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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP16 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1 Exerc´ıcio 1 Encontre o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es. a) −|3− 4x| < −5 (AP2 - 2012.2) b) 2(x + 5)2 ≥ 2x + 14 (AP2 - 2012.2) c) |2x + 3| − 2 > 3 (AP2 - 2013.1) d) |11− x2| > 2 (AP2 - 2014.1) Soluc¸a˜o: a) −|3− 4x| < −5⇐⇒ |3− 4x| > 5. Isso significa que 3− 4x > 5 ou que 3− 4x < −5. No primeiro caso, temos que 3− 4x > 5⇐⇒ −4x > 2⇐⇒ x < −1/2. No segundo caso, temos que 3− 4x < −5⇐⇒ −4x < −8⇐⇒ x > 2. Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = ( −∞,−1 2 ) ∪ (2,∞) . Outra modo de resolver a inequac¸a˜o −|3− 4x| < −5 −|3− 4x| < −5⇐⇒ |3− 4x| > 5. Assim, para resolver −|3− 4x| < −5, basta resolver |3− 4x| > 5. Vamos determinar o valor de |3− 4x|. Temos que |3− 4x| = 3− 4x, se 3− 4x ≥ 0 −(3− 4x), se 3− 4x < 0, ⇐⇒ |3− 4x| = 3− 4x, se x ≤ 3 4 4x− 3, se x > 3 4 . Observamos que o valor do mo´dulo, da inequac¸a˜o |3− 4x| > 5, depende da localizac¸a˜o de x em relac¸a˜o ao ponto 3/4. Tomando como refereˆncia este valor, temos dois casos a analisar. Caso A: quando x esta´ em (−∞, 3/4], vamos determinar a soluc¸a˜o S1 de |3− 4x| > 5. Caso B: quando x esta´ no intervalo (3/4,∞), vamos determinar a soluc¸a˜o S2 de |3− 4x| > 5. Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da inequac¸a˜o dada em R, sera´ determinada por S = SA∪SB. Caso A: x ∈ (−∞, 3/4]. Temos que |3− 4x| > 5⇐⇒ 3− 4x > 5⇐⇒ −4x > 2⇐⇒ 4x < −2⇐⇒ x < −1 2 . Logo, x ∈ (−∞,−1/2). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos conside- rando, que e´ (−∞, 3/4], devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que SA = ( −∞,−1 2 ) . Me´todos Determin´ısticos I EP16 2 Caso B: x ∈ (3/4,∞). Temos que |3− 4x| > 5⇐⇒ 4x− 3 > 5⇐⇒ 4x > 8⇐⇒ x > 2. Logo, x ∈ (2,∞). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos considerando, que e´ (3/4,∞), devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que SB = (2,∞) . Assim, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´: S = SA ∪ SB = ( −∞,−1 2 ) ∪ (2,∞) . b) 2(x+5)2 ≥ 2x+14⇐⇒ 2x2+20x+50 ≥ 2x+14⇐⇒ 2x2+18x+36 ≥ 0⇐⇒ x2+9x+18 ≥ 0. Chamando x2 +9x+18 de y, isto e´, y = x2 +9x+18, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando e´ maior do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = x2 + 9x+ 18 e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2 + 9x+ 18 = 0 que sa˜o obtidas pela fo´rmula de Baskara x = −(9)±√81− 4(1)(18) 2(1) = −9±√9 2 = −9± 3 2 Logo, esta equac¸a˜o tem duas ra´ızes reais x1 = −3 e x2 = −6. Isto significa que o gra´fico de y = x2 + 9x + 18 corta o eixo x, nos dois pontos acima. O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 1. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´ + - + -6 -3 x y Figura 1: Exerc´ıcio 1 - Item b) maior que zero para x > −3 ou x < −6. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ dado por (−∞,−6] ∪ [−3,∞) . Note que na soluc¸a˜o devemos, tambe´m, incluir os pontos onde x2 + 9x + 18 = 0. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 3 c) |2x + 3| − 2 > 3⇐⇒ |2x + 3| > 5. Isso significa que 2x + 3 > 5 ou que 2x + 3 < −5. No primeiro caso, temos que 2x + 3 > 5⇐⇒ 2x > 2⇐⇒ x > 1. No segundo caso, temos que 2x + 3 < −5⇐⇒ 2x < −8⇐⇒ x < −4. Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−4) ∪ (1,∞) . d) Como |11− x2| > 2, isso significa que 11− x2 > 2 ou que 11− x2 < −2. No primeiro caso, temos que 11 − x2 > 2 ⇐⇒ −x2 + 9 > 0. Chamando −x2 + 9 de y, isto e´, y = −x2 + 9, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando e´ maior do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = −x2 + 9 e´ uma para´bola com concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo. Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau −x2 + 9 = 0, ou seja, x2 = 9⇐⇒ x = ±√9⇐⇒ x1 = −3, x2 = 3. Isto significa que o gra´fico de y = −x2 + 9 corta o eixo x, em x1 = −3 e x2 = 3. O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 2. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´ maior que zero para −3 < x < 3. - + - -3 3 x 9 y Figura 2: Exerc´ıcio 1 - Item d) No segundo caso, temos que 11− x2 < −2⇐⇒ −x2 + 13 < 0. Chamando −x2 + 13 de y, isto e´, y = −x2 + 13, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando e´ menor do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = −x2 + 13 e´ uma para´bola com concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo. Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau −x2 + 13 = 0, ou seja, x2 = 13 ⇐⇒ x = ±√13 ⇐⇒ x1 = − √ 13, x2 = √ 13. Isto significa que o gra´fico de y = −x2 + 13 corta o eixo x, em x1 = − √ 13 e x2 = √ 13. O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 3. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´ menor do que zero para x < −√13 ou x > √13. Fazendo a reunia˜o do conjunto soluc¸a˜o obtido a partir da ana´lise de cada um dos dois casos acima, conclu´ımos que o conjunto soluc¸a˜o de |11−x2| > 2 e´ S = (−∞,− √ 13) ∪ (−3, 3) ∪ ( √ 13,∞) . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 4 - + - - 13 13 x 13 y Figura 3: Exerc´ıcio 1 - Item d) Exerc´ıcio 2 Resolva cada um dos sistemas a) S1 : { y + x2 − 2x = −4 x + y = −8 (AP2 - 2012.2) b) S2 : { 3x− 4y = −27 5x− 2y = 11 (AP2 - 2013.2) Soluc¸a˜o: a) Da segunda equac¸a˜o de S1, temos que y = −8− x. Substituindo-a na primeira equac¸a˜o de S1, obtemos: −8− x + x2 − 2x = −4⇐⇒ x2 − 3x− 4 = 0. Resolvendo essa equac¸a˜o do segundo grau, por Ba´skara, obtemos x = −(−3)±√(−3)2 − 4(1)(−4) 2(1) = 3±√25 2 = 3± 5 2 , ou seja, as ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 3x − 4 = 0 sa˜o x1 = −1 e x2 = 4. Para resolver o sistema S1, ainda temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta. Para x1 = −1, temos y1 = −8− (−1) = −7 Para x2 = 4, temos y2 = −8− 4 = −12. Logo, as soluc¸o˜es de S1 sa˜o: (x1, y1) = (−1,−7) e (x2, y2) = (4,−12). b) Multiplicando por −2, a segunda equac¸a˜o de S2, ficamos com −10x + 4y = −22 que somada a` primeira equac¸a˜o de S2, resulta −7x = −49. Da´ı, temos que x = 7. Substituindo-a na segunda equac¸a˜o de S2, temos 35− 2y = 11, donde segue que 2y = 35− 11 = 24. Portanto, y = 12. A soluc¸a˜o e´ (x, y) = (7, 12). Exerc´ıcio 3 Represente, no mesmo plano cartesiano, o gra´fico de cada uma das equac¸o˜es do sistema do Exerc´ıcio 2, item a). Localize tambe´m, graficamente, a(s) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) encontrada(s) para esse sistema, caso exista(m). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 5 Soluc¸a˜o: Observemos que a primeira equac¸a˜o de S1 pode ser reeescrita por y = −x2 + 2x − 4. Logo, o gra´fico desta equac¸a˜o e´ uma para´bola cuja concavidade esta´ voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo. Temos que: • Fazendo y = 0, a para´bola intercepta o eixo-x nos valores de x que satisfazem−x2+2x−4 = 0. No entanto, por Ba´skara, temos que ∆ = −12 < 0, o que significa que na˜o existem ra´ızes reais para a equac¸a˜o −x2 + 2x− 4 = 0. Logo, y = −x2 + 2x− 4 na˜o intercepta o eixo x. • Fazendo x = 0, vemos que a para´bola intercepta o eixo y no ponto y = −02− 2(0)− 4 = −4. • O ve´rtice V da para´bola e´ determinado por V = (xv, yv) = ( −b 2a , −∆ 4a ) . Logo, V = ( −2 2(−1) , −(−12) 4(−1) ) = (1,−3) . A segunda equac¸a˜o, x + y = −8, de S1 e´ uma reta. Logo, para trac¸a´-la precisamos de dois pontos. Para x = 0, temos que y = −8. Para y = 0, temos que x = −8. Trac¸amos, enta˜o areta pelos pontos (0,−8) e (−8, 0). Na Figura 4, trac¸amos o esboc¸o da para´bola e da reta, bem como dos pontos de intersec¸a˜o entre elas, que foram determinados no item a) do Exerc´ıcio 2. -8 -1 1 4 x -12 -8 -7 -4 -3 y Figura 4: Exerc´ıcio 3 Exerc´ıcio 4 (AP2 - 2012 .2) Certo produto tem sua demanda dada por uma func¸a˜o afim. Ale´m disso, quando o produto e´ vendido a 2 reais, a demanda e´ de 3000 unidades e, se o prec¸o for elevado a 6 reais, a demanda cai para 1000 unidades. Sabe-se, ainda, que a oferta deste produto e´ dada pela fo´rmula Q(x) = 500(x2 − 3x). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 6 a) Qual a fo´rmula da func¸a˜o D(x) que representa a demanda relacionada a este produto em func¸a˜o de seu prec¸o x? b) Qual e´ o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta (prec¸o m´ınimo do produto) e qual o prec¸o acima do qual na˜o ha´ demanda (prec¸o ma´ximo)? c) Qual o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto? Soluc¸a˜o: a) Sabemos que a func¸a˜o e´ afim, logo sua fo´rmula e´ expressa por D(x) = ax + b, onde a e b sa˜o nu´meros reais. Quando o produto custa 2 reais, sa˜o demandadas 3000 unidades, logo a.2 + b = 3000. E, quando o produto custa 6 reais sa˜o demandadas 1000 unidades, donde a.6 + b = 1000. Da primeira equac¸a˜o obtemos b = 3000− 2a, que substitu´ıda na segunda, nos da´ 6a + 3000− 2a = 1000. Resolvendo esta equac¸a˜o, obtemos 4a = −2000, isto e´, a = −500. E, disto segue que b = 3000− 2a = 3000− 2(−500) = 4000. Logo, a func¸a˜o demanda e´ D(x) = −500x + 4000 . b) Para determinar o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta, vamos analisar a func¸a˜o, que nos da´ a oferta, Q(x) = 500(x2 − 3x). Note que ela e´ igual a zero quando 500(x2 − 3x) = 0⇐⇒ (x2 − 3x) = 0⇐⇒ x(x− 3) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 3. Como o gra´fico de Q e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo, vemos que, para que a oferta seja positiva, e´ necessa´rio que o prec¸o seja maior que 3 reais (abaixo disso ter´ıamos “oferta negativa”). Observe o gra´fico de Q, na Figura 5–i). Portanto, o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta e´ P = 3 reais. Ja´ quanto a` demanda, vemos que na˜o ha´ demanda, isto e´, ela e´ nula quando −500x+ 4000 = 0, ou seja, quando 4000 = 500x. Assim, obtemos que o prec¸o ma´ximo, acima do qual na˜o ha´ demanda para o produto, e´ 8 reais. Observe isso no gra´fico da func¸a˜o demanda na Figura 5-ii). c) Para determinar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto, devemos encontrar qual o prec¸o que torna a demanda igual a` oferta: 500(x2−3x) = −500x+4000⇐⇒ x2−3x = −x+8⇐⇒ x2−3x+x−8 = 0⇐⇒ x2−2x−8 = 0. Resolvendo esta u´ltima equac¸a˜o por Ba´skara ou por soma e produto, obtemos como ra´ızes x = 4 e x = −2. Observamos que x representa o prec¸o do produto, logo na˜o deve ser negativo. Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio deve ser 4 reais. Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio, vamos substituir este valor na fo´rmula da demanda: D(4) = −500.4 + 4000 = 2000. Logo, a quantidade de equil´ıbrio e´ de duas mil unidades. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 7 i) Q(x) = 500(x2 − 3x) ii) D(x) = −500x + 4000 3 x Q 8 x 4000 D Figura 5: Exerc´ıcio 4 Exerc´ıcio 5 (AP2 - 2013.1) Considere que as func¸o˜es de demanda e oferta de certo produto sa˜o dadas, respectivamente, por D(P ) = −P 2 4 + 2 e Q(P ) = 2 3 P − 1 3 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q nos da˜o a demanda e a oferta em milho˜es de unidades. a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for de R$0,90? b) Qual e´ o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo? c) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo? d) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? e) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e oferta deste produto. Soluc¸a˜o: a) Lembrando que 0.9 = 9 10 , temos que D ( 9 10 ) = −(9/10) 2 4 + 2 = − 81 100 . 1 4 + 2 = − 81 400 + 2 = −81 + 800 400 = 719 400 , que e´ aproximadamente igual a 1.8. Logo, a demanda sera´ de aproximadamente um milha˜o e oitocentas mil unidades quando o prec¸o for de 90 centavos. b) Para encontrar o prec¸o m´ınimo, devemos descobrir para qual valor de P temos que Q(P ) = 0. Q(P ) = 0⇐⇒ 2 3 P − 1 3 = 0⇐⇒ 2 3 P = 1 3 ⇐⇒ P = 1 2 = 0.5. Logo, o prec¸o m´ınimo e´ de R$ 0.50. Observe o gra´fico da func¸a˜o Q na Figura 6. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 8 c) Para encontrar o prec¸o ma´ximo do produto, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = 0. D(P ) = 0⇐⇒ −P 2 4 + 2 = 0⇐⇒ P 2 4 = 2⇐⇒ P 2 = 8⇐⇒ P = √ 8⇐⇒ P = 2 √ 2. Logo, o prec¸o ma´ximo corresponde a aproximadamente 2,83 reais. Observe o gra´fico da func¸a˜oD na Figura 6. d) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = Q(P ). D(P ) = Q(P )⇐⇒ −P 2 4 + 2 = 2 3 P − 1 3 ⇐⇒ −P 2 4 − 2 3 P + 2 + 1 3 = 0⇐⇒ −P 2 4 − 2 3 P + 7 3 = 0 ⇐⇒ 3P 2 + 8P − 28 = 0. Resolvendo por Ba´skara, obtemos ∆ = 400 e duas ra´ızes, sendo uma negativa (que na˜o nos interessa) e outra dada por P = 2 (calcule esses valores). Logo, conclu´ımos que o prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ de 2 reais. e) . DHPL QHPL 1 2 2 2 2 P 1 2 Figura 6: Exerc´ıcio 5 Exerc´ıcio 6 (AP2 - 2013.2) Seja f : R −→ R dada por f(x) = x2 4 − x 2 − 6. a) Encontre as ra´ızes de f; b) Encontre qual o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no qual este m´ınimo se realiza. Soluc¸a˜o: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 9 a) Para determinar as ra´ızes de f , devemos resolver f(x) = 0, isto e´, x2 4 − x 2 − 6 = 0. Multiplicando ambos os lados por 4, vemos que resolver esta equac¸a˜o equivale a resolver x2 − 2x− 24 = 0. Por Ba´skara, temos ∆ = 4 + 96 = 100. Da´ı, x = 2± 10 2 , o que significa que as ra´ızes sa˜o x1 = −4 e x2 = 6. b) Observemos que o gra´fico de f e´ uma para´bola cuja concavidade esta voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Desta forma, o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no qual esse m´ınimo se realiza sa˜o obtidos pelo ca´lculo das coordenadas do ve´rtice desta para´bola. A primeira coordenada do ve´rtice, ou seja, o valor de xv = x e´ o ponto me´dio entre as ra´ızes, logo, xv = (−4 + 6)/2 = 1. Para achar o valor m´ınimo da func¸a˜o basta, agora, encontrar f(1). Temos que f(1) = 12 4 − 1 2 − 6 = 1− 2− 24 4 = −25 4 = −6, 25. Exerc´ıcio 7 Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) = x− 1√ x2 − 5x 3 − 2 3 + √ 2x− 4, na forma de intervalo. Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior ou igual a zero. Assim, x deve satisfazer as desigualdades x2 − 5x 3 − 2 3 ≥ 0 e 2x − 4 ≥ 0. Ale´m disso, note que podemos efetuar a operac¸a˜o de divisa˜o, desde que o denominador seja diferente de zero. Assim, x tambe´m deve satisfazer √ x2 − 5x 3 − 2 3 6= 0. Ou seja, x2 − 5x 3 − 2 3 6= 0. Logo, o dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x, tais que x2 − 5x 3 − 2 3 > 0 e 2x− 4 ≥ 0. Para determinar o dom´ınio na forma de intervalo, vamos seguir o seguinte procedimento: • primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 5x 3 − 2 3 > 0; • em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 4 ≥ 0; • e, finalmente, fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem x2 − 5x 3 − 2 3 > 0 e 2x− 4 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio. Determinac¸a˜ode S1 = { x ∈ R : x2 − 5x 3 − 2 3 > 0 } . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 10 Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2− 5x 3 − 2 3 = 0, com a = 1, b = −5 3 e c = −2 3 e´ dada por ∆ = b2 − 4ac = ( −5 3 )2 − 4(1) ( −2 3 ) = 49 9 , assim, x = −b±√∆ 2a = − ( −5 3 ) ± √ 49 9 2(1) = 5 3 ± 7 3 2 . Ou seja, x1 = 5 3 + 7 3 2 = 2 x2 = 5 3 − 7 3 2 = −1 3 . Assim, x2 − 5x 3 − 2 3 = 0 em x1 = 2 e x2 = −1 3 . Na Figura 7-i). plotamos a para´bola y = x2 − 5x 3 − 2 3 . Notamos que o y da para´bola e´ maior do que zero quando x satisfaz x < −1 3 ou x > 2. Da´ı, S1 = ( −∞,−1 3 ) ∪ (2,∞). i) ii) + - + - 1 3 2 x y + - 2 x -4 y iii) S1 S2 S = S1ÝS2 - 1 3 2 Figura 7: Exerc´ıcio 7 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 11 Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 4 ≥ 0} . O valor de x em que 2x− 4 = 0 e´ x = 2. A reta y = 2x− 4 esta´ plotada na Figura 7-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero quando x > 2. E, que y = 2x− 4 ≥ 0, quando x ∈ [2,∞). Da´ı, S2 = [2,∞). Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 7-iii). Ou seja, S = S1 ∩ S2 = (2,∞). Exerc´ıcio 8 (AP3 2015-2) Considere o sistema S de equac¸o˜es: S : { x2 − 6x− y = 0 (i) 2x− y = 7. (ii) a) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem. b) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos de (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encontrados no item a) (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i)− (ii), temos x2 − 6x− y = 0 −2x + y = −7 + x2 − 8x = −7 Encontramos enta˜o que x2 − 8x + 7 = 0⇐⇒ x = 8± √ 64− 28 2 ⇐⇒ x = 8± 6 2 ⇐⇒ x = 7 ou x = 1. Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que • para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5. • para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7. Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7). b) As equac¸o˜es x2 − 6x− y = 0 e 2x− y = 7 podem ser reescritas por y = x2 − 6x e y = 2x− 7 cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente. Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2 e´ positivo. Ale´m disso, a = 1, b = −6, c = 0. Temos tambe´m que Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 12 • x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0. Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0). • y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6. Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0). • O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas xv = − b 2a = −(−6) 2(1) = 3 e †v = x2v − 6xv = (3)2 − 6(3) = 9. Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais ela passa. Temos que: • x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta. • y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7 2 . Ou seja, ( 7 2 , 0 ) e´ um ponto da reta. Na Figura 8 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x− 7. V 1 7 2 6 7 x -5 -3 7 -7 -9 y Figura 8: Questa˜o ??, item b) Exerc´ıcio 9 (AP2 - 2016.1) Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano cartesiano, de forma que a origem e´ o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o representados no eixo y e o leste e o oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa noturna sera´ constru´ıda no bairro e que sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto ( −2 5 , 3 ) . Uma fam´ılia deseja comprar uma casa neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada, no plano, por (x, y). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 13 a) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em pontos (x, y), tais que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual e´ a inequac¸a˜o modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x que satisfazem a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos. b) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Pedro. c) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar a ordenada y e pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria constru´ıda a casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o corretor tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o. d) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Maria. e) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou para o corretor e incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor ou igual a 1km. Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o. f) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano que satisfazem a` nova condic¸a˜o imposta por Maria. g) [Este item na˜o constava da questa˜o original] O filho do casal, estudante de direito, vendo a aflic¸a˜o do corretor, resolveu colocar mais lenha na fogueira e disse que so´ aceitava se mudar se a ordenada y da casa satisfizesse a inequac¸a˜o 2 ( 3 2 − y )2 − 3y ( y − 5 3 ) ≤ ( 4 −√3 )2 . Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o do filho. h) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela esta´ localizada no ponto ( −2 5 , 1 4 ) . Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ? i) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Como Maria na˜o conseguiu convencer o corretor, por meio das inequac¸o˜es, de que a casa que ele ofereceu na˜o era adequada, resolveu fazer um esboc¸o mostrando regia˜o que atende a`s duas condic¸o˜es por ela impostas, e a casa oferecida. Fac¸a este esboc¸o. Soluc¸a˜o: a) Observe que o marido refere-se apenas a`s abscissas da casa e da futura casa noturna. Portanto, ele esta´ se referindo a pontos da reta. Ale´m disso, sabemos que a distaˆncia entre dois pontos a e b da reta, i.e. a, b ∈ R, e´ dada por |a − b|. Como a abscissa da futura casa noturna e´ −2 5 e Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 14 a da casa e´ x, e a distaˆncia entre elas deve ser maior do que 3, temos que a inequac¸a˜o modular que modela o problema e´ ∣∣∣∣x− (−25 )∣∣∣∣ > 3, ou seja, ⇔ ∣∣∣∣x + 25 ∣∣∣∣ > 3. Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos utilizar o Teorema 2 do EP9, que diz que para c e d reais, |c| > d ⇔ (c < −d ou c > d). Desta forma, tomando c = x + 2 5 e d = 3, temos que∣∣∣∣x + 25 ∣∣∣∣ > 3 ⇐⇒ x + 25 < −3 ou x + 25 > 3 ⇐⇒ x < −3− 2 5 ou x > 3− 2 5 ⇐⇒ x < −3 · 5 5 − 2 5 ou x > 3 · 5 5 − 2 5 ⇐⇒ x < −15 5 − 2 5 ou x > 15 5 − 2 5 ⇐⇒ x < −17 5 ou x > 13 5 . ⇐⇒ x ∈ ( −∞,−17 5 ) ∪ ( 13 5 ,∞ ) . b) Esboc¸ando o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem x ∈ ( −∞,−17 5 ) ∪ ( 13 5 ,∞ ) , temos a figura abaixo: c) Observe que Maria, diferentemente de Pedro, refere-se a pontos do plano. Sabemos que a distaˆncia,d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em R2 e´ dada por d = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 15 Desta forma, como, no plano, a casa e´ representada pelo ponto (x, y) e a futura casa noturna, por ( −2 5 , 3 ) , a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e a futura casa noturna seja maior do que 3km e´ traduzida, matematicamente, por√( x− ( −2 5 ))2 + (y − 3)2 > 3, ou seja, por √( x + 2 5 )2 + (y − 3)2 > 3, ou, equivalentemente, por ( x + 2 5 )2 + (y − 3)2 > 9. d) O conjunto dos pontos que satisfazem a` desigualdade ( x + 2 5 )2 + (y − 3)2 > 9 e´ dado pelos pontos exteriores ao c´ırculo de centro (−2 5 , 3 ) e raio 3. Assim, temos e) Como, no plano, o Hospital H corresponde a` origem, i.e. ao ponto (0, 0), a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e o hospital seja menor ou igual a 1km e´ traduzida, matematicamente, por√ (x− 0)2 + (y − 0)2 ≤ 1, ou seja, por √ x2 + y2 ≤ 1, ou, equivalentemente, por x2 + y2 ≤ 1. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 16 f) O conjunto dos pontos que satisfazem a` desigualdade x2 + y2 6 1 e´ dado pelos pontos interiores ao c´ırculo de centro (0, 0) e raio 1, ou sobre a circunfereˆncia. Assim, temos g) Resolvendo a inequac¸a˜o, temos que 2 ( 3 2 − y )2 − 3y ( y − 5 3 ) ≤ ( 4 −√3 )2 ⇐⇒ 2 (( 3 2 )2 − 2 · 3 2 · y + y2 ) − ( 3y · y − 3y · 5 3 ) ≤ (4) 2(−√3)2 ⇐⇒ 2 ( 9 4 − 2 · 3 · y 2 + y2 ) − ( 3y2 − 3y · 5 3 ) ≤ 16 3 ⇐⇒ 2 · 9 4 − 2 · 6y 2 + 2y2 − 3y2 + 3y · 5 3 ≤ 16 3 ⇐⇒ 9 2 − 6y + 2y2 − 3y2 + 5y − 16 3 ≤ 0 ⇐⇒ −y2 − y + 9 2 − 16 3 ≤ 0 ⇐⇒ −6y 2 6 − 6y 6 + 3 · 9 6 − 2 · 16 6 ≤ 0 ⇐⇒ −6y 2 6 − 6y 6 + 27 6 − 32 6 ≤ 0 ⇐⇒ −6y 2 6 − 6y 6 − 5 6 ≤ 0 ⇐⇒ −6y2 − 6y − 5 ≤ 0. Vamos chamar z de −6y2 − 6y − 5, isto e´, z = −6y2 − 6y − 5, e estudar esta equac¸a˜o no plano yz, onde o eixo horizontal sera´ representado por y e o vertical, por z. Observe que o gra´fico da equac¸a˜o z = −6y2−6y−5 e´ uma para´bola no plano yz. Vamos, enta˜o, estudar o sinal da ordenada z da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 17 tem a concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de y2 e´ negativo. Vamos agora fazer z = 0, isto e´, vamos fazer −6y2−6y−5 = 0, para descobrir os pontos onde a para´bola intercepta o eixo y. Usando Bhaskara, temos que ∆ = (−6)2 − 4(−6)(−5) = 36 − 120 = −84 < 0, o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo y. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´ ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − −6 2(−6) ,− (−84) 4(−6) ) = ( −1 2 ,−21 6 ) . A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na Figura 9. Nele, observamos que para qualquer y real, o ponto (y, z) da para´bola, tem sempre o valor dez negativo. Dessa forma, z = −6y2−6y−5 < 0, para todo y ∈ R. Portanto, a equac¸a˜o do filho na˜o fornece, de fato, nenhuma restric¸a˜o para a ordenada y da casa. Na Figura 9 plotamos a para´bola z = −6y2 − 6y − 5 para uma melhor visualizac¸a˜o do que foi exposto acima. Figura 9: Questa˜o ?? h) O sistema de inequac¸o˜es que modela as exigeˆncias de Maria e´ √( x + 2 5 )2 + (y − 3)2 > 3 (i)√ x2 + y2 ≤ 1 (ii) , ou, equivalentemente, { ( x + 2 5 )2 + (y − 3)2 > 9 (iii) x2 + y2 ≤ 1 (iv) Para sabermos se a localizac¸a˜o da casa apresentada pelo corretor atende a`s restric¸o˜es impostas por Maria, vamos substituir o ponto dado nas inequac¸o˜es (iii) e (iv). Desta forma, conforme pode ser visto abaixo, a casa satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iv), mas na˜o sa- tisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iii). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 18 ( −2 5 + 2 5 )2 + ( 1 4 − 3 )2 > 9( −2 5 )2 + ( 1 4 )2 ≤ 1 ⇔ 02 + ( 1 4 − 4 · 3 4 )2 > 9 4 25 + 1 16 ≤ 1 ⇔ ( 1− 12 4 )2 > 9 16 · 4 25 · 16 + 25 16 · 25 ≤ 1 ⇔ ( −11 4 )2 > 9 64 400 + 25 400 ≤ 1 ⇔ 112 42 > 9 89 400 ≤ 1 ⇔ 121 16 > 9 89 400 ≤ 1 ⇔ { 121 > 9 · 16 89 ≤ 400 ⇔ { 121 > 144 (Falso) 89 ≤ 400 (Verdadeiro) Logo, Maria na˜o ficou satisfeita com a localizac¸a˜o da casa, ja´ que a distaˆncia da casa a` casa noturna na˜o sera´ maior do que 3 km. i) Representando as condic¸o˜es impostas por Maria (a intersec¸a˜o das regio˜es dos itens (d) e (f)), e a casa oferecida pelo corretor (o ponto (−2 5 , 1 4 ) ), temos Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 19 Exerc´ıcio 10 (AP2 - 2016.2) Uma pesquisa de mercado buscou identificar os gastos mensais dos consumidores com sau´de e alimentac¸a˜o, em uma certa populac¸a˜o. Depois de processados os dados, estimou-se que a me´dia do gasto mensal com sau´de era de R$210,00, e o gasto me´dio mensal com alimentac¸a˜o era de R$352,00. Estes dados, pore´m, possuem uma margem de erro! (a) A margem de erro e de uma pesquisa e´ o valor ma´ximo, em mo´dulo, da diferenc¸a entre o valor obtido pela pesquisa e o valor real. Assim, se mc e´ o valor correto e mp e´ o valor obtido na pesquisa, tem-se sempre que |mc −mp| 6 e. Se a margem de erro do gasto me´dio em sau´de e´ de R$ 20,00 e a margem de erro dos gastos com alimentac¸a˜o e´ de R$ 30,00, determine o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com sau´de e o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o. (b) Considere um sistema de coordenadas no plano que tenha os gastos com sau´de no eixo horizontal e os gastos com alimentac¸a˜o no eixo vertical. Como exemplo, um gasto de R$100,00 com sau´de e R$200,00 com alimentac¸a˜o estaria representado no ponto (100, 200). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 20 Verifique se os pontos a seguir podem representar gastos me´dios reais. Justifique sua resposta. (i) (200, 380) (ii) (240, 30) (c) Considere o sistema de coordenadas no plano especificado no item (b). Isto e´, o eixo horizon- tal representa os gastos com sau´de e o o eixo vertical representa os gastos com alimentac¸a˜o. Represente o ponto correspondente aos gastos me´dios obtidos na pesquisa no sistema de eixos fornecido no caderno de resposta. Neste mesmo sistema de eixos, esboce a regia˜o onde pode estar o ponto correspondente aos gastos me´dios reais, de acordo com o que voceˆ respondeu no item (a). (Por esboc¸ar a regia˜o, entenda que voceˆ devera´ delimitar claramente a regia˜o e hachurar a parte a` qual seus pontos pertencem, como feito em EPs e/ou questo˜es da AD.) Soluc¸a˜o: (a) Se o gasto me´dio com sau´de obtido pela pesquisa foi mp = 210, 00 e a margem de erro e´ de 20, 00, o gasto me´dio real com sau´de, que chamaremos de mr, satisfaz |mr − 210| 6 20. Com isso, temos −20 6 mr − 210 6 20. A primeira desigualdade pode ser reescrita −20 6 mr − 210⇔ mr − 210 > −20⇔ mr > −20 + 210⇔ mr > 190. A segunda pode ser reescrita mr − 210 6 20⇔ mr 6 20 + 210⇔ mr 6 230. Com isso, 190 6 mr 6 230 ou, ainda, mr ∈ [190, 230]. Se o gasto me´dio com alimentac¸a˜o obtido pela pesquisa foi m′p = 352, 00 e a margem de erro e´ de 30, 00, o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, que chamaremos de m′r, satisfaz |m′r − 352| 6 30. Com isso, temos −30 6 m′r − 352 6 30. A primeira desigualdade pode ser reescrita −30 6 m′r − 352⇔ m′r − 352 > −30⇔ m′r > −30 + 352⇔ m′r > 322. A segunda pode ser reescrita m′r − 352 6 30⇔ m′r 6 30 + 352⇔ m′r 6 382. Com isso, 322 6m′r 6 382 ou, ainda, m′r ∈ [322, 382]. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP16 21 (b) Soluc¸a˜o: O ponto (200, 380) representa que o gasto me´dio real com sau´de e´ R$200,00 e com alimentac¸a˜o e´ R$380,00. Este ponto pode representar os gastos me´dios reais, pois 200 ∈ [190, 230] e 380 ∈ [322, 382]. O ponto (240, 30) na˜o pode representar os gastos me´dios reais, pois R$30,00 na˜o pode repre- sentar o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, dado que 30 /∈ [322, 382]. (c) No sistema abaixo, representamos o ponto (210, 352), obtido pela pesquisa como sendo os gastos me´dios. O gasto me´dio real com sau´de (eixo horizontal) deve pertencer ao intervalo [190, 230] e o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o (eixo vertical) deve pertencer ao intervalo [322, 382]. Assim, a regia˜o onde podem estar os gastos me´dios reais e´ dada por [190, 230] × [322, 382], esboc¸ada abaixo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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