Solução PRA 2016.10.29

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Questão 1 (3,5 pontos)
Para uma seção retangular de viga com bw = 0,20 m e d = 0,45
m, calcular a área de aço As utilizando a teoria do Concreto
Armado (equações de equilíbrio). Indique o domínio em que a
viga está trabalhando e o diâmetro e número de barras da
armadura longitudinal.
Dados: Mk = 25 kN.m; fck = 30 MPa; aço CA-50 (fyk = 500 MPa)
1. Montar as equações de equilíbrio
2. Determinar a posição da linha neutra
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
4. Calcular o braço de alavanca “z”
fck = 40 MPa
c = 0,85
 = 0,8
1. Montar as equações de equilíbrio
2. Determinar a posição da linha neutra
𝑴𝒅 = 𝟎, 𝟔𝟖. 𝒙. 𝒅 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐. 𝒙
𝟐 . 𝒃𝒘. 𝒇𝒄𝒅
25 . 1,4 = 0,68. 𝑥. 0,45 − 0,272. 𝑥2 . 0,20.
30.000
1,4
35 = 0,306𝑥 − 0,272. 𝑥2 . 4286
35 = 1312𝑥 − 1166𝑥2
−𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝟏𝟐𝒙 − 𝟑𝟓 = 𝟎
a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
, ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆ = (1312)2 − 4. (−1166). (−35)
∆ = 1.721.344 − 163.240
∆ = 1.558.104 → ∆= 1.558.104 = 1248
𝑥1 =
−1312 + 1248
2 . (−1166)
=
−64
−2332
= 0,0274 𝑚
𝑥2 =
−1312 − 1248
2 . (−1166)
=
−2560
−2332
= 1,0976 𝑚
𝑥1 = 0,0274 𝑚 = 2,74 𝑐𝑚
𝑥2 = 1,0976 𝑚 = 109,8 𝑐𝑚
1 MPa = 1000 kN/m²
2. Determinar a posição da linha neutra
𝑥1 = 0,0274 𝑚 = 2,74 𝑐𝑚
𝑥2 = 1,0976 𝑚 = 109,8 𝑐𝑚
d
0,45
1,098 m
0,0274 m
𝑥 = 2,74 𝑐𝑚
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4Entre os Domínios 2 e 3:
𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
=
0,0035
𝜀𝑢𝑑 + 0,0035
𝛽𝑥23 =
0,0035
0,0100 + 0,0035
𝛽𝑥23 =
3,5
10 + 3,5
𝛽𝑥23 =
𝑥23
𝑑
= 0,259
𝒙𝟐𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗. 𝒅
𝟎, 𝟐𝟓𝟗. 𝒅𝒙𝟐𝟑
𝒙𝟑𝟒
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4
𝟎, 𝟐𝟓𝟗. 𝒅
Entre os Domínios 3 e 4:
𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
=
0,0035
𝜀𝑦𝑑 + 0,0035
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 𝑪𝑨𝟓𝟎
𝜀𝑦𝑑 = 2,07‰
𝛽𝑥34 =
0,0035
0,00207 + 0,0035
𝛽𝑥34 =
3,5
2,07 + 3,5
𝛽𝑥34 =
𝑥34
𝑑
= 0,628
𝒙𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟖. 𝒅
𝟎, 𝟔𝟐𝟖. 𝒅
𝒙𝟑𝟒
𝒙𝟐𝟑
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4
𝟎, 𝟐𝟓𝟗. 𝒅
𝟎, 𝟔𝟐𝟖. 𝒅
AÇO CA-50
Entre os Domínios 2 e 3:
𝒙𝟐𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗. 𝟎, 𝟒𝟓
Entre os Domínios 3 e 4:
𝒙𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟖. 𝟎, 𝟒𝟓
𝒙𝟑𝟒
𝒙𝟐𝟑
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4
𝟏𝟏, 𝟔𝟔 𝒄𝒎
𝟐𝟖, 𝟐𝟖 𝒄𝒎
AÇO CA-50
Entre os Domínios 2 e 3:
𝒙𝟐𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒎
Entre os Domínios 3 e 4:
𝒙𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟐𝟖𝒎
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4
Exercício 1:
𝑥 = 2,74 𝑐𝑚
2,74 cm
Domínio 2
Está no Domínio 2, pois, x < x23  2,74 cm < 11,66 cm
𝟏𝟏, 𝟔𝟔 𝒄𝒎AÇO CA-50
Entre os Domínios 2 e 3:
𝒙𝟐𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒎
Entre os Domínios 3 e 4:
𝒙𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟐𝟖𝒎
𝟐𝟖, 𝟐𝟖 𝒄𝒎
3. Verificar o domínio de deformação (2 ou 3)
Domínios 2, 3 e 4
Domínio 2
AÇO CA-50
Entre os Domínios 2 e 3:
𝒙𝟐𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔 𝒄𝒎
Entre os Domínios 3 e 4:
𝒙𝟑𝟒 = 𝟐𝟖, 𝟐𝟖 𝒄𝒎
No Domínio 2 o aço já 
escoou e, portanto, sua 
tensão de cálculo vale:
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 =
50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
1,15
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 = 43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Exercício 1:
𝑥 = 2,74 𝑐𝑚
2,74 cm
𝟏𝟏, 𝟔𝟔 𝒄𝒎
𝟐𝟖, 𝟐𝟖 𝒄𝒎
4. Calcular o braço de alavanca “z”
𝑧 = 0,45 − 0,4 . 0,0274
𝑧 = 0,439 𝑚
𝒛 = 𝟒𝟑, 𝟗 𝒄𝒎
𝑧 = 𝑑 −
𝑦
2
𝑧 = 𝑑 −
0,8 . 𝑥
2
𝑧 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝜎𝑠 =
𝑅𝑠𝑡
𝐴𝑠
→ 𝐴𝑠 =
𝑅𝑠𝑡
𝜎𝑠
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 . 𝑧 → 𝑅𝑠𝑡 =
𝑀𝑑
𝑧
𝐴𝑠 =
𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
=
35
0,439 . 43,478
𝑨𝒔 =
𝟑𝟓
𝟏𝟗, 𝟎𝟗
= 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎²
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
Tabela 1.3a - Apostila Prof. Libânio
http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/
Download do arquivo “20 Tabelas Gerais.pdf” acessando o link
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
Resposta:
4f 8,0 mm
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
ou
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
5. Calcular a quantidade de armadura necessária para garantir o equilíbrio da seção 
“As”
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² , e considerando largura da viga bw = 0,20 m.
Resposta:
3f 10,0 mm
Questão 2 (2,5 pontos)
Para uma seção retangular de viga com bw = 0,12 m e d = 0,20
m, calcular a área de aço As utilizando o método tabular kc e ks
para:
a) Mk = 24,9 kN.m, concreto C25, aço CA-50
b) Mk = 17,1 kN.m, concreto C25 , aço CA-50
c) Mk = 7,6 kN.m, concreto C35 , aço CA-50
Indique o domínio em que a viga está trabalhando e o diâmetro
e número de barras da armadura longitudinal.
Questão 2 (2,5 pontos)
Para uma seção retangular de viga com bw = 0,12 m e d = 0,20
m, calcular a área de aço As utilizando o método tabular kc e ks
para:
a) Mk = 24,9 kN.m, concreto C25, aço CA-50
b) Mk = 17,1 kN.m, concreto C25 , aço CA-50
c) Mk = 7,6 kN.m, concreto C35 , aço CA-50
Indique o domínio em que a viga está trabalhando e o diâmetro
e número de barras da armadura longitudinal.
Tabela 1.1 - Apostila Prof. Libânio
http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/
Download do arquivo “20 Tabelas Gerais.pdf” acessando o link
Questão 2 (2,5 pontos)
Para uma seção retangular de viga com bw = 0,12 m e d = 0,20
m, calcular a área de aço As utilizando o método tabular kc e ks
para:
a) Mk = 24,9 kN.m, concreto C25, aço CA-50
b) Mk = 17,1 kN.m, concreto C25 , aço CA-50
c) Mk = 7,6 kN.m, concreto C35 , aço CA-50
a) Md = 24,9 x 1,4 = 34,86 kN.m 34,96 x 100 = 3486 kN.cm
𝑘𝑐 =
𝑏𝑤𝑑
2
𝑀𝑑
=
12 .202
3486
= 1,4 →
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 1.1 − 𝐿𝑖𝑏â𝑛𝑖𝑜
𝑓𝑐𝑘=25𝑀𝑃𝑎 (𝐶25) 𝑒 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴−50
→ 𝑘𝑠 = 0,031
𝑘𝑠 =
𝐴𝑠𝑑
𝑀𝑑
→ 𝑨𝒔 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,031 . 3486
20
= 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) Md = 17,1 x 1,4 = 23,94 kN.m 23,94 x 100 = 2394 kN.cm
𝑘𝑐 =
𝑏𝑤𝑑
2
𝑀𝑑
=
12 .202
2394
= 2,0 →
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 1.1 − 𝐿𝑖𝑏â𝑛𝑖𝑜
𝑓𝑐𝑘=25𝑀𝑃𝑎 (𝐶25) 𝑒 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴−50
→ 𝑘𝑠 = 0,029
𝑘𝑠 =
𝐴𝑠𝑑
𝑀𝑑
→ 𝑨𝒔 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,029 . 2394
20
= 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) Md = 7,6 x 1,4 = 10,64 kN.m 10,64 x 100 = 1064 kN.cm
𝑘𝑐 =
𝑏𝑤𝑑
2
𝑀𝑑
=
12 .202
1064
= 4,5 →
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 1.1 − 𝐿𝑖𝑏â𝑛𝑖𝑜
𝑓𝑐𝑘=35𝑀𝑃𝑎 (𝐶35) 𝑒 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴−50
→ 𝑘𝑠 = 0,024
𝑘𝑠 =
𝐴𝑠𝑑
𝑀𝑑
→ 𝑨𝒔 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,024 . 1064
20
= 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20m
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20 m
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20 m
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20 m
Resposta a):
2f 16,0 mm – 1ª camada (4,02 cm²)
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20 m
Resposta a):
2f 16,0 mm – 1ª camada (4,02 cm²)
1f 16,0 mm – 2ª camada (2,01 cm²)
TOTAL 6,03 cm² .
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20 m
Resposta b):
2f 16,0 mm
a) 𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
b) 𝑨𝒔 = 𝟑, 𝟒𝟕 𝒄𝒎²
c) 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒄𝒎²
bw = 0,12 m
d = 0,20 m
Resposta c):
2f 10,0 mm
500cm
360cm
Questão 3 (4,0 pontos)
Dimensionar a armadura longitudinal da laje em concreto armado
indicada (h = 0,15 m; d = 0,12 m; fck = 30 MPa; aço CA-50) indicando
o diâmetro e espaçamento das barras nas duas direções.
Considere q = 3 kN/m².
a) Determine os carregamentos da laje
b) Encontre as reações de apoio. Indique-as na laje
c) Encontre os momentos fletores. Indique-os na laje
d) Calcule a armadura longitudinal
e) Calcule a flecha (deslocamento vertical) da laje
Ec = 0,85 . 5600 . Raiz(fck) ; Ic = b.h³/12
Indique o domínio em que a laje está trabalhando.
Piso cerâmico: 0,50 kN/m²
Contrapiso: 0,03 m (21 kN/m³)
Concreto armado: 0,15 m (25 kN/m³)
Forro: 1,00 kN/m²
a) Determine os carregamentos da laje
Cargas Permanentes (pg)
peso próprio..........0,15 m x 25 kN/m³ = 3,75 kN/m²
contrapiso..............0,03 m x 21 kN/m³ = 0,63 kN/m²
piso......................................................= 0,50 kN/m²
forro.....................................................= 1,00 kN/m²
pg = 5,88 kN/m²
Cargas Acidentais (pq)
acidental..........................................pq = 3,00 kN/m²
Cargas Totais (pk)
permanentes.......................................= 5,88 kN/m²
acidentais............................................= 3,00 kN/m²
pk = 8,88 kN/m²
Carga Total de Cálculo (pd)
pd = pk x 1,4 = 8,88 x 1,4................pd = 12,43 kN/m²
b) Encontre as reações de apoio. Indique-as na laje
Tabela 2.2a até 2.2d - Apostila Prof. Libânio
http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/
Download do arquivo “21 Tabelas de Lajes.pdf” acessando o link
b) Encontre as reações de apoio. Indique-as na laje
b) Encontre as reações de apoio. Indique-as na laje
500cm
360cm
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
500
360
= 1,39 ≅ 1,40
Com
𝜆 = 1,40
e
Vinculação:
Caso 3
Tabela 2.2b
Prof. Libânio
b) Encontre as reações de apoio. Indique-as na laje
500cm
360cm
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
500
360
= 1,39 ≅ 1,40
Resulta em:
𝜈𝑥 = 2,78
𝜈′𝑥 = 4,08
𝜈𝑦 = 2,17
𝜈′𝑦 = 3,17
b) Encontre as reações de apoio. Indique-as na laje
𝑉𝑥 = 𝜈𝑥
𝑝. 𝑙𝑥
10
= 2,78 .
12,43 . 3,6
10
= ______ 𝑘𝑁/𝑚
𝑉′𝑥 = 𝜈′𝑥
𝑝. 𝑙𝑥
10
= 4,08 .
12,43 . 3,6
10
= ______ 𝑘𝑁/𝑚
𝑉𝑦 = 𝜈𝑦
𝑝. 𝑙𝑥
10
= 2,17 .
12,43 . 3,6
10
= ______𝑘𝑁/𝑚
𝑉′𝑥 = 𝜈′𝑥
𝑝. 𝑙𝑥
10
= 3,17 .
12,43 . 3,6
10
= ______𝑘𝑁/𝑚
500cm
360cm
𝑙𝑦 = 5𝑚
𝑙𝑥 = 3,6 𝑚
𝑝𝑑 = 12,43 𝑘𝑁/𝑚²
(𝑝𝑑 calculado na letra a) do exercício)
𝜈𝑥 = 2,78
𝜈′𝑥 = 4,08
𝜈𝑦 = 2,17
𝜈′𝑦 = 3,17
500cm
360cm
c) Encontre os momentos fletores. Indique-os na laje
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
500
360
= 1,39 ≅ 1,40
Tabela 2.3a até 2.3e - Apostila Prof. Libânio
http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/
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