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Módulo IV – Variação da Entropia em Substâncias Puras, Relações 
Termodinâmicas (Tds), Diagramas T-s e h-s, Entropia em Substâncias 
Incompressíveis, Entropia em Gás Ideal. 
 
 
Utilizando Gráficos de Entropia 
 Para aplicação da segunda lei é útil à representação de processos tendo 
a entropia como uma das coordenadas. Os diagramas com essa propriedade 
que mais frequentemente são utilizados são os diagramas temperatura-
entropia e entalpia-entropia. 
 
 
 
No diagrama T-s na região de vapor superaquecido as linhas de volume 
específico tem uma inclinação maior que as linhas de pressão constante. Além 
disso, nessa região as linhas de entalpia constante tornam-se horizontais com 
o aumento da entropia. Isso significa que onde as linhas de entalpia estão 
horizontais o modelo de gás ideal fornece uma aproximação apropriada. 
O diagrama de entalpia-entropia, também conhecido como diagrama de 
Mollier, é construído com o intuito de avaliar as propriedades em estados de 
vapor superaquecido e para misturas bifásicas líquido-vapor. Na região em que 
as linhas de temperatura constante se tornam horizontais com o aumento da 
entropia também é possível se ter uma aproximação apropriada com a 
equação dos gases ideais. 
 
Equações Tds 
 Apesar de a entropia poder ser determinada pelas equações vistas nos 
módulos anteriores, esses cálculos podem não ser tão fáceis de serem 
realizados. Para isso iremos obter equações que envolvam a entropia com 
propriedades mais facilmente determináveis. 
 As equações Tds são desenvolvidas considerando-se um sistema puro, 
compressível e simples submetido a um processo internamente reversível. 
 
( ) ( ) 
( ) 
 
( ) 
 
 ( ) 
 
Substituindo temos: 
 
 
 
Porém H= U + pϑ e consequentemente dH= dU + pdϑ + ϑdp. Isolando 
dU + pdϑ e substituindo na equação anterior: 
 
 
 
Reescrevendo as equações em base mássica e em base molar temos: 
 
 ̅ ̅ ̅ 
 ̅ ̅ ̅ 
 
 Embora sejam obtidas para processos internamente reversíveis, a 
variação de entropia para essas equações é valida para qualquer processo 
entre dois estados de equilíbrio em um sistema. 
 
Variação da Entropia para uma Substância Incompressível 
 O modelo de substância incompressível admite que o volume específico 
seja constante e que a energia interna específica dependa somente da 
temperatura. Com isso du = c(T)dT, sendo c o calor específico da substânica. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ∫
 ( ) 
 
 
 
 
 
Se o calor específico for constante: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Variação da Entropia de um Gás Ideal 
 Podemos utilizar as equações Tds para avaliar a variação de entropia 
entre dois estados para um gás ideal. 
 
 
 
 
Para um gás ideal, du = cv(T)dT, dh = cp(T)dT e pv = RT. Substituindo 
nas equações de entropia temos: 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
Integrando as equações obtemos: 
 
 ( ) ( ) ∫ ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ∫ ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como R é constante podemos integrar o ultimo termo, mas precisamos 
de uma função de gases ideais que relacionem os valores de calor específico. 
Sabendo que cp(T) = cv(T) + R, o conhecimento de qualquer um dos calores 
específicos é suficiente 
 
Utilizando tabelas de gás ideal temos que: 
 
 ∫ ( )
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
Ou na base molar: 
 
 ̅( ) ̅( ) ̅
 ( ) ̅
 ( ) ̅ 
 
 
 
 
Assumindo calores específicos constantes teremos: 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Ou na base molar: 
 
 ̅( ) ̅( ) ̅ 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 ̅( ) ̅( ) ̅ 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
Assumindo a temperatura constante, mas com pressão e volume 
variando temos: 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Metano líquido é normalmente usado em diversas aplicações criogênicas. A 
temperatura crítica do metano é de 191 K e, portanto, o metano deve ser 
mantido abaixo desse valor para que permaneça na fase líquida. Determine 
a variação da entropia do metano líquido durante o processo de 110 K e 1 
MPa até 120 K e 5 MPa: 
a) usando as propriedades tabeladas e 
b) aproximando o metano líquido por uma substância incompressível. Qual 
o erro associado ao segundo caso. 
 
Resolução: 
a) 
Das tabelas s1 = 4,875 kJ/kgK, cp1 = 3,471 kJ/kgK, s2 = 5,145 kJ/kgK e cp2 = 
3,486 kJ/kgK 
Δs = s2 – s1 = 5,145 – 4,875 = 0,270 kJ/kgK 
 
b) 
Δs = cmédio ln(T2/T1) 
cmédio = (cp1 + cp2)/2 
Δs = 3,4785 ln(120/110) = 0,303 kJ/kgK 
 
Erro = |Δsreal – Δsideal| / Δsreal 
Erro = 0,122 ou 12,2% 
 
2) Ar é comprimido a partir de um estado inicial de 100 kPa e 17°C até um 
estado final de 600 kPa e 57°C. Determine a variação de entropia do ar 
durante esse processo de compressão, usando 
a) valores de propriedades da tabela de ar e 
b) calores específicos médios 
 
Resolução 
a) 
Da tabela de propriedades s2° = 1,79783 kJ/kgK, s1° = 1,66802 kJ/kgK e R = 
0,287 kJ/kgK 
s2 – s1 = s2° - s1° - R ln(P2/P1) = 1,79783 – 1,66802 – [0,287 ln (600/100)] 
s2 – s1 = - 0,3844 kJ/kgK 
 
b) 
Tmédia = 37°C, cp, médio = 1,006 kJ/kgK 
s2 – s1 = cp, médio ln (T2/T1) – R ln(P2/P1) 
s2 – s1 = 1,006 [ln (330/290)] - 0,287 ln (600/100) 
s2 – s1 = - 0,3842 kJ/kgK 
 
 
Exercícios Propostos 
1) Um tanque rígido de 0,5 m3 contém, inicialmente, refrigerante 134a a 200 
kPa e título de 40%. Calor é então transferido para o refrigerante a partir de 
uma fonte a 35°C até que a pressão atinja 400 kPa. Determine: 
a) a variação da entropia do refrigerante, 
b) a variação da entropia da fonte de calor e 
c) a variação total de entropia do processo. 
Resposta: 3,88 kJ/K; - 3,439 kJ/K; 0,441 kJ/K 
 
2) um arranjo cilindro-pistão isolado contém 5 litros de água líquida saturada à 
pressão constante de 150 kPa. Um aquecedor à resistência elétrica dentro 
do cilindro é ligado, e 2200 kJ de energia são transferidos para o vapor 
d’água. Determine a variação da entropia da água durante esse processo. 
Resposta: 5,72 kJ/K 
 
3) Um tanque rígido contém 5 kg de vapor d’água saturada a 100°C. O vapor é 
resfriado até a temperatura ambiente de 25°C. 
a) Determine a variação da entropia do vapor d’água em kJ/K. 
b) Para o vapor d’água e sua vizinhança, determine a variação total de 
entropia associada a esse processo em kJ/K. 
Resposta: - 31,41 kJ/K; 7,39 kJ/K 
 
4) Um bloco de ferro de 50 kg e um bloco de cobre de 20 kg, ambos 
inicialmente a 80°C, são jogados em um lago grande que está a 15°C, O 
equilíbrio térmico é estabelecido após algum tempo devido à transferência 
de calor entre os blocos e a água do lago. Determine a variação total de 
entropia desse processo. 
Resposta: 0,67 kJ/K 
 
5) Ar é comprimido em regime permanente por um compressor de 5 kW de 
100 kPa e 17°C até 600 kPa e 167°C a uma vazão de 1,6 kg/min. Durante 
esse processo, ocorre transferência de calor entre o compressor e a 
vizinhança a 17°C. Determine a taxa de variação de entropia do ar durante 
esse processo. 
Resposta: - 0,0025 kW/K 
 
6) Um recipiente ocupado por 45 kg de água líquida a 95°C é colocado numa 
salade 90 m3 que inicialmente está a 12°C. Equilíbrio térmico é 
estabelecido após algum tempo devido à transferência de calor entre a 
água e o ar da sala. Usando calores específicos constantes determine: 
a) a temperatura final de equilíbrio, 
b) a quantidade de calor transferido entre a água e o ar da sala e 
c) a geração de entropia. 
Resposta: 70,2°C; 4660 kJ; 1,77 kJ/K