01 Histor&Elemen&Acoes&Sist&Estat Parte2

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Classificação dos apoios
Exercício 1 - Classifique os vínculos abaixo relacionados e faça seu desenho esquemático:
(1)
(2)
(3)
- Vínculo interno
- Articulado fixo
- 2º Gênero RV
RH
- Vínculo externo (apoio)
- Articulado móvel
- 1º Gênero RV
- Vínculo externo (apoio)
- Articulado fixo
- 2º Gênero RV
RH
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Classificação dos apoios
Exercício 1 - Classifique os vínculos abaixo relacionados e faça seu desenho esquemático:
(4)
(5)
(6)
- Vínculo externo (apoio)
- Engastado/Fixo
- 3º Gênero
RV
RH
RR
- Vínculo externo (apoio)
- Articulado fixo
- 2º Gênero RV
RH
- Vínculo externo 
- Articulado móvel
- 2º Gênero
RVRR
y
z
x
xy
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Classificação dos apoios
Exercício 1 - Classifique os vínculos abaixo relacionados e faça seu desenho esquemático:
(7)
(9)
(8)
- Vínculo interno
- Engastado/Fixo
- 3º Gênero
RV
RH
RR
- Vínculo externo (apoio)
- Articulado móvel
- 1º GêneroRV
- Vínculo externo (apoio)
- Articulado fixo
- 2º GêneroRV
RH
Bibliografia:
[1] Laboratório de Mecânica Computacional - USP-SP. Disponível em: 
http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/estruturas/historia.htm
[2] Laboratório de Mecânica Computacional - USP-SP. Disponível em:
http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/estruturas/apoios.htm
� YOPANAN, C. P. R.; A Concepção Estrutural e a Arquitetura, Ed. Zigurate, São Paulo, 2000.
� Fay, L.; Apostila de Estruturas Arquitetônicas - Composição e Modelagem, UFRRJ, 2006.
� SUSSEKIND, J. C.; Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo: 1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.
� JUDICE, F. M. S., PERLINGEIRO, M. S. P. L.; Apostila de Resistência dos Materiais IX, UFF, 2005.
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Introdução
� Partindo-se da ideia de que uma estrutura é uma composição de
peças (elementos estruturais), ligadas entre si e ao meio externo, de
tal forma que se constitui um sistema em equilíbrio,
deve:
(1) Receber as ações externas (cargas) solicitantes;
(2) Resistir internamente as essas solicitações;
(3) Transmiti-las aos seus apoios ou vínculos;
(4) Receber as reações externas desses apoios ou vínculos, e
permanecer em equilíbrio estático.
Dinâmica dos esforços nas estruturas
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Assim, sendo, metaforicamente, a:
(i) O sistema estrutural está em equilíbrio, pois não há deslocamento vertical.
(ii) O equilíbrio está sendo assegurado:
a) pelas forças de reação que o piso exerce sobre a cadeira, com mesma
intensidade, direção, porém, em sentidos contrários. Assim essas forças de
reações variam de acordo com as forças externas (e.g. homem sentado ou
não na cadeira);
b) pela resistência da cadeira, que sofre esforços internos solicitados pelos
agentes externos (homem e piso). Os valores máximos que esses esforços
podem atingir, para que a cadeira consiga permanecer transmitindo
adequadamente os esforços, sem colapso, são denominados esforços
internos resistentes (dependem de propriedades mecânicas e geométricas
da cadeira).
Podemos inferir que:
Pessoa => Carregamento externo atuante;
Cadeira => Estrutura ou edificação;
Piso => Aparelho de apoio.
Exemplo ilustrativo
Dinâmica dos esforços nas estruturas
62
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Logo, na estrutura de uma edificação usual, ocorre o seguinte fluxo de
esforços pelos elementos estruturais:
Lajes Vigas Pilares Fundações
Carreg
Solo
ESTRUTURA
Laje
Viga
Pilar
Fund.
Dinâmica dos esforços nas estruturas
63
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Estrutura em Equilíbrio Estático
Observações
� Os elementos 
estruturais devem 
apresentar as 
propriedades de 
resistência e rigidez, 
mínimas necessárias à 
adequada 
transmissão dos 
esforços, sem que 
hajam rupturas ou 
grandes deformações.
(1)
Ações externas
(2)
Resistir
(3)
Transmitir
(4)
Reações externas
(5)
Resistir
Dinâmica dos esforços nas estruturas
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Ações atuantes nas estruturas
Introdução
� É possível classificar as ações que atuam em uma estrutura
em Forças/Esforços Externos e Esforços Internos.
Ações Externas
� Os esforços externos são aqueles que são aplicados por
agentes externos a estrutura. Os esforços externos podem ser
divididos em esforços de ação e esforços de reação.
Ações Internas
� Os esforços internos são aqueles que aparecem nos pontos
internos dos sólidos da estrutura, oriundos da existência dos
externos.
69
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Ações atuantes nas estrutura
Ações 
Externas
Ativas
Permanentes
Atuam por toda a vida útil da estrutura.
Forças: (distribuídas, em geral). Ex.: Peso 
próprio; Elementos não estruturais fixos 
(instalações permanentes, ect).
Acidentais
Atuam esporadicamente, como 
pessoas, veículos, móveis e 
equipamentos de uso corrente 
na edificação.
Estáticas
Aplicadas de forma gradual 
lenta, não desenvolvendo 
forças de inércia relevantes.
> Forças (concentradas/distribuídas);
> Variação de temperatura (contr./expa.);
> Desc. prescrito (recalque de apoio);
> Deformações impostas;
Dinâmicas & Móveis
Desenvolvem forças de inércia 
(manter-se em movimento) 
relevantes.
> Veículos (força vertical)
> Aceleração e frenagem de veículos 
(força horiz./longitudinal);
> Vento (representada: estática equiv.);
Excepcionais (dinâmicas)
Duração curta, grande intensidade, e muito baixa 
probabilidade de ocorrência.
Ex.: Choques, impactos, explosões.
Reativas
Se desenvolvem nos apoios, impedindo movimentos 
indesejados na estrutura, e, equilibram às ações ativas.
Reações de Apoio.
Esforços 
Internos 
Solicitantes
Geram tensões q 
devem ≤ material 
resiste!
Forças normais.
> Tração.
> Compressão.
Forças cortantes.
Momentos Fletores.
Momentos de Torção.
Resistentes
Dependem do 
material!
Tensões Normais.
> Tração.
> Compressão.
> Forças normais; 
> Momento fletor.
Tensões Tangenciais. > Cisalhamento.
> Forças cortantes; 
> Momento torçor.
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Tipos de carregamentos externos
A
B
� Carregamentos externos, não são elementos estruturais, fisicamente falando, mas
estão intimamente ligados a esses, se constituindo parte componente de qualquer
análise dos elementos, influindo inclusive em suas caracterizações e classificações.
Carga concentrada
� Carga concentrada: É dada por uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas
em áreas muito reduzidas quando comparadas às dimensões da estrutura. São
representadas por cargas aplicadas pontualmente. Podem ser verticais, horizontais
ou inclinadas!
� Exemplo: Reação de uma viga apoiada em outra.
Representação esquemática:
P
A B
Carga concentrada
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Tipos de carregamentos externos
Cargas-momento
� Carga-momento: são cargas do tipo momento de flexão (ou torção)
aplicadas em um ponto qualquer da estrutura.
� Ex.: Torque de uma engrenagem sobre um eixo reto;
binário decorrente de uma simplificação estrutural.
Representação esquemática:
Carga-momento (torção)
TA B
F
F
d
A B
M=Fxd
A B
Carga-momento (flexão)
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Tipos de carregamentos externos
Carga distribuída
� Carga distribuída: Tipo mais usual de carregamento na prática. São cargas
distribuídas continuamente, geralmente, essa distribuiçãode se dá de
maneira uniforme.
Representação
esquemática:
alvenaria
laje
viga
alvenaria
Exemplos:
Peso próprio, peso de alvenaria 
apoiada em uma viga, reação de 
laje, etc.
q
R = q x L
Carga retangular 
uniformemente distribuída
C.G.
L
L/2
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L
Representação esquemática:
Carga triangular linearmente distribuída
p
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Tipos de carregamentos externos
Carga distribuída - Triangular
� Carga distribuída: Tipo mais usual de carregamento na prática. São cargas
distribuídas continuamente, geralmente, essa distribuição de se dá de
maneira uniforme.
Exemplos:
(i) Pressão hidrostática atuante nas 
paredes de uma piscina;
(ii) Empuxo do solo de um talude 
sobre uma estrutura de 
contenção.
�
3
�
3
R = 
���
�
C.G.
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Representação esquemática:
77
Tipos de carregamentos externos
Carga distribuída - Trapezoidal
� Carga distribuída: Tipo mais usual de carregamento na prática. São cargas
distribuídas continuamente, geralmente, essa distribuição de se dá de
maneira uniforme.
Exemplos:
(i) Granéis sólidos dispostas em 
galpões de armazenagem. 
Carga trapezoidal linearmente distribuída 
(Trapézio retângulo)
L
L/2
R = q x L
C.G.
L/3
R = 
���
�C.G.
Para uma resultante 
única, seria 
necessário calcular o 
C.G. em ambos os 
eixos do plano.
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Representação esquemática:
Carga distribuída qualquer
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Tipos de carregamentos externos
Carga distribuída - Qualquer
� Carga distribuída: Tipo mais usual de carregamento na prática. São cargas
distribuídas continuamente, geralmente, essa distribuição de se dá de
maneira uniforme.
Exemplos:
(i) Granéis sólidos dispostas em 
galpões de armazenagem. 
q (x) 
L
R =� 	 
 �
�
�
C.G. da área de q (x)
dx xC.G.
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Ações atuantes nas estruturas
Exercício 1:
(i) Para o pórtico abaixo representado, faça a representação esquemática para a
viga, considerando o tipo de suporte conferido pelos pilares.
(ii) Qual deverá ser a carga máxima, em kN, que os pilares conjuntamente irão
receber, em virtude do carregamento distribuído indicado?
(iii) Qual deverá ser a carga máxima absorvida por cada pilar?
10 kN/m
2m 4m 2m
2m
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Ações atuantes nas estruturas
(i) Para o pórtico abaixo representado, faça a representação esquemática para a
viga, considerando o tipo de suporte conferido pelos pilares.
Apoios
Barras
Carreg
10 kN/m
2m 4m 2m
2m
10 kN/m
2m 4m 2m
2m
Cotas
80
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10 kN/m
RG = +10 +40 +10 = 60 kN
Ações atuantes nas estruturas
(ii) Qual deverá ser a carga máxima, em kN, que os pilares conjuntamente irão
receber, em virtude do carregamento distribuído indicado?
Apoios
Barras
Carreg
2m 4m 2m
2m
Cotas
R: Os pilares deverão resistir à totalidade do carregamento externo atuante sobre as
vigas. Essa totalidade corresponderá:
a) a resultante do carregamento trapezoidal como um todo; ou,
b) do somatório das resultantes das áreas constituintes.
Escolheremos a opção (b), haja vista tratar-se de geometrias simples e conhecidas,
cujas posições dos C.G. também são conhecidas.
A carga máxima a ser resistida pelos pilares é de 60 kN.
Áreas
Resultantes
Resultante 
global hipotética
RR = 10 x 4 = 40 kNRT
1,33m
RT = 
���
�
� 10	��
1,33m
81
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10 kN/m
RG = +10 +40 +10 = 60 kN
Ações atuantes nas estruturas
(iii) Qual deverá ser a carga máxima absorvida por cada pilar?
Apoios
Barras
Carreg
2m 4m 2m
2m
Cotas
R: Tendo em vista tratar-se de um carregamento plenamente simétrico, cujos apoios
estão proporcionalmente equidistantes das resultantes individuais, ou ainda, de uma
resultante global hipotética, podemos afirmar que o carregamento será distribuído em
iguais proporções para cada apoio, assim cada pilar absorverá metade do valor da
carga máxima, ou seja, 30 kN/pilar.
Áreas
Resultantes
Resultante 
global hipotética
RR = 10 x 4 = 40 kNRT
1,33m
RT = 
���
�
� 10	��
1,33m
30 kN
30 kN
Carga/Pilar
82
Bibliografia:
� Fay, L.; Apostila de Estruturas Arquitetônicas - Composição e Modelagem, UFRRJ, 2006.
� SUSSEKIND, J. C.; Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo: 1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.
� JUDICE, F. M. S., PERLINGEIRO, M. S. P. L.; Apostila de Resistência dos Materiais IX, UFF, 2005.
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�Quanto aos esforços seccionais:
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
viga
pórtico
plano
espacial
treliças
plana
espacial
grelha
mista (*) (*) com arcos, escoras, cabos, estais, tirantes...
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� Quanto aos esforços seccionais:
Vigas
Vigas Isostáticas
� As vigas têm barras dispostas sequencialmente em linha reta, na horizontal, sob
carregamento que a solicita na vertical, em que os esforços internos de flexão
são predominantes;
� Esforços atuantes: Momento Fletor; Cortante; e, eventualmente, o Normal
(Compressão/Tração).
Viga biapoiada
Viga em balanço
(engastada e livre)
Viga biapoiada com 1 balanço Viga biapoiada com 2 balanços
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Vigas Isostáticas (Viga Gerber)
[1] Silveira, 2008.
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Vigas Hiperestáticas
Viga Biengastada
Viga contínua de 2 vãos Viga contínua de 2 vãos e 2 balanços
Viga contínua de 3 vãos
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
Pórticos ou Quadros
� Os pórticos ou quadros são estruturas reticuladas constituídas por
elementos de barras, sendo os que nós entre os elementos são ligações
rígidas, podem ser espaciais ou planos;
Pórticos Planos
� Os pórticos planos são estruturas que têm seus elementos de barras 
existentes em um único plano. As forças que atuam em pórticos planos e 
os deslocamentos estão no mesmo plano da estrutura;
• Esforços atuantes: Mom. Fletor; Cortante; Normal (Compr./Tração);
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� Pórticos Planos - Barras retilíneas
(1) Biapoiados;
(2) Em balanço engastados e, livres ou não (apoiados);
(3) Triarticulado (“Tri”:1 rótula + 2 apoios rotação livre);
(4) Biapoiado, com articulação e tirante (ou escora);
(5) De múltiplos vãos;
(6) De múltiplos andares;
100
VA VB
HB
3 Reações
3 Eq. Equil.
VA
HA
3 Reações
3 Eq. Equil.
MA
MA
VA
HA
VB
4 Reações
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
4 Reações
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
VB
HB
VA
HA
Legenda:
Incógnita
Equação
3 Reações
1 Barra CD
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
VA VB
HB
NCD(1)
(2.1)
(2.2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Pórticos Planos - Barras curvas
Biapoiado Triarticulado
Biengastado com 
articulação
Atirantado
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Pórticos Planos - Compostos
(Sussekind,1981)
Pórtico Composto IsostáticoPórtico Composto Isostático
(Sussekind,1981)
Pórtico Composto Isostático(Sussekind,1981)
Pórtico Composto Isostático
(Sussekind,1981)
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Pórticos Espaciais
� Em pórticos espaciais, as barras podem ter posições arbitrárias e serem 
submetidas à quaisquer um dos esforços seccionais;
Pórtico Espacial
(engastado e livre)
(Sussekind,1981)
Pórtico EspacialPórtico Espacial
Pórtico Espacial
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Treliças
� Treliças são estruturas formadas por elementos de barra retilíneo ligados
entre si por nós com articulação perfeita, ou seja, sem qualquer
consideração de atrito ou outras forças que impeçam a livre rotação das
barras em relação aos nós.
� As treliças estão ligadas sob forma geométrica triangular, as forças
externas são aplicadas exclusivamente nas rótulas, de forma que só
gerem esforços normais nas barras, tendo como concepção estrutural
resistir a esses esforços;
� As treliças planas: elementos de barras, forças externas, esforços e
deslocamentos, estão no mesmo plano da estrutura;
• Esforços atuantes: Normal (Compr./Tração);
� As treliças espaciais: as rótulas são esféricas, permitindo rotações em 
torno dos três eixos perpendiculares.
• Esforços atuantes: Normal (Compr./Tração);
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Treliças
Treliças Planas
Ponte
Treliças Espaciais
Torre
(Sussekind,1981)
Guindaste
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Grelhas
� As grelhas são estruturas reticuladas planas, constituídas
por elementos de barras existentes em um único plano
(usualmente horizontal), submetidas à carregamento
perpendicular a esse plano. Ex.: Lages nervuradas.
� Em grelhas, as forças externas atuantes e os 
deslocamentos (translações) estão no plano normal ao 
plano da estrutura;
• Esforços: Mom. Fletor; Mom. Torçor; Cortante;
y
z
x
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
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Resumo - Esforços
Estrutura Esforços Seccionais
Viga N, Q e M
Pórtico Plano N, Q e M
Pórtico Espacial N, Q, M e T
Treliça Plana N
Treliça Espacial N
Grelha Q, M, T
Caraterização - Principais Sistemas Estruturais
Legenda:
N: esforço normal (tração ou compressão)
Q: esforço cortante [V]
M: momento Fletor [Mf]
T: momento Torçor [Mt]
Bibliografia:
[1] SILVEIRA, Ricardo A. M.; Notas de aula - Teoria das Estruturas I, UFOP, 2008.
[2] SUSSEKIND, J. C.; Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo: 1981.
[3] SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.
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Estaticidade das estruturas
� As estruturas podem ser classificadas em função da relação entre:
� o número de reações de apoio ou vínculos que possuem; e,
� do número de equações de equilíbrio estático disponíveis para a análise
estrutura.
� O nº de reações ou incógnitas à determinar , passa pelo conhecimento dos
tipos de ligações entre os elementos de barras, que podem ser:
� Rígidas: Transmitem integralmente os esforços entre os elementos
vinculados;
� Semi-rígida: Permitem deslocamentos relativos entre os elementos
vinculados, mas a transmissão dos esforços é parcial. Representam a
realidade da maior parte das ligações, contudo devido demandarem
cálculos mais complexos, no geral, são simplificadas em ligações rígidas
ou articuladas (flexíveis);
� Articuladas: Permitem deslocamentos relativos entre os elementos, não
transmitindo assim, os esforços associados a esses deslocamentos.
Ex.: Rótulas => Liberam a rotação entre os elementos a ela conectados
=> Mf nulo => +1 Equação para determinação de incógnitas.
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Estaticidade das estruturas
� Assim, as estruturas em barras podem ser classificadas em:
� Instáveis
� Hipostáticas
• Uma estrutura é dita hipostática quando os seus vínculos de ligação,
internos (ex.: rótulas, barras das treliças) e/ou externos (ex.: apoios), são
em nº insuficientes para manter o equilíbrio estático da estrutura
(impedir todos os movimentos). Desta forma, as estruturas hipostáticas
são instáveis quando submetidas à ações externas, podendo se deslocar
de maneira global ou local.
• Em outras palavras: o número de reações de apoio a determinar é
MENOR que o número de equações disponíveis para determiná-las.
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Estaticidade das estruturas
� Instáveis (cont.)
� Hipostáticas (cont.)
� Equilíbrio Instável (Caso especial): O próprio carregamento externo
restringe os graus de liberdade que os apoios não forem capazes de
impedir. Contudo, qualquer carga/deformação adicional imposta levará à
estrutura ao colapso.
Nº de reações de apoio (incógnitas): 2 (VA e VB)
Nº de equações de equilíbrio: 3 (∑V, ∑H e ∑M)
Nº Incógnitas < Nº Equações => Hipostática
Exemplo
� Ex.: Gangorra!
� Observação: Assim estruturas
hipostáticas são inadmissíveis nas
construções.
Apoio
Carga
Barra
P
L
A B
VA VB
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Estaticidade das estruturas
� Estáveis
� Isostáticas
• Uma estrutura é dita isostática quando os seus vínculos de ligação,
internos (ex.: rótulas, barras treliças) e/ou externos (ex.: apoios), são em
nº suficientes para manter o equilíbrio estático da estrutura (impedir
todos os movimentos). Desta forma, as estruturas isostáticas são
estáveis quando submetidas à ações externas, não permitindo
deslocamentos.
• Em outras palavras: o número de reações de apoio a determinar é IGUAL
que o número de equações disponíveis para determiná-las.
Nº reações de apoio (incógnitas): 3 (VA, VB, HA)
Nº equações de equilíbrio: 3 (∑V, ∑H e ∑M)
Nº Incógnitas = Nº Equações => Isostática
O sistema é determinado.
Exemplo
P
L
A B
VA VB
HA
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Estaticidade das estruturas
� Estáveis (cont.)
� Hiperestáticas
• Uma estrutura é dita hiperestática quando os seus vínculos de ligação,
internos (ex.: rótulas) e/ou externos (ex.: apoios), são em nº suficientes
para manter o equilíbrio estático da estrutura (impedir todos os
movimentos). Desta forma, as estruturas hiperestáticas são estáveis
quando submetidas à ações externas, não permitindo deslocamentos.
• Em outras palavras: o número de reações de apoio a determinar é
MAIOR que o número de equações disponíveis para determiná-las.
• O sistema é indeterminado e são necessárias outras condições relativas
ao comportamento da estrutura para determinar as reações.
Nº reações (incógnitas): 4 (VA, VB, HA, MA)
Nº equações de equilíbrio: 3 (∑V, ∑H e ∑M)
Nº Incógnitas > Nº Equações => Hiperestática
O sistema é indeterminado.
ExemploP
L
A B
VA VB
HA
MA
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Estaticidade das estruturas
� Classifique as estruturas abaixo quanto à sua estaticidade:
� Contar o nº de apoios, e verificar se é igual, menor ou maior, que nº de
graus de liberdade (equações equilíbrio), é condição necessária, mas não
suficiente, para conclusões!
� A análise da estaticidade, nem sempre é direta, cabendo certificarmos
também que os apoios restrigem, de fato, todos os deslocamentos
(translação e rotação) da estrutura em barras, em análise.
3 Equações
3 Incógnitas
Isostática ???
3 Equações
5 Incógnitas
Hiperestática ???
Hipostática!!!
Hipostática!!!
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
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Estaticidade das estruturas
Exercício 1: Classifique as estruturas abaixo quanto à sua estaticidade:
P
a) b)
c) d)
Isostática
3 Equações
3 Incógnitas
Hiperestática
3 Equações
4 Incógnitas
Hipostática
4 Equações
3 Incógnitas
Isostática
6 Equações
6 Incógnitas
q
Isostática ???
y
z
x
(Sussekind,1981)
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Estaticidade das estruturas
Exercício 2: Classifique as estruturas abaixo em estável ou instável. As estruturas são
submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.
a)
b)
c)
d)
e)
Instável
Estável
Estável
Instável
Instável
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.
� EBELING, E. B.; Notas de Aula - Análise Estrutural, IESPLAN 2013.