Matemática básica

Prévia do material em texto

CURSO PROGRESSÃO 
 
Profº César Loyola 
 
Matemática – Prof. César Loyola 1/35 www.cursoprogressao.com.br 
Assunto: Matemática Básica 
 
 
1 - REGRA DOS SINAIS 
 
a) Não envolvendo multiplicação ou divisão 
 
Sinais iguais – Somam-se e dá-se o mesmo sinal. 
Ex.: + 5 + 7 = + 12 e - 5 – 7 = - 12 
Sinais diferentes – Subtraem-se e dá-se o sinal do maior 
módulo. 
Ex.: - 5 + 7 = + 2 e + 5 – 7 = - 2 
 
b) Envolvendo multiplicação ou divisão 
 
Sinais iguais – Após a operação o resultado será positivo (+). 
Ex.: (+5).(+7) = + 35 e (- 5).(- 7) = - 35 
Resumo: (+).(+) = (+) ( - ).( - ) = ( + ) 
 (+):(+) = (+) ( - ):( - ) = ( + ) 
 
Sinais diferentes – Após a operação o resultado será negativo 
( - ). 
Ex.: (+ 5).(- 7) = - 35 e (- 5).(+ 7) = - 35 
Resumo: (+).( - ) = ( - ) ( - ).(+) = ( - ) 
 (+):( - ) = ( - ) ( - ):(+) = ( - ) 
 
2 - DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
 Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto 
num produto de dois ou mais fatores. 
 Decomposição do número 24 num produto: 
 24 = 4 x 6 
 24 = 2 x 2 x 6 
 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 
 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. 
 Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 
num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 
3. 
De um modo geral, chamamos de fatoração de 
um número natural, maior 
que 1, a sua decomposição num produto de 
fatores primos. 
• Regra prática para a fatoração 
 Existe um dispositivo prático para fatorar um número. 
Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse 
dispositivo: 
1º) Dividimos o 
número pelo 
seu menor 
divisor primo; 
2º) a seguir, 
dividimos o 
quociente 
obtido pelo 
menor divisor 
primo desse 
quociente e 
assim 
sucessivamente 
 
até obter o 
quociente 1. 
A figura ao lado 
mostra a 
fatoração do 
número 630. 
 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 630 = 2 x 32 x 5 x 7. 
 
 
3 - FRAÇÕES 
 O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e 
b diferente de zero. 
 Chamamos: 
 de fração; 
 a de numerador; 
 b de denominador. 
 
Adição e subtração de números fracionários 
 Temos que analisar dois casos: 
 1º) denominadores iguais 
 Para somar frações com denominadores iguais, basta 
somar os numeradores e conservar o denominador. 
 Para subtrair frações com denominadores iguais, basta 
subtrair os numeradores e conservar o denominador. 
 Observe os exemplos: 
 
 
 2º) denominadores diferentes 
 Para somar frações com denominadores diferentes, uma 
solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais 
ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as 
frações . 
 Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. 
 (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 2/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações 
equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já 
terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. 
 
Multiplicação e divisão de números fracionários 
 Na multiplicação de números fracionários, devemos 
multiplicar numerador por numerador, e denominador por 
denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: 
 
 Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a 
primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no 
exemplo abaixo: 
 
 
 
4 - NUMERAÇÃO DECIMAL 
Introdução 
 A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais 
dimensões em centímetros. 
 
Essas dimensões são apresentadas sob a forma de 
notação decimal, que corresponde a uma outra forma de 
representação dos números racionais fracionários. 
A representação dos números fracionária já era conhecida 
há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no 
século XVI com o matemático francês François Viète. 
O uso dos números decimais é bem superior ao dos 
números fracionários. Observe que nos computadores e nas 
máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. 
Frações Decimais 
Observe as frações: 
 
Os denominadores são potências de 10. 
Assim: 
 Denominam-se frações decimais, todas as 
frações que apresentam potências de 10 no 
denominador. 
 
Numeração decimal 
Números Decimais 
 O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para 
escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète 
escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é 
utilizado até hoje. 
 Observe no quando a representação de frações decimais 
através de números decimais: 
Fração 
Decimal = 
Números 
Decimais 
 
= 0,1 
 
= 0,01 
 
= 0,001 
 
= 0,0001 
 Fração 
Decimal = 
Números 
Decimais 
 
= 0,5 
 
= 0,05 
 
= 0,005 
 
= 0,0005 
 Fração 
Decimal = 
Números 
Decimais 
 
= 11,7 
 
= 1,17 
 
= 0,117 
 
= 0,0117 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 3/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números 
decimais. 
 Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a 
parte inteira da parte decimal. 
 
 
 
 
Leitura dos números decimais 
 No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte 
inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as 
seguintes denominações: 
Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimos milésimos Centésimos milésimos Milionésimos 
Partes inteiras Partes decimais 
 
 Leitura 
 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, 
acompanhada das palavras: 
 décimos ........................................... : quando houver uma 
casa decimal; 
 centésimos....................................... : quando houver duas 
casas decimais; 
 milésimos......................................... : quando houver três 
casas decimais; 
 décimos milésimos ........................ : quando houver quatro 
casas decimais; 
 centésimos milésimos ................... : quando houver cinco 
casas decimais e, assim sucessivamente. 
 Exemplos: 
 1,2: um inteiro e dois décimos; 
 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos 
 Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos 
apenas a parte decimal. 
 Exemplos: 
 0,1 : um décimo; 
 0,79 : setenta e nove centésimos 
Observação: 
1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número 
decimal. Observe a leitura do número 5,53: 
 Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três 
centésimos; 
 
 Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos; 
 cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos. 
 
2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, 
bastando colocar a vírgula após o último algarismo e 
acrescentar zero(s). Exemplos: 
4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00 
 
Transformação de números decimais em frações decimais 
 Observe os seguintes números decimais: 
• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, . 
• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, 
. 
• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou 
seja, . 
• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 
 
 Verifique então que: 
 
 
 
 
 Assim: 
 Um número decimal é igual à fração que se obtém 
escrevendo para numerador o número sem vírgula e 
dando para denominador a unidade seguida de tantos 
zeros quantas forem as casas decimais. 
 Transformação de fração decimal em número decimal 
 Observeas igualdades entre frações decimais e números 
decimais a seguir: 
 
 
 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 4/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Podemos concluir, então, que: 
 Para se transformar uma fração decimal 
em número decimal, basta dar ao numerador 
tantas casas decimais quantos forem os 
zeros do denominador. 
 
Decimais equivalentes 
 As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, 
respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 
40 destas parte, respectivamente. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, 
são decimais equivalentes. 
 Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a 
mesma quantidade. 
Exemplos: 
0,4 = 0,40 = 0,400 = 
0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000 
2,5 = 2,50 = 2,500 = 
2,5000 
95,4 = 95,40 = 95,400 = 
95,4000 
 Dos exemplos acima, podemos concluir que: 
 Um número não se altera quando se 
acrescenta ou se suprime um ou mais zeros 
à direita de sua parte decimal. 
 
Comparação de números decimais 
 Comparar dois números decimais significa estabelecer uma 
relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. 
Consideremos dois casos: 
 1º Caso: As partes inteiras 
O maior é aquele que tem a maior 
parte inteira. 
 Exemplos: 
 3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 
10 > 9. 
 
 2º Caso: As partes inteiras são iguais 
 O maior é aquele que tem a maior parte 
decimal. É necessário igualar inicialmente o 
número de casas decimais acrescentando 
zeros. 
 Exemplos: 
• 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas 
decimais), pois 75 > 70. 
8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 
30 > 3. 
 
 
 
5 - NÚMEROS RACIONAIS 
 
 Racionais Positivos e Racionais Negativos 
 O quociente de muitas divisões entre números naturais é um 
número racional absoluto. 
 
 
 Números racionais positivos e números racionais negativos 
que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes 
de dois números inteiros, com divisor diferente de zero. 
 Por exemplo: 
 (+17) : (-4) = 
 
 é um número racional negativo 
 Números Racionais Positivos 
 Esses números são quocientes de dois números inteiros com 
sinais iguais. 
� (+8) : (+5) 
 � (-3) : (-5) 
 
 Números Racionais Negativos 
 São quocientes de dois números inteiros com sinais 
diferentes. 
� (-8) : (+5) 
 � (-3) : (-5) 
 
 Números Racionais: Escrita Fracionária 
 
 
 têm valor igual a e representam o 
número racional . 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 5/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode 
ser escrito na forma fracionária: 
 
 
 Denominamos número racional o quociente de dois números 
inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que 
pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e 
denominador são números inteiros. 
 
Conjunto dos números racionais 
 O conjunto dos números racionais é uma ampliação do 
conjunto dos números inteiros. 
 O conjunto formado pelos números racionais positivos, os 
números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que 
chamamos de conjunto dos números racionais e é 
representado por Q. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 Observe o desenho abaixo:
 
 
 O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. 
 Outros subconjuntos de Q: 
• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de 
zero; 
• Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o 
zero; 
• Q
-
 é o conjunto dos números racionais, negativos e o 
zero; 
• Q+* é o conjunto dos números racionais e positivos; 
• Q
-
*
 é o conjunto dos números racionais negativos. 
 
Operações com números racionais 
 Adição e Subtração 
 Para simplificar a escrita, transformamos a adição e 
subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e 
escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma 
como fazemos com os números inteiros. 
 Exemplo 1: Qual é a soma: 
 
 
 
 
 Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 
 
 
 
 
 Multiplicação e divisão 
 Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar 
numerador por numerador, e denominador por denominador, 
assim como é mostrado nos exemplos abaixo: 
 
 Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a 
primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no 
exemplo abaixo: 
 
 
 Potenciação e radiciação 
 
 
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um 
determinado expoente, estamos elevando o numerador e o 
denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: 
 
 Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um 
número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e 
ao denominador, conforme o exemplo abaixo: 
 
 
 
 
6 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
DECIMAIS 
 Adição 
 Considere a seguinte adição: 
 
Matemática – Prof. César Loyola 6/35 www.cursoprogressao.com.br 
 1,28 + 2,6 + 0,038 
 Transformando em frações decimais, temos: 
 
 
Método prático 
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o 
acréscimo de zeros; 
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma 
alinhada com as demais. 
Exemplos: 
1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007 
 
 
 
Subtração 
 Considere a seguinte subtração: 
 3,97 - 2,013 
 Transformando em fração decimal, temos: 
 
Método prático 
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o 
acréscimo de zeros; 
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na 
diferença, alinhada com as demais. 
Exemplos: 
3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987 
 
 
 
Multiplicação 
 Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5 
 Transformando em fração decimais, temos: 
 
 Método prático 
 Multiplicamos os dois números decimais como se 
fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de 
modo que o número de casas decimais do produto seja 
igual à soma dos números de casas decimais do 
fatores. 
 
Exemplos: 
3,49 · 2,5 
 
 
1,842 · 0,013 
 
 Observação: 
 1. Na multiplicação de um número natural por um número 
decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse 
caso o número de casas decimais do produto é igual ao número 
de casas decimais do fator decimal. Exemplo: 
 5 · 0,423 = 2,115 
 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, 
..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, 
..., casas decimais. Exemplos: 
 
 
 
 
 
3. Os números decimais podem ser transformados em 
porcentagens. Exemplos 
0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580% 
 
Divisão 
 1º: Divisão exata 
 Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 
 Transformando em frações decimais, temos: 
 
Método prático 
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o 
acréscimo de zeros; 
2º) Suprimimos as vírgulas; 
3º) Efetuamos a divisão. 
Exemplos: 
• 1,4 : 0,05 
 Igualamos as 
casa decimais: 1,40 :0,05 
 Suprimindo as 
vírgulas: 140 : 5 
 Logo, o quociente de 1,4 por 
Efetuado a divisão 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 7/35 www.cursoprogressao.com.br 
0,05 é 28. 
 
• 6 : 0,015 
 Igualamos as 
casas decimais 6,000 : 0,015 
 Suprimindo as 
vírgulas 6.000 : 15 
 Logo, o quociente de 6 por 
0,015 é 400. 
 
Efetuando a divisão 
 
 
• 4,096 : 1,6 
 Igualamos 
as casas decimais 4,096 : 1,600 
 Suprimindo 
as vírgulas 4.096 : 1.600 
 
Efetuando a divisão 
 
Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto 
corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão 
determinando a parte decimal do quociente. Para a 
determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no 
quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 
unidades corresponde a 8.960 décimos. 
 
 
 Continuamos a divisão para determinar os centésimos 
acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 
décimos correspondem a 9600 centésimos. 
 O quociente 2,56 é exato, pois o resto é 
nulo. 
Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. 
 
• 0,73 : 5 
 Igualamos as casas 
decimais 0,73 : 5,00 
 Suprimindo as vírgulas 73 : 500 
 
Efetuando a 
divisão 
 
 Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no 
quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim: 
 
 Continuamos a divisão, obtemos: 
 
 
 Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146. 
 
 Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda 
não torna possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um 
zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. 
Exemplos: 
• 2,346 : 2,3 
 
Verifique 460 (décimos) é 
inferior ao divisor (2.300). 
Colocamos, então, um zero no 
quociente e acrescentamos 
mais um zero ao resto. 
 
 
 Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02. 
 
 Observação: 
 Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., 
basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ..., 
casas decimais. Exemplos: 
 
 
 
2º : Divisão não-exata 
 No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente 
aproximado por falta ou por excesso. 
 Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21: 
 
Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos 
cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real 
encontra-se entre 3 e 4. 
 Logo: 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 8/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que: 
 3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma 
unidade. 
 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de 
uma unidade. 
 Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos: 
 
 Podemos afirmar que: 
 3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um 
décimo. 
 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de 
um décimo. 
 Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos: 
 Podemos afirmar que: 
 3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um 
centésimo. 
 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de 
um centésimo. 
Observação: 
1. As expressões têm o mesmo significado: 
 - Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou 
aproximação de décimos. 
 - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou 
aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente. 
 2. Determinar um quociente com aproximação de 
décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a 
divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal 
do quociente, respectivamente. Exemplos: 
 13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 
 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 
 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo) 
Cuidado! 
 No caso de ser pedido um quociente com aproximação de 
uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, 
a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal 
aproximação. Exemplo: 
 O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é 
2º : Divisão não-exata 
 No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente 
aproximado por falta ou por excesso. 
 Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21: 
 
 Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), 
estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente 
real encontra-se entre 3 e 4. 
 Logo: 
 
 Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que: 
 3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma 
unidade. 
 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de 
uma unidade. 
 Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos: 
 
 Podemos afirmar que: 
 3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um 
décimo. 
 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de 
um décimo. 
 Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos: 
 Podemos afirmar que: 
 3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um 
centésimo. 
 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de 
um centésimo. 
Observação: 
1. As expressões têm o mesmo significado: 
 - Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou 
aproximação de décimos. 
 - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou 
aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente. 
 2. Determinar um quociente com aproximação de 
décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a 
divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal 
do quociente, respectivamente. Exemplos: 
 13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 
 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 
 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo) 
Cuidado! 
 No caso de ser pedido um quociente com aproximação de 
uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, 
a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal 
aproximação. Exemplo: 
 O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é 
 
 
Representação Decimal de uma Fração Ordinária 
 Podemos transformar qualquer fração ordinária em número 
decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo 
denominador da mesma. Exemplos: 
• Converta em número decimal. 
 
 Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato. 
 
Matemática – Prof. César Loyola 9/35 www.cursoprogressao.com.br 
• Converta em número decimal. 
 
 Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica 
simples. 
• Converta em número decimal. 
 
 Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica 
composta. 
 
Dízima Periódicas 
 Há frações que não possuem representação decimal exata. 
Por exemplo: 
= 0,333... = 0,8333... 
 Aos numerais decimais em que há repetição periódica e 
infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais 
decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima 
periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem 
infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas 
classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas 
periódicas compostas. Exemplos: 
= 0,555... 
(Período: 5) 
= 2,333... 
(Período: 3) 
= 0,1212... 
(Período: 12) 
 São dízimas periódicas simples, uma vez que o período 
apresenta-se logo após a vírgula. 
= 0,0222... 
Período: 2 
Parte não periódica: 
0 
= 1,15444... 
Período: 4 
Parte não periódica: 
15 
= 0,1232323... 
Período: 23 
Parte não periódica: 
1 
São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período 
e a vírgula existe uma parte não periódica. 
Observações1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o 
termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos 
portanto da parte não periódica o inteiro. 
2. Podemos representar uma dízima periódica das 
seguintes maneiras: 
0,555... ou ou 0,0222... ou ou 
2,333... ou ou 1,15444... ou ou 
 
0,121212... ou 0,1232323... ou 
 
Geratriz de uma Dízima Periódica 
 É possível determinar a fração (número racional) que deu 
origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de 
geratriz da dízima periódica. 
 Procedimentos para determinação de uma dízima: 
 Dízima simples 
 A geratriz de uma dízima simples é uma fração que 
tem para numerador o período e para denominador 
tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Dízima composto 
 A geratriz de uma dízima composta é uma fração 
da forma , onde: 
 
n parte não-periódica seguida do período, 
menos a parte não-periódica. 
d tantos noves quantos forem os algarismos 
do período seguidos de tantos zeros quantos forem 
os algarismos da parte não-periódica. 
Exemplo: 
 
12,53262626... = 12 + 0,53262626... = 
 
Potenciação 
 As potências nas quais a base é um número decimal e o 
expoente um número natural seguem as mesmas regras desta 
operação, já definidas. Assim: 
(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 
12,25 (0,64)
1
 = 0,64 
(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 
= 0,064 (0,18)
0
 = 1 
 Raiz Quadrada 
 A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada 
com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. 
Assim: 
 
Matemática – Prof. César Loyola 10/35 www.cursoprogressao.com.br 
 
 
 
 
Expressões Numéricas 
 No cálculo de expressões numérico envolvendo números 
decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões 
com números fracionários. 
 Em expressões contendo frações e números decimais, 
devemos trabalhar transformando todos os termos em um só 
tipo de número racional. Exemplo: 
 
 
 
= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25 
= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 
= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 
 Em expressões contendo dízimas, devemos determinar 
imediatamente suas geratrizes. Exemplos: 
 
 
 
 
 
7 - RAZÕES - INTRODUÇÃO 
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento 
e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as 
medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles 
pelo outro. Assim: 
 (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o 
tamanho do kart). 
 Podemos afirmar também que o kart tem a metade do 
comprimento do carro de corrida. 
 A comparação entre dois números racionais, através de 
uma divisão, chama-se razão. 
 A razão pode também ser representada por 1:2 e 
significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de 
corrida. 
Denominamos de razão entre dois números a e 
b (b diferente de zero) 
o quociente ou a:b. 
 A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". 
Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que 
utilizamos o conceito de razão. Exemplos: 
• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 
candidatos. 
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 
 (de cada 5 candidatos inscritos, 1 
foi aprovado). 
• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. 
Razão entre o número de mulheres e o número de 
convidados: 
 (de cada 4 convidados, 3 eram 
mulheres). 
 
 Observações: 
 1) A razão entre dois números racionais pode ser 
apresentada de três formas. Exemplo: 
 Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 
 2) A razão entre dois números racionais pode ser 
expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham 
sinais contrários. Exemplos: 
 A razão entre 1 e -8 é . 
 A razão entre é . 
 
 
- TERMOS DE UMA RAZÃO 
Observe a razão: 
 (lê-se "a está para b" ou "a para b"). 
 Na razão a:b ou , o número a é denominado 
antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o 
exemplo: 
 
Matemática – Prof. César Loyola 11/35 www.cursoprogressao.com.br 
 3:5 = 
 Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. 
 
Razões inversas 
Considere as razões . 
 Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou 
seja, . 
 Nesse caso, podemos afirmar que são razões 
inversas. 
Duas razões são inversas entre si quando o 
produto delas é igual a 1. 
 Exemplo: 
 são razões inversas, pois . 
 Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é 
o consequente da outra, e vice-versa. 
 
 Observações: 
 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 
 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, 
devemos permutar (trocar) os seus termos. 
 Exemplo: O inverso de . 
 
Razões equivalentes 
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão 
equivalente da seguinte maneira: 
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de 
uma razão por um mesmo número racional 
(diferente de zero), obtemos uma razão 
equivalente. 
 Exemplos: 
 são razões equivalentes. 
 são razões equivalentes. 
 
Razões entre grandezas da mesma espécie 
O conceito é o seguinte: 
Denomina-se razão entre grandezas de mesma 
espécie o quociente entre os números que 
expressam as medidas dessas grandezas numa 
mesma unidade. 
 Exemplos: 
 1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo 
que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui 
uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada 
por: 
 
 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das 
quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei 
possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 
240m2. 
 Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: 
. 
 
Razões entre grandezas de espécies diferentes 
O conceito é o seguinte: 
Para determinar a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, determina-se o quociente entre 
as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser 
acompanhada da notação que relaciona as 
grandezas envolvidas. 
 Exemplos: 
 1) Consumo médio: 
• Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu 
carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de 
combustível. Qual a razão entre a distância e o 
combustível consumido? O que significa essa 
razão? Solução: 
 Razão = 
 Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro"). 
 Essa razão significa que a cada litro consumido foram 
percorridos em média 11,5 km. 
 
 2) Velocidade média: 
• Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 
horas. Qual a razão entre a medida dessas 
grandezas? O que significa essa razão? 
Solução: 
 Razão = 
 Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). 
 Essa razão significa que a cada hora foram percorridos 
em média 90 km. 
 
 3) Densidade demográfica: 
• O estado do Ceará no último censo teve uma 
população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua 
 
Matemática – Prof. César Loyola 12/35 www.cursoprogressao.com.br 
área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o 
número de habitantes e a área desse estado. O que 
significa essa razão? 
Solução: 
 Razão = 
 Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro 
quadrado"). 
 Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado 
existem em média 46 habitantes. 
 
 4) Densidade absoluta ou massa específica: 
• Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 
7,8g. Determinea razão entre a massa e o volume 
desse corpo. O que significa essa razão? 
Solução: 
 Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3 
 Razão = 
 Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro 
cúbico"). 
 Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g. 
 
 
8 - PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO 
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião 
pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 
48kg, e seu cão, 16kg. 
 Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: 
 
 Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: 
 
 Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, 
podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. 
Assim: 
Proporção é uma igualdade entre 
duas razões. 
 
Elementos de uma proporção 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa 
ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a 
razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: 
 ou a:b=c:d 
(lê-se "a está para b assim como c está para d") 
 Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
• b e c os meios da proporção. 
• a e d os extremos da proporção. 
 
 Exemplo: 
 Dada a proporção , temos: 
 Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. 
 Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 
 
Propriedade fundamental das proporções 
Observe as seguintes proporções: 
 
Produto dos meios = 4.30 
= 120 
Produto dos extremos = 
3.40 = 120 
 
 
Produto dos meios = 9.20 
= 180 
Produto dos extremos = 
4.45 = 180 
 
 
Produto dos meios = 8.45 
= 360 
Produto dos extremos = 
5.72 = 360 
 De modo geral, temos que: 
 
 Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das 
proporções: 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos. 
 
Aplicações da propriedade fundamental 
Determinação do termo desconhecido de uma proporção 
 Exemplos: 
• Determine o valor de x na proporção: 
 
 Solução: 
 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade 
fundamental) 
 5 . x = 120 
 
 x = 24 
 
Matemática – Prof. César Loyola 13/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Logo, o valor de x é 24. 
 
• Determine o valor de x na proporção: 
 
 Solução: 
 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade 
fundamental) 
 5x - 15 = 8x + 4 
 5x - 8x = 4 + 15 
 -3x = 19 
 3x = -19 
 x = 
 Logo, o valor de x é . 
 
• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma 
proporção. Determine o valor de x. 
 Solução: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 5 . x = 8 . 35 
 5x = 280 
 
 x = 56 
 Logo, o valor de x é 56. 
 
 Resolução de problemas envolvendo proporções 
 Exemplo: 
• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água 
salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 
m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada 
são necessários? 
 Solução: 
 A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume 
de água salgada. 
 Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser 
determinada e armamos a proporção: 
 
 Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3. 
 (aplicando a propriedade 
fundamental) 
 1 . 2 = 0,04 . x 
 0,04x = 2 
 
 x = 50 m3 
 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada. 
 
Quarta proporcional 
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se 
quarta proporcional desses números um número x tal que: 
 
 Exemplo: 
• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 
6. 
 Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e 
armamos a proporção: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 8 . x = 12 . 6 
 8 . x = 72 
 
 x = 9 
 Logo, a quarta proporcional é 9. 
 
Proporção contínua 
Considere a seguinte proporção: 
 Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, 
denominada proporção contínua. Assim: 
Proporção contínua é toda a proporção que 
apresenta os meios iguais. 
 De um modo geral, uma proporção contínua pode ser 
representada por: 
 
 Terceira proporcional 
 Dados dois números naturais a e b, não-nulos, 
denomina-se terceira proporcional desses números o número 
x tal que: 
 
 Exemplo: 
 Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. 
 Solução 
 Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a 
 
Matemática – Prof. César Loyola 14/35 www.cursoprogressao.com.br 
proporção: 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
 20 . x = 10 . 10 
 20x = 100 
 
 x = 5 
 Logo, a terceira proporcional é 5. 
 
 Média geométrica ou média proporcional 
 Dada uma proporção contínua , o número b é 
denominado média geométrica ou média proporcional entre a 
e c. Exemplo: 
• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. 
Solução: 
 
 5 . 20 = b . b 
 100 = b2 
 b2 = 100 
 b = 
 b = 10 
 Logo, a média geométrica positiva é 10. 
 
Propriedades das proporções 
1ª propriedade: 
 
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos 
está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º 
(ou 3º). 
 Demonstração 
 Considere as proporções: 
 
 
 
Adicionando 1 a cada membro 
obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
• Determine x e y na proporção , sabendo que 
x+y=84. 
Solução: 
 
 Assim: 
 
 x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. 
 Logo, x=36 e y=48. 
 
 2ª propriedade: 
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros 
termos está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a diferença dos dois últimos está para 
o 4º (ou 3º). 
 Demonstração 
 Considere as proporções: 
 
 
 
Subtraindo 1 a cada membro obtemos: 
 
 
 
 
 
(Mult. os 2 
membros por -1) 
 
 
Exemplo: 
• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção 
. 
Solução: 
 Pela 2ª propriedade temos que: 
 
 x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. 
 Logo, x=30 e y=12. 
 
 3ª propriedade: 
Numa proporção, a soma dos antecedentes está 
 
Matemática – Prof. César Loyola 15/35 www.cursoprogressao.com.br 
para a soma dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu 
consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Permutando os meios, temos: 
 
 Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: 
 
 Permutando os meios, finalmente obtemos: 
 
 
 4ª propriedade: 
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está 
para a diferença dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu 
consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Permutando os meios, temos: 
 
 Aplicando a 2ª propriedade,obtemos: 
 
 Permutando os meios, finalmente obtemos: 
 
 Exemplo: 
• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção 
. 
Solução: 
 Pela 4ª propriedade, temos que: 
 
 
 
 5ª propriedade: 
Numa proporção, o produto dos antecedentes está 
para o produto dos consequentes, 
assim como o quadrado de cada antecedente está 
para quadrado do seu consequente. 
 Demonstração 
 Considere a proporção: 
 
 Multiplicando os dois membros por , temos: 
 
 Assim: 
 
 Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para 
qualquer número de razões. Exemplo: 
 
 
Proporção múltipla 
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. 
Assim: 
 é uma proporção múltipla. 
 Dada a série de razões iguais , de acordo com 
a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: 
 
 
 
9 - GRANDEZAS – INTRODUÇÃO 
 
 Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser 
medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas 
aumentadas ou diminuídas. 
 Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a 
superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, 
o custo e a produção. 
 É comum ao nosso dia-a-dia situações em que 
 
Matemática – Prof. César Loyola 16/35 www.cursoprogressao.com.br 
relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: 
 Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto 
maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. 
Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. 
 Num forno utilizado para a produção de ferro fundido 
comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a 
produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a 
produção. 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a 
tabela abaixo: 
Tempo 
(minutos) 
Produção 
(Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
20 400 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas 
grandezas são variáveis dependentes. Observe que: 
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 
5 min ----> 100Kg 
10 min ----> 200Kg 
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 
5 min ----> 100Kg 
15 min ----> 300Kg 
Assim: 
Duas grandezas variáveis dependentes são 
diretamente proporcionais quando a razão entre os 
valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os 
valores correspondentes da 2ª 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma 
grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes 
da outra grandeza. 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros 
contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade 
constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, 
conforme a tabela abaixo 
Velocidade 
(m/s) Tempo (s) 
5 200 
8 125 
10 100 
16 62,5 
20 50 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas 
grandezas são variáveis dependentes. Observe que: 
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à 
metade. 
5 m/s ----> 200s 
10 m/s ----> 100s 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à 
quarta parte. 
5 m/s ----> 200s 
20 m/s ----> 50s 
Assim: 
Duas grandezas variáveis dependentes são 
inversamente proporcionais quando 
a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao 
inverso da razão entre os 
valores correspondentes da 2ª. 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma 
grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza. 
 
10 - REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Regra de três simples é um processo prático para resolver 
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos 
três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos. 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da 
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as 
grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, 
uma lancha com motor movido a energia solar consegue 
produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa 
área para 1,5m2, qual será a energia produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
Área (m2) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia 
solar aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no 
mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 17/35 www.cursoprogressao.com.br 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto 
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada 
fosse de 480km/h? 
 Solução: montando a tabela: 
Velocidade 
(Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do 
percurso diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no 
sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 
30 minutos. 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto 
ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o 
preço aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, 
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de 
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe 
fará o mesmo trabalho? 
 Solução: montando a tabela: 
Horas por 
dia 
Prazo para 
término (dias) 
8 20 
5 x 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas 
por dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
 
11 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de 
duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de 
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para 
descarregar 125m3? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas 
de espécies diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 1605 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela 
onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos 
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o 
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar 
a razão que contém o termo x com o produto das outras razões 
de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 
homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
 
Matemática – Prof. César Loyola 18/35 www.cursoprogressao.com.br 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos 
aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos 
igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras 
razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 
2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura 
para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse 
muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as 
grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e 
discordantes para as inversamente proporcionais, como 
mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
 Exercícios complementares 
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer 
esses exercícios: 
 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas 
horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 
horas. 
 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 
3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em 
quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? 
Resposta: 35 dias. 
 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 
dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará 
uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para 
construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 
8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas 
horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 
dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas 
por dia. 
 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 
5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos 
metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, 
seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 
 
 
12 - DÍZIMAS PERIÓDICAS 
 
Há frações que não possuem representações decimal exata. 
Por exemplo: 
 
 Aos numerais decimais em que há repetição periódica e 
infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais 
decimais periódicos ou dízimas periódicas. 
 Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se 
repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. 
 As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e 
dízimas periódicas compostas. Exemplos: 
 (período: 5) 
 
(período: 3) (período: 12) 
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período 
apresenta-se logo após a vírgula. 
 
Período: 2 
Parte não 
periódica: 0 
 
Período: 4 
Período não periódica: 15 
 
Período: 23 
Parte não 
periódica: 1 
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o 
período e a vírgula existe uma parte não periódica. 
Observações: 
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo 
situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte 
não periódica o inteiro. 
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes 
maneiras: 
 
 
Geratriz de uma dízima periódica 
 É possível determinar a fração (número racional) que deu 
origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de 
geratriz da dízima periódica. 
 Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: 
 Dízima simples 
 A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para 
numerador o período e para denominador tantos noves quantos 
forem os algarismos do período. 
 
Matemática – Prof. César Loyola 19/35 www.cursoprogressao.com.br 
Exemplos: 
 
 
 
 
 Dízima Composta: 
 A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma 
, onde 
n é a parte não periódica seguida do período, menos 
a parte não periódica. 
D tantos noves quantos forem os algarismos do 
período seguidos de tantos zeros quantos forem os 
algarismos da parte não periódica. 
Exemplos: 
 
 
 
13 - RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie 
de operações de operações que nos conduzem a equações 
equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, 
finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou 
as raízes da equação. Resumindo: 
Resolver uma equação significa determinar 
o seu conjunto verdade, dentro do conjunto 
universo considerado. 
 Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, 
devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades 
(aditivo e multiplicativo). Exemplos: 
• Sendo , resolva a equação 
.
 
 MMC (4, 6) = 12 
 
 
 
 
 -9x = 10 => Multiplicador por (-1)
 
 
 9x = -10
 
 
 
 
 
 Como , então .
 
 
• Sendo , resolva a equação 
2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) 
= 2 . (x - 4).
 
 
 Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da 
multiplicação:
 
 
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 
 
2x + 3x -2
x = - 8 + 4 + 3
 
3x = -1
 
 
 
 
Como , então 
 
 
14 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 Considere o seguinte problema: 
 Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 
pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos 
e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele 
acertou? 
 Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a 
saber: 
 x + y = 25 (total de arremessos certo) 
 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) 
 
 Essas equações contém um sistema de equações. 
 Costuma-se indicar o sistema usando chave. 
 
 O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças 
verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de 
duas equações com duas variáveis possui uma única solução. 
 
- RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DO 1º GRAU 
 A resolução de um sistema de duas equações com duas 
variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne 
verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
 Estudaremos a seguir alguns métodos: 
 Método de substituição 
 
 
 Solução 
• determinamos o valor de x na 1ª equação. 
 x = 4 -y 
 
Matemática – Prof. César Loyola 20/35 www.cursoprogressao.com.br 
• Substituímos esse valor na 2ª equação. 
 2 . (4 - y) -3y = 3 
• Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3 
8 - 2y -3y = 3 
 -5y = -5 => 
Multiplicamos por -1 
5y = 5 
 
 
y = 1 
• Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer 
das equações, determinando x. 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
 V = {(3, 1)} 
Método da adição 
 Sendo U = , observe a solução de cada um dos 
sistemas a seguir, pelo método da adição. 
 Resolva o sistema abaixo: 
 
 Solução 
• Adicionamos membros a membros as equações: 
 
 2x = 16 
 
 x = 8 
 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das 
equações, determinado y: 
 8 + y = 10 
 y = 10 - 8 
 y = 2 
 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) 
 V = {(8, 2)} 
 
15 - RADICIAÇÃO 
 Potenciação de Radicais 
 Observando as potencias, temos que: 
 
 
 
 
 De modo geral, para se elevar um radical a um dado 
expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos: 
 
 
 Divisão de Radicais 
 Segundo as propriedades dos radicais, temos que: 
 
 
 
 
 De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, 
mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos: 
 
:
 
=
 
 
 Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao 
mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos: 
 
 
 
 
16 - MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 Sistema Métrico Decimal 
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades 
de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-
padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez 
mais difíceis a troca de informações e as negociações com 
tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um 
padrão de medida único para cada grandeza. 
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um 
grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir 
a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema 
métrico decimal. 
 
 Metro 
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que 
mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro 
seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao 
Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro 
foi adotado oficialmente em 1928. 
 
 Múltiplos e Submúltiplos do Metro 
 Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, 
existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes 
são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, 
centi e mili. Observe o quadro: 
 
Matemática – Prof. César Loyola 21/35 www.cursoprogressao.com.br 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
 Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes 
distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. 
 Leitura das Medidas de Comprimento 
 A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada 
com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a 
seguinte medida: 15,048 m. 
Seqüência prática 
 1º) Escrever o quadro de unidades: 
km hm dam m dm cm mm 
 
 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o 
último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. 
km hm dam m dm cm mm 
 1 5, 0 4 8 
 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida 
do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da 
unidade de medida do último algarismo da mesma. 
15 metros e 48 milímetros 
 Outros exemplos: 
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 
82,107 
dam 
lê-se "oitenta e dois decâmetros e 
cento e sete centímetros". 
0,003 m lê-se "três milímetros". 
 
Transformação de Unidades 
 
 Observe as seguintes transformações: 
• Transforme 16,584hm em m. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar hm em m (duas posições à direita) 
devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 
 16,584 x 100 = 1.658,4 
 Ou seja: 
 16,584hm = 1.658,4m 
 
• Transforme 1,463 dam em cm. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar dam em cm (três posições à direita) 
devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10). 
 1,463 x 1.000 = 1,463 
 Ou seja: 
 1,463dam = 1.463cm. 
 
• Transforme 176,9m em dam. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar m em dam (uma posição à 
esquerda) devemos dividir por 10. 
 176,9 : 10 = 17,69 
 Ou seja: 
 176,9m = 17,69dam 
 
• Transforme 978m em km. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar m em km (três posições à esquerda) 
devemos dividir por 1.000. 
 978 : 1.000 = 0,978 
 Ou seja: 
 978m = 0,978km. 
Observação: 
 Para resolver uma expressão formada por termos com 
diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos 
eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações. 
 
Perímetro de um Polígono 
Perímetro de um polígono é a soma das medidas 
dos seus lados. 
Perímetro do retângulo 
 
 b - base ou 
comprimento 
 h - altura ou 
largura 
 Perímetro = 2b + 
2h = 2(b + h) 
Perímetro dos polígonos regulares 
 
Matemática – Prof. César Loyola 22/35 www.cursoprogressao.com.br 
 
 
Triângulo equilátero Quadrado 
P = l+ l + l 
P = 3 · l 
P = l + l + l+ l 
P = 4 · l 
 
 
 
Pentágono Hexágono 
P = l + l + l + l + l 
P = 5 · 
P = l + l + l + l + l + l 
P = 6 · l 
 l - medida do lado do polígono regular 
 P - perímetro do polígono regular 
 Para um polígono de n lados, temos: 
P = n · l 
 
Comprimento da Circunferência 
Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-
se: 
 Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a 
quantos centímetros? 
 
Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta 
volta no barbante. 
 Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência 
correspondente à roda. 
 
 
 Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 
125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu 
diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um 
processo não experimental. 
 Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta 
matemática: 
 Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) 
pela medida do seu diâmetro (D), encontramos 
sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. 
 Assim: 
 O número 3,141592... corresponde em matemática à letra 
grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega 
perímetro. Costuma-se considera = 3,14. 
 Logo: 
 Utilizando essa 
fórmula, podemos 
determinar o 
comprimento de 
qualquer 
circunferência. 
 Podemos agora 
conferir com auxílio da 
fórmula o 
comprimento da toda 
obtido 
experimentalmente. 
C = 2 r C = 
2 3,14 · 20 · 
 C = 125,6 cm 
 
3,141592... 
 
 
 
 
17 - MEDIDAS DE ÁREA (SUPERFÍCIE) 
 Introdução 
 As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e 
respondem a nossas perguntasmais corriqueiras do cotidiano: 
• Qual a área desta sala? 
• Qual a área desse apartamento? 
• Quantos metros quadrados de azulejos são 
necessários para revestir essa piscina? 
• Qual a área dessa quadra de futebol de salão? 
• Qual a área pintada dessa parede? 
 Superfície e área 
Superfície é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto 
área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. 
 Metro Quadrado 
 A unidade fundamental de superfície chama-se metro 
quadrado. 
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície 
de um quadrado com 1 metro de lado. 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetros 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro 
quadrado 
metro 
quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m
2
 
 
 
 O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes 
superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para 
pequenas superfícies. 
 Exemplos: 
 
Matemática – Prof. César Loyola 23/35 www.cursoprogressao.com.br 
 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 12, 56 
 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. 
Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 
 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 1 78, 30 
 Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 
 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 0, 91 70 
 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. 
 
 Medidas Agrárias 
 As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies 
de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal 
unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o 
hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 
Unidade 
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca) 
 
Equivalência 
de valor 
100a 1a 0,01a 
Lembre-se: 
1 ha = 1hm2 
1a = 1 dam2 
1ca = 1m2 
Transformação de unidades 
 No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na 
transformação de unidades de superfície, cada unidade de 
superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior: 
 
 Observe as seguintes transformações: 
• transformar 2,36 m2 em mm2. 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) 
devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 
 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 
 
• transformar 580,2 dam2 em km2. 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) 
devemos dividir por 10.000 (100x100). 
 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 
 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 
 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 
 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) 
 
 
18 - MEDIDAS DE VOLUME 
 Introdução 
 Frequentemente nos deparamos com problemas que 
envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e 
altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos 
calcular medidas de metros cúbicos e volume. 
 Metro cúbico 
 A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. 
O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço 
ocupado por um cubo com 1 m de aresta. 
 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetro 
cúbico 
hectômetro 
cúbico 
decâmetro 
cúbico metro cúbico 
decímetro 
cúbico 
centímetro 
cúbico 
milímetro 
cúbico 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m
3
 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 
m3 
 Leitura das medidas de volume 
 A leitura das medidas de volume segue o mesmo 
procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar 
porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de 
alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). 
Exemplos. 
• Leia a seguinte medida: 75,84m3 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 75, 840 
 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". 
 
• Leia a medida: 0,0064dm3 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 0, 006 400 
 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". 
 Transformação de unidades 
 Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico 
decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 
1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
 
 Observe a seguinte transformação: 
• transformar 2,45 m3 para dm3. 
 
Matemática – Prof. César Loyola 24/35 www.cursoprogressao.com.br 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) 
devemos multiplicar por 1.000. 
 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 
 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 
 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 
 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 
3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3) 
 
19 - MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um 
recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido 
assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de 
um recipiente. 
 A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. 
 Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 
 1l = 1dm3 
 Múltiplos e submúltiplos do litro 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 
kl hl dal l dl cl ml 
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior. 
Relações 
1l = 1dm3 
1ml = 1cm3 
1kl = 1m3 
 Leitura das medidas de capacidade 
• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal 
kl hl dal l dl cl ml 
 2, 4 7 8 
 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". 
 Transformação de unidades 
 Na transformação de unidades de capacidade, no sistema 
métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de 
capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior. 
 
 Observe a seguinte transformação: 
• transformar 3,19 l para ml. 
kl hl dal l dl cl ml 
 Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos 
multiplicar por 1.000 (10x10x10). 
 3,19 x 1.000 = 3.190 ml 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl) 
 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 
 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 
 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 
dal + 1hl (R: 800 l) 
 
20 - MEDIDAS DE MASSA 
Introdução 
 Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: 
 Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, 
sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora 
dela. 
 Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído 
(gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local 
em que o corpo se encontra. Por exemplo: 
 A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. 
O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. 
 Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre 
ser 6 vezes superior à gravidade lunar. 
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de 
medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. 
Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".Quilograma 
 A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. 
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 
de água destilada à temperatura de 
4ºC. 
 Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de 
massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal 
de massa. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do grama 
Múltiplos Unidade principal Submúltiplos 
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama 
kg hg dag g dg cg mg 
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g 
 Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que 
a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 
1 dag = 10 g e 1 g = 10 dg 
Relações Importantes 
 
Matemática – Prof. César Loyola 25/35 www.cursoprogressao.com.br 
 Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas 
de volume e capacidade. 
 Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 
4ºC é válida a seguinte equivalência: 
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L 
 São válidas também as relações: 
1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 
 
1cm3 <=> 1ml <=> 1g 
 
 
 Observação: 
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as 
seguintes unidades especiais: 
 1 arroba = 15 kg 
 1 tonelada (t) = 1.000 kg 
 1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg 
 
Leitura das Medidas de Massa 
 A leitura das medidas de massa segue o mesmo 
procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos: 
• Leia a seguinte medida: 83,732 hg 
kg hg dag g dg cg mg 
8 3, 7 3 1 
 Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas". 
• Leia a medida: 0,043g 
kg hg dag g dg cg mg 
 0, 0 4 3 
 Lê-se " 43 miligramas". 
 
Transformação de Unidades 
 Cada unidade de massa é 10 vezes 
maior que a unidade imediatamente 
inferior. 
 
 Observe as Seguintes transformações: 
• Transforme 4,627 kg em dag. 
kg hg dag g dg cg mg 
 Para transformar kg em dag (duas posições à direita) 
devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 
 4,627 x 100 = 462,7 
Ou seja: 
 4,627 kg = 462,7 dag 
 
Observação: 
Peso bruto: peso do produto com a embalagem. 
Peso líquido: peso somente do produto. 
 
 
21 - MEDIDAS DE TEMPO 
Introdução 
 É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: 
 Qual a duração dessa partida de futebol? 
 Qual o tempo dessa viagem? 
 Qual a duração desse curso? 
 Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? 
 Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base 
uma unidade padrão de medida de tempo. 
 A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema 
Internacional (SI) é o segundo. 
 
Segundo 
 O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo 
natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre 
um dado meridiano dá origem ao dia solar. 
 O segundo (s) é o tempo equivalente a do 
dia solar médio. 
 As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico 
Decimal. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo 
Quadro de unidades 
Múltiplos 
minutos hora dia 
min h d 
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s 
 São submúltiplos do segundo: 
• décimo de segundo 
• centésimo de segundo 
• milésimo de segundo 
 
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 
40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. 
 Observe: 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 26/35 www.cursoprogressao.com.br 
Outras importantes unidades de medida: 
mês (comercial) = 30 dias 
ano (comercial) = 360 dias 
ano (normal) = 365 dias e 6 horas 
ano (bissexto) = 366 dias 
 semana = 7 dias 
quinzena = 15 dias 
bimestre = 2 meses 
trimestre = 3 meses 
quadrimestre = 4 meses 
 semestre = 6 meses 
biênio = 2 anos 
lustro ou qüinqüênio = 5 anos 
década = 10 anos 
século = 100 anos 
milênio = 1.000 anos 
 
22 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Definições 
 Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda 
equação da forma: 
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e 
 Exemplo: 
• x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, 
b = -5 e c = 6. 
• 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b 
= -1 e c = -1. 
• 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b 
= -1 e c = 0. 
• x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b 
= 0 e c = -36. 
 Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma 
normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na 
incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. 
a é sempre o coeficiente de x²; 
b é sempre o coeficiente de x, 
c é o coeficiente ou termo independente. 
Equações completas e Incompletas 
 Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são 
diferentes de zero. Exemplos: 
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. 
 Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual 
a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos: 
• x² - 36 = 0 
(b = 0) 
• x² - 10x = 0 
(c = 0) 
• 4x² = 0 
(b = c = 0) 
Raízes de uma equação do 2º grau 
 Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas 
raízes. 
Raiz é o número real que, ao substituir a 
incógnita de uma equação, transforma-a numa 
sentença verdadeira. 
 O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-
se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos: 
• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, 
quais são raízes da equação 
x² - x - 2 = 0 ? 
 Solução 
 Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos 
elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças 
verdadeiras. 
Para x = -1 
(-1)² - (-1) - 2 = 0 
1 + 1 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
Para x = 0 
0² - 0 - 2 = 0 
0 - 0 -2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 1 
1² - 1 - 2 = 0 
1 - 1 - 2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 2 
2² - 2 - 2 = 0 
4 - 2 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
 Logo, -1 e 2 são raízes da equação. 
• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) 
x² - 2px - 2 = 0. 
 
Solução 
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor 
de p. 
 
• Logo, o valor de p é . 
 
Resolução de equações incompletas 
 Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto 
verdade. 
 Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as 
técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos 
números reais: 
 1ª Propriedade: 
 
 
Matemática – Prof. César Loyola 27/35 www.cursoprogressao.com.br 
 2ª Propriedade: 
 
 1º Caso: Equação do tipo . 
 Exemplo: 
• Determine as raízes da equação , sendo 
. 
 
Solução 
Inicialmente, colocamos x em evidência: 
 
 Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores 
também o seja. Assim: 
 
 Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto 
verdade: 
 
 De modo geral, a equação do tipo tem para 
soluções e . 
 2º Caso: Equação do tipo 
 Exemplos: 
• Determine as raízes da equação , sendo 
U = IR. 
 Solução 
 
 
 De modo geral, a equação do tipo possui duas 
raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real 
caso seja um número negativo. 
 
 Resolução de equações completas 
 Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos 
a fórmula de Bhaskara. 
 A partir da equação , em que a, b, c IR 
e , desenvolveremos passo a passo a dedução da 
fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 
1º passo: multiplicaremos ambos os 
membros por 4a. 
 
2º passo: passar 4ac par o 2º 
membro. 
 
 
3º passo: adicionar aos dois 
membros. 
 
4º passo: fatorar o 1º elemento.