08 Grelhas Parte2

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
y
x
z
35
Grelhas isostáticas
Exercícios 2: Determine os esforços atuantes na grelha triapoiada abaixo, cujas barras,
em todos os nós, são ortogonais.
Reações de Apoio
∑Fy = 0 = -40 +20 +VC +60 -10 -30 .: VC = 0
∑MZ
CE (∑MZ) = 0 = +40x2 -VBx2 +10x2 -30x2 .:
VB = 40/2 = +20 kN
∑MX
BC (∑MX) = 0 = -40x2 -10x4 -30x4 +VEx4.:
VE = 240/4 = +60 kN
Sinais de Mz e Mx, conforme explicado 
acima (“regra da mão direita”)!
VCVB
VE
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VC20
60
D E F
C
A
B
y
x
z
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Decomposição e Cálculo dos Esforços
Sinais de Mz e Mx: 
(“regra da mão direita”)!
Exercício 2:
20
20
ED
EED
10
10
60
30
40
(+)
1) Calculo as resultantes das barras que 
“chegam” no nó E, e as transfiro invertidas. 
2) Então, considero as cargas que ali já estão 
e.g. (VE = 60 kN), para se ter os valores finais.
(+)
20
40
80
40
20
80
20
80
30
EEF
E F
CCE
EEC
E
C
40
80
Ordem de calculo 
das barras!
CCB
CB
BBC
Grelhas isostáticas
(1)
Barra EC - SE
EC
40↓ + 60↑ = 20↑
(1)
Barra BC - SB
BC
∑Mz = 0 = -40 +20x2 -MB .: MB = 0
(2)
(2)
Barra AB - SA
A carga de 40↓está depois de SA, não entra no calculo vindo pela
esq/subindo/“antes”. No “depois” acabou a barra.
Entraria sozinha vindo pela extremidade (dir/descendo).
∑Mx = 0 = +80 -40x2 -MA .: MA = 0
(3)
(3)
Memórias de cálculo 
pontuais, onde se 
julgar necessário!
B
A
BBA
40
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-
-20
-
-10
37
Grelhas isostáticas Exercício 2:
VC20
60
D E F
C
A
B
y
x
z
ED
EED
(+)
EEF
E F
CCE
EEC
E
C
40
8080
40
20
60
80
40
80
CCB
CB
BBC
B
A
BBA
20
10
10 30
20
20
20
30
40
40
DQ (kN)
V
Mf
T
+
+30 +30
-
-20
-20
++40
+40
D E F
C
A
B
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Grelhas isostáticas Exercício 2:
VC20
60
D E F
C
A
B
y
x
z
ED
EED
(+)
EEF
E F
CCE
EEC
E
C
40
8080
40
20
60
80
40
80
CCB
CB
BBC
B
A
BBA
20
10
10 30
20
20
20
30
40
40
V
Mf
T
DMf 
(kNm)
D F
C
A
B
-20
-0 -
-60
0
+80
+
0
-40
-
-80
-
E
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+
+80+80
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Grelhas isostáticas Exercício 2:
VC20
60
D E F
C
A
B
y
x
z
ED
EED
(+)
EEF
E F
CCE
EEC
E
C
40
8080
40
20
60
80
40
80
CCB
CB
BBC
B
A
BBA
20
10
10 30
20
20
20
30
40
40
V
Mf
T
DT (kNm)
D E F
C
A
B
+
+40
+40
0
0
000 0
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∑MX
AC (∑MX) = 0 = -60x3 -40x3 +VFx3 +VGx6 .:
VG = (+300 -3VF)/6 .: VG = (+50 -0,5VF)
VG = (+50 -0,5x33,3) .: VG = +33,3 kN
∑MZ
BG (∑MZ) = 0 = -VAx2 -20x2 +40x2 +VFx2
VA = -(-40 -2VF)/2 .: VA = (+20 +VF)
VA = (+20 +33,3) .: VA = +53,3 kN
∑FY = 0 = +VA -20 -40 -60 +VF +VG .:
+(+20 +VF) -120+VF +(+50 -0,5VF) = 0
+1,5VF = +50 .: VF = +33,3 kN
y
x
z
44
Grelhas isostáticas
Exercícios 3: Determine os esforços atuantes na grelha triapoiada abaixo, cujas barras,
em todos os nós, são ortogonais.
Reações de Apoio
40 kN
20 kN
10 kN/m
2 m 2 m
3 m
3 m
A
B C
D E
F
G
VA
VF
VG
VF é comum a todas equações!
Vamos impor todas equações em função de VF!
E, resolver a última primeiro.
R
R = 60 kN
(1º)
(2º)
(3º)
(4º)
(5º)
(6º)
(7º)
(8º)
(9º)
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y
x
z
45
Grelhas isostáticas Exercícios 3:
40 kN
20 kN
10 kN/m
2 m 2 m
3 m
3 m
A
B C
D E
F
G
53,3
33,3
33,3
R
R = 60 kN
A
53,3
BBA
53,3 20 kN
BBC
20
40
146,6
106,6
33,3
BBE
EEB
3,3
54,9
146,6
D
EED
40 kN
40 80
F
33,3
EEF
33,3
66,6
R = 30 kN
1,5m
1,5m
G
33,3
EEG
3,3
54,9
Barra BC - EG
EG (Esq.)
∑Mx = 0 = +54,9 -ME
EG .: ME = 54,9 kN
∑Mz = 0 = -80 +146,6 - 66,6 = 0
Barra BC - EG
EG (Dir.)
∑Mx = 0 = +33,3x3 -30x1,5 -ME
EG .:
ME = 54,9 kN ←
∑Mz = 0 = -T .: T=0
(1)
E
B
R = 30 kN
1,5m
1,5m
y
x
z
Ordem de calculo 
das barras!
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
-40 -
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Grelhas isostáticas Exercícios 3:
A
B C
D F
G
R
A
53,3
BBA
20 kN
BBC
BBE
EEB
146,6
146,6
D
EED
40 kN
F
33,3
EEF
R = 30 kN
1,5m
1,5m
G
33,3
EEG
53,3
20
33,3
3,3
40
33,33,3
40
106,6
54,9
80
66,6
54,9
E
B
R = 30 kN
1,5m
1,5m
y
x
z
DQ (kN) V
Mf
T
+
+20+
+53,3
E
+33,3
+3,3
+
-3,3
-33,3-
-33,3
-
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
DMf 
(kNm)
47
Grelhas isostáticas Exercícios 3:
A
B C
D F
G
R
A
53,3
BBA
20 kN
BBC
BBE
EEB
146,6
146,6
D
EED
40 kN
F
33,3
EEF
R = 30 kN
1,5m
1,5m
G
33,3
EEG
53,3
20
33,3
3,3
40
33,33,3
40
106,6
54,9
80
66,6
54,9
E
B
R = 30 kN
1,5m
1,5m
y
x
z
V
Mf
T
E
+106,6
+
-80
-
-33,3
+
+54,9
+54,9
+
-40
-
+66,6
+
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
DT (kNm)
48
Grelhas isostáticas Exercícios 3:
A
B C
G
R
A
53,3
BBA
20 kN
BBC
BBE
EEB
146,6
146,6
D
EED
40 kN
F
33,3
EEF
R = 30 kN
1,5m
1,5m
G
33,3
EEG
53,3
20
33,3
3,3
40
33,33,3
40
106,6
54,9
80
66,6
54,9
E
B
R = 30 kN
1,5m
1,5m
y
x
z
V
Mf
T
-146,6
-
-146,6
D FE
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo: 1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.
� Comunidades.net: Estruturas Metálicas. Disponível em: 
“http://grupo2metalica.no.comunidades.net/index.php?pagina=1601237184_
01”. Acesso em 08/12/2013, 23:32.
� Catálogo Digital de Detalhamento da Construção: Lajes Nervuradas. 
Disponível em: “http://cddcarqfeevale.wordpress.com/2012/07/11/lajes-
nervuradas/”. Acesso em 08/12/2013, 23:55.