010
10
10
0
1001002002502105010
;220
1,0
100
10
;100
15075
150.7550150//7550
0/
2
50
10000
:0/
−−−−
−
−+
+−
−=+−=+=+=
=⇒==
===
Ω=
+
+=+=
>
===
<
τ
V
Resposta Natural RL
quarta-feira, 15 de maio de 2013
19:31
 Página 25 de Circ-Elet I 
 
20 A 
0,1 Ω 
t = 0 
iL(t) 2 H 
2 Ω 
10 Ω 
i0(t) 
40 Ω 
+ 
v0(t) 
- 
2) A chave do circuito abaixo ficou fechada por um longo tempo antes de ser aberta em t = 0. 
Determine, para t > 0: a) iL(t); b) i0(t) e c) v0(t). Qual é a energia dissipada no resistor de 10 Ω ?
p/ t > 0; iL(t)=?; i0(t)=?; V0(t)=?; W10Ω=?
( ) ( )
( )
( ) ( ) AetiAiI
s
R
L
R
tp
Aii
tpa
t
L
eq
eq
LL
5
0 20200
2,0
10
2
;1040//1020/
2000
:0/)
−+
+−
=⇒==
===
Ω=+=
>
==
<
τ
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) JeeedtetW
Weetvtp
Veetitvc
Aeetitib
tt
t
t
tt
tt
L
256256
10
125602560
2560
10
160
10
16044040
420
5
1
4010
10
0
0
10
0
10
10
10
252
0
10
55
00
55
0
=−−=





−==
=
−
==
−=−==
−=−=
+
−=
∞−
∞
−
∞
−
Ω
−
−
Ω
−−
−−
∫
Resposta Forçada de um circuito RL:
 R 
Vs 
t = 0 
i(t) 
L 
+ 
v(t) 
- 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .ln
ln
)(
)()(
0
00
00
0
0
GeralSoluçãoAe
R
VI
R
V
tie
R
VI
R
V
ti
t
L
R
R
VI
R
V
ti
L
R
R
Vyd
L
R
R
Vy
dy
dt
L
R
R
V
ti
tdi
R
V
ti
L
R
dt
tdi
L
V
ti
L
R
dt
tdi
LVtRi
dt
tdiL
Vtvtv
t
L
R
ss
t
L
R
s
s
s
s
t
ti
I
s
tti
I
s
s
ss
s
sRL
⇒





−+=∴=
−
−
∴−=
−
−
∴
−=





−∴−=
−
−=
−
⇒



−−=⇒+−=
÷=+
=+
−
−
∫∫ ττ
 i(t) 
Vs/R 
0,6321 Vs/R 
τ 5 τ 
 
t 
 v(t) 
Vs 
τ 
 
0,367 Vs 
5 τ 
 
t 
 ) ( )
) ( ) ( ) .A
R
V6321,0ie
R
V
R
Vi:t/pb
;e
R
V
R
V
tizeroéI,zeroéindutordoinicialenergiaaQuandoa:.Obs
s1ss
t
L
R
ss
0
≅τ∴−=ττ=
−=⇒
−
−
Exemplos
quarta-feira, 15 de maio de 2013
20:05
 Página 26 de Circ-Elet I 
 
24 V 
2 Ω b a 
t = 0 
200 mH 
+ 
v(t) 
- 
i(t) 10 Ω 8 A 
A chave do circuito abaixo foi mantida na posição a por um longo tempo. Em 
Determine a expressão de i(t) para t > 0;a)
Qual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a chave é colocada na posição b ?b)
Esta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito ?c)
Quantos ms depois que a chave é colocada na posição b a tensão entre os terminais do indutor 
atinge 24 V ?
d)
Plote i(t) e v(t) em função de t.e)
t = 0, a chave é deslocada da posição a para a b. Esta chave é do tipo que faz a ligação com b antes de 
abrir em a para que a corrente no indutor não seja interrompida.
) ;12
2
24
:,;8: 0 AiéidefinalvalorobposiçãonaAIaposiçãoNaa ==−=
( ) ( ) ;0/201212812100
2
200 101,0 >→−=−−+=⇒=== −
−
tpAeetims
R
L t
t
τ
) ( ) ( ) ( ) ( ) Veem
dt
ed
m
dt
tdiLtvb tt
t
1010
10
402002002012200 −−
−
==
−
==
( ) Vevtp 40.4000/ )0( ==⇒= ++
) ( ) ( ) VvVvSimc 40162401682: 2 =+=⇒−=−= +Ω
) ( ) mstteeeVtvpd ttt 08,51
10
5
3ln
5
3ln10
5
3lnln
40
24402424/ 101010 =
−
=∴=−∴=∴=∴=⇒= −−−
 
v(t)(V) 
40 
500 t(ms) 
i(t)(A) 
12 
- 8 
51,08 500 t(ms) 
e)
Exemplo
quarta-feira, 22 de maio de 2013
19:25
 Página 27 de Circ-Elet I 
Circuito RLC Paralelo
Resposta Natural
0)()()( =++ tititi RLc
0)()0()(1)(
0
=+++ ∫ R
tvidv
Ldt
tdvC
t
Lττ
)(0)()(1)(2
2
C
R
tdv
tv
Ldt
tvdC ÷=++
0)(1)(1)(2
2
=++ tv
LCdt
tdv
RCdt
tvd
(DERIVANDO A EXPRESSÃO):
Supondo a solução do tipo v(t)=A.est
⇒







−





−−=
−





+−=
=
=−




±−=
−




±−=−




±−=
−




±−
=
=++⇒=





++
=++
=⇒=⇒
LCRCRC
s
LCRCRC
s
s
LCRCRC
s
LCRCRCLCRCRC
LCRCRC
s
LCRC
s
s
LCRC
s
sAe
Ae
LC
Ase
RC
eAs
eAstvAsetv
st
ststst
stst
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
4
.
4
11
4
1
2
11
.41
2
11
2
1
.411
0101.
011
)(")('
2
2
2
1
2
22
2
22
2
2
Logo, v1 = A1 es1t e v2 = A2 es2t são soluções da EDL.
v(t) = v1(t) + v2(t) será a solução geral da EDL (Princípio da Superposição).
Se v1(t) e v2(t) são soluções, então:
Fazendo:
Frequências 
Complexas
2
0
2
2
2
0
2
1
0
1
2
1
ωαα
ωαα
ω
α
−−−=
−+−=
⇒=
⇒=
s
s
LC
RC
Frequencia de Neper (rad/s)
Frequência de Ressonância (Rad/s)
RLC paralelo
quarta-feira, 22 de maio de 2013
19:44
 Página 28 de Circ-Elet I 
1a) α2 > ω02 => s1 e s2 serão dois números reais distintos => Resposta Superamortecida.
2a) α2 < ω02 => s1 e s2 serão dois números complexos conjugados => Resposta Subamortecida.
3a) α2 = ω02 => s1 e s2 serão dois números reais iguais => Resposta criticamente Amortecida.
Exemplo: Para o circuito RLC, paralelo com R = 200Ω, L = 50mH e C = 0,2μF, determine:
a) Os valores de s1 e s2
b) Tipo de Resposta
c) Repetir a e b para R = 312,5Ω
d) O valor de R para obter uma resposta criticamente amortecida.
a)
srads
srads
srad
LC
srad
RC
/20000)10()10.25,1()10.25,1(
/5000)10()10.25,1()10.25,1(
/10
10.2,0.10.50
11
/10.25,1
10.2,0.200.2
1
2
1
24244
2
24244
1
4
630
4
6
−=−−−=
−=−+−=
===
===
−−
−
ω
α
b) α2 > ω02 => s1 e s2 serão dois números reais distintos => Resposta Superamortecida.
c)
srad
RC
/8000
10.2,0.5,312.2
1
2
1
6 === −α
α2 < ω02 => s1 e s2 serão dois números complexos conjugados => Resposta Subamortecida.
d) α = ω0
sradjs
sradjs
/)60008000(
/)60008000(10)8000(8000
2
82
1
+−=
+−=−+−=
Ω==⇒= 25
2
1
2
1
C
LCR
LCRC
Hipóteses
quarta-feira, 22 de maio de 2013
20:13
 Página 29 de Circ-Elet I 
Considerações sobre as formas de resposta natural do circuito RLC paralelo:
1) Resposta superamortecida:
Quando α2 > ω02, as raízes são reais e distintas. Então v(t) = A1eS1t + A2eS2t, onde A1 e A2 são 
determinados a partir de v(0+) e v'(0+): v(0+) = A1e0 + A2e0
logo: v(0) = A1 + A2 ; v'(t) = A1S1eS1t + A2S2eS2t
p/ t = 0; v'(0) = A1S1 + A2S2
Como ic(t) + ir(t) + iL(t) = 0, ic(t) = ir(t) - iL(t) p/ t = 0+ : ic(0+) = ir(0+) - iL(0+)
como q(t) = Cv(t) => 
C
tq
tv
)()( =
dt
tdq
Cdt
tdv )(
.
1)(
=
ic(t)
C
ti
tv c
)()(' ==>
2211)0(
)0(1)0()0(1
)0()0(
)0('
)0()0(:0/
SASAi
R
v
C
i
R
v
CC
i
R
v
v
C
i
vtp
LL
c
L
c
+=



+−=





+−=
−−
=
==
+
+
+
+
+
+
++
Ex: Para o circuito RLC com v(0) = 12V, i2(0-) = 30mA, C = 0,2uF, L = 50mH e R = 200ohm. Determine:
a) as correntes iR(0+), iC(0+), iL(0+)
b) v'(0+)
c) A expressão de v(t)
d) Esboce um gráfico de v(t) para 0 ≤ t ≤ 250μs
b) v'(0+) = 
=> A1 = -14
c) 
Considerações
quarta-feira, 29 de maio de 2013
19:04
 Página 30 de Circ-Elet I 
1) Resposta criticamente amortecida:
Quando α2 = ω02, as raízes são reais e iguais. S1 = S2 = -α = 
neste caso: v(t) = D1teSt + D2teSt, v(t) = D1te-αt + D2te-αt,
Para determinar D1 e D2 emprega-se v(0+) e v'(0+):
v(0+) = D10e0 + D2e0 => D2= (v0+)
2RC
1
−
tttttt
tttt
eDeeDeDeteD
dt
edD
dt
etdD
dt
eDetDd
tv αααααα
αααα
αααα −−−−−−
−−−−
−−−=−+−+=+=
+
= 212121
21 )())((][].[]...[)('
Ex: Seja o circuito RLC paralelo abaixo, V0 = 0V e I0 = -12,25mA.
a) Determine o valor de R que resulta em uma resposta criticamente amortecida
b) Calcule v(t) para t >= 0
c) Faça um gráfico de v(t) em função de t para 0 <= t <= 7ms.
e-αt
c)
Criticamente Amortecida
quarta-feira, 29 de maio de 2013
19:54
 Página 31 de Circ-Elet I 
1) Resposta criticamente amortecida:
Quando α2 < ω02, as raízes são pares complexos conjugados. S12 =
Ondeωd -> Frequencia Angular Amortecida
( ) ( ) ( ) ( )[ ]tsenAAtAAeeAeAtv
jSejS
dd
ttjtj
dd
dd ωω
ωαωα
αωαωα
2121
)(
2
)(
1
21
cos...)( −++==+=
−−=+−=
−−−+−
1.)()).(1( 2202202022,1−−±−=−−±−=−±−= αωααωαωααS
ωd j
( ) ( )
211
21
)]0()0([1)0(')0(
..cos..)(
BBii
C
veBv
tseneBteBtv
dLR
d
t
d
t
ωα
ωω αα
+−=+−==
+=
+++
−−
B1 B2
Resposta Subamortecida
quarta-feira, 29 de maio de 2013
20:09
 Página 32 de Circ-Elet I 
Dados os pares de expressões para tensões e correntes a seguir, verifique se o elemento envolvido é um 
R, C, L, RL, RC e determine os valores:
a) v = 100sen(ωt + 40o) e i = 20sen(ωt + 40o)
b) v = 1000sen(377t + 10o) e i = 5sen(377t - 80o)
c) v = 500sen(157t + 30o) e i = 1sen(157t + 120o)
d) v = 100sen(377t + 10o) e i = 10sen(377t - 60o)
e) v = 500sen(157t + 40o) e i = 30sen(157t + 80o)
Im
2
VmR
f
iv
=
−=
=
θθθ
piω
C
X
LX
C
L
ω
ω
1
=
=
)(..
)(.
RCCRtg
RL
R
L
tg
ωθ
ωθ
=
=
a)
Ω===
=−=
5
200
100
Im
04040
VmR
oooθ circuito puramente resistivo
b)
HVmLLVmX L
ooo
531,0
5.377
1000
ImIm
90)80(10
===⇒==
=−−=
ω
ω
θ
c)
F
Vm
C
C
VmXC
ooo
µ
ωω
θ
74,12
500.157
1Im1
Im
9012030
===⇒==
−=−=
circuito puramente indutivo
circuito puramente capacitivo
LLtg
VmR
o
ooo
...
10
.37770
10
10
100
Im
70)60(10
⇒=
Ω===
=−−=θd) e)
CCtg
VmR
o
ooo
....6,166.157)40(
6,16
30
500
Im
408040
⇒=−
Ω===
−=−=θ
Revisão
quarta-feira, 5 de junho de 2013
19:29
 Página 33 de Circ-Elet I

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