RacLog_UN2_1pp.pdf

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO
LÓGICO
UNIDADE 2
Conjuntos
CONTEÚDO
• A Necessidade de Numeração;
• Conjuntos como Categorias;
• Operações com Conjuntos;
• Diagramas de Venn;
• Conjuntos Numéricos.
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Início da Intelectualidade:
• os primeiros a acrescentar à História uma herança 
intelectual foram os sumérios;
• afinal o que é intelectualidade?
• onde viveram os os sumérios?
• na região onde hoje fica o Iraque, nos campos férteis 
entre os rios Tigre e Eufrates (Mesopotâmia).
É capacidade que só os humanos têm de perceber
coisas fora do alcance de seus cinco sentidos, o 
chamado pensamento abstrato.
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Início da Intelectualidade:
• os sumérios influenciaram o modo de pensar, agir e 
comunicar das pessoas desde os babilônios e egípcios, que 
vieram em seguida, até hoje (50 séculos depois);
• as invenções dos sumérios:
• cerveja;
• instrumentos agrícolas;
• tentativas iniciais de organização de cidades;
• rudimentos do cooperativismo;
• fabricação do vidro;
• conceito de que os homens foram criados à imagem dos 
deuses.
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Início da Intelectualidade:
• a maior de todas as invenções dos sumérios:
• foram a primeira civilização da Terra a registrar a própria 
história, simplesmente por que inventaram a ESCRITA;
• há 5 mil anos atrás criaram símbolos que pudessem 
representar sons vocais, a chamada escrita cuneiforme.
Eram marcas feitas em tabletes de barro, que depois eram 
secados ao sol. Os estiletes de madeira usados para 
marcar os símbolos no barro tinham a ponta em forma de 
cunha (cuneiforme).
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Início da Intelectualidade:
• a escrita cuneiforme:
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
A Importância dos Pastores:
• ao contrário do que se pensa, houve um abismo de alguns 
séculos entre a invenção da palavra escrita e a invenção dos 
algarismos;
• os pastores primitivos foram grandes colaboradores para o 
avanço da ciência do cálculo devido a uma simples rotina:
• durante séculos levaram seus rebanhos para pastar pela 
manhã e os recolhiam no final da tarde.
CONCLUSÃO
aparentemente, escrever é mais fácil que calcular.
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
A Importância dos Pastores:
• um belo dia surgiu uma questão:
• a solução veio em menos de um milênio:
• o pastor amontoava uma pedra para cada ovelha que saía e à 
noite retirava do monte uma pedra para cada ovelha que 
voltava.
Como saber se a porção de ovelhas 
que saiu é mesma que voltou?
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
A Importância dos Pastores:
• foi uma solução brilhante!!!
• no final do dia, a porção de pedras que sobravam no monte 
era igual à porção de ovelhas desgarradas;
• sem saber, aquele pastor foi o primeiro homem a calcular.
CALCULAR
vem do latim calculus que significa pedra
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Início do Cálculo:
• calcular era muito difícil e a primeira maneira que o homem 
encontrou para mostrar a quantidade a que estava se 
referindo foi o uso dos dedos das mãos;
• daí se originaram os termos:
DÍGITO
vem do latim digitus que significa dedo 
DATILOGRAFAR
vem do grego datilus que significa dedo 
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Início do Cálculo:
• parece estranho, mas há 5 mil anos atrás, para contar até 20 
eram necessárias 2 pessoas;
• depois de alguns séculos, alguém fez mais uma brilhante
observação:
• o fato de termos 10 dedos nas mãos é a origem do sistema
decimal (10 algarismos para construir os números).
“Já acumulei o resultado de duas mãos e agora vou 
continuar, voltando à primeira mão.”
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Aprendizado da Contagem:
• é importante deixar claro que mostrar os dedos era uma 
coisa, mas contar era outra muito diferente;
• a maioria dos povos só sabia contar até 3, do 4 em diante a 
coisa entrava em uma dimensão meio fantástica;
• o conceito de número:
Trata-se da sensação instintiva que o 
homem tem das quantidades
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Aprendizado da Contagem:
• segundo Bertrand Russel:
• quando o número foi dissociado do objeto, tornando-se 
uma entidade independente (abstração), é que se pôde dar 
o primeiro passo em direção a um sistema de notação, e 
daí a aritmética.
“foram necessários muitos anos para se descobrir que um par de 
faisões e um par de dias eram ambos instâncias do número dois.”
ARITMÉTICA
vem do grego arithmos que significa número
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Aprendizado da Contagem:
• os mercadores da Mesopotâmia desenvolveram o primeiro 
método científico para acumular grandes quantias:
• faziam um sulco na areia onde colocavam sementes 
(contas) até chegar a 10;
• num segundo sulco colocavam uma só conta, 
equivalente a 10, esvaziavam o primeiro sulco e 
repetiam a operação;
• e assim por diante...
• o método deu origem à palavra contar e ao termo fazer
contas.
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Aprendizado da Contagem:
• qual a vantagem do método?
• a representação de números grandes necessitava de um 
número pequeno de contas:
• exemplo:
número: 732
contas : 12
7 3 2
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Aprendizado da Contagem:
• apesar da fama dos árabes e dos chineses, a contribuição 
mais importante para a abstração matemática foi um 
trabalho dos hindus;
• o zero e o um deram origem a tudo o que conhecemos hoje 
como ciências matemáticas;
• os primeiros dispositivos mecânicos para fazer cálculos 
foram o ábaco e o mecanismo Antikythera.
Há apenas 600 anos atrás os
hindus inventaram o zero
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Ábaco Chinês:
qual o número 
representado?
7.230.189
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
O Mecanismo Antikythera:
mecanismo 
encontrado
raio X do 
mecanismo
mecanismo reconstruído
A NECESSIDADE DE NUMERAÇÃO
Uma Dúvida ainda Persiste:
• afinal, a Matemática é uma descoberta ou uma criação da 
humanidade?
• há duas conclusões divergentes:
• segundo o “intuicionismo” ou “construtivismo”, trata-se de 
uma “obra da humanidade”, uma vez que se assenta na 
intuição do homem, logo, não passa de uma “construção” ou 
“invenção”;
• segundo o “platonismo”, trata-se de uma área infinitamente 
prenhe de “verdades objetivas que não criamos, mas que 
nos confrontam objetivamente”, podendo ser descobertas.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Conjuntos e Elementos:
• conjuntos são coleções de objetos (elementos) que 
compartilham certas características;
• ex.: classificação dos animais vertebrados
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Representação:
• I - enumeração: listagem de todos os elementos;
• II - compreensão: descrição de uma propriedade comum a 
todos os elementos;
• III - diagrama de Venn: região delimitada por uma curva;
• ex.: A = conjunto dos algarismos pares
• I - A = {0, 2, 4, 6, 8};
• II - A = {x / x é maior que 0, menor que 9 e
diferente de 1, 3, 5 e 7};
• III - A
0
2
4
6 8
em geral, usa-
se uma letra 
maiúscula 
para nomear 
um conjunto
OBSERVAÇÃO
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Relações de Pertinência:
• relacionam o elemento a com o conjunto A, ou seja, 
indicam se o elemento pertence ou não ao conjunto;
• simbologia:
•  (pertence);
•  (não pertence);
• ex:
• 2  {0, 1, 2};
• 4  {0, 1, 2}.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Relações de Inclusão:
• relacionam um conjunto A com um conjunto B indicando se 
um está incluído ou não no outro;
• simbologia:
•  (está contido);
•  (não está contido);
• ex:
• {2, 5}  {0, 1, 2, 5};
• {2, 7}  {0, 1, 2, 5};
• {0, 1, 2, 5}  {2, 5};
• {0, 1, 2, 5} {2, 7}.
•  (contém);
• (não contém);


CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Conjunto Vazio:
• um conjunto A é vazio quando não tem elementos;• simbologia:
• { } ou ;
• ex.: 
• A = { } ou A = ;
• quando o conjunto vazio é listado em um conjunto A, deve 
ser tratado como um elemento de A;
• ex.:
• A = {, 1, 2, 3}, logo   A ( é um elemento de A).
para qualquer A, tem-se:
•   A;
• A  A.
OBSERVAÇÃO
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Conjunto Unitário:
• um conjunto A é unitário quando tem apenas um elemento;
• ex.:
• A = {2};
Conjunto Universo:
• o conjunto universo U é formado por todos os elementos 
que se deseja considerar em uma determinada situação;
• todos os conjuntos possíveis daquela situação são 
subconjuntos do conjunto universo.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Conjunto Finito:
• um conjunto A é finito quando é vazio ou quando é possível 
estabelecer uma correspondência entre cada elemento do 
conjunto e um número natural entre 1 e n;
• ex.:
• A = {10, 15, 20, 25, 30} 1 2 3 4 5 (relação);
n(A) = 5 (número de elementos de A);
Conjunto Infinito:
• um conjunto A não finito é dito infinito;
• ex.:
• A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Subconjunto:
• um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo 
elemento que pertence a A também pertence a B;
• se o conjunto A está contido no conjunto B, então A é 
subconjunto de B;
• ex.:
• {2} é subconjunto de {1, 2, 3}, ou seja, {2}  {1, 2, 3};
• {1, 3} é subconjunto de {1, 3, 5}, ou seja, {1, 3}  {1, 3, 5}.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Igualdade de Conjuntos:
• um conjunto A é igual a um conjunto B quando ambos
apresentam, em qualquer ordem, os mesmos elementos;
• simbologia:
• A = B, que corresponde a A  B e B  A;
• ex.:
• A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1};
A = B, ou seja, A  B e B  A.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Conjunto das Partes de um Conjunto:
• o conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto de 
todos os subconjuntos de A, incluindo o conjunto vazio e o 
próprio conjunto A;
• simbologia:
• P(A);
• ex.:
• A = {1, 2, 3};
P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
CONJUNTOS COMO CATEGORIAS
Conjunto das Partes de um Conjunto:
• o número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é 
dado por 2n, onde n é o número de elementos de A;
• simbologia:
• n(P(A)) = 2n;
• ex.:
• A = {1, 2, 3};
n = 3, logo n(P(A)) = 23 = 8.
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Definições:
• dados A e B subconjuntos de U, tem-se:
• união: conjunto formado pela reunião dos elementos de A e 
de B;
• notação simbólica: A  B = {x / x  A ou x  B};
• ex.: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5, 8}, A  B = {1, 2, 3, 5, 8};
• interseção: conjunto formado pela reunião dos elementos 
que são comuns a A e a B;
• notação simbólica: A  B = {x / x  A e x  B};
• ex.: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5, 8}, A  B = {2, 3}.
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Definições:
• dados A e B subconjuntos de U, tem-se:
• diferença: conjunto formado pelos elementos que estão em 
A e que não estão em B;
• notação simbólica: A – B = {x / x  A e x  B};
• ex.: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5, 8}, A – B = {1};
• complementar: conjunto formado pela diferença entre os 
elementos de de U e de A;
• notação simbólica: A = {x / x  U e x  A};
• ex.: U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3, 4}, A = {1, 5}.
DIAGRAMAS DE VENN
Introdução:
• desenvolvidos por John Venn (séc. XIX), permitem 
representar graficamente relações/operações entre uma 
coleção finita de conjuntos;
• ferramenta que auxilia na visualização e na solução de 
problemas envolvendo conjuntos ou categorias.
A
elementos de A
elementos não 
pertencentes a A
U
1 2
3
conjunto 
universo
DIAGRAMAS DE VENN
Representação de Operações entre Conjuntos:
• a região de superposição entre duas figuras geométricas 
representa a interseção entre os conjuntos;
• representa todas as possibilidades de interseção, ou seja, 
para n conjuntos, o diagrama deve conter 2n regiões, 
contando com a região externa a todos os conjuntos.
A
U
B
U A
B C
𝐴 ∩ 𝐶
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
4 (ou 22) regiões 8 (ou 23) regiões
DIAGRAMAS DE VENN
Representação de Operações entre Conjuntos:
• diferentes áreas do diagrama representam as operações:
𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 − 𝐵 𝐵
DIAGRAMAS DE VENN
Problemas com Categorias:
• Uma escola ofereceu cursos 
paralelos de informática (I), 
xadrez (X) e fotografia (F) aos 
alunos da 1ª série do ensino 
médio. As inscrições nos cursos 
foram feitas segundo a tabela ao 
lado:
Curso
Número de 
inscritos
I 24
X 10
F 22
I e X 3
I e F 5
F e X 4
I e X e F 2
Nenhum 4
DIAGRAMAS DE VENN
Problemas com Categorias:
• Baseando-se nas informações da tabela, determine quantos 
alunos:
a) cursavam a 1ª série do ensino médio;
b) optaram somente por um curso;
c) não se inscreveram no curso de xadrez;
d) se inscreveram somente no curso de informática;
e) fizeram inscrição para o curso de informática ou fotografia;
f) fizeram inscrição para o curso de informática e xadrez;
g) não se inscreveram no curso de xadrez e nem no de 
fotografia.
DIAGRAMAS DE VENN
Problemas com Categorias:
I
U
X
F
U
2
1
4
3 2
24–6 = 18 10–5 = 5
22–7 = 15
Curso
Número de 
inscritos
I 24
X 10
F 22
I e X 3
I e F 5
F e X 4
I e X e F 2
Nenhum 4
DIAGRAMAS DE VENN
Problemas com Categorias:
• Respostas:
a) cursavam a 1ª série do ensino médio;
18 + 5 + 15 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 = 50 alunos
b) optaram somente por um curso;
18 + 5 + 15 = 38 alunos;
c) não se inscreveram no curso de xadrez;
50 – 10 = 40 alunos;
d) se inscreveram somente no curso de 
informática;
18 alunos;
I
U
X
F
U
2
1
4
3 2
24–6 = 18 10–5 = 5
22–7 = 15
DIAGRAMAS DE VENN
Problemas com Categorias:
• Respostas:
e) fizeram inscrição para o curso de 
informática ou fotografia;
18 + 1 + 2 + 3 + 2 + 15 = 41 alunos
f) fizeram inscrição para o curso de 
informática e xadrez;
3 alunos
g) não se inscreveram no curso de xadrez e 
nem no de fotografia.
18 + 4 = 22 alunos.
I
U
X
F
U
2
1
4
3 2
24–6 = 18 10–5 = 5
22–7 = 15
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Introdução:
• conjuntos numéricos são coleções de números que 
apresentam características em comum;
• classificação dos conjuntos numéricos:
• números Naturais (ℕ);
• números Inteiros (ℤ);
• números Racionais (ℚ);
• números Irracionais (ℝ – ℚ);
• números Reais (ℝ);
• números Complexos (ℂ).
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais (ℕ):
• formado pelos números inteiros positivos incluindo o zero:
• ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...};
• números naturais não nulos:
• ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ...};
• notação simbólica: ℕ∗ = {x  ℕ / x > 0}.
• todo número natural n tem um sucessor n + 1:
• ex.: o sucessor de 1 é 2;
• todo número natural n tem um antecessor n – 1 (exceto o 
zero):
• ex.: o antecessor de 1 é 0.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ):
• formado pelos números inteiros negativos, positivos e o 
zero:
• ℤ = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...};
• números inteiros não nulos:
• ℤ∗ = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, ...};
• notação simbólica: ℤ∗ = {x  ℤ / x ≠ 0};
• números inteiros não negativos:
• ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...};
• notação simbólica: ℤ+ = {x  ℤ / x  0}.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ):
• números inteiros não positivos:
• ℤ− = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0};
• notação simbólica: ℤ− = {x  ℤ / x  0};
• números inteiros não negativos e não nulos:
• ℤ+
∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ...};
• notação simbólica: ℤ+
∗ = {x  ℤ / x > 0};
• números inteiros não positivos e não nulos:
• ℤ−
∗ = {..., –5, –4, –3, –2, –1};
• notação simbólica: ℤ−
∗ = {x  ℤ / x < 0}.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ):• todo número inteiro n (exceto o zero) tem um simétrico (ou 
oposto) –n:
• ex.: –3 é simétrico a 3 (ambos estão à mesma distância do 0);
• todo número inteiro n tem tanto um sucessor n + 1 quanto 
um antecessor n – 1:
• ex.: o sucessor de 2 é 3;
o antecessor de 5 é 4;
o sucessor de –6 é –5;
o antecessor de –3 é –4;
o sucessor de –1 é 0;
o antecessor de 1 é 0.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Racionais (ℚ):
• formado pelos números que podem ser expressos por 
frações, onde o numerador e o denominador são números 
inteiros, mas o denominador deve ser diferente de zero:
• notação simbólica: ℚ = { 𝑎 𝑏 / a  ℤ e b  ℤ
∗};
• números racionais não nulos:
• notação simbólica: ℚ∗ = {x  ℚ / x ≠ 0};
• números racionais não negativos:
• notação simbólica: ℚ+ = {x  ℚ / x  0};
• números racionais não positivos:
• notação simbólica: ℚ− = {x  ℚ / x  0}.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Racionais (ℚ):
• números racionais não negativos e não nulos:
• notação simbólica: ℚ+
∗ = {x  ℚ / x > 0};
• números racionais não positivos e não nulos:
• notação simbólica: ℚ−
∗ = {x  ℚ / x < 0}.
• representações:
• decimal exata:
• ex.: 3 / 4 = 0,75;
• dízima periódica:
• ex.: 2 / 3 = 0,666... = 0,6 (período simples);
24 / 45 = 0,53333... = 0,53 (período composto).
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Racionais (ℚ):
• fração como decimal:
• ex.: 6 / 5 = 6 ÷ 5 = 1,2;
1 / 3 = 1 ÷ 3 = 0,3333...;
• dízima periódica como uma soma infinta de decimais:
• ex.: 0,3333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
1,2344... = 1,23 + 0,004 + 0,0004 + ...
• decimal exato como uma fração:
• ex.: 0,3 = 3 / 10;
0,73 = 73 / 100;
5,157 = 5157 / 1000;
1,5 = 15 / 10 = 3 / 2 (fração simplificada).
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Racionais (ℚ):
• dízima periódica como uma fração:
• ex.: 0,7777... = 0,7 = 7 / 9 (fração geratriz);
0,151515... = 0,15 = 15 / 99 = 5 / 33;
0,122122... = 0,122 = 122 / 999;
0,07777... = 7 / 90;
0,0001111... = 1 / 9000;
0,0141414... = 14 / 990;
0,27777... = 0,2 + 0,07777... = 25 / 90;
0,15555... = 0,1 + 0,05555... = 7 / 45;
0,73333... = 0,7 + 0,03333... = 11 / 15.
a fração que origina 
a dízima periódica é 
denominada geratriz
OBSERVAÇÃO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Irracionais (ℝ – ℚ):
• formado pelos números decimais infinitos não periódicos, 
ou seja, números com infinitas casas decimais, mas que não 
têm um período;
• números que não podem ser escritos na forma de fração;
• ex.: 2 = 1,414213...;
3 = 1,732050...;
 = 3,141592...;
e = 2,718281... (número de Euler); 
 = 1,618033... (proporção áurea).
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Reais (ℝ):
• formado pela união do conjunto dos números racionais
com o conjunto dos números irracionais;
• notação simbólica: ℝ = {x / x  ℚ ou x  (ℝ – ℚ)};
• relações entre os conjuntos:
• ℕ  ℤ  ℚ  ℝ;
• (ℝ – ℚ)  ℝ;
• ℚ  (ℝ – ℚ) = ℝ;
• ℚ  (ℝ – ℚ) = .
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Reais (ℝ):
• números reais não nulos:
• notação simbólica: ℝ∗ = {x  ℝ / x ≠ 0};
• números reais não negativos:
• notação simbólica: ℝ+ = {x  ℝ / x  0};
• números reais não positivos:
• notação simbólica: ℝ− = {x  ℝ / x  0};
• números reais não negativos e não nulos:
• notação simbólica: ℝ+
∗ = {x  ℝ / x > 0};
• números reais não positivos e não nulos:
• notação simbólica: ℝ−
∗ = {x  ℝ / x < 0}.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Reais (ℝ):
• relações de ordem:
• para a, b  ℝ, tem-se:
• a = b (a é igual a b);
• a > b (a é maior que b);
• a < b (a é menor que b);
• a  b (a é menor ou igual a b);
• a  b (a é maior ou igual a b);
• no conjunto dos números reais desconsidera-se os conceitos 
de antecessor e sucessor e considera-se as relações de 
ordem.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Reais (ℝ):
• intervalos reais:
• são subconjuntos dos números reais.
intervalo
aberto
{x  ℝ / a < x < b} ]a, b[ (a, b)
intervalo
fechado
{x  ℝ / a  x  b} [a, b] [a, b]
intervalo semi-
aberto à direita
{x  ℝ / a  x < b} [a, b[ [a, b)
intervalo semi-
aberto à esquerda
{x  ℝ / a < x  b} ]a, b] (a, b]
intervalos finitos
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Reais (ℝ):
• intervalos reais:
• são subconjuntos dos números reais.
{x  ℝ / x > a} ]a, +[ (a, +)
{x  ℝ / x  a} [a, +[ [a, +)
{x  ℝ / x < a} ] –, a[ (–, a)
{x  ℝ / x  a} ] –, a] (–, a]
intervalos infinitos
o conceito de intervalo se aplica 
apenas ao conjunto dos números reais
OBSERVAÇÕES
operações com conjuntos 
também se aplicam a intervalos