EP11 2017 1 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP11 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático.
Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e
calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras.
a) A = (−1, 3) e B = (2, 4)
b) A = (3, 1) e B = (2, 2)
c) A = (2,−1) e B = (−2, 2)
Solução:
a) b) c)
1 unid
3 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
1 unid
1 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
3 unid
4 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 1: Exercício 1
a) No gráfico da Figura 1 - a) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (2− (−1))2 + (4− 3)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
10.
b) No gráfico da Figura 1 - b) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (2− 3)2 + (2− 1)2 = (−1)2 + 12 = 1 + 1 = 2
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
2.
c) No gráfico da Figura 1 - c) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (−2− 2)2 + (2− (−1))2 = (−4)2 + 32 = 16 + 9 = 25
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
25 = 5.
Métodos Determinísticos I EP11 2
Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2}
b) {(x, y) ∈ R2;x = 3 e y ∈ (0, 5]}
c) {(x, y) ∈ R2;−1 < x ≤ 2}
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)}
Solução: A solução está plotada na Figura 2.
a) b)
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 2: Exercício 2
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Métodos Determinísticos I EP11 3
Exercício 3 Represente algebricamente os conjuntos A, B, C e D representados na Figura 3 - a),
b), c), d).
a) b)
A
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
C
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
D
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 3: Exercício 3
Solução:
a) {(x, y) ∈ R2;x = 2 e 1 ≤ y < 3}.
b) {(x, y) ∈ R2; y = 1 e 1 ≤ x < 5}.
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 5) e y ∈ [2, 4]}.
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−2,−1] e y ∈ (1, 3]}.
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Métodos Determinísticos I EP11 4
Exercício 4 Determine a equação da circunferência de centro C e raio r em cada um dos itens a
seguir.
a) C = (1, 1) e r = 5
b) C = (0,−1) e r = 3
c) C = (0, 0) e r = 2
Solução: A circunferência é formada pelos pontos P = (x, y) que distam r do centro C = (a, b).
Então esses pontos devem satisfazer
d(P,C) = r
ou seja, √
(x− a)2 + (y − b)2 = r,
elevando cada membro da igualdade ao quadrado, obtemos(√
(x− a)2 + (y − b)2 )2 = r2 ⇐⇒ (x− a)2 + (y − b)2 = r2.
Portanto, a equação de uma circunferência de raio r e centro C = (a, b) é escrita usualmente na
forma
(x− a)2 + (y − b)2 = r2 .
a) Como C = (1, 1) e r = 5,
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 25
⇐⇒ x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = 25
⇐⇒ x2 + y2 − 2x− 2y = 23
b) Como C = (0,−1) e r = 3,
(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 9
⇐⇒ x2 + (y + 1)2 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y + 1 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y = 8
c) Como C = (0, 0) e r = 2,
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 4
⇐⇒ x2 + y2 = 4
Exercício 5 Construa as retas representadas por cada uma das equações listadas nos itens abaixo.
a) y = −2 b) y = 0 c) x = −3/2 d) −x + 2y = 4 e) y = 3x + 1
2
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Métodos Determinísticos I EP11 5
Solução: Todas as equações dos itens acima são representadas graficamente por retas. Para
determinar cada uma delas, basta determinar dois pontos pertencentes a ela.
a) Sendo (x, y) um ponto da reta y = −2, temos que a segunda coordenada deste ponto deve ser
−2. Quanto a primeira coordenada, que é x, ela pode assumir qualquer valor real. Em particular,
para x = 0 temos que o par ordenado (0,−2) é um ponto da reta. E, para x = 2, temos o par
ordenado (2,−2) da reta. Unindo estes dois pontos temos a reta desenhada na Figura 4-a) que
é paralela ao eixo x.
a) b) c)
1 2
x
-2
-1
y
1
x
1
y
-2
-
3
2
-1 x
1
y
d) e)
-4 -3 -2 -1
x
1
2
y
-1
x
1
2
1
y
Figura 4: Exercício 5
b) A reta deste item está sobre o eixo x, já que a segunda coordenada do ponto (x, y) desta reta é
y = 0 para qualquer valor da primeira coordenada x. Ela está plotada na Figura 4-b).
c) Note que nos pares ordenados (x, y) da reta dada, a primeira coordenada x é igual a −3/2 e a
segunda coordenada y pode assumir qualquer valor real. Assim, essa reta é paralela ao eixo y.
Veja que, em particular, os pontos (−3/2, 0) e (−3/2, 1) pertencem à reta. Ela está plotada na
Figura 4-c).
d) Vamos determinar dois pontos da reta −x + 2y = 4.
• para x = 0, temos −(0) + 2y = 4⇐⇒ y = 2. Logo, o ponto (0, 2) pertence à reta.
• para y = 0, temos −x + 2(0) = 4⇐⇒ x = −4. Logo, o ponto (−4, 0) pertence à reta.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-d).
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e) Vamos determinar dois pontos da reta −x + 2y = 4.
• para x = 0, temos y = 3(0) + 1
2
⇐⇒ y = 1
2
. Logo, o ponto
(
0,
1
2
)
pertence à reta.
• para y = 0, temos 0 = 3x + 1
2
⇐⇒ x = −1
6
. Logo, o ponto
(
−1
6
, 0
)
pertence à reta.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-e).
Exercício 6 Um operário tem seu salário representado pela equação y = 2000 +
15x
4
, onde y
representa o valor do salário e x, com x ≥ 0, representa o tempo de horas extras trabalhadas em um
mês.
a) Represente graficamente a equação do salário do operário.
b) Quando o salário é igual a R$ 2030,00 qual a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês?
c) Quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, qual o valor do salário?
Solução:
a) A equação que forma o salário do operário é representada graficamente por uma reta, temos de
determinar dois pontos pertencentes à reta.
Temos que:
• para x = 0, y = 2000 + 15(0)
4
= 2000. Logo, o ponto (0, 2000) pertence à reta.
• para y = 0, 2000 + 15x
4
= 0. Ou seja,
15x
4
= −2000⇐⇒ x = −2000 · 4
15
⇐⇒ x = −1600
3
.
Logo, o ponto
(
−1600
3
, 0
)
pertence à reta.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 5.
b) Quando y = 2030, temos que 2000 +
15x
4
= 2030. Ou seja,
2000 +
15x
4
= 2030⇐⇒ 15x
4
= 2030− 2000⇐⇒ 15x
4
= 30⇐⇒ x = 30 · 4
15
⇐⇒ x = 8.
Portanto, quando o sálario é igual R$ 2030,00, a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês é igual a 8 h.
c) Quando x = 12, temos que y = 2000 +
15(12)
4
= 2045.
Portanto, quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, o valor do salário é
igual a R$ 2045,00.
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Métodos Determinísticos I EP11 7
-
1600
3
x HhorasL
2000
y HreaisL
Figura 5: Gráfico de y = 2000 +
15
4
x
Exercício7 Construa, no R2, a parábola representada por cada equação a seguir e, quando possível,
fatore-a.
a) y = x2 − 2x− 3 b) y = −3x2 + 6x− 3
c) y = 3x2 − 4x + 2 d) y = −x
2
2
− x− 3
2
Solução: Para construir o gráfico da equação y = ax2 + bx + c que é representada graficamente
por uma parábola, vamos seguir o seguinte roteiro:
• determinar onde a parábola intercepta o eixo x, o que significa que y = 0. Ou seja, devemos
resolver a equação ax2 + bx + c = 0.
• determinar onde a parábola intercepta o eixo y, o que significa que x = 0. Ou seja, devemos
substituir x = 0 na equação y = ax2 + bx + c para determinar o valor de y.
• determinar o vértice (xv, yv) da parábola, a partir da fórmula (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
.
E, finalmente, lembramos a fatoração ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são soluções
de ax2 + bx + c = 0.
a) Temos que
• y = 0⇐⇒ x2 − 2x− 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara para determinar a solução da equação acima, com a = 1,
b = −2 e c = −3, temos
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0,
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Métodos Determinísticos I EP11 8
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(−2)±√16
2
=
2± 4
2
.
Logo, os valores que satisfazem x2 − 2x− 3 = 0, são
x1 =
2 + 4
2
= 3, x2 =
2− 4
2
= −1.
E, portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (−1, 0) e (3, 0).
• x = 0 ⇐⇒ y = (0)2 − 2(0) − 3 = −3. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto
(0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−−2
2
,−16
4
)
= (1,−4)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-a).
Além disso, temos que y = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x + 1).
b) Temos que
• y = 0⇐⇒ −3x2 + 6x− 3 = 0.
Notemos que esta equação é equivalente a equação −x2 + 2x − 1 = 0, cujas raízes deter-
minamos usando a fórmula de Baskara, com a = −1, b = 2 e c = −1, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(−1)(−1) = 4− 4 = 0,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(2)±√0
−2 =
−2
−2 = 1.
Logo, temos que x1 = x2 = 1 satisfazem a equação −x2+2x−1 = 0, bem como a equação
−3x2 + 6x− 3 = 0.
Portanto, a parábola dada por −3x2 + 6x− 3 = 0 intercepta o eixo x no ponto (1, 0).
• x = 0⇐⇒ y = −3(0)2 + 6(0)− 3 = −3.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 2−2 ,−
0
−4
)
= (1, 0)
Como em y = −3x2 + 6x − 3, a = −3 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-b).
Além disso, temos que y = −3x2 + 6x− 3 = −3(x− 1)(x− 1) = −3(x− 1)2.
Observe que as parábola dadas pelas equações y = −3x2 + 6x − 3 e y = −x2 + 2x − 1 são
diferentes, apesar de ambas interceptarem o eixo x nos mesmos pontos e terem o mesmo vértice.
c) Temos que
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a) b)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
c) d)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
Figura 6: Exercício 7
• y = 0⇐⇒ 3x2 − 4x + 2 = 0.
Usando a fórmula de Baskara, com a = 3, b = −4 e c = 2, temos
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(3)(2) = 16− 24 = −8 < 0.
Logo, a equação 3x2 − 4x + 2 = 0 não tem raízes reais.
Ou seja, a parábola não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = 3(0)2 − 4(0) + 2 = 2.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(−4)
2(3)
,−(−8)
2(3)
)
=
(
2
3
,
4
3
)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-c).
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Neste caso, não temos como fatorar y = 3x2 − 4x + 2.
d) Temos que
• y = 0⇐⇒ −x
2
2
− x− 3
2
= 0.
A última equação é equivalente a x2 + 2x + 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara nesta equação, com a = 1, b = 2 e c = 3, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(3) = 4− 12 = 8 < 0.
Logo, temos que x2+2x+3 = 0 não tem raízes reais, assim como a equação−x
2
2
−x−3
2
= 0.
Ou seja, a parábola y = −x
2
2
− x− 3
2
= 0 não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = −(0)
2
2
− 0− 3
2
= −3
2
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto
(
0,−3
2
)
.
• (xv, yv)
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(2)
2
,−(−8)
4
)
= (−1,−2)
Como em y = −x
2
2
− x − 3
2
, a = −1
2
< 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-d).
Observe que as parábolas dadas pelas equações y = −x
2
2
−x− 3
2
e y = x2+2x+3 são diferentes,
apesar de ambas não interceptarem o eixo x e terem o mesmo vértice.
Exercício 8 Em uma certa plantação, a produção, P, de tomate depende da quantidade, q, de
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa pela equação
P = −q2 + 28 q + 60,
onde a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2.
a) Determine em que ponto(s) o gráfico da equação corta o eixo q e em que ponto(s) corta o eixo
P . Faça um esboço do gráfico no plano cartesiano.
b) Determine o valor da produção, quando o fertilizante não é utilizado.
c) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produção seja máxima, bem
como o valor da produção máxima.
d) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta é prejudicada e impedida
de produzir.
Solução:
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a) Notemos que a equação P = −q2 + 28 q + 60 que representa a produção de tomate em termos
da quantidade de fertilizante é uma equação quadrática. Logo, seu gráfico é uma parábola.
Como o coeficiente de q2 é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
A parábola corta o eixo q quando P = 0, o que nos leva a
−q2 + 28 q + 60 = 0
cujas raízes, se existirem, são obtidas pela fórmula de Báskara
q =
−28±√(28)2 − 4(−1)(60)
−2 =
−28±√1024
−2 =
−28±
√
210
−2 =
−28± 32
−2 .
Assim, temos duas raízes reais e distintas
q1 =
−28 + 32
−2 = −2 e q2 =
−28− 32
−2 = 30.
O que significa que a parábola corta o eixo q nos pontos q1 = −2 e q2 = 30.
A parábola intercepta o eixo P quando q = 0. Isto é,
P (0) = −02 + 28(0) + 60 = 60.
Ou seja, a parábola corta o eixo P no ponto P = 60.
Na Figura 7, plotamos o gráfico da parábola.
-2 14 30
q
60
256
P
Figura 7: Exercício 8-a)
b) Quando o fertilizante não é utilizado, isso significa que q = 0. Logo, substituindo esse valor na
equação dada, vem que:
P = −(0)2 + 28(0) + 60 = 60,
Nesse caso, o valor da produção será de 60 kg.
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c) Como o gráfico da equação é uma parábola, a produção máxima Pv ocorrerá em qv, primeira
coordenada do vértice V =
(
qv, Pv
)
=
(
− b
2a
,−∆
4a
)
da parábola. Ou seja,
V =
(
− (28)
2(−1) ,−
1024
4(−1)
)
= (14, 256).
Portanto, deverá ser usado 14 g/m2 de fertilizante para que a produção seja máxima. O valor
dessa produção será de 256 kg.
d) Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades que fazem a produção se anular
(P = 0) sendo que q1 = −2 não apresenta significado prático neste contexto e q2 = 30 g/m2
representa uma quantidade tão grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a
de produzir.
Exercício 9 Represente, no plano cartesiano, o conjunto descrito por
a) (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 b) (x− 2)2 + (y + 1)2 6 25
c) (x− 4)2 + (y + 1)2 > 4 d) x2 + y2 + 4x− 2y > 4
Solução:
a) Como
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 32,
a desigualdade representa os pontos no interior do círculo de centro (1, 2) e raio 3. Esta região
estáesboçada abaixo:
b) Como
(x− 2)2 + (y + 1)2 6 25⇔ (x− 2)2 + (y − (−1))2 6 52,
a desigualdade representa os pontos no interior do círculo de centro (2,−1) e raio 5 ou sobre a
circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
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c) Como
(x− 4)2 + (y + 1)2 > 4⇔ (x− 4)2 + (y − (−1))2 > 22,
a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (4,−1) e raio 2. Esta região
está esboçada abaixo:
d) A inequação dada, em princípio, não se parece com as que descrevem regiões limitadas por
circunferências. Mas vamos completar os quadrados para estudá-la:
x2 + y2 + 4x− 2y > 4⇔ x2 + 4x + y2 − 2y > 4⇔ x2 + 4x+4− 4 + y2 − 2y+1− 1 > 4⇔
⇔ (x2+4x+4)−4+(y2−2y+1)−1 > 4⇔ (x2+4x+4)+(y2−2y+1) > 4+4+1⇔ (x+2)2+(y−1)2 > 9⇔ (x−(−2))2+(y−1)2 > 32.
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Assim, a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (−2, 1) e raio 3 ou
sobre a circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Exercício 10 Represente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 e x ∈ (1, 5]}
b) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9 e y ∈ [2, 5)}
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 4] e y ∈ (2, 5] e x + y = 5}
d) {(x, y) ∈ R2; (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4 e x− y = 0}
Solução:
a) Temos duas condições a serem satisfeitas por um ponto para que esteja no conjunto:
• (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 32,
que representa os pontos interiores ao círculo de centro (1, 2) e raio 3, esboçados abaixo
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• x ∈ (1, 5]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas horizontal satisfaz
1 < x 6 5, abaixo esboçados
Os pontos do conjunto dado estão na interseção das regiões acima, esboçada abaixo
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b) São duas as condições para que um ponto esteja no conjunto dado:
• (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 = 32,
que representa os pontos sobre a circunferência de centro (1, 2) e raio 3, esboçados abaixo
• y ∈ [2, 5):
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas vertical satisfaz
2 6 y < 5, abaixo esboçados
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Os pontos do conjunto dado estão na interseção das regiões acima, esboçada abaixo
Observe que o ponto (1, 5) não está na região estudada, pois, nele, a condição y ∈ [2, 5) não
é satisfeita (pois 5 /∈ [2, 5]). Os dois pontos destacados acima foram obtidos observando que a
reta que limita inferiormente a região dada pela condição y ∈ [2, 5) passa pelo centro (1, 2) do
círculo. portanto estes pontos distam 3 (pois 3 é o raio do círculo) horizontalmente do centro
(1, 2). Assim, os pontos são (1− 3, 2) = (−2, 2) e (1 + 3, 2) = (4, 2).
c) São três as condições para que um ponto esteja no conjunto dado:
• x ∈ [1, 4]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas horizontal satisfaz
1 6 y 6 4, abaixo esboçados
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• y ∈ (2, 5]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas vertical satisfaz
2 < y 6 5, abaixo esboçados
• x + y = 5:
Os pontos (x, y) que satisfazem a esta condição estão sobre uma reta à qual pertencem os
pontos (0, 5) e (5, 0). Esta reta está esboçada abaixo:
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Os pontos do conjunto dado estão na interseção das três regiões acima, esboçada abaixo
d) Temos duas condições a serem satisfeitas por um ponto para que esteja no conjunto:
• (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 3)2 + (y − 3)2 6 4⇔ (x− 3)2 + (y − 3)2 6 22,
que representa os pontos interiores ao círculo de centro (3, 3) e raio 2 e os pontos sobre a
circunferência. Abaixo, um esboço da região:
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• x− y = 0:
Podemos reescrever a equação como y = x e perceber que os pontos que atendem a esta
condição são aqueles que pertencem à reta que passa por (0, 0) e (1, 1). O ponto (3, 3),
centro do círculo, é, inclusive, um ponto desta reta. Abaixo, um esboço:
Os pontos do conjunto dado são aqueles interiores ao círculo ou na circunferência, e que estão
na reta. Abaixo, um esboço:
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Para obter os pontos da interseção entre a reta e a circunferência, marcados no esboço acima,
repare que os pontos da reta são da forma (x, x), pois, sobre a reta, y = x. Se queremos o ponto
(x, x) da reta que também esteja na circunferência (x− 3)2 + (y − 3)2 = 4, basta substituirmos
y = x e resolvermos
(x−3)2+(x−3)2 = 4⇔ x2−6x+9+x2−6x+9 = 4⇔ 2x2−12x+14 = 0⇔ x2−6x+7 = 0⇔
⇔ x = 6±
√
(−6)2 − 4 · 1 · 7
2
=
6±√8
2
=
6± 2√2
2
= 3±
√
2.
Com isso, lembrando que y = x sobre a reta, temos os pontos (3−√2, 3−√2) e (3+√2, 3+√2).
Exercício 11 Uma empresa fará investimentos nas áreas de produção e publicidade. Na reunião em
que se iria decidir como o dinheiro seria investido,
• o diretor de produção disse que investir R$6.000,00 na área seria a opção mais adequada em
termos de custo-benefício, mas que também pode-se trabalhar com a margem de R$2.000,00,
para mais ou menos, a depender das escolhas estratégicas a serem adotadas;
• o diretor de marketing disse que pesquisas apontam o valor de R$5.000,00 como o ideal a ser
investido em publicidade. Ele acredita, porém, que seja razoável considerar uma margem de
erro, para mais ou para menos, de R$1.000,00 neste número;
• e o diretor financeiro lembrou que a soma do investimento nas duas áreas deve ser R$10.000,00.
Podemos representar o investimento a ser feito como um ponto no plano cartesiano, com o investi-
mento em produção representando coordenada horizontal x e o investimento em publicidade repre-
sentando a coordenada vertical y. Um investimento, que chamaremos de I1, de R$2.000 em produção
e R$7.000,00 em publicidade, por exemplo, seria representado pelo ponto I1 = (2.000, 7.000). Um
investimento I2, de R$1.000 em produção e R$5.000,00 em publicidade, por exemplo, seria repre-
sentado pelo ponto I2 = (1.000, 5.000). Estes pontos estão representados no plano abaixo.
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Um investimento que se adequasse à proposta do diretor de produção satisfaria à inequação modular
|x− 6.000| 6 2.000
e estaria na região do plano representada abaixo:
Note que a região acima é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 4.000 6 x 6 8.000, isto
é, o investimento em produção (coordenada horizontal) esteja dentro da margem de R$2.000,00 do
proposto pelo diretor da área. Repare ainda que, na região acima, y > 0, pois não se cogita fazer
um investimento negativo!
A partir disso,
(a) Dê a inequação modular satisfeita por todos os investimentos (x, y) que satisfazem à condição
imposta pelo diretor de marketing.
Solução: O investimento em marketing é representado pela coordenada y. Assim, se o inves-
timento em marketing deve estar próximo a R$5.000,00, não distando deste valor mais do que
R$1.000,00, temos
|y − 5.000| 6 1.000.
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(b) Represente a região do plano onde podem estar os investimentos (x, y), de acordo com o diretor
de marketing.
Solução: Como a inequação |y − 5.000| 6 1.000, obtida no item anterior, corresponde a
4.000 6 y 6 6.000,
a região dos pontos (x, y) que estão de acordo com a proposta do diretor de marketing é dada
por(c) Expresse, por meio de uma equação em x e y, a condição lembrada pelo diretor financeiro e
represente os pontos correspondentes no sistema de coordenadas.
Solução: Segundo o diretor financeiro, a soma dos investimentos deve ser de R$10.000,00.
Assim,
x + y = 10.000.
Estes representam uma reta. Para obtermos dois pontos desta reta, vamos fazer x = 0 e depois
y = 0.
• Fazendo x = 0, temos y = 10.000 e, portanto, o ponto (0, 10000).
• Fazendo y = 0, temos x = 10.000 e, portanto, o ponto (10000, 0).
Esboçando esta reta, temos
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Convém, porém, observar que os investimentos não podem ser negativo, isto é, devemos ter
x > 0 e y > 0. Com isso, a reta acima fica restrita ao segmento esboçado abaixo:
(d) Esboce o conjunto dos pontos do plano que cumprem, simultaneamente, com as três condições
lembradas pelos diretores.
Solução: Vamos, inicialmente, esboçar as três condições no mesmo sistema de coordenadas.
A interseção do segmento de reta com as regiões dadas pelas desigualdades é o segmento
esboçado abaixo.
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(e) Quase ao final da reunião, o dono da empresa chegou e alertou que a distância, no sistema de
coordenadas, entre o ponto (4.000, 6.000) e o investimento a ser feito não poderia ser maior
do que 10.000. Dê a inequação satisfeita pelo conjuntos dos investimentos (isto é, dos pontos
(x, y)) que cumprem a condição imposta pelo dono, e esboce a região correspondente no plano.
Solução: A condição imposta pelo dono é dada por√
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 10000,
ou ainda
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 100002.
Esta condição representa os pontos interiores ao círculo de centro (4.000, 6.000) e raio 10.000,
bem como os pontos da circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Mais uma vez podemos considerar que os investimentos x e y não podem ser negativos, obtendo
a região esboçada abaixo.
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(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condições im-
postas pelos diretores e pelo dono.
Solução: Todos os investimentos que atendem aos diretores de produção, marketing e finan-
ceiros estão dentro das condições impostas pelo dono. Realmente, veja que os extremos do
segmento obtido no item (d) tem seus extremos dentro do círculo. O extremo (4.000, 6.000) é
o próprio centro, logo está dentro do círculo. Já para o extremo (6.000, 4.000), temos
d ((4.000, 6.000), (6.000, 4.000)) =
√
(4.000− 6.000)2 + (6.000− 4.000)2 =
=
√
2.0002 + 2.0002 = 2.000
√
2 6 10.000,
pois
√
2 < 2. Assim, o esboço da interseção das quatro regiões, será o próprio esboço obtido
no item (d).
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