resumo integracao multipla

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Integração Múltipla 
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 
1 
1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO 
Exemplo 1 Calcule 







 
4
1
2
1
dydxy2x6x2
 
 
 
Exemplo 2 Calcule 
  


 
2 
1 
4 
1 
dxdyy2x6x2 
 
 
 
 
O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 
2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, 
então as duas integrais iteradas são sempre 
iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante. 
 
Entretanto, uma boa escolha da ordem pode 
simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode 
não ser possível calcular a integral dupla para 
uma escolha e ser possível para outra. Veremos 
isso mais tarde com exemplos. 
 
Exemplo 3 Calcule as integrais abaixo: 
 
a) 
 
3 
0 
2 
1 
ydydx2x 
 
b) 
 
2 
1 
x2 
0 
dydx3xy 
 
c)    
3 
1 
2y 
6
 
dxdyxcosy2 
 
 
 
4.1 Teorema: 
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades 
bxa 
 , 
dyc 
. Se f(x,y) for contínua 
neste retângulo, então: 
 
d
c
dxdy
b
a
)y,x(f
b
a
dydx
d
c
)y,x(f
R
dA)y,x(f
 
 
 
 
Exemplo 4 Calcule integral dupla 
  
R
dAy32x2
 , sendo R a região que 
consiste de todos os pontos ( x,y) tais que 
2x1 
 e 
3y1 
. 
 
Exemplo 5 
Calcule a integral 

R
xdA2y
, no retângulo 
  1y0,2x3:y,xR 
. 
 
Obs: Freqüentemente o retângulo 
  dyc,bxa:y,xR 
 é expresso como 
   d,cxb,a
 por simplificação. 
 
 
Exemplo 6 
Determine o volume do sólido limitado acima 
pelo plano 
yx4z 
 e abaixo pelo retângulo 
   2,0x2,0R 
. 
 
Exemplo 7 
Calcule 

R
dA)xy(ysen
, onde 
    ,0x2,1R
 
4.2 Integrais duplas sobre regiões 
genéricas 
 
4.2.1 Definição 1 
a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à 
direita por retas verticais x=a e x = b e é 
limitada abaixo e acima por curvas contínuas 
y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x)  g2(x) para 
a  x b . 
 
b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e 
acima por retas horizontais y =c e y = d e é 
limitada à esquerda e à direita por curvas 
contínuas x=h1(y) e x = h2(t) , onde 
h1(y)  h2(x) para c  x d 
 
Veja Fig 1 e Fig. 2. 
 
 
 
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2 
 
Figura 1 Tipo I 
 
 
 
 
Figura 2 Tipo II 
 
 
4.2.2 Teorema 
a) Se R é uma região do tipo I então: 
  
R
b 
a 
)x(
2
g 
)x(
1
g 
dydx)y,x(f dA)y,x(f
 
b) Se R é uma região do Tipo II, então: 
  
R
d 
c 
)y(
2
h 
)y(
1
h 
dxdy)y,x(f dA)y,x(f
 
Exemplo 8 
Calcular o volume do sólido delimitado 
superiormente pelo gráfico de 
yx4z 
, 
inferiormente pela região delimitada por x=0 , 
x= 2 , y =0 e 
2
1
x
4
1
y 
 e lateralmente pelo 
cilindro vertical cuja base é o contorno de R. 
 
Resolução: 
Representamos na Fig. 3 a região R (base deste 
sólido): 
 
 
 
Figura 3 Região R 
 
 
Assim, 
2x0 
 e 
2
1
x
4
1
y0 
, logo a 
região é do Tipo I e podemos integrar deste 
modo: 
 
  


2 
0 
2
1
x
4
1
 
0
dydxyx4V 
 
Resultado: 
v.u
4
15
V 
 
Exemplo 9 
 
Calcule a integral 
dA
R
)yx(I  
, onde R é a 
região limitada por 
2x
1
y 
 
x2
2
y 
 
Solução 
A região R está representada na Fig. 4. 
 
 
Figura 4 
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3 
 
Podemos ver que a região R pode ser enquadrada 
nos dois tipos: 
 
x2y2x
2x0
:R





 ou 
 
4y0
xx
2
y
:R





 
Logo, podemos resolver a integral I pelos dois 
tipos: 
   
2 
0 
x2 
2x 
dydxyx dA
R
)yx(
 
ou 
   
4 
0 
x 
2
y
 
dxdyyx dA
R
)yx(
 
Resposta: 
15
52
I 
 
Exemplo 10 
Calcular 
dA
R
)xy(ysenI 
 onde R é o 
retângulo de vértices 












2
π
,1,
2
π
,0
, 
 π,1
, 
 π,0
 . 
Solução 
Região R representada graficamente na Fig. 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 
Podemos ter 









y
2
1x0
1R
 
Daí 
 



 
2
 
1 
0 
dxdy)xy(ysen I
 
Integramos primeiramente em relação à x, e 
obtemos: 
 

 






 
2
 
dy 
1
0
xycos
y
1
.y I
 
 

 


 
 
2
 
dy 
1
0
xycos I
 
 



 
2
 
dy 1cosy- I
 
Agora, integrando em relação à y, obtemos: 
yseny
2
I 



 
 
2
1I
2
1I
22
sensenI









 



 
Também poderíamos escolher a mesma região 
porém integrar de forma invertida: 
dx 
1 
0 
 
2
 
dy )xy(ysen I  



. Porém esta 
escolha necessitaria de integração por partes. 
 
Exemplo 11 Calcular a Integral 
  




 
1 
0 
4 
x4 
dx dy
2yeI
. 
 
Resolução: 
Verificamos que não seria possível resolver a 
primeira integral 
 




 
4 
x4 
dy
2ye
 pois a 
0 

 
2

 
 1 
y 
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4 
função 2ye)y(f  não possui primitiva 
elementar. Assim, é necessário mudar os limites 
de integração. 
A região está representada graficamente na Fig. 
6, onde vemos que a região R1 é dada por: 






4yx4
1x0
1R
 
 
Assim, temos: 
  




 
4 
0 
4
y
 
0 
dy dx
2ye I
 
A qual é possível resolver. 
Assim temos: 
  




 
4 
0 
4
y
 
0 
dy dx
2ye I
 
 




 
4 
0 
dy 
4
y
 
0 
2ye.x I 









 







 
4 
0 
dy
2ye.y
4
1
I
4 
0 
dy
2ye.y
4
1
 I
 
Esta integral podemos resolver por substituição 
de variáveis. Assim temos: 
4
0
2ye
8
1
I 
 



 

16e1
8
1
I
0e
8
116e
8
1
I
 
 
Figura 6 
Exemplo 12 
Calcule 
  
R
dA2yx2
, na região triangular 
R compreendida entre as retas 
1xy 
 , 
3
2
y e 1x
1
y 
. 
Resolução: 
Consideramos R como uma região do Tipo II. A 
região R e a reta horizontal correspondente ao 
ponto fixo y são mostradas na Fig. 7. 
Para integrar numa região do tipo II, os limites 
esquerdo e direito devem ser expressos sob a 
forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos 
reescrever as equações dos limites y = x+1 e 
y = x+1 como x = 1 y e x = y  1 
respectivamente. 
 
Figura 7 
 
A reta intercepta a região R na fronteira à 
esquerda x = 1 y e na fronteira à direita 
x = y  1. Esses são os limites de integração de 
x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e 
depois para cima ela gera os limites de y, sendo 
y= 1 e y = 3. Assim, 
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5 
 







 




 
3 
1 
1y 
y1 
dy dx2yx2 
R
dA2yx2
 
3
68
3
1
2
4y
3
3y2
 
3 
1 
dy3y22y2 
3 
1 
dy 3yy213y22y2y-1 
3 
1 
dy 
1y
y1
x2y2x
R
dA2yx2














 








 



 




 



 



 
Neste exemplo poderíamos ter tratado R como 
uma região do Tipo I, entretanto neste caso a 
fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e 
a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta 
y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita 
da origem. Para fazer esta integração devemos 
separar a região R em duas partes conforme 
mostra a Fig. 8. 
Assim, a solução da integral deveria ser: 
  






 
 




 




 



 



 
2
0
3
1x
dx dy2yx2
0
2
3
1x
dx dy2yx2 
2R
dA2yx2
1R
dA2yx2
R
dA2yx2
 
 
Figura 8 
 
O resultado desta integração é o mesmo 
mostrado anteriormente. 
Inversão da ordem de integração 
Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser 
simplificado invertendo-se a ordem de 
integração. Este próximo exemplo ilustra esta 
situação. 
Exemplo 13 
Calcule 
 
 
2 
0 
dy dx
1 
2
y
 
 
2xe 
 
Como não existe antiderivada elementar de 
2xe
, a integral não pode ser resolvida 
integrando-se primeiro em relação a x. Para 
solucionar este problema devemos calcular essa 
integral expressando-a com a ordem inversa de 
integração. 
Na integração interna, x está variando entre as 
retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9. 
Invertendo a ordem de integração devemos 
definir os limites. 
Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x 
de 0 à 1, y irá variar de zero à 2x. 
0 2
0 1
 
0 21
2
y
x
R ou Ry
y xx
 
 
  
   
 
 
Figura 9 
 
Assim, essa integral deve ser escrita como se 
segue: 
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6 
 
 


1 
0 
dx dy
x2 
0 
 
2xe 
2 
0 
dy dx
1 
2
y
 
 
2xe 
 
1-e 
1
0
2xe 
1 
0 
dx 
2x2xe 
1 
0 
dx 
2x
0
y
2xe 


















 
Exemplo 14 
Seja R a região do plano x-y delimitada pelos 
gráficos de 
2x1y 
 e y2 = 2x. Calcule 
dA
R
)y43x(I  
. 
Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta 
região R. 
 
Figura 10 
 
Verificamos que a região R pode ser escrita das 
duas formas, sendo: 














x2y2x
2x0
2R ou 
yx
2
y
4y0
1R
Utilizando a região R1, temos: 
 





 

4 
0 
x 
2
y
 
dxdyy43x 
dA
R
)yx(
 
e utilizando a região R2, temos: 
   
2 
0 
x2 
2x 
dydxy43x dA
R
)yx(
 
Verificamos que ambas as integrais possuem o 
mesmo resultado, isto é, 
3
32
I 
 
Exemplo 15 
Dada I = 
 
4 
0 
2 
y 
dy dx 5 x cosy 
, 
inverta a ordem de integração e calcule a integral 
resultante. 
Solução: 
Observamos que da maneira como está definida 
esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim, 
uma mudança na ordem de integração poderá nos 
facilitar o trabalho. 
Observamos pela Fig.11 que a região R está 
definida com as fronteiras esquerda e direita 
pelos gráficos de 
yx 
 e x = 2, 
respectivamente com 
4y0 
 
 
Figura 11 
 
Notamos que R também pode ser definida pelas 
fronteiras inferior e superior dadas por 
yx 
 
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7 
2 xy e 0y 
 respectivamente, com 
2x0 
. Assim, a integral pode ser calculada 
como sendo: 
I= 
 
4 
0 
2 
y 
dy dx5 x cosy 
 
I = 
 
2 
0 
2x 
0 
dx dy5 x cosy 
 
I = dx
2 
0 
2x
0
5xcos
2
2y
 





 
I = 
dx
2 
0 
5xcos
2
4x
 
 
Esta integral pode ser resolvida com uma simples 
substituição de variáveis. (u). 
Assim, temos que: 
I = 0.055 
EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
E.1 Calcule as integrais duplas abaixo: 
 
1 
0 
3 y 
2y 
dxdy )j 
2 
0 
1 
2
x
 
dydx )i
2 
0 
x 
0 
dydx )h 
2 
0 
2yy2 
y62y3 
ydxdy3 )g
 
1 
0 
1 
0 
y2 
y 
dxdy)2y22x21()f 
2 
0 
dydx )e
2 
1 
4 
0 
dxdy)12y22x()d 
1 
0 
2 
0 
dydx)yx( )c
3 
1 
2 
1 
dxdy)y32x2()b 
3 
1 
5 
2 
xydydx )a
  
  
  
  
  






 
E.2 Calcule 

R
dxdy)y,x(f
 onde: 
xyxe)y,x(f)a 
, R é o retângulo 





1y0
3x1
 
xyye)y,x(f)b 
, R é o retângulo 





1y0
3x0
 
)xycos(x)y,x(f)c 
, R é retângulo 








2
y0
2x0 
xlny)y,x(f)d 
, R é o retângulo 





2y1
3x2
 
yx
1
)y,x(f)e


, R é o retângulo 





2y1
2x1
 
E.3 Calcule 
  
D
dAy2x
, onde 
 2x1y e 2x2y:D  
E.4 Determine o volume do sólido que está 
contido abaixo do parabolóide 
2y2xz 
 e acima da região D do 
plano xy limitada pela reta y = 2x e pela 
parábola y = x
2
. 
E.5 Calcule a integral 
 
1 
0 
1 
x 
dx dy )2(ysen 
 
E.6 Calcular 
  
R
dy dx4x
 , onde R é o 
retângulo 
6y0 , 2x0 
. 
E.7 Calcular 
  
R
dy dxyx8
 , onde R é 
a região delimitada por 
4 y e 2xy 
. 
E.8 Calcular 
 
R
dy dxxysenx
 , onde 
R é a região delimitada por 
x y e 
2
 x, 0y 


. 
E.9 Calcular 

R
dy dxy sen senx
 , onde 
R é o retângulo 
2
y0 , 
2
x0




 
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8 
E.10 Calcular 

R
dx dy 
x
xlny , onde R é o 
retângulo 
1y1- , 2x1 
 
E.11 Calcular 
  
R
dy dx2y2x
 , onde R 
é a região delimitada por 
x y e 4 x, 0y 
. 
E.12 Calcular 
  
R
dy dxyx2
 , onde R é 
a região delimitada por 
2 y e 1- y , 5 x, 1-2yx 
. 
Respostas 
 E.1. 
a) 42 b) –24 c) 3 d)20/3 e)2 
f)13/6 g) 16 h)2 i)1 j)5/12 
E2. 



  43e
3
1
b) 2e3e)a
 

4
)c
 
 12ln23ln3
2
3
d) 
 
3ln62ln10)e 
 
E3. 
15
32
 E4. 
35
216
 E5. 
 1cos1
2
1

 
 
E6. 60 E7. 
15
896
 E8. 
1
2


 E9. 1 
E10. 0 E11.35
1728
 E12. 
20
1533
 
2) INTEGRAIS TRIPLAS 
 
 Teorema 
Se f é contínua em uma caixa retangular 
     s,rxd,cxb,aB
, então: 
   
B
s
r
d
c
b
a
dxdydz)z,y,x(fdV)z,y,x(f
 
 
Exemplo 16 Calcule 

G
,dV)z,y,x(f
 
nos seguintes itens, sendo: 
2z0 e 3y0 
2x1- com , 3z2xy12)z,y,x(f)a






 
Resp: 648 
3z0 e 2y 1- 
 , 1x0 com , 2xyz)z,y,x(f)b


 
Resp: 
4
27
 
     3,1x2,0x0,1:T com , 2xyz)z,y,x(f)c 
 
Resp: 
3
26
 
5z3- e 1y 0 
 , 2x1 com , z )2xy()z,y,x(f)b


 
Resp: 
3
68
 
EXERCÍCIOS 
E.13 Calcule as seguintes integrais triplas: 
  
 1 
0 
y1 
0 
yx 
0 
dzdxdy )a
 
  
1 
0 
x 
2x 
yx2 
0 
dzdydx x. )b
 
  
2 
0 
2x 
0 
y 
0 
dzdydxy )c
 
  
4 
0 
2 
y 
y 
0 
dzdxdyy )d
 
  
2 
1 
x2 
x 
yx 
0 
dzdydx z )e
 
  
2 
1 
2x 
0 
x
1
 
0 
dxdy dz z2y2 x )f
 
  
 2 
0 
2x4
2
1
 
0 
2y42x 
0 
dxdy dz )g
 
  




3 
3 
2y9 
2y9 
2y32x3 
92y42x4 
dydx dz ))h
Respostas: 
2
81
h) g) 
42
127
 f) 
8
95
)e
21
128
d) 
21
128
c) 
120
31
 b) 
6
1
)a

