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EP16 2017 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP16 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Exerc´ıcio 1 Encontre o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es.
a) −|3− 4x| < −5 (AP2 - 2012.2)
b) 2(x + 5)2 ≥ 2x + 14 (AP2 - 2012.2)
c) |2x + 3| − 2 > 3 (AP2 - 2013.1)
d) |11− x2| > 2 (AP2 - 2014.1)
Soluc¸a˜o:
a) −|3− 4x| < −5⇐⇒ |3− 4x| > 5.
Isso significa que 3− 4x > 5 ou que 3− 4x < −5.
No primeiro caso, temos que 3− 4x > 5⇐⇒ −4x > 2⇐⇒ x < −1/2.
No segundo caso, temos que 3− 4x < −5⇐⇒ −4x < −8⇐⇒ x > 2.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S =
(
−∞,−1
2
)
∪ (2,∞) .
Outra modo de resolver a inequac¸a˜o −|3− 4x| < −5
−|3− 4x| < −5⇐⇒ |3− 4x| > 5.
Assim, para resolver −|3− 4x| < −5, basta resolver |3− 4x| > 5.
Vamos determinar o valor de |3− 4x|. Temos que
|3− 4x| =

3− 4x, se 3− 4x ≥ 0
−(3− 4x), se 3− 4x < 0,
⇐⇒ |3− 4x| =

3− 4x, se x ≤ 3
4
4x− 3, se x > 3
4
.
Observamos que o valor do mo´dulo, da inequac¸a˜o |3− 4x| > 5, depende da localizac¸a˜o de x em
relac¸a˜o ao ponto 3/4. Tomando como refereˆncia este valor, temos dois casos a analisar.
Caso A: quando x esta´ em (−∞, 3/4], vamos determinar a soluc¸a˜o S1 de |3− 4x| > 5.
Caso B: quando x esta´ no intervalo (3/4,∞), vamos determinar a soluc¸a˜o S2 de |3− 4x| > 5.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da inequac¸a˜o dada em R, sera´ determinada por S = SA∪SB.
Caso A: x ∈ (−∞, 3/4].
Temos que |3− 4x| > 5⇐⇒ 3− 4x > 5⇐⇒ −4x > 2⇐⇒ 4x < −2⇐⇒ x < −1
2
.
Logo, x ∈ (−∞,−1/2). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos conside-
rando, que e´ (−∞, 3/4], devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que
SA =
(
−∞,−1
2
)
.
Me´todos Determin´ısticos I EP16 2
Caso B: x ∈ (3/4,∞).
Temos que |3− 4x| > 5⇐⇒ 4x− 3 > 5⇐⇒ 4x > 8⇐⇒ x > 2.
Logo, x ∈ (2,∞). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos considerando,
que e´ (3/4,∞), devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que
SB = (2,∞) .
Assim, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´:
S = SA ∪ SB
=
(
−∞,−1
2
)
∪ (2,∞) .
b) 2(x+5)2 ≥ 2x+14⇐⇒ 2x2+20x+50 ≥ 2x+14⇐⇒ 2x2+18x+36 ≥ 0⇐⇒ x2+9x+18 ≥ 0.
Chamando x2 +9x+18 de y, isto e´, y = x2 +9x+18, vamos determinar quando y e´ igual a zero,
para em seguida determinar quando e´ maior do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de
y = x2 + 9x+ 18 e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2
e´ positivo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2 + 9x+ 18 = 0
que sa˜o obtidas pela fo´rmula de Baskara
x =
−(9)±√81− 4(1)(18)
2(1)
=
−9±√9
2
=
−9± 3
2
Logo, esta equac¸a˜o tem duas ra´ızes reais
x1 = −3 e x2 = −6.
Isto significa que o gra´fico de y = x2 + 9x + 18 corta o eixo x, nos dois pontos acima.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 1. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
+
-
+
-6 -3
x
y
Figura 1: Exerc´ıcio 1 - Item b)
maior que zero para x > −3 ou x < −6.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ dado por (−∞,−6] ∪ [−3,∞) .
Note que na soluc¸a˜o devemos, tambe´m, incluir os pontos onde x2 + 9x + 18 = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 3
c) |2x + 3| − 2 > 3⇐⇒ |2x + 3| > 5.
Isso significa que 2x + 3 > 5 ou que 2x + 3 < −5.
No primeiro caso, temos que 2x + 3 > 5⇐⇒ 2x > 2⇐⇒ x > 1.
No segundo caso, temos que 2x + 3 < −5⇐⇒ 2x < −8⇐⇒ x < −4.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−4) ∪ (1,∞) .
d) Como |11− x2| > 2, isso significa que 11− x2 > 2 ou que 11− x2 < −2.
No primeiro caso, temos que 11 − x2 > 2 ⇐⇒ −x2 + 9 > 0. Chamando −x2 + 9 de y, isto e´,
y = −x2 + 9, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando e´
maior do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = −x2 + 9 e´ uma para´bola com
concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau −x2 + 9 = 0, ou
seja, x2 = 9⇐⇒ x = ±√9⇐⇒ x1 = −3, x2 = 3. Isto significa que o gra´fico de y = −x2 + 9
corta o eixo x, em x1 = −3 e x2 = 3.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 2. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
maior que zero para −3 < x < 3.
-
+
-
-3 3
x
9
y
Figura 2: Exerc´ıcio 1 - Item d)
No segundo caso, temos que 11− x2 < −2⇐⇒ −x2 + 13 < 0. Chamando −x2 + 13 de y, isto
e´, y = −x2 + 13, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando
e´ menor do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = −x2 + 13 e´ uma para´bola com
concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau −x2 + 13 = 0,
ou seja, x2 = 13 ⇐⇒ x = ±√13 ⇐⇒ x1 = −
√
13, x2 =
√
13. Isto significa que o gra´fico de
y = −x2 + 13 corta o eixo x, em x1 = −
√
13 e x2 =
√
13.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 3. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
menor do que zero para x < −√13 ou x > √13.
Fazendo a reunia˜o do conjunto soluc¸a˜o obtido a partir da ana´lise de cada um dos dois casos acima,
conclu´ımos que o conjunto soluc¸a˜o de |11−x2| > 2 e´ S = (−∞,−
√
13) ∪ (−3, 3) ∪ (
√
13,∞) .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 4
-
+
-
- 13 13
x
13
y
Figura 3: Exerc´ıcio 1 - Item d)
Exerc´ıcio 2 Resolva cada um dos sistemas
a) S1 :
{
y + x2 − 2x = −4
x + y = −8 (AP2 - 2012.2)
b) S2 :
{
3x− 4y = −27
5x− 2y = 11 (AP2 - 2013.2)
Soluc¸a˜o:
a) Da segunda equac¸a˜o de S1, temos que y = −8− x. Substituindo-a na primeira equac¸a˜o de S1,
obtemos:
−8− x + x2 − 2x = −4⇐⇒ x2 − 3x− 4 = 0.
Resolvendo essa equac¸a˜o do segundo grau, por Ba´skara, obtemos
x =
−(−3)±√(−3)2 − 4(1)(−4)
2(1)
=
3±√25
2
=
3± 5
2
,
ou seja, as ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 3x − 4 = 0 sa˜o x1 = −1 e x2 = 4. Para resolver o sistema
S1, ainda temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta.
Para x1 = −1, temos y1 = −8− (−1) = −7
Para x2 = 4, temos y2 = −8− 4 = −12.
Logo, as soluc¸o˜es de S1 sa˜o: (x1, y1) = (−1,−7) e (x2, y2) = (4,−12).
b) Multiplicando por −2, a segunda equac¸a˜o de S2, ficamos com −10x + 4y = −22 que somada a`
primeira equac¸a˜o de S2, resulta −7x = −49. Da´ı, temos que x = 7. Substituindo-a na segunda
equac¸a˜o de S2, temos 35− 2y = 11, donde segue que 2y = 35− 11 = 24. Portanto, y = 12. A
soluc¸a˜o e´ (x, y) = (7, 12).
Exerc´ıcio 3 Represente, no mesmo plano cartesiano, o gra´fico de cada uma das equac¸o˜es do sistema
do Exerc´ıcio 2, item a). Localize tambe´m, graficamente, a(s) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) encontrada(s) para
esse sistema, caso exista(m).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 5
Soluc¸a˜o: Observemos que a primeira equac¸a˜o de S1 pode ser reeescrita por y = −x2 + 2x − 4.
Logo, o gra´fico desta equac¸a˜o e´ uma para´bola cuja concavidade esta´ voltada para baixo, ja´ que o
coeficiente de x2 e´ negativo. Temos que:
• Fazendo y = 0, a para´bola intercepta o eixo-x nos valores de x que satisfazem−x2+2x−4 = 0.
No entanto, por Ba´skara, temos que ∆ = −12 < 0, o que significa que na˜o existem ra´ızes
reais para a equac¸a˜o −x2 + 2x− 4 = 0. Logo, y = −x2 + 2x− 4 na˜o intercepta o eixo x.
• Fazendo x = 0, vemos que a para´bola intercepta o eixo y no ponto y = −02− 2(0)− 4 = −4.
• O ve´rtice V da para´bola e´ determinado por V = (xv, yv) =
(
−b
2a
,
−∆
4a
)
. Logo,
V =
(
−2
2(−1) ,
−(−12)
4(−1)
)
= (1,−3) .
A segunda equac¸a˜o, x + y = −8, de S1 e´ uma reta. Logo, para trac¸a´-la precisamos de dois pontos.
Para x = 0, temos que y = −8.
Para y = 0, temos que x = −8.
Trac¸amos, enta˜o areta pelos pontos (0,−8) e (−8, 0).
Na Figura 4, trac¸amos o esboc¸o da para´bola e da reta, bem como dos pontos de intersec¸a˜o entre
elas, que foram determinados no item a) do Exerc´ıcio 2.
-8 -1 1 4 x
-12
-8
-7
-4
-3
y
Figura 4: Exerc´ıcio 3
Exerc´ıcio 4 (AP2 - 2012 .2)
Certo produto tem sua demanda dada por uma func¸a˜o afim. Ale´m disso, quando o produto e´ vendido
a 2 reais, a demanda e´ de 3000 unidades e, se o prec¸o for elevado a 6 reais, a demanda cai para 1000
unidades. Sabe-se, ainda, que a oferta deste produto e´ dada pela fo´rmula Q(x) = 500(x2 − 3x).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 6
a) Qual a fo´rmula da func¸a˜o D(x) que representa a demanda relacionada a este produto em func¸a˜o
de seu prec¸o x?
b) Qual e´ o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta (prec¸o m´ınimo do produto) e qual o prec¸o acima do
qual na˜o ha´ demanda (prec¸o ma´ximo)?
c) Qual o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto?
Soluc¸a˜o:
a) Sabemos que a func¸a˜o e´ afim, logo sua fo´rmula e´ expressa por
D(x) = ax + b,
onde a e b sa˜o nu´meros reais.
Quando o produto custa 2 reais, sa˜o demandadas 3000 unidades, logo a.2 + b = 3000.
E, quando o produto custa 6 reais sa˜o demandadas 1000 unidades, donde a.6 + b = 1000.
Da primeira equac¸a˜o obtemos b = 3000− 2a, que substitu´ıda na segunda, nos da´
6a + 3000− 2a = 1000.
Resolvendo esta equac¸a˜o, obtemos 4a = −2000, isto e´, a = −500. E, disto segue que
b = 3000− 2a = 3000− 2(−500) = 4000.
Logo, a func¸a˜o demanda e´
D(x) = −500x + 4000 .
b) Para determinar o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta, vamos analisar a func¸a˜o, que nos da´ a
oferta, Q(x) = 500(x2 − 3x). Note que ela e´ igual a zero quando
500(x2 − 3x) = 0⇐⇒ (x2 − 3x) = 0⇐⇒ x(x− 3) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 3.
Como o gra´fico de Q e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente
de x2 e´ positivo, vemos que, para que a oferta seja positiva, e´ necessa´rio que o prec¸o seja maior
que 3 reais (abaixo disso ter´ıamos “oferta negativa”). Observe o gra´fico de Q, na Figura 5–i).
Portanto, o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta e´ P = 3 reais.
Ja´ quanto a` demanda, vemos que na˜o ha´ demanda, isto e´, ela e´ nula quando −500x+ 4000 = 0,
ou seja, quando 4000 = 500x. Assim, obtemos que o prec¸o ma´ximo, acima do qual na˜o ha´
demanda para o produto, e´ 8 reais. Observe isso no gra´fico da func¸a˜o demanda na Figura 5-ii).
c) Para determinar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto, devemos encontrar qual o prec¸o
que torna a demanda igual a` oferta:
500(x2−3x) = −500x+4000⇐⇒ x2−3x = −x+8⇐⇒ x2−3x+x−8 = 0⇐⇒ x2−2x−8 = 0.
Resolvendo esta u´ltima equac¸a˜o por Ba´skara ou por soma e produto, obtemos como ra´ızes x = 4 e
x = −2. Observamos que x representa o prec¸o do produto, logo na˜o deve ser negativo. Portanto,
o prec¸o de equil´ıbrio deve ser 4 reais. Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio, vamos substituir
este valor na fo´rmula da demanda:
D(4) = −500.4 + 4000 = 2000.
Logo, a quantidade de equil´ıbrio e´ de duas mil unidades.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 7
i) Q(x) = 500(x2 − 3x) ii) D(x) = −500x + 4000
3
x
Q
8
x
4000
D
Figura 5: Exerc´ıcio 4
Exerc´ıcio 5 (AP2 - 2013.1)
Considere que as func¸o˜es de demanda e oferta de certo produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P
2
4
+ 2 e Q(P ) =
2
3
P − 1
3
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q nos da˜o a demanda e a oferta em milho˜es de unidades.
a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for de R$0,90?
b) Qual e´ o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo?
c) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo
mesmo?
d) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
e) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e oferta deste produto.
Soluc¸a˜o:
a) Lembrando que 0.9 =
9
10
, temos que
D
(
9
10
)
= −(9/10)
2
4
+ 2 = − 81
100
.
1
4
+ 2 = − 81
400
+ 2 =
−81 + 800
400
=
719
400
,
que e´ aproximadamente igual a 1.8.
Logo, a demanda sera´ de aproximadamente um milha˜o e oitocentas mil unidades quando o prec¸o
for de 90 centavos.
b) Para encontrar o prec¸o m´ınimo, devemos descobrir para qual valor de P temos que Q(P ) = 0.
Q(P ) = 0⇐⇒ 2
3
P − 1
3
= 0⇐⇒ 2
3
P =
1
3
⇐⇒ P = 1
2
= 0.5.
Logo, o prec¸o m´ınimo e´ de R$ 0.50. Observe o gra´fico da func¸a˜o Q na Figura 6.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 8
c) Para encontrar o prec¸o ma´ximo do produto, devemos descobrir para qual valor de P temos
D(P ) = 0.
D(P ) = 0⇐⇒ −P
2
4
+ 2 = 0⇐⇒ P
2
4
= 2⇐⇒ P 2 = 8⇐⇒ P =
√
8⇐⇒ P = 2
√
2.
Logo, o prec¸o ma´ximo corresponde a aproximadamente 2,83 reais. Observe o gra´fico da func¸a˜oD
na Figura 6.
d) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = Q(P ).
D(P ) = Q(P )⇐⇒ −P
2
4
+ 2 =
2
3
P − 1
3
⇐⇒ −P
2
4
− 2
3
P + 2 +
1
3
= 0⇐⇒ −P
2
4
− 2
3
P +
7
3
= 0
⇐⇒ 3P 2 + 8P − 28 = 0.
Resolvendo por Ba´skara, obtemos ∆ = 400 e duas ra´ızes, sendo uma negativa (que na˜o nos
interessa) e outra dada por P = 2 (calcule esses valores). Logo, conclu´ımos que o prec¸o de
equil´ıbrio para este produto e´ de 2 reais.
e) .
DHPL
QHPL
1
2 2 2 2
P
1
2
Figura 6: Exerc´ıcio 5
Exerc´ıcio 6 (AP2 - 2013.2)
Seja f : R −→ R dada por
f(x) =
x2
4
− x
2
− 6.
a) Encontre as ra´ızes de f;
b) Encontre qual o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no qual este m´ınimo se realiza.
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 9
a) Para determinar as ra´ızes de f , devemos resolver f(x) = 0, isto e´,
x2
4
− x
2
− 6 = 0.
Multiplicando ambos os lados por 4, vemos que resolver esta equac¸a˜o equivale a resolver
x2 − 2x− 24 = 0.
Por Ba´skara, temos ∆ = 4 + 96 = 100.
Da´ı, x =
2± 10
2
, o que significa que as ra´ızes sa˜o x1 = −4 e x2 = 6.
b) Observemos que o gra´fico de f e´ uma para´bola cuja concavidade esta voltada para cima, ja´ que
o coeficiente de x2 e´ positivo. Desta forma, o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no
qual esse m´ınimo se realiza sa˜o obtidos pelo ca´lculo das coordenadas do ve´rtice desta para´bola.
A primeira coordenada do ve´rtice, ou seja, o valor de xv = x e´ o ponto me´dio entre as ra´ızes,
logo, xv = (−4 + 6)/2 = 1. Para achar o valor m´ınimo da func¸a˜o basta, agora, encontrar f(1).
Temos que
f(1) =
12
4
− 1
2
− 6 = 1− 2− 24
4
= −25
4
= −6, 25.
Exerc´ıcio 7 Determine o dom´ınio da func¸a˜o
f(x) =
x− 1√
x2 − 5x
3
− 2
3
+
√
2x− 4,
na forma de intervalo.
Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior
ou igual a zero. Assim, x deve satisfazer as desigualdades x2 − 5x
3
− 2
3
≥ 0 e 2x − 4 ≥ 0. Ale´m
disso, note que podemos efetuar a operac¸a˜o de divisa˜o, desde que o denominador seja diferente de
zero. Assim, x tambe´m deve satisfazer
√
x2 − 5x
3
− 2
3
6= 0. Ou seja, x2 − 5x
3
− 2
3
6= 0. Logo, o
dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x, tais que x2 − 5x
3
− 2
3
> 0 e 2x− 4 ≥ 0.
Para determinar o dom´ınio na forma de intervalo, vamos seguir o seguinte procedimento:
• primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 5x
3
− 2
3
> 0;
• em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 4 ≥ 0;
• e, finalmente, fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem
x2 − 5x
3
− 2
3
> 0 e 2x− 4 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio.
Determinac¸a˜ode S1 =
{
x ∈ R : x2 − 5x
3
− 2
3
> 0
}
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP16 10
Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2− 5x
3
− 2
3
= 0, com a = 1, b = −5
3
e c = −2
3
e´ dada
por
∆ = b2 − 4ac =
(
−5
3
)2
− 4(1)
(
−2
3
)
=
49
9
,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
−
(
−5
3
)
±
√
49
9
2(1)
=
5
3
± 7
3
2
.
Ou seja,
x1 =
5
3
+
7
3
2
= 2 x2 =
5
3
− 7
3
2
= −1
3
.
Assim, x2 − 5x
3
− 2
3
= 0 em x1 = 2 e x2 = −1
3
.
Na Figura 7-i). plotamos a para´bola y = x2 − 5x
3
− 2
3
. Notamos que o y da para´bola e´ maior
do que zero quando x satisfaz x < −1
3
ou x > 2.
Da´ı, S1 =
(
−∞,−1
3
)
∪ (2,∞).
i) ii)
+
-
+
-
1
3 2
x
y
+
-
2
x
-4
y
iii)
S1
S2
S = S1ÝS2
-
1
3 2
Figura 7: Exerc´ıcio 7
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 11
Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 4 ≥ 0} .
O valor de x em que 2x− 4 = 0 e´ x = 2.
A reta y = 2x− 4 esta´ plotada na Figura 7-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero
quando x > 2. E, que y = 2x− 4 ≥ 0, quando x ∈ [2,∞).
Da´ı, S2 = [2,∞).
Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 7-iii). Ou seja,
S = S1 ∩ S2 = (2,∞).
Exerc´ıcio 8 (AP3 2015-2) Considere o sistema S de equac¸o˜es:
S :
{
x2 − 6x− y = 0 (i)
2x− y = 7. (ii)
a) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem.
b) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos de (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encontrados no item a)
(se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i)− (ii),
temos 
x2 − 6x− y = 0
−2x + y = −7
+
x2 − 8x = −7
Encontramos enta˜o que
x2 − 8x + 7 = 0⇐⇒ x = 8±
√
64− 28
2
⇐⇒ x = 8± 6
2
⇐⇒ x = 7 ou x = 1.
Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que
• para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5.
• para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7.
Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7).
b) As equac¸o˜es x2 − 6x− y = 0 e 2x− y = 7 podem ser reescritas por y = x2 − 6x e y = 2x− 7
cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente.
Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de
x2 e´ positivo. Ale´m disso, a = 1, b = −6, c = 0. Temos tambe´m que
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 12
• x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0).
• O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
xv = − b
2a
= −(−6)
2(1)
= 3 e †v = x2v − 6xv = (3)2 − 6(3) = 9.
Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais
ela passa. Temos que:
• x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7
2
. Ou seja,
(
7
2
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 8 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x− 7.
V
1
7
2 6 7
x
-5
-3
7
-7
-9
y
Figura 8: Questa˜o ??, item b)
Exerc´ıcio 9 (AP2 - 2016.1) Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano cartesiano,
de forma que a origem e´ o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o representados
no eixo y e o leste e o oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa noturna sera´
constru´ıda no bairro e que sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto
(
−2
5
, 3
)
. Uma fam´ılia
deseja comprar uma casa neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada, no plano, por
(x, y).
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a) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em pontos (x, y), tais
que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual e´ a inequac¸a˜o
modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x que satisfazem
a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na forma de um
intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
b) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Pedro.
c) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar a ordenada y e
pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria constru´ıda a
casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o corretor
tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a
inequac¸a˜o.
d) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Maria.
e) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou para o corretor e
incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor ou igual a 1km.
Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima restric¸a˜o que
Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o.
f) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` nova condic¸a˜o imposta por Maria.
g) [Este item na˜o constava da questa˜o original] O filho do casal, estudante de direito, vendo a aflic¸a˜o
do corretor, resolveu colocar mais lenha na fogueira e disse que so´ aceitava se mudar se a ordenada
y da casa satisfizesse a inequac¸a˜o
2
(
3
2
− y
)2
− 3y
(
y − 5
3
)
≤
(
4
−√3
)2
.
Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o do filho.
h) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela esta´ localizada no
ponto
(
−2
5
,
1
4
)
. Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ?
i) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Como Maria na˜o conseguiu convencer o corretor,
por meio das inequac¸o˜es, de que a casa que ele ofereceu na˜o era adequada, resolveu fazer um
esboc¸o mostrando regia˜o que atende a`s duas condic¸o˜es por ela impostas, e a casa oferecida. Fac¸a
este esboc¸o.
Soluc¸a˜o:
a) Observe que o marido refere-se apenas a`s abscissas da casa e da futura casa noturna. Portanto,
ele esta´ se referindo a pontos da reta. Ale´m disso, sabemos que a distaˆncia entre dois pontos a
e b da reta, i.e. a, b ∈ R, e´ dada por |a − b|. Como a abscissa da futura casa noturna e´ −2
5
e
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a da casa e´ x, e a distaˆncia entre elas deve ser maior do que 3, temos que a inequac¸a˜o modular
que modela o problema e´ ∣∣∣∣x− (−25
)∣∣∣∣ > 3,
ou seja,
⇔
∣∣∣∣x + 25
∣∣∣∣ > 3.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos utilizar o Teorema 2 do EP9, que diz que para c e d
reais, |c| > d ⇔ (c < −d ou c > d). Desta forma, tomando c = x + 2
5
e d = 3, temos que∣∣∣∣x + 25
∣∣∣∣ > 3 ⇐⇒ x + 25 < −3 ou x + 25 > 3
⇐⇒ x < −3− 2
5
ou x > 3− 2
5
⇐⇒ x < −3 · 5
5
− 2
5
ou x >
3 · 5
5
− 2
5
⇐⇒ x < −15
5
− 2
5
ou x >
15
5
− 2
5
⇐⇒ x < −17
5
ou x >
13
5
.
⇐⇒ x ∈
(
−∞,−17
5
)
∪
(
13
5
,∞
)
.
b) Esboc¸ando o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem x ∈
(
−∞,−17
5
)
∪
(
13
5
,∞
)
, temos a
figura abaixo:
c) Observe que Maria, diferentemente de Pedro, refere-se a pontos do plano. Sabemos que a
distaˆncia,d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em R2 e´ dada por
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
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Desta forma, como, no plano, a casa e´ representada pelo ponto (x, y) e a futura casa noturna,
por
(
−2
5
, 3
)
, a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e a futura casa noturna seja maior do
que 3km e´ traduzida, matematicamente, por√(
x−
(
−2
5
))2
+ (y − 3)2 > 3,
ou seja, por √(
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3,
ou, equivalentemente, por (
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9.
d) O conjunto dos pontos que satisfazem a` desigualdade
(
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9 e´ dado pelos
pontos exteriores ao c´ırculo de centro
(−2
5
, 3
)
e raio 3. Assim, temos
e) Como, no plano, o Hospital H corresponde a` origem, i.e. ao ponto (0, 0), a exigeˆncia de que a
distaˆncia entre a casa e o hospital seja menor ou igual a 1km e´ traduzida, matematicamente, por√
(x− 0)2 + (y − 0)2 ≤ 1,
ou seja, por √
x2 + y2 ≤ 1,
ou, equivalentemente, por
x2 + y2 ≤ 1.
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f) O conjunto dos pontos que satisfazem a` desigualdade x2 + y2 6 1 e´ dado pelos pontos interiores
ao c´ırculo de centro (0, 0) e raio 1, ou sobre a circunfereˆncia. Assim, temos
g) Resolvendo a inequac¸a˜o, temos que
2
(
3
2
− y
)2
− 3y
(
y − 5
3
)
≤
(
4
−√3
)2
⇐⇒ 2
((
3
2
)2
− 2 · 3
2
· y + y2
)
−
(
3y · y − 3y · 5
3
)
≤ (4)
2(−√3)2
⇐⇒ 2
(
9
4
− 2 · 3 · y
2
+ y2
)
−
(
3y2 − 3y · 5
3
)
≤ 16
3
⇐⇒ 2 · 9
4
− 2 · 6y
2
+ 2y2 − 3y2 + 3y · 5
3
≤ 16
3
⇐⇒ 9
2
− 6y + 2y2 − 3y2 + 5y − 16
3
≤ 0
⇐⇒ −y2 − y + 9
2
− 16
3
≤ 0
⇐⇒ −6y
2
6
− 6y
6
+
3 · 9
6
− 2 · 16
6
≤ 0
⇐⇒ −6y
2
6
− 6y
6
+
27
6
− 32
6
≤ 0
⇐⇒ −6y
2
6
− 6y
6
− 5
6
≤ 0
⇐⇒ −6y2 − 6y − 5 ≤ 0.
Vamos chamar z de −6y2 − 6y − 5, isto e´, z = −6y2 − 6y − 5, e estudar esta equac¸a˜o no plano
yz, onde o eixo horizontal sera´ representado por y e o vertical, por z.
Observe que o gra´fico da equac¸a˜o z = −6y2−6y−5 e´ uma para´bola no plano yz. Vamos, enta˜o,
estudar o sinal da ordenada z da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela
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tem a concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de y2 e´ negativo. Vamos agora fazer
z = 0, isto e´, vamos fazer −6y2−6y−5 = 0, para descobrir os pontos onde a para´bola intercepta
o eixo y. Usando Bhaskara, temos que ∆ = (−6)2 − 4(−6)(−5) = 36 − 120 = −84 < 0, o
que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo y. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola
e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− −6
2(−6) ,−
(−84)
4(−6)
)
=
(
−1
2
,−21
6
)
. A partir destas informac¸o˜es, plotamos
o gra´fico da para´bola na Figura 9. Nele, observamos que para qualquer y real, o ponto (y, z) da
para´bola, tem sempre o valor dez negativo.
Dessa forma, z = −6y2−6y−5 < 0, para todo y ∈ R. Portanto, a equac¸a˜o do filho na˜o fornece,
de fato, nenhuma restric¸a˜o para a ordenada y da casa.
Na Figura 9 plotamos a para´bola z = −6y2 − 6y − 5 para uma melhor visualizac¸a˜o do que foi
exposto acima.
Figura 9: Questa˜o ??
h) O sistema de inequac¸o˜es que modela as exigeˆncias de Maria e´
√(
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3 (i)√
x2 + y2 ≤ 1 (ii)
,
ou, equivalentemente, { (
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9 (iii)
x2 + y2 ≤ 1 (iv)
Para sabermos se a localizac¸a˜o da casa apresentada pelo corretor atende a`s restric¸o˜es impostas
por Maria, vamos substituir o ponto dado nas inequac¸o˜es (iii) e (iv). Desta forma, conforme
pode ser visto abaixo, a casa satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iv), mas na˜o sa-
tisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iii).
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 18

(
−2
5
+
2
5
)2
+
(
1
4
− 3
)2
> 9(
−2
5
)2
+
(
1
4
)2
≤ 1
⇔
 02 +
(
1
4
− 4 · 3
4
)2
> 9
4
25
+
1
16
≤ 1
⇔

(
1− 12
4
)2
> 9
16 · 4
25 · 16 +
25
16 · 25 ≤ 1
⇔

(
−11
4
)2
> 9
64
400
+
25
400
≤ 1
⇔

112
42
> 9
89
400
≤ 1
⇔

121
16
> 9
89
400
≤ 1
⇔
{
121 > 9 · 16
89 ≤ 400
⇔
{
121 > 144 (Falso)
89 ≤ 400 (Verdadeiro)
Logo, Maria na˜o ficou satisfeita com a localizac¸a˜o da casa, ja´ que a distaˆncia da casa a` casa
noturna na˜o sera´ maior do que 3 km.
i) Representando as condic¸o˜es impostas por Maria (a intersec¸a˜o das regio˜es dos itens (d) e (f)), e
a casa oferecida pelo corretor (o ponto
(−2
5
, 1
4
)
), temos
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 19
Exerc´ıcio 10 (AP2 - 2016.2) Uma pesquisa de mercado buscou identificar os gastos mensais dos
consumidores com sau´de e alimentac¸a˜o, em uma certa populac¸a˜o. Depois de processados os dados,
estimou-se que a me´dia do gasto mensal com sau´de era de R$210,00, e o gasto me´dio mensal com
alimentac¸a˜o era de R$352,00. Estes dados, pore´m, possuem uma margem de erro!
(a) A margem de erro e de uma pesquisa e´ o valor ma´ximo, em mo´dulo, da diferenc¸a entre o valor
obtido pela pesquisa e o valor real. Assim, se mc e´ o valor correto e mp e´ o valor obtido na
pesquisa, tem-se sempre que
|mc −mp| 6 e.
Se a margem de erro do gasto me´dio em sau´de e´ de R$ 20,00 e a margem de erro dos gastos
com alimentac¸a˜o e´ de R$ 30,00, determine o intervalo ao qual pode pertencer o gasto
me´dio real com sau´de e o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com
alimentac¸a˜o.
(b) Considere um sistema de coordenadas no plano que tenha os gastos com sau´de no eixo horizontal
e os gastos com alimentac¸a˜o no eixo vertical. Como exemplo, um gasto de R$100,00 com sau´de
e R$200,00 com alimentac¸a˜o estaria representado no ponto (100, 200).
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 20
Verifique se os pontos a seguir podem representar gastos me´dios reais. Justifique sua
resposta.
(i) (200, 380) (ii) (240, 30)
(c) Considere o sistema de coordenadas no plano especificado no item (b). Isto e´, o eixo horizon-
tal representa os gastos com sau´de e o o eixo vertical representa os gastos com alimentac¸a˜o.
Represente o ponto correspondente aos gastos me´dios obtidos na pesquisa no sistema
de eixos fornecido no caderno de resposta. Neste mesmo sistema de eixos, esboce a
regia˜o onde pode estar o ponto correspondente aos gastos me´dios reais, de acordo com
o que voceˆ respondeu no item (a). (Por esboc¸ar a regia˜o, entenda que voceˆ devera´ delimitar
claramente a regia˜o e hachurar a parte a` qual seus pontos pertencem, como feito em EPs e/ou
questo˜es da AD.)
Soluc¸a˜o:
(a) Se o gasto me´dio com sau´de obtido pela pesquisa foi mp = 210, 00 e a margem de erro e´ de
20, 00, o gasto me´dio real com sau´de, que chamaremos de mr, satisfaz
|mr − 210| 6 20.
Com isso, temos
−20 6 mr − 210 6 20.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−20 6 mr − 210⇔ mr − 210 > −20⇔ mr > −20 + 210⇔ mr > 190.
A segunda pode ser reescrita
mr − 210 6 20⇔ mr 6 20 + 210⇔ mr 6 230.
Com isso, 190 6 mr 6 230 ou, ainda, mr ∈ [190, 230].
Se o gasto me´dio com alimentac¸a˜o obtido pela pesquisa foi m′p = 352, 00 e a margem de erro e´
de 30, 00, o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, que chamaremos de m′r, satisfaz
|m′r − 352| 6 30.
Com isso, temos
−30 6 m′r − 352 6 30.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−30 6 m′r − 352⇔ m′r − 352 > −30⇔ m′r > −30 + 352⇔ m′r > 322.
A segunda pode ser reescrita
m′r − 352 6 30⇔ m′r 6 30 + 352⇔ m′r 6 382.
Com isso, 322 6m′r 6 382 ou, ainda, m′r ∈ [322, 382].
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 21
(b) Soluc¸a˜o: O ponto (200, 380) representa que o gasto me´dio real com sau´de e´ R$200,00
e com alimentac¸a˜o e´ R$380,00. Este ponto pode representar os gastos me´dios reais, pois
200 ∈ [190, 230] e 380 ∈ [322, 382].
O ponto (240, 30) na˜o pode representar os gastos me´dios reais, pois R$30,00 na˜o pode repre-
sentar o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, dado que 30 /∈ [322, 382].
(c) No sistema abaixo, representamos o ponto (210, 352), obtido pela pesquisa como sendo os gastos
me´dios. O gasto me´dio real com sau´de (eixo horizontal) deve pertencer ao intervalo [190, 230]
e o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o (eixo vertical) deve pertencer ao intervalo [322, 382].
Assim, a regia˜o onde podem estar os gastos me´dios reais e´ dada por [190, 230] × [322, 382],
esboc¸ada abaixo:
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