Aula Resistência de Materiais I - Prof. Paschoal, Estácio

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Folha de exercícios:
a) Determinar as tensões nas hastes
b) Se σ(adm) = 1500kgf/cm2,
verificar se o material suporta a carga



=∑
=∑
0
0
fy
fx
045cos.60.
045cos.60.
=+
=+−=∑
o
c
o
b
o
c
o
b
FsenF
FsenFfx
lbfFF cb 77,3684,44.82,0.82,0 ===
lbfF
FF
FF
c
cc
cc
84,44
10041,1..82,0
1002..82,0
=
=+
=+
a) Resolução:
b) Resolução
2
2
2
/46,537022,1467,377
/92,261322,1485,183
/1500
cmkgfpsi
cmkgfpsi
cmkgf
C
B
ADM
=×=
=×=
=
σ
σ
σ
Fatuante > FADM → estrutura nok
45o
60o
FB
FC
x
y
FB . sen 60
o FC . cos 45
o
50 lbf
A
cb
cbcb
FF
FFFF
.82,0
.
3
2
2
2
.
2
3
.
=
=⇒=
05045.60cos. =−+=∑ ocob senFFfy
2/1
50
2
2
.
2
1
. ++ cb FF
mmc
67,37792,443
13,0
84,44
13,004,014,3.
"2,0"4,0
2
22
≠===
≅×==
=⇒=
PSI
pol
lbf
A
F
polrA
rd
c
cc
σ
pi
PSI
pol
lbf
A
F
polrA
rd
b
bb
85,183
2,0
77,36
2,00625,014,3.
"25,0"5,0
2
22
===
≅×==
=⇒=
σ
pi
0,12546
Prov 27/9
?
Resistência dos Materiais
quinta-feira, 9 de agosto de 2012
20:26
 Página 1 de Resist Mat 
3) Calcular o alongamento total da barra de aço:
Material = Aço
b = 10cm2
E = 2100 t/m2
PAB = 10.000
LAB = 2m
EAB = 2100 tf/m2
SAB = 10cm2
cm
SE
LPL
ABAB
ABAB
AB 095,010.102100
100210000
.
.
3 =×
××
==∆
tf -> kgf
PBC = 10.000 - 3.000 = 7.000
LAB = 3m
EAB = 2100 tf/m2
SAB = 10cm2
PCD = 10.000 +2.000 - 3.000 = 9.000
LAB = 4m
EAB = 2100 tf/m2
SAB = 10cm2
cm
SE
LPL
BCBC
BCBC
BC 100,010.102100
10037000
.
.
3 =×
××
==∆
cm
SE
LPL
CDCD
CDCD
CD 171,010.102100
10049000
.
.
3 =×
××
==∆
cmL 366,0171,0100,0095,0 =++=∆
CDBCAB LLLL ∆±∆±∆±=∆
OBS:
2
2
/1500
/1000
10
10000
cmkgf
cmkgf
S
P
ADM
AB
AB
AB
=
===
σ
σ
σAT < σADM OK!
2m 3m 4m
10.000 kg 9.000 kg2.000 kg
3.000 kg
A B C D
Exercício 3
quinta-feira, 9 de agosto de 2012
21:16
 Página 2 de Resist Mat 
Material da Barra
Aço ABNT 1010
σe = 220 MPA
Coef. Segurança = k = 2
diâmetro da barra = ?





=∑
=∑
=∑
0
0
0
M
y
x
f
f
f
o
x
o
x
x
R
R
f
53cos10
053cos10
0
=
=+−
=∑
12
045310
+=
=−−+−=∑
BA
o
ABy
RR
senRRf
kNsenR
senRf
o
B
o
BMA
16
8,0
6,1.48,0.5310
06,1.453108,0.
=
+
=
=++−=∑
kNRR BA 28121612 =+=+=
barra
B
ADMbarra S
R
== σσ
326
3
10110
16
/10110
1016
×
=
×
×
==
mN
NRS
ADM
B
barra σ
→
4
2
1045,1
4
−×=
dpi
→ md 014,041045,1
4
=
××
=
−
pi
RB
Determinar o diâmetro da barra:
53o
10kN
10 . sen 53o
4kN
10 . cos 53oB
C
A
0,8m 0,8m 0,8m
Exercício 4
quinta-feira, 9 de agosto de 2012
21:39
 Página 3 de Resist Mat 
kNhbS 75
2
1510
2
=
×
=
×
=∆
C.G. = 75kN
15kN/m
A B
10m
2/3 de 10m 1/3
Modelo para Explicação:
75kN
2/3 1/3
Determine o diâmetro da barra BC, se a tensão admissível é σadm = 155MPa. A viga é assumida ser 
parafusada em A.
RB RA
3m 1,5m
15kN/m
11,25kN22,5kN
1m 0,5m2m 1m
Resolução:
kNhb 5,22
2
45
2
153
2
==
×
=
×
kNhb 25,11
2
5,22
2
155,1
2
==
×
=
×
22
,
5k
N
2m
11
,
25
kN
1m
3 + 1,5 = 4,5, logo: 5,4
3
15,1 de=5,43
23 de=
∑MA = 0
-RB . 4,5 + (22,5 . 2,5) + (11,25 . 1) = 0
kNRb 15
5,4
25,1125,56
=
×
=−
σADM = 155MPa = 155N / mm2
4
.
15000155 22
BCBC
B
ADM d
N
mm
N
A
R
pi
σ =⇒=
2
2
2 77,96
155
15000
.
4
mm
mm
N
NdBC ==
pi
0,8
2
2
2 121
8,0
77,96
mm
mmdBC ==
mmmmdBC 11121
2
==
1,5 - 0,5 =1
Exercício 3.3
quinta-feira, 9 de agosto de 2012
22:03
 Página 4 de Resist Mat 
Sistemas Estaticamente Indeterminados
Quando uma barra é fixada apenas por uma extremidade e submetida a esforços axiais, a equação de 
equilíbrio das forças aplicadas na direção axial é suficiente para obtermos a REAÇÃO nos apoios fixos. 
Uma estrutura como essa é chamada estaticamente determinada, no entanto se a barra é fixada entre 
as duas extremidades teremos a mesma equação de equilíbrio estático, mas o número de incógnitas a 
serem determinadas é maior que os disponíveis, na equação FA + FB - P = 0. Uma estrutura como essa é 
chamada estaticamente indeterminada.
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
BCAB
SE
LP
SE
LP
LL
.
.
.
.
=
∆=∆
AB
BC
BCAB
BCBCABAB
L
LPP
LPLP
.
..
=
=
→
PPP BCAB =+
Questão Petrobras - 2007
000.10=+ BCAB PP
BCAB LL ∆=∆
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
SE
LP
SE
LP
.
.
.
.
=
21000
500
..
BC
BC
AB
BC
BCAB
PP
L
LPP ===
000.105,1000.10
2
=⇒=+ BCBC
BC PPP
kgfPBC 66675,1
000.10
==
kgfPAB 33336667000.10 =−=
mmd 50=
2
22
5,1963
4
50
4
mm
dA === pipi
2/7,1
5,1963
3333
mmkgf
S
P
AB
AB
AB ===σ
2/4,3
5,1963
6667
mmkgf
S
P
BC
BC
BC ===σ
σADM > σATUANTE OK!
FA
FA – P = 0
P
Estrutura Determinada
FA
FA + FB - P = 0
P
Estrutura Indeterminada
L
FB
A
C
B
PBC
PAB
10.000kgf
L
A
C
B
PBC
1.000mm
500mm
Ø = 50mm
Sist. Estaticamente indeterm
quinta-feira, 16 de agosto de 2012
20:41
 Página 5 de Resist Mat 
3a questão - Petrobras 2007
Um tanque de armazenamento de material tóxico deverá ser apoiado na plataforma horizontal que é 
rígida de peso desprezível, fixada em A e sustentada pelas Barras de Aço e pelo Tubulão de Aço. 
Determinar:
a) As tensões atuantes em cada barra
b) Se a barra de aço irá suportar o carregamento
c) Qual a altura do calço que preciso colocar no Tanque de Armazenamento p/ mantê-lo horizontal.
d) Qual o diâmetro do Pino P, sendo Tensão de Cisalhamento admissível retirada da Tabela distribuída 
em aula.
EA = 2,1 x 106kgf/cm2
σADM = 1.500kgf/cm2
τADM = 800kgf/cm2
Ex. Hibbeler
Cap. carga axial = Cap 4
Probl: 4.35 / 4.37 / 4.50 / 4.56
03.7.512.
0
5
0
0
=−+−
=∑
=++
=∑
=∑
BD
A
DBA
RR
M
RRR
fy
fx
( )
( )
BB
DB
DBB
D
DB
DBB
D
BB
BB
DD
DD
BBD
BD
DB
RR
LS
SLPP
LS
SLPP
SE
LP
SE
LP
LLLLL
RR
4
40010
58004
.
..
.4
.
..
.4
.
.
.4
.
.
4.
3
122
312
135123
=×
×
×
×==
=⇒=
∆=∆=∆⇒∆=∆
=+
2
2
/63,68
5
3,686
/550
5
2745
)
3,27453,6864.4
686
51
000.35000.3551
35)75(4.123
12
cmkgf
cmkgf
a
kgfRR
kgfRR
tfRR
B
D
BD
BB
BB
==
==
=×==
==⇒=
×=+
→
σ
σ
Pino P
∆LB
∆LD
projeção do triângulo
3
∆LB
3m 4m 5m
5tf
A B
C
D
4m
RBRA
8m
RD
∆LD
9
Exercício
quinta-feira, 16 de agosto de 2012
21:18
 Página 6 de Resist Mat 
Um pilar de concreto é composto de 9 vergalhões de aço com diâmetro de 25mm, uma carga P é 
aplicada por meio de uma placa rígida de aço. Determine:
a) As tensões atuantes no concreto e nas barras
b) o encurtamento do pilar de concreto
c) Os vergalhões de aço suportam o carregamento?
EA = 2100tf/m2
EC = 180tf/m2
PC + PA = P = 60 (1)
ΔLC = ΔLA Condição de um sistema hiperestático
. .
. .
A A C C
A A C C
P L P L
E S E S
= →
. 2100.45
. . 0,9.
. 180.580
A A
A C C C
C C
P SP P P P
E S
= = = (2)
2 2
2. .(2,5) 5
4 4A
dS cmpi pi= = = 25 9 45
TA
S cm= × = 225 25 45 580CS cm= × − =
(2) → (1)
0,9. 60 1,90 60 31,6C C C CPP P P tf+ = ⇒ = ⇒ =
0,9 31,6 28,4AP tf= × =
231,6 1000 54 /
580
C
C
C
P kgf cm
S
σ
×
= = =
σADM > σAT OK!
P = 60t
concreto
aço
25
0m
m
250mm
Ø = 25mm
Exercício
quinta-feira, 30 de agosto de 2012
20:36
 Página 7 de Resist Mat 
Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento, quando sofre a ação de uma força 
cortante. Além de provocar cisalhamento, a força cortante dá origem a um momento fletor, que por ser 
de baixíssima intensidade, será desprezado neste capítulo.
Cisalhamento Puro
quinta-feira, 30 de agosto de 2012
21:21
 Página 8 de Resist Mat 
Resumo da Teoria retirada da Apostila
Diferença entre tensão normal e tensão de cisalhamento:
Tensão Normal:
Intensidade da força por unidade de área que atua na PERPENDICULAR a ΔA.
Tensão de cisalhamento:
é a intensidade da força por cada unidade de área que atua na TANGENTE a ΔA.
z
y
x
∆F
∆Fz
∆Fy
∆Fx
A
Fz
Az ∆
∆
=
→∆ 0
limσ
A
Fy
Azy ∆
∆
=
→∆ 0
limτ
A
Fx
Azx ∆
∆
=
→∆ 0
limτ
Resultado:
z
y
x
σz
τzx
τzy
ΔA
Teoria da Elasticidade
Teoria da Plasticidade
Limitações na teoria fundamental da resistência dos materiais
Equilíbrio de um corpo deformável
Força concentrada: imaginada como uma única força aplicada em um ponto (resultante das 
forças de superfície na área. Ex: força do solo nas rodas da bicicleta.
�
carga linear distribuída: w(s) intensidade da força ao longo do comprimento da área. A força 
resultante de w(s) é a FR, equivalente atuando na centróide ou centro geométrico dessa área
�
Forças de superfície: quando há contato direto de um corpo com outro, distribuídas pela área de 
contato entre os corpos.
○
Forças de Corpo: quando um corpo exerce força sobre outro sem contato direto. Ex: gravidade, 
eletromagnetismo.
○
Forças externas: forças pelas quais um corpo pode ser submetido•
Tipos de reação: translado, girado ou direção em particular.○
Se o apoio impede a translação em uma determinada direção, então deve-se desenvolver uma força 
naquela direção.
○
Se a rotação for impedida, deve ser aplicado um conjugado sobre o elemento.○
Reações de apoio: forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato•
Um corpo em equilíbrio significa que a resultante das forças e momentos de força que atuam sobre 
ele são nulos.
○
Equações de equilíbrio:•
Teoria
domingo, 2 de setembro de 2012
11:07
 Página 9 de Resist Mat 
Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da temperatura em todo o 
seu comprimento não gera tensão, pois a estrutura é capaz de se expandir livremente. Por outro lado, a 
variação de temperatura em estruturas fixas estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus 
elementos denominadas tensões térmicas.Observe as figuras apresentadas:
A barra modifica suas condições originais livremente devido a variação de temperatura.Logo:
ΔL = L . α . Δt Onde α = coeficiente de dilatação linear do material. Unidade: (oC)-1
A barra fixa impedida de se expandir devido aos dois engastamentos, tornando o sistema estaticamente 
indeterminado e gerando assim as tensões térmicas.
Logo:
ES
PLTL
LL RT
=∆
∆=∆
..α
Assim a força gerada pela variação de temperatura é dada por:
P = S . E . α . Δt
como
S
P
=σ temos: TES
P ∆== ..ασ TETÉRMICA ∆= ..ασ
L
BARRA
∆t
∆L
Exemplo:
Uma barra de cobre é colocada restrita entre duas placas de aço. Calcule as tensões atuantes. Dados:
E = 1200 tf / cm2
αL = 16,7 x 10-6 / oC 
S = 16cm2
L
BARRA com restrição
∆t
R R devido a reação de 
engastamento
Barra de cobre
∆t = 40oC
a
ço
a
ço
40107,161005,1.. 6 ××××=∆=∆ −TLL α
cmL 1,0=∆ Qual será a força P que deforma a barra de 0,1cm?
16101200
1005,11,0 3 ××
××
=⇒=∆ P
ES
PLL kgfP 800.12
1005,1
1,016101200 3
=
×
×××
=
2/800
16
12800
cmkgf
S
P
T ===σ
tf → kgf
Tensões Térmicas
quinta-feira, 6 de setembro de 2012
20:36
 Página 10 de Resist Mat 
Determinar as tensões atuantes na barra. Dados:
S = 1,5 cm2 
E = 20.000kN/cm2
α = 11,7 x 10-6 oC-1
Δt = 20oC
10
0c
m
25
0c
m
PT
30kN
PT2
PT2
PF
Exercício
quinta-feira, 6 de setembro de 2012
21:30
 Página 11 de Resist Mat 
Em projetos de grande porte é necessário considerar no dimensionamento dos elementos estruturais o peso 
próprio do material. Sendo assim, temos:
Onde:
S = área da seção transversal (unidade: m2, cm2...)
ρ = peso específico do material (unidade: N/m3...)
l = comprimento da peça (unidade: m, mm...)
PP =Peso próprio (N, kgf...)
Revisão de cálculo de centro de gravidade de figuras planas
Suponha que um corpo sofra ação de um campo gravitacional. Como o corpo é composto de muitas 
partículas, cada uma delas sendo afetada pela gravidade, a ação de um campo gravitacional constante 
no corpo consiste em um grande número de peças distribuídas por todo o corpo. Porém, essas forças 
individuais podem ser substituídas por uma única força atuando num ponto chamado CENTRO DE 
GRAVIDADE do corpo.
dy
elemento estrutural genérico
l..SPP ρ=
CG de figuras planas importantes em RESMAT:
Exercício:
Determinar as coordenadas do CG do perfil U.
somatório da área x distância
1 2 3
b
h
yg
xg
x
y
CG
2
bx =
2
hy =
b
h
x
y
CG
xg
yg
3
3
hy
bx
=
=
CG
0
0
=
=
y
x
x
y
CG
R
x
y
CG
R
pi3
4
0
Ry
x
=
=
pi
pi
3
4
3
4
Ry
Rx
=
=
A
A
x x
∑
∑
=
A
A
y y
∑
∑
=
1c
m
4c
m
10cm1cm 1cm
1
2
3
cm
A
Ax
x 6
20
120
)1.5()1.10()1.5(
5,11)1.5(6)1.10(5,0)1.5(
==
++
×+×+×
=
∑
∑
=
cm
A
Ayy 5,1
20
30
)1.5()1.10()1.5(
5,2)1.5(5,0)1.10(5,2)1.5(
==
++
×+×+×
=
∑
∑
=
ℓ
AA
BA
PP
A
paschoal@ctcea.org.br
9326-0355
Peso Próprio
quinta-feira, 13 de setembro de 2012
20:31
 Página 12 de Resist Mat 
3cm 2cm 3cm
2cm
5cm
1
2
2cm
3cm
5cm
2cm 2cm3cm
1
2
7cm
2cm 2cm 2cm
4cm 2cm 4cm
2cm
2cm
Furo
(-)
4cm
8cm
4cm
3cm 3cm5cm
1
2
cm
A
Ayy
cm
A
Ax
x
8
40176
3201408
)8.5()16.11(
8)8.5(8)16.11(
5,5
40176
220968
)8.5()16.11(
5,5)8.5(5,5)16.11(
=
−
−
=
−
×−×
=
∑
∑
=
=
−
−
=
−
×−×
=
∑
∑
=
cm
A
Ayy
cm
A
Ax
x
65,4
1016
2596
)5.2()2.8(
5,2)5.2(6)2.8(
4
1016
4064
)5.2()2.8(
4)5.2(4)2.8(
=
+
+
=
+
×+×
=
∑
∑
=
=
+
+
=
+
×+×
=
∑
∑
=
cm
A
Ayy
cm
A
Ax
x
78,4
970
5,58350
)3.3()10.7(
5,6)3.3(5)10.7(
5,3
970
5,31245
)3.3()10.7(
5,3)3.3(5,3)10.7(
=
−
−
=
−
×−×
=
∑
∑
=
=
−
−
=
−
×−×
=
∑
∑
=
1,5 + 5
=6,5
(*) OBS: como todas as figuras possuem suas componentes com o PG alinhado no eixo x , torna-se óbvio obter como resultado x = PGx'-
* * *
*
4cm
4cm 4cm
4c
m
( ) ( )
( ) cmAAxx 11,32467,7424.4)4.4(
3
442
4.42)4.4(
==
+
+×+×
=
∑
∑
=
( )
( ) cmAAyy 78,12467,4224.4)4.4(
3
4
2
4.42)4.4(
==
+
×+×
=
∑
∑
=
* *
*
* *
*
* *
*
cm
A
Ayy
cm
A
Ax
x
72,4
46
217
)2.10()7.2()2.6(
1)2.10(5,5)7.2(10)2.6(
5
46
230
)2.10()7.2()2.6(
5)2.10(5)7.2(5)2.6(
==
++
×+×+×
=
∑
∑
=
==
++
×+×+×
=
∑
∑
=
Exercícios
quinta-feira, 13 de setembro de 2012
21:38
 Página 13 de Resist Mat 
Diagrama de momento fletor (DMF)
Diagrama de esforço cortante (DEC)
Conceituação:a)
Uma barra submetida a forças externas devidamente apoiada,constitui um sistema estático 
equilibrado : uma força resultante e um momento igual a zero. Isto quer dizer que a barra não pode se 
deslocar — seja por translação, seja por rotação.
Internamente, porém, a barra sofre esforços simples, ao longo de seu comprimento que tendem a 
deformá-la de diferentes formas a sua seção transversal. 
Nestas seções, o esforço cortante é a tendência da barra sofrer cisalhamento provocado pelas forças 
atuantes nas barras. Já o momento fletor é o esforço que tende a formar esta barra por flexão, girando-
a em torno de um eixo normal ao eixo da barra.
Vigas:b)
Estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, apoiada em um ou mais apoios e que 
tem a finalidade de suportar os carregamentos normais ao seu eixo principal.
Viga I
Apoios
Tipos de vigas:c)
Engastados
P
Apoiados
Apoios
P
Cargas:d)
1) Concentrada: a superfície de contato da carga com a viga é pequena
Concentrada
P
2) Distribuído: O carregamento é distribuído igualmente ao longo do comprimento da barra.
Carga
3) Variável:
Carga
Diagramas
quinta-feira, 25 de outubro de 2012
20:30
 Página 14 de Resist Mat 
Momento Fletor:e)
A fórmula de cálculo da tensão de flexão utiliza o momento fletor máximo da barra, este momento 
máximo é determinado através dos diagramas de momento fletor (DMF).
O mesmo raciocínio para cálculo da tensão cisalhante máxima é aplicado, ou seja, será obtido pelo 
diagrama de esforço cortante (DEC).
O material é considerado homogêneo e isotrópico.I)
A viga admite um plano de simetria.II)
O corpo é formado por um conjunto de fibras unidas entre si e paralelas ao plano longitudinal.III)
As forças atuam no plano de simetria.IV)
As forças atuantes são normais ao plano de simetria, neste caso trata-se de flexão simples.V)
Hipótese de Bernoulli: Os sólidos sob felxão são elásticos longitudinalmente e rígidas 
transversalmente.
VI)
Hipótese de Navier: Considerando a linha neutra da viga, as fibras são comprimidas e tracionadas.VII)
Hipóteses:f)
P
viga Fibras comprimidas
Fibras 
tracionadas
LNLN
ADM
MÁXM σ
ω
σ ==f
ADM
MÁX
x
M
σ
ω =
DMF
cisalhamento plano de simetria
apoios
Convenção de sinais para esforço cortante e momento fletor:g)
(+)
P
(+)
Momento fletor M Positivo Força cortante Q positiva
(-)
P
(-)
Momento fletor M Negativo Força cortante Q negativa
Momento Fletor
quinta-feira, 1 de novembro de 2012
21:00
 Página 15 de Resist Mat 
kNR
kNR
RM
kNRR
A
B
BA
BA
6,1
4,2
6.410.
4
=
=
==∑
=+
xM
kNQ
x
6,1
6,1
60
=
=
≤≤
244,2
2446,1
)6(46,1
4,246,1
106
+−=
+−=
−−=
−=−=
≤≤
xM
xxM
xxM
Q
x
P
RA RB
CA B
6 4
x
x
AB BC
4kN
Q
1,6
M
9,6kNxm
RA RB
-2,4
0
60 10
DEC
Método das Seções
sábado, 17 de novembro de 2012
21:07
 Página 16 de Resist Mat 
101875
A B
800N 1500N
600mm125mm 75mm
RA RB
V
815
15
-1485
M
110875
-500
OBS: Nxm
+
-
+ +
-
Dia 08/11 - Palestra no clube de Enga, início às 17hs
Dia 10/11 - Aula de reforço, sáb. 08 às 12h
Convenções:
Momento Fletor positivo
Força cortante positiva
+
Desenhe o DMF e DEC e indique o momento fletor máximo.
A B
800N 1500N
600mm125mm 75mm
RA RB
Método das seções:
Primeira seção
Segunda seção
Terceira seção
y = ax2 + bx + c
a > 0 => mínimo
a < 0 => máximo ∫=
=
vdxM
dx
dMV
momento fletor força cortante
y = ax + b
y = ax + b
0
0
xM
NV
x
.815
815
1250
=
=
≤≤
A
V
=τ
ADM
m áxMf σ
ω
σ ==
800mm NR
NR
RM
RR
A
B
BA
BA
81514852300
1485
800
125.800725.1500
125.800725.1500800.
23001500800
=−=
=
+
=
+==∑
=+=+
A B
800N 1500N
600mm125mm 75mm
RA RB
x
x
x
mNM ×== 101875125.815125
)125(800815
15800815
725125
−−=
=−=
≤≤
xxM
NV
x
mNM ×=−−= 110875)125725(800725.815725
mNM
M
×−=−−=
−−−−=
500112500540000652000
)725800(1500)125800(800800.815
800
800
)725(1500)125(800815
14851500800815
800725
−−−−=
−=−−=
≤≤
xxxM
NV
x
Exercícios
quinta-feira, 1 de novembro de 2012
20:35
 Página 17 de Resist Mat 
F
A
B
4000kgA
1600 x 4 = 6400KgA
3m2m 2m
RA RB
viga
2m
4m
2
5−x
1600kgA / m
1600(x-5)
x-5
x
x
x
Método das Seções:
Desenhe o DMF e DEC e indique o 
momento fletor máximo.
(1)
4533586710400
58677.64002.40009.
1040064004000
=−=
=⇒+==∑
=+=+
A
BBA
BA
R
NRRM
RR
4530N?
xM
V
x
.430
4530
20
=
=
≤≤
(2)
2
)5()5(1600)2(4000.430
)5(160040004530
95
−
−−−−=
−−−=
≤≤
x
xxxM
xV
x
(3)
)2(4000.4530
53040004530
52
−−=
=−=
≤≤
xxM
NV
x
mKgAM .10650)25(40005.45305 =−−=
mkgAM .90602.45302 ==
5870)59(1600400045309 −=−−−=V
800
mkgAM
M
xxxM
.10810
)533,5(800)233,5(400033,5.4530
)5(800)2(40004530
33,5
2
33,5
2
=
−−−−=
−−−−=
x2 -10x +25 origina a parábola
M9 = 0?
→ Momento fletor máximo.
p/x = 5,33m
Sendo a força cortante V = 0, o momento é máximo:
A
B
4000kgA
1600 x 4 = 6400KgA
3m2m 2m
RA RB
viga
2m
4m
2
5−x
1600kgA / m
1600(x-5)
x-5
9060
V
4530
530
-5870
M
(kgAxm)
+ +
10650
10810
V=0 →Mmáx
+mkgAM
M
xxxM
xxVx
.10810
)533,5(800)233,5(400033,5.4530
)5(800)2(40004530
33,50)5(160040004530
33,5
2
33,5
2
=
−−−−=
−−−−=
=⇒=−−−=
153,9
120007470800
800020000800040004530800
200008000800800040004530
)5(800)2(40004530
2
2
2
2
2
+−−=
+−−=
−+−−+−=
+−−−−=
−−−−=
xxM
xxM
xxxxM
xxxxM
xxxM
Ex.2
quinta-feira, 1 de novembro de 2012
21:22
 Página 18 de Resist Mat 
P = (bxh)/2 = 3600KgA
B
600kgA / m
8 (2/3 de 12)
2
60012 ×
Total=12
4 (1/3 de 12)
x
Desenhe o DMF e DEC e indique o momento fletor máximo.
xp
x
p 50
12
600
=⇒=
p = 50x
kgAR
kgAR
RM
kgARR
A
B
BA
BA
1200
2400
8.360012.
3600
=
=
==∑
=+
3
251200
3
251200
251200
120
3
2
2
x
xM
x
xxM
xV
x
−=






−=
−=
≤≤
ux
xV
kgAV
94,6
0251200
240012.251200
2
2
12
=
=−=
=−=
mkgAM
M
MM MÁX
.5520
)94,6(
3
2594,6.1200
94,6
3
94,6
94,6
=
−=
=
p = (bxh)/2 = 3600KgA
B
600kgA / m
8 (2/3 de 12)
2
60012×
Total=12
4 (1/3 de 12)
x
P=50x
V
1200
M
+ +
-
6,94
5520
encontrado 6,93
encontrado 5543
Ex.3
quinta-feira, 1 de novembro de 2012
21:55
 Página 19 de Resist Mat 
ω
σ Maxf
M
=
Mmax = Momento máximo atuante
σf = Tensão de Flexão
ω = Módulo de Resitência
C
J
=ω
J ou I = Momento de Inércia da figura plana
C = Distância do centro de gravidade da figura, 
a fibra mais externa da viga em flexão
Tensão Normal na Flexão:
A tensão normal de flexão atuante é determinada em relação a fibra mais distante da seção transversal 
em relação ao CG da figura plana.
Unidades:
σx ou σj : PSI, kgf/mm2
σADM :PSI, kgf/cm2
M : Nm, Nmm, kgf x m
ωx ou ωj : m3, cm3
C : m, cm
Tensão de Cisalhamento na flexão:
A força cortante que atua na seção transversal da peça provoca nesta uma tensão cisalhante, que é 
determinada por:
bj
QMydAM
ydA
bj
Q
e
Ae
h
=⇒=
=
∫
∫
τ
τ
0
τ - Tensão de cisalhamento (kgf/cm2 , psi
Q ou V - Força cortante (kgA, W, ...)
Me = Momento estático da parte hachuradada figura (m3, cm3, ...)
b - Largura da seção (m, cm, ...)
J ou I - Mom. de Inércia (m4, cm4, ...)
Importante:
τ máximona linha neutra τ
τ nulo na fibra mais externa
L
dy
w2
w2
b
Programação para AV2:
Trabalho de campo:
vale até 1,5 pt
Ler torção, resumir e apresentar 05 exercícios resolvidos
Fontes: Hibbeler, Sarkis, William Nash, Pasta alunos
Data AV2: 06 dez
Pontuação: 8,5 pt
 Dimensionamento na flexão
Matéria: Proporções Mecânicas
Dimensionamento na Flexão
quinta-feira, 22 de novembro de 2012
20:47
 Página 20 de Resist Mat 
O momento fletor da viga da figura é M = 24kN.m, Sabendo-se que a tensão admissível do material 
utilizado na viga é σADM = 5kN/cm2 e que se trata de um perfil retangular com b = 5 cm (largura). 
Determinar a altura h do perfil.
fig. 1095
resolução fig. 1094
vértice triang invertido = 24
2) tabela fig. 1096
3450205,22
5
1005,22
1005,225
cmw
w
M
ADM
ADM
Max
f
=×=
×
=
×
==
==
σ
σ
ω
σ
Usar tabela de perfil
I → Wx mais próximo igual a 462,4cm3
462,4 → w250 x 38,5
PERFIL I COMERCIAL
cmh
hb
wq
24
5
4806
480
6
.
2
=
×
=
==
3)
kgAR
RP
P
A
Ao
o
370
5,2.30cos
2.400
2.4005,2.30cos.
=
==
=
kgAP
PM
RPf
RsenPf
o
C
c
o
y
x
o
x
370
2.4005,2.30cos.
40030cos.
30.0
=
==
=+=∑
=⇒=∑
kgAPR
kgAPR
o
C
oo
A
72140030cos.
32130cos.37030cos.
=+=
===
)5,2(721312
721321
5,45,2
321
321
5,20
−+−=
+−=
≤≤
−=
−=
≤≤
xxM
V
x
xM
V
x
Exercícios
quinta-feira, 22 de novembro de 2012
21:47
 Página 21 de Resist Mat