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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP12 � Métodos Determinísticos I � 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 12, páginas 146 a 149 e páginas 155 a 157, do Caderno
Didático.
Exercício 1 .
a) Determine, caso exista, a solução do sistema de equações do primeiro grau
(
2
3
− x
)
+
(
3y − 2
3
)
= 0
x+ 2y = −5
b) Represente no plano cartesiano o gráfico de cada uma das equações do sistema do item a) e
localize, também, a solução encontrada para o sistema, se houver.
c) Qual o significado geométrico para a solução do sistema?
Exercício 2 Considere o sistema S de equações:
S :
{
x2 − 4x+ 2y = 6 (i)
2x+ 2y = −1. (ii)
a) Determine a solução do sistema.
b) Faça o esboço do gráfico da Equação (i) de S.
c) Faça o esboço do gráfico da Equação (ii) de S.
d) Qual o significado geométrico da solução do sistema encontrado no item a)
Exercício 3 Resolva os sistemas de equações a seguir em R2:
a)
{
2x+ 4y = 3
x− 2y = 1
b)

x
2
− 2y = −2
3x
4
+ y = 4
Exercício 4 Resolva o sistema: 
y + x2 − 5x = −4
2x+ y = 6.
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Exercício 5 Resolva o sistema de equações abaixo
x2 + (y − 1)2 = 2
x2 = (y − 1)2
Dica: Talvez seja mais simples, antes de resolver os sistema em x e y (isto é, tentar determinar x
e y), obter os valores de termos que se repetem.
Exercício 6 Dê todas as soluções do sistema de equações abaixo
x+ 2(y + 3)2 = 28 + 12y
4x− y2 = 4
Exercício 7 Esboce o conjunto solução da equação (x − 1)2(y + 4)4 = 0, isto é, o conjunto de
todos os pontos (x, y) que satisfazem esta equação. Dica: Lembre-se de que o produto de dois
números reais é 0 se, e somente se, um deles é igual a 0.
Exercício 8 Resolva as inequações a seguir:
a) x2 − 6x+ 9 ≤ 0
b) x2 − x
2
− 3 > 0
c) −x2 + 5x− 9 < 0
Exercício 9 O custo C de produção de x litros de certa substância é dado pela equação de uma
reta, cujo gráfico está representado na Figura 1, em que x ≥ 0. Nestas condições, determine o custo
de produção em termos da quantidade x. Determine, também, a quantidade de litros produzida que
corresponde ao custo de R$ 800,00.
Um problema muito interessante!
Vamos agora tentar utilizar um pouco da teoria de sistemas de equações de primeiro grau para re-
solver um problema de otimização.
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9
xHlitrosL
300
480
CHxL
Figura 1: Questão 9
O velho McDonnald tem uma fazenda, ia-ia-ô! E, nessa fazenda, tem porcos e galinhas.
Para criar seus animais, MacDonnald dispõe de uma área de 8km2. Cada mil porcos criados neces-
sitam de uma área de 4km2, e cada mil galinhas necessitam de 1km2.
Considere, agora, um sistema cartesiano de coordenadas, no qual o x representa a quantidade de
milhares de porcos (por exemplo, x = 2 equivale a 2.000 porcos) e y representa a quantidade de
milhares de galinhas.
a) Qual é a área ocupada por x milhares de porcos? E a área ocupada por y milhares de galinhas?
b) Se McDonnald utilizar toda a área disponível para criar os animais, qual será a equação rela-
cionando x e y?
c) Faça um esboço da figura representada pela equação do item anterior (se necessário, consulte
o EP11).
Antes de prosseguir, tente resolver os itens (a), (b) e (c) acima e, depois de resolver,
consulte o gabarito! Apenas depois de ter acertado ou compreendido a resposta correta,
continue!
No item (b), você deve (deveria!) ter encontrado, como resposta, a equação 4x + y = 8, que
representa uma reta.
Note que, quando 4x+ y = 8, a área ocupada pelos porcos é de 8km2. Porém ninguém obriga o Sr.
McDonnald a ocupar toda sua área com animais. A soma das áreas ocupadas por porcos e galinhas
deve ser, no máximo 8km2.
d) Dê a desigualdade satisfeita por x e y para que a área ocupada por porcos e galinhas seja no
máximo igual a 8km2.
Mais uma vez, tente resolver e, depois de acreditar ter a resposta correta, consulte o
gabarito!
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e) A reta dada pela equação 4x + y = 8 divide o plano cartesiano em duas �partes", a parte de
um lado da reta, e a parte do outro!. Estas �partes"são chamadas de semiplanos Em qual
destes semiplanos a desigualdade do item (d) é satisfeita? Se não sabe como responder, teste
um ponto de cada semiplano e veja de que lado a desigualdade é atendida.
f) Baseando-se no item anterior, pinte a região do plano que satisfaz a desigualdade do item (d).
Além da restrição da área, há outras duas restrições óbvias a x e y: não se pode criar quantidades
negativas de algum animal! Com isso, x > 0 e y > 0.
g) Pinte, em um sistema cartesiano de coordenadas, a região representada pelas duas restrições
acima.
Mais uma vez, é hora de tentar com afinco e, depois, verificar o gabarito!
Há ainda uma quarta restrição: criar animais é caro! Nosso velho e bom McDonnald dispõe apenas
de R$6.000, 00 para tocar sua produção de animais até o momento em que estejam prontos para o
abate (Sim, abate! Estava pensando que ele fazer o que com os bichos?). Cada milhar de galinhas
consumirá R$1.000, 00 e cada milhar de porcos custará R$2.000, 00.
h) Determine a expressão do valor gasto com a criação de x milhares de porcos e y milhares de
galinhas.
i) Determine a desigualdade que representa a restrição de R$6.000,00 aos gastos com a criação,
isto é, dê a desigualdade satisfeita por x e y supondo que o gasto seja de, no máximo,
R$6.000, 00.
j) Esboce a região do plano correspondente à restrição imposta pelos R$6.000,00. Neste item,
pode ajudar se você proceder como nos itens (d) e (e).
Bom, agora que você já entendeu as quatro restrições impostas à criação de porcos e galinhas do sr.
McDonnald, utilize os esboços dos itens (c), (g) e (i) para responder o item seguinte.
k) Esboce a região do plano formada por todos os pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente,
às quatro restrições (área máxima, x > 0, y > 0 e custo máximo).
l) A região do item acima é limitada por um polígono convexo. Obtenha, encontrando as inter-
seções das retas adequadas, os vértices deste polígono.
Chegou a hora de abater e vender os animais! Não acreditamos que McDonnald fique feliz com isso,
mas é necessário pagar as contas...
Cada milhar de porcos será vendido ao preço de R$17.000, 00 e cada milhar de galinhas será vendido
a R$6.000, 00.
m) Dê a expressão, dependendo de x e y, do valor arrecadado com a venda dos animais abatidos.
n) Dê a expressão, dependendo de x e y, do lucro arrecadado com a venda dos animais abatidos
(lembre-se de que lucro é igual a receita [obtida em (m)] menos a despesa [obtida em (h)]).
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Chegou a hora de entender por que estamos fazendo todas estas contas!
Um importante resultado de garante que, sendo as restrições o o lucro dados por expressões
de grau 1 em duas variáveis, o maior valor possível do lucro é obtido em algum dos
vértices do polígono convexo obtido acima. Utilizando este resultado,
o) calculando, em cada vértice do polígono obtido em (l), o valor do lucro obtido (a expressão do
lucro foi determinada em (n) ), diga em que vértice o lucro com a venda é máximo (isto é, o
maior valor possível), e
o) com isso, diga como McDonnald pode obter o maior lucro possível com a venda dos animais.
Com isso, estamos otimizando o lucro.
A técnica acima, utilizada para otimizar lucro (ou outras grandezas) em situações em que haja
limitações lineares de recursos (isto é, limitações que possam ser descritas por equações de grau 1
em cada variável). Esta técnica se chama Programação Linear, e é utilizada para muitos fins como,
por exemplo, otimizaçãode cadeias de produção e alocação de recursos. Seu uso data da década de
30, em fábricas soviéticas e americanas.
Agora, tente resolver sozinho um problema semelhante!
Exercício 10 Aproveitando a moda dos Pokémons, uma fábrica produzirá, para o dia das crianças,
balões de Pikachu e de Charmander. O valor a ser investido é de, no máximo, R$ 3.000,00. Cada
centena de Pikachu tem custo de produção de R$100,00, e cada centena de Charmander é produzida
a o custo de R$70,00. Por outro lado, o tempo de produção de cem Charmanders é de três horas
(entre outros detalhes, aquele foguinho no final da cauda é colado manualmente...), enquanto cada
cem Pikachus levam 2 horas para serem feitos. Sabendo que, no final, a centena do balão é vendida a
R$400,00, independentemente do tipo, quantos balões de cada tipo de pokémon devem ser produzidos
a fim de otimizar o lucro?
Exercício 11 Se, no problema anterior, o preço de venda da centena do Pikachu fosse R$600,00 e o
do Charmander fosse R$400,00, quantos pokémons de cada tipo deveriam ser vendidos para otimizar
o lucro?
Apenas para chamar atenção e reforçar o que acontece no exemplo e exercícios acima, este método
de otimização funciona apenas se:
• A função a ser otimizada (nos exemplos acima, o lucro) tiver apenas as variáveis em grau 1.
• As restrições impostas às variáveis também tiverem grau 1 nestas variáveis.
• As restrições formarem um polígono convexo.
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Felizmente, muitos problemas reais de produção cumprem com estas condições. Nos exemplos, as
limitações foram bem gerais (custo e área ou custo e tempo). Várias outras variáveis poderiam ser
pensadas, mas de alguma forma já estariam embutidas nas expressões consideradas (Por exemplo,
custos como licenciamento por unidade, hora extra, etc., poderiam estar todos já contabilizados no
custo por unidade de cada pokémon. Custos com veterinário, ração, transporte até o abatedouro,
por exemplo, poderiam estar nos custos de criação de cada animal do exemplo).
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