prova 1 B gabarito

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Prova #1.B Engenharia Econômica Professor Thiago Fonseca Morello 
Gabarito 
Questão Resposta 
Q.1 B 
Q.2 NA 
Q.3 B 
Q.4 B 
 
 
(Q.1) Um investidor deseja identificar uma oportunidade de investimento que ofereça um rendimento real 
anual equivalente ao proporcionado pela SELIC durante os anos de 2012-2016. O período de aplicação-alvo 
é de 12 meses, iniciando em Janeiro de 2017. Considerando a tabela abaixo, marque a alternativa que 
especifica a fórmula correta para o cálculo da taxa de juro nominal anual à qual o capital deve ser aplicado. 
Atenção: a taxa de inflação referente ao ano de 2017 (π2017) deve ser considerada como sendo aquela que 
será enfrentada durante o período de aplicação. 
Ano IPCA (% a.a) 
SELIC (% 
a.a) 
2012 π2012 i2012 
2013 π2013 i2013 
2014 π2014 i2014 
2015 π2015 i2015 
2016 π2016 i2016 
2017 
(previsto) π2017 NA (A)⎕݅௔ = ቌ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଶ)(1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଶ)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ହൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻)ቍ
ଵ/ଵଶ
− 1 
(B)⎕݅௔ = ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଶ)(1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଶ)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ହൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 
(C)⎕݅௔ = ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଶ)(1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଶ)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ସൡ − 1 
(D) NDA, R: ___________________________________________________________________________ 
 
R: (B) Em resumo, o objetivo é encontrar uma taxa nominal a ser recebida em 2017 que proporcione, 
considerando a inflação deste ano, um rendimento real mensal equivalente ao proporcionado pela SELIC 
no passado (2012-2016). Como primeiro passo, é calculada a taxa-alvo, eliminando o efeito da inflação. No 
segundo passo, calcula-se a taxa mensal nominal que, dada a inflação mensal prevista, atinja a meta. 
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Passo 1, taxa de juro real com capitalização mensal 
A taxa de juro real referente a um período de 5 anos, calculada a partir de taxas anuais variáveis de 
inflação e juro de 2012-2016 é dada por: 
ݎହ௔ = (1 + ݅ଶ଴ଵଶ)(1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଶ)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺) − 1 
A taxa de juro real equivalente com capitalização anual é ra = (1+r5a)1/5 – 1, i.e.: 
ݎ௔ = ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଶ)(1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଶ)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ହ − 1 
Passo 2, taxa nominal-alvo 
A taxa nominal anual-alvo, ia, tem de ser tal que o rendimento real por ela proporcionado em 2017 seja 
igual ao que se obteria caso fosse possível aplicar o capital à taxa mensal equivalente à SELIC real anual 
de 2013-2016. 
ܥ଴
1 + ݅௔
଴ܲ(1 + ߨଶ଴ଵ଻) − ܥ଴ ଴ܲൗ
ܥ଴
଴ܲ
ൗ
= ݎ௔ ↔	 
1 + ݅௔(1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 = 	 ݎ௔ 
݅௔ = (1 + ݎ௔)(1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 
Incorporando os resultados das seções anteriores: 
݅௔ = ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଶ)(1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଶ)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ହൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 
(notar que não se trata mais do que um conjunto de médias geométricas de taxas de juro e inflação) 
 
 (Q.2) Utilize os dados na coluna B da tabela abaixo para calcular os fatores de correção monetária 
referentes a cada um dos três anos relacionados. Isso deve ser feito passo a passo, (i) escrevendo, em termos 
algébricos (genéricos), as fórmulas correspondentes nas primeiras linhas das colunas “E” e “F”, (ii) 
escrevendo os resultados gerados pela aplicação das fórmulas nas linhas referentes a cada um do ano nas 
duas colunas, “E” e “F”. Atenção: as fórmulas referidas em (i) devem ser válidas para todos os anos (eis o 
que se entende por “algébrico/genérico”). Considerar 2010 como sendo o ano-base (referência 
monetária). Preencha a tabela abaixo com as respostas. 
Atenção: a recíproca do deflator é o fator que, sendo multiplicado por um fluxo monetário nominal, 
converte-o em um fluxo monetário real. Por recíproca se entende a operação em que o numerador e o 
denominador de uma fração são trocados um pelo outro (i.e., a recíproca de x é 1/x). 
3 
 
A B C D E F 
Ano 
Variação 
anual do 
IPCA (% 
a.a) [πIPCA] 
 Fórmula → 
Multiplicador = 
 
1+ πIPCA/100 
Deflator = Recíproca do deflator = 
2011 6,5 Valores 
numéricos 
→ 
 
2012 5,8 
2013 6 
 
R: a tabela abaixo apresenta as fórmulas e os resultados. 
A B C D E F 
Ano 
Variação 
anual do 
IPCA (% 
a.a) 
[πIPCA] 
 Fórmula → 
 
Multiplicador 
= 
 
1+ πIPCA/100 
 
Deflator = 
(1+ πIPCA_11/100)(1+ 
πIPCA_12/100)(1+ 
πIPCA_13/100) OU 
Recíproca do deflator = 
1/[(1+ πIPCA_11/100)(1+ 
πIPCA_12/100)...(1+ 
πIPCA_13/100)] OU 
2011 6,5 Valores 
numéricos 
→ 
1,065 1,07 0,94 
2012 5,8 1,058 1,13 0,89 
2013 6 1,06 1,19 0,84 
 
 
 (Q.3) Um investidor aplica R$10.000,00 à taxa de juro (efetiva) de 9,5% ao ano. Considerando que este 
montante fica aplicado por um prazo de cinco anos e que a capitalização é contínua, calcule o valor 
aproximado do montante final. Atenção: a taxa de juro informada corresponde à taxa contínua acumulada 
durante um ano. 
a) ⎕ R$15.742 
b) ⎕ R$16.080 
c) ⎕ R$10.997 
d) ⎕ NDA, R: __________________________________________________________________________ 
R: (B) Aplicando a fórmula do montante de uma capitalização contínua, tem-se que o valor resgatado é de 
Ct = C0etr, C0 =10.000, r = 9,5%, t = 5  Ct = 10.000e5(0,095) = 16.080,14197. A resposta correta é o item 
b. 
(Q.4) Uma duplicata de quatro meses de valor nominal igual a R$15.500,00 foi descontado sob o regime de 
juro simples a uma taxa de desconto igual a 12% ao ano. Neste caso, o valor descontado do título é: 
ෑ ቀ1 + ߨூ௉஼஺,௜100 ቁଶ଴ଵଷ
௜ୀଶ଴ଵଵ
 
1
∏ ቀ1 + ߨூ௉஼஺,௜100 ቁଶ଴ଵଷ௜ୀଶ଴ଵଵ 
4 
 
a) ⎕R$14.903,27 
b) ⎕14.880,00 
c) ⎕NDA, R: __________________________________________________________________________ 
R: (B) Sabemos que D = VF(1 - Nd/12), em que a referência temporal do título é mensal e não diária e, por 
isso, é preciso dividir por 12 meses (ou 12*30 dias = 360 dias). Com os dados do problema: D = 
VF(1 - Nd/12) = 15.500(1-4*0,12/12) = 15.500(1-0,04) = R$14.880,00.