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Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 1 1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO Exemplo 1 Calcule 4 1 2 1 dydxy2x6x2 Exemplo 2 Calcule 2 1 4 1 dxdyy2x6x2 O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, então as duas integrais iteradas são sempre iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante. Entretanto, uma boa escolha da ordem pode simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode não ser possível calcular a integral dupla para uma escolha e ser possível para outra. Veremos isso mais tarde com exemplos. Exemplo 3 Calcule as integrais abaixo: a) 3 0 2 1 ydydx2x b) 2 1 x2 0 dydx3xy c) 3 1 2y 6 dxdyxcosy2 4.1 Teorema: Seja R o retângulo definido pelas desigualdades bxa , dyc . Se f(x,y) for contínua neste retângulo, então: d c dxdy b a )y,x(f b a dydx d c )y,x(f R dA)y,x(f Exemplo 4 Calcule integral dupla R dAy32x2 , sendo R a região que consiste de todos os pontos ( x,y) tais que 2x1 e 3y1 . Exemplo 5 Calcule a integral R xdA2y , no retângulo 1y0,2x3:y,xR . Obs: Freqüentemente o retângulo dyc,bxa:y,xR é expresso como d,cxb,a por simplificação. Exemplo 6 Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano yx4z e abaixo pelo retângulo 2,0x2,0R . Exemplo 7 Calcule R dA)xy(ysen , onde ,0x2,1R 4.2 Integrais duplas sobre regiões genéricas 4.2.1 Definição 1 a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x=a e x = b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x) g2(x) para a x b . b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y = d e é limitada à esquerda e à direita por curvas contínuas x=h1(y) e x = h2(t) , onde h1(y) h2(x) para c x d Veja Fig 1 e Fig. 2. Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 2 Figura 1 Tipo I Figura 2 Tipo II 4.2.2 Teorema a) Se R é uma região do tipo I então: R b a )x( 2 g )x( 1 g dydx)y,x(f dA)y,x(f b) Se R é uma região do Tipo II, então: R d c )y( 2 h )y( 1 h dxdy)y,x(f dA)y,x(f Exemplo 8 Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de yx4z , inferiormente pela região delimitada por x=0 , x= 2 , y =0 e 2 1 x 4 1 y e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Resolução: Representamos na Fig. 3 a região R (base deste sólido): Figura 3 Região R Assim, 2x0 e 2 1 x 4 1 y0 , logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo: 2 0 2 1 x 4 1 0 dydxyx4V Resultado: v.u 4 15 V Exemplo 9 Calcule a integral dA R )yx(I , onde R é a região limitada por 2x 1 y x2 2 y Solução A região R está representada na Fig. 4. Figura 4 Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 3 Podemos ver que a região R pode ser enquadrada nos dois tipos: x2y2x 2x0 :R ou 4y0 xx 2 y :R Logo, podemos resolver a integral I pelos dois tipos: 2 0 x2 2x dydxyx dA R )yx( ou 4 0 x 2 y dxdyyx dA R )yx( Resposta: 15 52 I Exemplo 10 Calcular dA R )xy(ysenI onde R é o retângulo de vértices 2 π ,1, 2 π ,0 , π,1 , π,0 . Solução Região R representada graficamente na Fig. 5 Figura 5 Podemos ter y 2 1x0 1R Daí 2 1 0 dxdy)xy(ysen I Integramos primeiramente em relação à x, e obtemos: 2 dy 1 0 xycos y 1 .y I 2 dy 1 0 xycos I 2 dy 1cosy- I Agora, integrando em relação à y, obtemos: yseny 2 I 2 1I 2 1I 22 sensenI Também poderíamos escolher a mesma região porém integrar de forma invertida: dx 1 0 2 dy )xy(ysen I . Porém esta escolha necessitaria de integração por partes. Exemplo 11 Calcular a Integral 1 0 4 x4 dx dy 2yeI . Resolução: Verificamos que não seria possível resolver a primeira integral 4 x4 dy 2ye pois a 0 2 1 y Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 4 função 2ye)y(f não possui primitiva elementar. Assim, é necessário mudar os limites de integração. A região está representada graficamente na Fig. 6, onde vemos que a região R1 é dada por: 4yx4 1x0 1R Assim, temos: 4 0 4 y 0 dy dx 2ye I A qual é possível resolver. Assim temos: 4 0 4 y 0 dy dx 2ye I 4 0 dy 4 y 0 2ye.x I 4 0 dy 2ye.y 4 1 I 4 0 dy 2ye.y 4 1 I Esta integral podemos resolver por substituição de variáveis. Assim temos: 4 0 2ye 8 1 I 16e1 8 1 I 0e 8 116e 8 1 I Figura 6 Exemplo 12 Calcule R dA2yx2 , na região triangular R compreendida entre as retas 1xy , 3 2 y e 1x 1 y . Resolução: Consideramos R como uma região do Tipo II. A região R e a reta horizontal correspondente ao ponto fixo y são mostradas na Fig. 7. Para integrar numa região do tipo II, os limites esquerdo e direito devem ser expressos sob a forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos reescrever as equações dos limites y = x+1 e y = x+1 como x = 1 y e x = y 1 respectivamente. Figura 7 A reta intercepta a região R na fronteira à esquerda x = 1 y e na fronteira à direita x = y 1. Esses são os limites de integração de x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e depois para cima ela gera os limites de y, sendo y= 1 e y = 3. Assim, Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 5 3 1 1y y1 dy dx2yx2 R dA2yx2 3 68 3 1 2 4y 3 3y2 3 1 dy3y22y2 3 1 dy 3yy213y22y2y-1 3 1 dy 1y y1 x2y2x R dA2yx2 Neste exemplo poderíamos ter tratado R como uma região do Tipo I, entretanto neste caso a fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita da origem. Para fazer esta integração devemos separar a região R em duas partes conforme mostra a Fig. 8. Assim, a solução da integral deveria ser: 2 0 3 1x dx dy2yx2 0 2 3 1x dx dy2yx2 2R dA2yx2 1R dA2yx2 R dA2yx2 Figura 8 O resultado desta integração é o mesmo mostrado anteriormente. Inversão da ordem de integração Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser simplificado invertendo-se a ordem de integração. Este próximo exemplo ilustra esta situação. Exemplo 13 Calcule 2 0 dy dx 1 2 y 2xe Como não existe antiderivada elementar de 2xe , a integral não pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação a x. Para solucionar este problema devemos calcular essa integral expressando-a com a ordem inversa de integração. Na integração interna, x está variando entre as retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9. Invertendo a ordem de integração devemos definir os limites. Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x de 0 à 1, y irá variar de zero à 2x. 0 2 0 1 0 21 2 y x R ou Ry y xx Figura 9 Assim, essa integral deve ser escrita como se segue: Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 6 1 0 dx dy x2 0 2xe 2 0 dy dx 1 2 y 2xe 1-e 1 0 2xe 1 0 dx 2x2xe 1 0 dx 2x 0 y 2xe Exemplo 14 Seja R a região do plano x-y delimitada pelos gráficos de 2x1y e y2 = 2x. Calcule dA R )y43x(I . Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta região R. Figura 10 Verificamos que a região R pode ser escrita das duas formas, sendo: x2y2x 2x0 2R ou yx 2 y 4y0 1R Utilizando a região R1, temos: 4 0 x 2 y dxdyy43x dA R )yx( e utilizando a região R2, temos: 2 0 x2 2x dydxy43x dA R )yx( Verificamos que ambas as integrais possuem o mesmo resultado, isto é, 3 32 I Exemplo 15 Dada I = 4 0 2 y dy dx 5 x cosy , inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante. Solução: Observamos que da maneira como está definida esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim, uma mudança na ordem de integração poderá nos facilitar o trabalho. Observamos pela Fig.11 que a região R está definida com as fronteiras esquerda e direita pelos gráficos de yx e x = 2, respectivamente com 4y0 Figura 11 Notamos que R também pode ser definida pelas fronteiras inferior e superior dadas por yx Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 7 2 xy e 0y respectivamente, com 2x0 . Assim, a integral pode ser calculada como sendo: I= 4 0 2 y dy dx5 x cosy I = 2 0 2x 0 dx dy5 x cosy I = dx 2 0 2x 0 5xcos 2 2y I = dx 2 0 5xcos 2 4x Esta integral pode ser resolvida com uma simples substituição de variáveis. (u). Assim, temos que: I = 0.055 EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS E.1 Calcule as integrais duplas abaixo: 1 0 3 y 2y dxdy )j 2 0 1 2 x dydx )i 2 0 x 0 dydx )h 2 0 2yy2 y62y3 ydxdy3 )g 1 0 1 0 y2 y dxdy)2y22x21()f 2 0 dydx )e 2 1 4 0 dxdy)12y22x()d 1 0 2 0 dydx)yx( )c 3 1 2 1 dxdy)y32x2()b 3 1 5 2 xydydx )a E.2 Calcule R dxdy)y,x(f onde: xyxe)y,x(f)a , R é o retângulo 1y0 3x1 xyye)y,x(f)b , R é o retângulo 1y0 3x0 )xycos(x)y,x(f)c , R é retângulo 2 y0 2x0 xlny)y,x(f)d , R é o retângulo 2y1 3x2 yx 1 )y,x(f)e , R é o retângulo 2y1 2x1 E.3 Calcule D dAy2x , onde 2x1y e 2x2y:D E.4 Determine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide 2y2xz e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2 . E.5 Calcule a integral 1 0 1 x dx dy )2(ysen E.6 Calcular R dy dx4x , onde R é o retângulo 6y0 , 2x0 . E.7 Calcular R dy dxyx8 , onde R é a região delimitada por 4 y e 2xy . E.8 Calcular R dy dxxysenx , onde R é a região delimitada por x y e 2 x, 0y . E.9 Calcular R dy dxy sen senx , onde R é o retângulo 2 y0 , 2 x0 Integração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio 8 E.10 Calcular R dx dy x xlny , onde R é o retângulo 1y1- , 2x1 E.11 Calcular R dy dx2y2x , onde R é a região delimitada por x y e 4 x, 0y . E.12 Calcular R dy dxyx2 , onde R é a região delimitada por 2 y e 1- y , 5 x, 1-2yx . Respostas E.1. a) 42 b) –24 c) 3 d)20/3 e)2 f)13/6 g) 16 h)2 i)1 j)5/12 E2. 43e 3 1 b) 2e3e)a 4 )c 12ln23ln3 2 3 d) 3ln62ln10)e E3. 15 32 E4. 35 216 E5. 1cos1 2 1 E6. 60 E7. 15 896 E8. 1 2 E9. 1 E10. 0 E11.35 1728 E12. 20 1533 2) INTEGRAIS TRIPLAS Teorema Se f é contínua em uma caixa retangular s,rxd,cxb,aB , então: B s r d c b a dxdydz)z,y,x(fdV)z,y,x(f Exemplo 16 Calcule G ,dV)z,y,x(f nos seguintes itens, sendo: 2z0 e 3y0 2x1- com , 3z2xy12)z,y,x(f)a Resp: 648 3z0 e 2y 1- , 1x0 com , 2xyz)z,y,x(f)b Resp: 4 27 3,1x2,0x0,1:T com , 2xyz)z,y,x(f)c Resp: 3 26 5z3- e 1y 0 , 2x1 com , z )2xy()z,y,x(f)b Resp: 3 68 EXERCÍCIOS E.13 Calcule as seguintes integrais triplas: 1 0 y1 0 yx 0 dzdxdy )a 1 0 x 2x yx2 0 dzdydx x. )b 2 0 2x 0 y 0 dzdydxy )c 4 0 2 y y 0 dzdxdyy )d 2 1 x2 x yx 0 dzdydx z )e 2 1 2x 0 x 1 0 dxdy dz z2y2 x )f 2 0 2x4 2 1 0 2y42x 0 dxdy dz )g 3 3 2y9 2y9 2y32x3 92y42x4 dydx dz ))h Respostas: 2 81 h) g) 42 127 f) 8 95 )e 21 128 d) 21 128 c) 120 31 b) 6 1 )a
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