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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP10 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico.
Prezados alunos,
Este EP procura complementar a teoria contida no Caderno Dida´tico, trazendo uma visa˜o amplifi-
cada do conteu´do. Procuramos enfatizar a parte pra´tica, mas sem descuidar dos aspectos teo´ricos
envolvidos, o que julgamos essencial para evitar que erros acontec¸am.
Procuramos ilustrar cada discussa˜o abaixo com muitos e variados exemplos. Estes exemplos devem,
na medida do poss´ıvel, ser pensados como exerc´ıcios. Procure pensar sozinho sobre cada um deles
antes de comec¸ar a ler sua resoluc¸a˜o.
Os exerc´ıcios esta˜o distribu´ıdos ao longo das sec¸o˜es. E´ fundamental que voceˆ tente resolveˆ-los antes
de ler o gabarito... do contra´rio, eles na˜o adiantara˜o de nada! Sugerimos tambe´m que sejam resolvi-
dos a` medida em que o texto e´ lido, evitando-se seguir para uma nova sec¸a˜o sem que os exerc´ıcios das
anteriores tenham sido resolvidos. Tudo bem que podem ser muitos exerc´ıcios, enta˜o tente resolver
pelo menos alguns enquanto leˆ o texto... mas depois, volte e resolva todos!
Abrac¸os,
Denise e Leonardo
1 A equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0
O conteu´do desta semana e´ algo que, certamente, esta´ entre os assuntos mais lembrados da Ma-
tema´tica do Ensino Me´dio. A cla´ssica expressa˜o
−b±√∆
2a
so´ rivaliza em apelo pop a` igualmente
famosa a2 = b2 + c2! Claro que tudo isso dito assim, sem qualquer sentido ou utilidade... Sa˜o
expresso˜es lembradas mas, como todas as outras, na˜o necessariamente entendidas.
Esta expressa˜o e´ parte da famosa ”Fo´rmula de Bhaskara”para soluc¸a˜o da equac¸a˜o do segundo grau.
De maneira geral, se uma equac¸a˜o de varia´vel x puder ser escrita na forma
ax2 + bx + c = 0,
com a 6= 0, ela sera´ chamada de equac¸a˜o de grau 2 na varia´vel x. Esta equac¸a˜o tem como soluc¸a˜o,
falando de forma bem descuidada, os nu´meros
x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Quando dizemos que os valores acima sa˜o as duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o, estamos dizendo que
ax2 + bx + c = 0⇔ x = −b +
√
b2 − 4ac
2a
ou x =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Como os dois valores de x acima diferem apenas por um sinal (aquele entre o −b e o √b2 − 4ac), e´
comum escrevermos que as soluc¸o˜es x1 e x2 da equac¸a˜o sa˜o dadas por
Me´todos Determin´ısticos I EP10 2
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
,
isto e´, uma soluc¸a˜o e´ dada lendo o ± como + e a outra e´ dada lendo ± como −. Ou seja,
ax2 + bx + c = 0⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
.
Atenc¸a˜o!!! Estamos falando de forma bem descuidada! Ha´ muitas armadilhas no que esta´ escrito
acima, principalmente no fato de os nu´meros x1 e x2 poderem na˜o existir! Mas por agora, vamos
ficar felizes com o que temos e tentar utilizar essa (velha) ferramenta!
Observac¸a˜o!!! Daqui para a frente, nos referiremos a` expressa˜o “x =
−b±√b2 − 4ac
2a
”como
Fo´rmula de Bhaskara ou fo´rmula ma´gica, para banalizar a coisa e quebrar seu encanto.
Exemplo 1: Resolver a equac¸a˜o 4x2 + 4x− 3 = 0.
Antes de continuar a ler, tente resolver sozinho!
A equac¸a˜o 4x2 + 4x+ 3 = 0 esta´ na forma ax2 + bx+ c = 0, com a = 4, b = 4 e c = −3. Aplicando
levianamente o que vimos acima, as soluc¸o˜es sa˜o dadas enta˜o por
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−4±√42 − 4 · 4 · (−3)
2 · 4 =
−4±√16 + 48
8
=
−4±√64
8
=
−4± 8
8
.
Temos enta˜o duas soluc¸o˜es, uma obtida lendo a expressa˜o com +, que sera´
x =
−4 + 8
8
=
4
8
=
1
2
,
e uma obtida com o −,
x =
−4− 8
8
=
−12
8
= −3
2
.
Assim, resumindo,
4x2 + 4x− 3 = 0⇔ x = 1
2
ou x = −3
2
.
Agora vamos comec¸ar a entender por que precisamos ter cuidado com a fo´rmula ma´gica. No´s
dissemos que os nu´meros x1 e x2 obtidos eram as soluc¸o˜es da equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0. Isto e´
muito forte. Estamos dizendo que sa˜o as u´nicas soluc¸o˜es, isto e´, que na˜o havera´ uma outra soluc¸a˜o
da equac¸a˜o que na˜o seja escrita na forma
−b±√b2 − 4ac
2a
. Em linguagem da Lo´gica,
ax2 + bx + c = 0⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
.
(lembre-se de que o “⇔”e´ um “se, e somente se”).
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 3
Existe uma forma de garantirmos que, de fato, so´ existem estas duas ra´ızes (quando existirem...
espere um pouco para entender do que estamos falando), mas deixaremos esta discussa˜o para o final,
quando apresentaremos uma demonstrac¸a˜o da fo´rmula ma´gica.
Uma maneira inicial de pensar e´ verificar que o trinoˆmio 4x2 + 4x − 3 pode ser escrito como
4
(
x− 1
2
)
·
(
x +
3
2
)
, ou ainda como 4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
. Com isso, a equac¸a˜o
4x2 + 4x− 3 = 0
e´ equivalente a`
4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
= 0,
porque a segunda e´ simplesmente a primeira reescrita. Para que o produto de treˆs nu´meros deˆ 0, e´
necessa´rio e suficiente que um deles seja igual a 0, logo
4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
= 0⇔ 4 = 0 ou x− 1
2
= 0 ou x−
(
−3
2
)
= 0.
A primeira condic¸a˜o, 4 = 0 nunca acontecera´, a segunda acontecera´ quando x =
1
2
e a terceira
quando x = −3
2
. Assim,
4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
= 0⇔ x = 1
2
ou x = −3
2
.
Mas repare que essa discussa˜o apenas esta´ tentando te convencer de que as duas ra´ızes encon-
tradas sa˜o realmente as duas u´nicas. Esta forma de proceder na˜o e´ uma te´cnica aplica´vel de
soluc¸a˜o na maior parte dos casos; no´s so´ conseguimos aplica´-la pois ja´ sab´ıamos de antema˜o que
4x2 + 4x − 3 = 4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
. E como sab´ıamos disso? Ora, no´s que elaboramos o
exemplo... Ate´ e´ poss´ıvel resolvermos uma equac¸a˜o de segundo grau “adivinhando”uma fatorac¸a˜o
como essa, mas deixaremos essa discussa˜o para mais tarde.
Por agora, vejamos outro exemplo, que nos mostra como a fo´rmula ma´gica pode ser bastante travessa.
Exemplo 2: Resolver a equac¸a˜o x2 + 6x + 9 = 0.
Antes de continuar a ler, tente, novamente, resolver sozinho!
A equac¸a˜o x2 + 6x + 9 = 0 esta´ na forma ax2 + bx + c = 0, com a = 1, b = 6 e c = 9 (Por que
a = 1? Note que x2 = 1x2.). Aplicando a fo´rmula ma´gica, temos as soluc¸o˜es
x =
−6±√62 − 4 · 1 · 9
2 · 1 =
−6±√36− 36
2
=
−6±√0
2
=
−6± 0
2
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 4
E agora??? Lendo a expressa˜o com + e com−, temos um u´nico valor para x, dado por x = −6
2
= −3,
pois a soluc¸a˜o obtida lendo a expressa˜o com +, que sera´
x =
−6 + 0
2
=
−6
2
= −3,
que e´ a obtida com o −,
x =
−6− 0
2
=
−6
2
= −3.
Isto e´,
x2 + 6x + 9 = 0⇔ x = −3.
Isto faz sentido?
Note que x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, logo
x2 + 6x + 9 = 0⇔ (x + 3)2 = 0⇐ x + 3 = 0⇔ x = −3.
Ou seja, x = −3 e´ a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Ningue´m prometeu que seriam necessariamente duas
soluc¸o˜es diferentes!
Como bem mostra o exemplo acima, a equac¸a˜o do segundo grau pode ter uma u´nica soluc¸a˜o. Ou,
como dizem alguns, pode ter “duas soluc¸o˜es iguais”. Para no´s, absolutamente tanto faz a forma que
voceˆ utilize.
Equac¸o˜es como a do primeiro exemplo (4x2 + 4x − 3 = 0), diremos explicitamente duas soluc¸o˜es
distintas ou duas soluc¸o˜es diferentes.
Mas podemos ir ale´m e encontrar situac¸o˜es ainda mais interessantes. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 3: Resolver a equac¸a˜o x2 + 4x + 5 = 0
Antes de continuar a ler... ja´ sabe, tente resolver o exemplo acima!
A equac¸a˜o x2 + 4x + 5 = 0 e´ do segundo grau com a = 1, b = 4 e c = 5, Aplicando a fo´rmula
ma´gica,
x2 + 4x + 5 = 0⇔ x = −4±
√
42− 4 · 1 · 5
2 · 1 ⇔ x =
−4±√16− 20
2
⇔ x = −4±
√−4
2
Ops... melhor parar e tentar entender o que apareceu!
A Matema´tica e´ bem clara... vamos ler. Esta´ escrito que x2 +4x+5 sera´ igual a 0 quando, e apenas
quando, x =
−4±√−4
2
. Mas x e´ um nu´mero real, e
−4±√−4
2
na˜o representa um nu´mero real,
pois na˜o foi definida, nos reais,
√−4. Assim, para que x2 +4x+5 = 0, o x na˜o pode ser um nu´mero
real, ou seja, a equac¸a˜o x2 + 4x + 5 = 0 na˜o tem soluc¸a˜o em R.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 5
Voceˆ pode dizer que a equac¸a˜o x2 + 4x+ 5 = 0 “na˜o tem soluc¸a˜o em R”, ou, como nesta disciplina
so´ estamos trabalhando com nu´meros reais, poderia dizer simplesmente que “a equac¸a˜o na˜o
tem soluc¸a˜o”. Nosso contexto, ou seja, o conjunto universo com o qual trabalhamos nesta disciplina,
e´ bem claro e na˜o ha´ necessidade de ficar dizendo a toda hora que estamos buscando soluc¸o˜es apenas
em R.
Tentando englobar as treˆs situac¸o˜es acima em uma u´nica explicac¸a˜o, dada a equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0,
chamamos ∆ = b2 − 4ac e
• Se ∆ > 0, a equac¸a˜o tem duas soluc¸o˜es distintas, dadas por x1 = −b +
√
∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
• Se ∆ = 0, a equac¸a˜o tem uma u´nica soluc¸a˜o (ou duas soluc¸o˜es iguais, se preferir), dada por
x =
−b +√∆
2a
=
−b
2a
.
• Se ∆ < 0, a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸o˜es reais.
Posto isso, vamos ao trabalho!
Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es a seguir:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 − 12x + 6 = 0
c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0
e) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0
2 Uma forma simples de resolver equac¸o˜es simples
Lembre-se, primeiramente, que dados dois nu´meros reais, r1 e r2, temos que
(x− r1) · (x− r2) = x2 − xr2 − r1x + r1r2 = x2 − (r1 + r2)x + r1r2.
Com isso, a equac¸a˜o
x2 − (r1 + r2)x + r1r2 = 0,
pode ser reescrita como
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(x− r1) · (x− r2) = 0.
Para que o produto do lado esquerdo da equac¸a˜o acima resulte em 0, precisamos ter
x− r1 = 0 ou x− r2 = 0.
Assim, temos
x = r1 ou x = r2,
ou seja, r1 e r2 sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x
2 − (r1 + r2)x + r1r2 = 0.
Se chamarmos de S a soma r1 + r2 e de P o produto r1r2, isto e´,
S = r1 + r2 e P = r1r2,
a equac¸a˜o
x2 − Sx + P = 0,
tera´, como soluc¸a˜o, x = r1 ou x = r2. Isto fornece uma forma simples de resolvermos equac¸o˜es
(simples) do segundo grau, sem termos que utilizar a fo´rmula ma´gica.
Exemplo 4: Resolver a equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = 6 e P = 5. Voceˆ
consegue pensar em dois nu´meros cuja soma seja 6 e o produto seja 5? Sim, 1 e 5. Assim, temos,
como soluc¸a˜o x = 1 ou x = 5. Observe que, realmente temos
(x− 1)(x− 5) = x2 − 5x− 1x + 5 = x2 − 6x + 5,
logo a equac¸a˜o
x2 − 6x + 5 = 0
equivale mesmo a
(x− 1)(x− 5) = 0.
Exemplo 5: Resolver a equac¸a˜o x2 + 5x + 6 = 0.
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = −5 e P = 5. Na˜o
percebeu por que S = −5? Note que x2 + 5x+ 6 = 0⇔ x2− (−5)x+ 6 = 0, logo, S = −5 (repare
que a forma geral x2 − Sx + P = 0 tem um − antes do S).
Agora precisamos pensar em dois nu´meros cuja soma seja −5 e o produto seja 6? Eles precisam ter
ambos o mesmo sinal, para que o produto deˆ o nu´mero positivo 6. Ale´m disso, como a soma e´ −5,
ambos teˆm de ser negativos. Assim, temos −2 e −3.
Veja que
x2 + 5x + 6 = 0⇔ (x− (−2)) · (x− (−3)) = 0,
pois
(x− (−2)) · (x− (−3)) = (x + 2) · (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6.
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A soluc¸a˜o da equac¸a˜o sera´ enta˜o x = −2 ou x = −3.
Exemplo 6: Resolver a equac¸a˜o x2 − 3x− 10 = 0.
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = 3 e P = −10.
Agora precisamos pensar em dois nu´meros cuja soma seja 3 e o produto seja −10? Eles precisam
ter sinais contra´rios, para que o produto deˆ o nu´mero negativo −10. Ale´m disso, como a soma e´ 3,
o que tiver maior mo´dulo devera´ ser positivo. Assim, temos 5 e −2.
Veja que
x2 − 3x + 10 = 0⇔ (x− 5) · (x− (−2)) = 0,
pois
(x− 5) · (x− (−2)) = (x− 5) · (x + 2) = x2 − 5x + 2x− 10 = x2 − 3x− 10.
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o sera´ enta˜o x = 5 ou x = −2.
Exemplo 7: Resolver a equac¸a˜o x2 + 4x− 5 = 0.
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = −4 e P = −5.
As soluc¸o˜es precisam ter sinais contra´rios, para que o produto seja −5. E, como a soma e´ −4, o que
tiver maior mo´dulo devera´ ser negativo. Assim, temos −5 e 1.
Veja que
x2 + 4x− 5 = 0⇔ (x− 1) · (x− (−5)) = 0,
pois
(x− 1) · (x− (−5)) = (x− 1) · (x + 5) = x2 + 5x− x− 5 = x2 + 4x− 5.
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o sera´ enta˜o x = 1 ou x = −5.
Exemplo 8: Resolver a equac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 = 0.
Observe que
3x2 + 12x− 15 = 0⇔ 3(x2 + 4x− 5) = 0⇔ x2 + 4x− 5 = 0,
que e´ a equac¸a˜o que acabamos de resolver! Assim,
3x2 + 12x− 15 = 0⇔ x2 + 4x− 5 = 0⇔ x = 1 ou x = −5.
Para verificar se fizemos a coisa certa, note que
3x2 + 12x− 15 = 3(x2 + 4x− 5) = 3(x− 1)(x + 5),
logo a equac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 = 0 realmente equivale a 3(x− 1)(x+ 5) = 0, cujas soluc¸a˜o e´ x = 1
ou x = −5.
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Exerc´ıcio 2 Resolva as equac¸o˜es a seguir, utilizando a soma e o produto das ra´ızes, conforme feito
acima:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 + 18x + 24 = 0
c) x2 − 3x− 10 = 0 d) −2x2 + 20x− 50 = 0
3 Fatorando o trinoˆmio ax2 + bx + c
Resolver uma equac¸a˜o do segundo grau e´, na realidade descobrir, para que valores de x, o trinoˆmio
ax2 + bx + c se anula. Vimos, nas sec¸o˜es anteriores que, se r1 e r2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0,
enta˜o podemos escrever ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2).
Isto nos permite fatorar o trinoˆmio ax2 + bx + c = 0, isto e´, escreveˆ-lo na forma de um produto
de fatores de primeiro grau da forma x − k. Isto sera´ especialmente importante na resoluc¸a˜o de
inequac¸o˜es de segundo grau, que veremos logo abaixo.
Exemplo 9: Fatorar o polinoˆmio x2 + 2x− 3.
Repare que na˜o estamos tentando resolver uma equac¸a˜o do segundo grau, mas sim fatorar um
polinoˆmio. Pore´m, resolver a equac¸a˜o x2 + 2x− 3 = 0 nos ajudara´ a descobrir como sa˜o os fatores
de primeiro grau do polinoˆmio. Resolvendo x2 + 2x − 3 = 0 (pode ser por Bhaskara ou soma e
produto), encontramos x = −3 e x = 1 (verifique!). Assim,
x2 + 2x− 3 = (x− (−3))(x− 1) = (x + 3)(x− 1).
Exemplo 10: Fatorar o polinoˆmio 4x2 + 4x− 3.
Resolvendo a equac¸a˜o 4x2 +4x−3 = 0, encontramos x = −3
2
ou x =
1
2
(veja no Exemplo 1). Logo
4x2 + 4x− 3 = 4
(
x−
(
−3
2
))(
x− 1
2
)
= 4
(
x +
3
2
)(
x− 1
2
)
.
Exemplo 11: Fatorar o polinoˆmio −2x2 + 12x− 18.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 9
Resolvendo a equac¸a˜o −2x2 + 12x− 18, encontramos a soluc¸a˜o u´nica x = 3. Com isso
−2x2 + 12x− 18 = −2 (x− 3) (x− 3) = −2 (x− 3)2 .
Exerc´ıcio 3 Escreva os trinoˆmios ax2 + bx + c abaixo na forma a(x− r1)(x− r2):
Atenc¸a˜o! Neste exerc´ıcio na˜o estamos resolvendo uma equac¸a˜o (observe que na˜o ha´ sinal de igual)!, apenas
fatorando um trinoˆmio, mas talvez ajude se pensarmos na equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0.
a) x2 − 6x + 5 b) 3x2 + 18x + 24
c) 3x3 − 4x + 1 d) 4x2 + 4x + 1
4 Inequac¸o˜es do segundo grau
Agora vamos tentar resolver inequac¸o˜es que possam ser (re)escritas em uma das formas abaixo:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c 6 0
Ja´ vimos anteriormente que resolver a equac¸a˜o do segundo grau
ax2 + bx + c = 0,
quando ela possui soluc¸a˜o, se resume a reescreveˆ-la na forma
a(x− r1)(x− r2) = 0,
e concluir que a soluc¸a˜o e´ dada por x = r1 ou x = r2. Para uma inequac¸a˜o de um dos tipos acima,o que faremos e´ exatamente reescreveˆ-la em uma das formas
a(x− r1)(x− r2) > 0
a(x− r1)(x− r2) > 0
a(x− r1)(x− r2) < 0
a(x− r1)(x− r2) 6 0
e estudar o sinal do lado esquerdo da inequac¸a˜o. Observe que os nu´meros r1 e r2 acima sa˜o as
soluc¸o˜es da equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, e podem ser obtidos como na sec¸a˜o anterior, por soma e
produto, ou utilizando a fo´rmula de Bhaskara, isto e´
r1 =
−b +√∆
2a
e r2 =
−b−√∆
2a
.
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Exemplo 12: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 5x + 6 > 0.
As soluc¸o˜es da equac¸a˜o de segundo grau x2 − 5x + 6 = 0 sa˜o x = 2 e x = 3. Isto pode ser visto
utilizando soma e produto, como na sec¸a˜o anterior, ou vendo que
x2 − 5x + 6 = 0⇔ x = −(−5)±
√
(−5)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1 =
5±√1
2
=
5± 1
2
⇔ x = 2 ou x = 3
Assim, podemos escrever o trinoˆmio x2−5x+6 como (x−3)(x−2). Com isso, voltando a` inequac¸a˜o
que estamos resolvendo, temos
x2 − 5x + 6 > 0⇔ (x− 3)(x− 2) > 0.
Observe que estamos lidando com um produto com dois fatores. Desta forma, o produto sera´ positivo
se, e somente se, os dois fatores (x− 3) e (x− 2) tiverem ambos os mesmos sinais; sera´ negativo se,
e somente se, os dois fatores (x− 3) e (x− 2) tiverem sinais opostos e sera´ nulo de um dos fatores
for nulo.
Sendo assim, precisamos determinar quando os fatores (x− 3) e (x− 2) sa˜o positivos, negativos ou
nulos.
Ana´lise do fator (x− 3):
• O fator (x− 3) e´ positivo se, e somente se,
x− 3 > 0⇔ x > 3.
• O fator (x− 3) e´ negativo se, e somente se,
x− 3 < 0⇔ x < 3.
• O fator (x− 3) e´ nulo se, e somente se,
x− 3 = 0⇔ x = 3.
Ana´lise do fator (x− 2):
• O fator (x− 2) e´ positivo se, e somente se,
x− 2 > 0⇔ x > 2.
• O fator (x− 2) e´ negativo se, e somente se,
x− 2 < 0⇔ x < 2.
• O fator (x− 2) e´ nulo se, e somente se,
x− 2 = 0⇔ x = 2.
Assim, o produto (x− 3)(x− 2) sera´
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 11
• positivo quando x < 2 ou x > 3, pois ambos os fatores sa˜o negativos para x < 2 e ambos sa˜o
positivos para x > 3;
• zero quando x = 2 ou x = 3, pois um dos fatores e´ zero quando x = 2 ou x = 3;
• negativo quando 2 < x < 3, pois um dos fatores e´ negativo e o outro e´ positivo.
Repare que so´ utilizamos a regrinha de sinal do produto, retratada no quadrinho abaixo!
2 3
x− 3 − − − 0 +
x− 2 − 0 + + +
(x− 3)(x− 2) + 0 − 0 +
Assim, para que x2 − 5x + 6 > 0, temos x < 2 ou x > 3, isto e´,
x2 − 5x + 6 > 0⇔ x < 2 ou x > 3⇔ x ∈ (−∞, 2) ∪ (3,+∞).
Note que os nu´meros 2 e 3 na˜o entram na soluc¸a˜o acima, pois, para x = 2 ou x = 3, temos
x2 − 5x + 6 = 0 e queremos x2 − 5x + 6 > 0.
Exemplo: Resolver a inequac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 6 0.
Ja´ vimos que 3x2 + 12x − 15 = 0 se, e somente se x = 1 ou x = −5 (verifique!). Assim,
3x2 + 12x− 15 = 3(x2 + 4x− 5) = 3(x− 1)(x + 5). Com isso,
3x2 + 12x− 15 6 0⇔ 3(x− 1)(x + 5) 6 0.
O fator x− 1 e´ positivo para x > 1, negativo para x < 1 e zero quando x = 1.
O fator x + 5 e´ positivo para x > −5, negativo para x < −5 e zero quando x = 5.
Assim, o produto (x− 1)(x + 5) sera´
• positivo quando x < −5 ou x > 1, pois ambos os fatores sa˜o negativos para x < −5 e ambos
sa˜o positivos para x > 1;
• zero quando x = −5 ou x = 1, pois um dos fatores e´ zero quando x = −5 ou x = 1;
• negativo quando −5 < x < 1, pois um dos fatores e´ negativo e o outro e´ positivo.
−5 1
x− 1 − − − 0 +
x + 5 − 0 + + +
(x− 1)(x + 5) + 0 − 0 +
Multiplicar por 3 na˜o altera os sinais acima, pois 3 > 0. Assim, o produto 3(x− 1)(x + 5) sera´
• positivo quando x < −5 ou x > 1;
• zero quando x = −5 ou x = 1;
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 12
• negativo quando −5 < x < 1.
−5 1
x− 1 − − − 0 +
x + 5 − 0 + + +
3 + + + + +
3(x− 1)(x + 5) + 0 − 0 +
Assim, para que 3(x2 + 4x− 5) 6 0, temos −5 6 x 6 1, isto e´,
3x2 + 12x− 15 6 0⇔ −5 6 x 6 1⇔ x ∈ [−5, 1].
Note que os nu´meros −5 e 1 entram na soluc¸a˜o acima, pois, para x = −5 ou x = 1, temos
3x2 + 12x− 15 = 0 e queremos 3x2 + 12x− 15 6 0.
Exemplo 13: Resolver a inequac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 > 0.
Ja´ vimos que
3x2 + 12x− 15 > 0⇔ 3(x− 1)(x + 5) > 0.
Pelo estudo de sinais feito no exemplo anterior, percebemos que 3x2 + 12x − 15 > 0 para x < −5
ou x > 1. Assim,
3x2 + 12x− 15 > 0⇔ x < −5 ou x > 1⇔ x ∈ (−∞,−5) ∪ (1,+∞).
Exemplo 14: Resolver a inequac¸a˜o −2x2 − 4x + 16 6 0.
Observe que −2x2 − 4x + 16 = 0 se, e so´ se, x = 2 ou x = −4 (verifique!). Com isso,
−2x2 − 4x + 16 = −2(x2 + 2x− 8) = −2(x− 2)(x + 4)
Assim,
−2x2 − 4x + 16 6 0⇔ −2(x− 2)(x + 4) 6 0.
O fator x− 2 e´ positivo para x > 2, negativo para x < 2 e zero quando x = 2.
O fator x + 4 e´ positivo para x > −4, negativo para x < −4 e zero quando x = 4.
Assim, o produto (x− 2)(x + 4) sera´
• positivo quando x < −4 ou x > 2, pois ambos os fatores sa˜o negativos para x < −4 e ambos
sa˜o positivos para x > 2;
• zero quando x = −4 ou x = 2, pois um dos fatores e´ zero quando x = −4 ou x = 2;
• negativo quando −4 < x < 2, pois um dos fatores e´ negativo e o outro e´ positivo.
−4 2
x− 2 − − − 0 +
x + 4 − 0 + + +
(x− 2)(x + 4) + 0 − 0 +
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 13
Multiplicar por −2 altera os sinais acima, pois −2 < 0. Assim, o produto −2(x− 2)(x + 4) sera´
−4 2
x− 2 − − − 0 +
x + 4 − 0 + + +
−2 − − − − −
−2(x− 2)(x + 4) − 0 + 0 −
• negativo quando x < −4 ou x > 2;
• zero quando x = −4 ou x = 2;
• negativo quando −4 < x < 2.
Com isso,
−2x2 − 4x + 16 6 0⇔ x 6 −4 ou x > 2⇔ x ∈ (−∞,−4] ∪ [2,+∞).
Note que os nu´meros −4 e 2 entram na soluc¸a˜o acima, pois, para x = −5 ou x = 2, temos
−2x2 − 4x + 16 6 0 e queremos −2x2 − 4x + 16 6 0 6 0.
Exemplo 15: Resolver a inequac¸a˜o −2x2 − 4x + 16 > 0.
Como no exemplo acima, podemos escrever
−2x2 − 4x + 16 > 0⇔ −2(x− 2)(x + 4) > 0.
Pelo estudo de sinais feito, podemos ver que −2(x− 2)(x+ 4) e´ positivo para −4 6 x 6 2. Assim,
−2x2 − 4x + 16 > 0⇔ −4 < x < 2⇔ x ∈ (−4, 2).
Exemplo 16: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 > 0
Vamos tentar escrever x2 + 4x + 5 na forma de um trinoˆmio, como feito nos exemplos anteriores.
Para isso, buscamos as soluc¸o˜es de x2 + 4x + 5 = 0. Note, pore´m, que
∆ = 42 − 4 · 1 · 5 = −4 < 0,
logo a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o!
Isto indica que na˜o podemos escrever x2+4x+5 na forma (x−r1)(x−r2). E agora, o que fazemos?
A inequac¸a˜o ainda precisa ser resolvida...
Vamos pensar no que ocorre. O que significa o fato de a equac¸a˜o x2 + 4x+ 5 = 0 na˜o ter soluc¸a˜o?
Significa que x2 + 4x + 5 nunca e´ igual a zero. Com isso, o trinoˆmio x2 + 4x + 5 nunca muda de
sinal, isto e´, ou e´ positivo para todo x real, ou negativo para todo x. E qual e´ o caso? Escolha um
valor para x (qualquer um!) e descubra! Fazendo x = 0, por exemplo, temos 02 + 4 · 0 + 5 = 5,
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 14
logo o trinoˆmio e´ sempre positivo. Com isso, x2 + 4x + 5 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, temos
x2 + 4x + 5 > 0⇐ x ∈ R.
Exemplo 17: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 < 0
Pelo visto acima, x2 + 4x + 5 sera´ sempre positivo, portanto na˜o existe valor de x para o qual
x2 + 4x + 5 < 0.
Exemplo 18: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 6 0
Pelo visto acima, x2 +4x+5 sera´ sempre positivo (logo tambe´m diferente de 0), portanto na˜o existe
valor de x para o qual x2 + 4x + 5 6 0.
Exemplo 19: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 > 0
Pelo visto acima, x2 + 4x + 5 sera´ sempre positivo, isto e´, x2 + 4x + 5 > 0 para todo x ∈ R. Com
isso, para todo x ∈ R, x2 + 4x + 5 > 0 (lembre-se de que todo nu´mero maior que zero e´ tambe´m
maior ou igual a zero!).
x2 + 4x + 5 > 0⇔ x ∈ R.
Exemplo 20: Resolver a inequac¸a˜o −3x2 + x− 2 6 0
A equac¸a˜o −3x2 + x − 2 = 0 na˜o tem soluc¸a˜o (pois ∆ = 12 − 4 · (−3)(−2) = −23 < 0).
Com isso, o trinoˆmio−3x2 + x − 2 e´ sempre positivo ou sempre negativo. Para x = 0, temos
−3(0)2 + 0− 2 = −2 < 0, logo o trinoˆmio sempre e´ negativo. Assim, −3x2 + x− 2 6 0 para todo
x ∈ R, isto e´,
−3x2 + x− 2 6 0⇔ x ∈ R.
Exemplo 21: Resolver a inequac¸a˜o −3x2 + x− 2 > 0
Pelo exemplo anterior, o trinoˆmio −3x2 + x− 2 e´ sempre negativo. Assim, na˜o existe x ∈ R tal que
−3x2 + x− 2 > 0.
Exemplo 22: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 > 0
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A equac¸a˜o x2−2x+1 = 0 tem soluc¸a˜o u´nica, dada por x = 1 (verifique!). Assim, podemos escrever
x2 − 2x + 1 = (x− 1)(x− 1) = (x− 1)2. Com isso,
x2 − 2x + 1 > 0⇔ (x− 1)2 > 0.
Como (x− 1)2 e´ um quadrado, ele sera´ maior ou igual a zero para todo x ∈ R, logo
x2 − 2x + 1 > 0⇔ x ∈ R.
Exemplo 23: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 > 0
Vimos acima que
x2 − 2x + 1 > 0⇔ (x− 1)2 > 0.
A desigualdade da direita so´ na˜o vale quando x− 1 = 0, isto e´, quando x = 1 (para qualquer outro
valor de x, temos x− 1 6= 0, logo (x− 1)2 > 0). Assim,
x2 − 2x + 1 > 0⇔ x 6= 1.
Exemplo 24: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 < 0
Como vimos anteriormente (dois exemplos acima), x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 > 0 para todo x ∈ R,
logo nunca teremos x2 − 2x + 1 < 0. Assim, na˜o existe x ∈ R tal que x2 − 2x + 1 < 0.
Exemplo 25: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 6 0
Como ja´ vimos (treˆs exemplos acima), x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 > 0 para todo x ∈ R. Portanto, a
u´nica forma de termos x2 − 2x + 1 6 0 e´ quando x2 − 2x + 1 = 0, ou seja, quando x = 1.
Assim,
x2 − 2x + 1 6 0⇔ x = 1.
Exerc´ıcio 4 Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
Atenc¸a˜o! Voceˆ precisara´ trabalhar um pouco algumas das inequac¸o˜es a seguir para que fiquem nas formas
estudadas acima.
a) −
(
x +
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 b) −1
5
(10x2 − 60x + 30)− 12 > 0
c) (x− 1)2 ≥ −x + 3 d) 2x2 − 2x + 10 > 0
e) 2x2 − 2x + 10 < 0 f) x2 ≥ |5x + 6|
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Voceˆ pode estar se perguntando onde, na vida de um administrador, ele encontrara´ uma equac¸a˜o ou
inequac¸a˜o do segundo grau e, mais ainda, quando ele precisara´ resolveˆ-la. Pois bem, uma situac¸a˜o
pra´tica em que nos deparamos com trinoˆmios do segundo grau se da´ quando queremos obter a re-
ceita, considerando o prec¸o e a quantidade comercializada de um certo produto.
A receita R decorrente da venda de um produto e´ dada por
R = p.q,
onde p representa o prec¸o unita´rio do produto e q sua quantidade comercializada.
Por exemplo, se considerarmos que o prec¸o da garrafa de vinho de uma determinada marca e´ dado
por
p = −3q + 600,
onde q e´ a quantidade de garrafas comercializadas, temos que a receita decorrente da venda do vinho
e´ dada por
R = (−3q + 600)q = −3q2 + 600q.
noindentObs: Observe que na pra´tica, p e´ sempre maior do que zero, pois na˜o existe quantidade
comercializada que fac¸a o prec¸o ser nulo, muito menos negativo! Contudo, por questo˜es dida´ticas,
vamos considerar que, quando q = 200, temos p = 0.
Se considerarmos que o custo C na fabricac¸a˜o do vinho e´ dado por
C = 30q + 18.000,
teremos que o lucro L obtido na comercializac¸a˜o do vinho e´ dado por
L = R− C
= −3q2 + 600q − (30q + 18.000) = −3q2 + 570q − 18.000
Neste caso, poderemos querer saber quando o lucro e´ zero, i.e. quando a receita e´ igual ao custo, que
recaira´ na resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o do segundo grau; quando o lucro e´ maior que um determinado
valor, que recaira´ na resoluc¸a˜o de uma inequac¸a˜o do segundo grau, etc.
[O texto acima se baseia no livro Matema´tica Aplicada a` Administrac¸a˜o, Economia e Contabilidade,
de Murolo e Boneto.]
Vamos a uns exemplos nesta linha.
Exerc´ıcio 5 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende-
dores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A
e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 5
2
x
(
4
5
x− 38
5
)
+ 75 e LB = −(x + 2)(x− 10) + 13,
onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}.
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a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B.
Exerc´ıcio 6 Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa
o lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o.
Em uma empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que R = 600x − x2 e
C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es:
i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa.
ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que ela
produziu?
iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C?
5 Sobre a fo´rmula de Bhaskara
Neste EP, voceˆ viu como resolver a equac¸a˜o do segundo grau, e esperamos que tenha praticado
bastante! Em grande parte dos casos, sera´ utilizada a famosa “Fo´rmula de Bhaskara”, que diz que
as soluc¸o˜es da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0
sa˜o dadas por
x =
−b±√∆
2a
,
com ∆ = b2 − 4ac. Isto quando ∆ > 0, pois, no caso em que ∆ < 0, a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o
(em R, pelo menos, que e´ o conjunto que nos interessa nesta disciplina).
Vamos tentar entender de onde vem esta fo´rmula, ate´ agora de existeˆncia quase que sobrenatural.
Partindo da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0,
como a 6= 0, vamos reescreveˆ-la na forma
a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
= 0.
O pro´ximo passo e´ tentar escrever o x2 + b
a
x + c
a
como um quadrado perfeito, isto e´, na forma
(x + k)2 (se for poss´ıvel!).
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 18
Como (x + k)2 = x2 + 2kx + k2, precisamos que 2kx seja igual a b
a
x, isto e´,
2k =
b
a
∴ k = b
2a
.
Com isso, o quadrado perfeito seria
(x + k)2 =
(
x +
b
2a
)2
= x2 + 2 · b
2a
x +
(
b
2a
)2
= x2 +
b
a
x +
b2
4a2
.
Mas isso na˜o e´ igual a x2 +
b
a
x +
c
a
... e agora?
Na equac¸a˜o que temos,
a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
= 0,
podemos somar e subtrair
b2
4a2
dentro do pareˆntese, o que na˜o altera a equac¸a˜o. Obtemos enta˜o
a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
+
b2
4a2
− b
2
4a2
)
= 0.
Agrupando dentro dos pareˆnteses, temos
a
((
x2 +
b
a
x +
b2
4a2
)
+
c
a
− b
2
4a2
)
= 0,
ou, equivalentemente,
a
((
x +
b
2a
)2
− b
2
4a2
)
= 0.
Multiplicando o a pelos termos de dentro dos pareˆnteses,
a
(
x +
b
2a
)2
+ a · c
a
− a · b
2
4a2
= 0,
ou ainda
a
(
x +
b
2a
)2
+ c− b
2
4a
= 0.
Com isso,
a
(
x +
b
2a
)2
=
b2
4a
− c,
que equivale a (colocando o lado direito sobre o mesmo denominador 4a)
a
(
x +
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a
.
Lembrando que ∆ = b2 − 4ac, temos
a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
,
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que, dividindo por a, equivale a (
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Assim,
x +
b
2a
= ±
√
∆
4a2
.
A raiz quadrado existira´ se, e somente se, o que estiver dentro dela for maior ou igual a zero. Mas,
como o denominador 4a2 e´ sempre positivo, isto equivale a ∆ > 0. Assim, a equac¸a˜o tem soluc¸a˜o
se, e somente se, ∆ > 0. Neste caso, temos
x +
b
2a
= ±
√
∆
4a2
= ±
√
∆
2a
,
que equivale a
x = ±
√
∆
4a2
= ±
√
∆
2a
− b
2a
,
ou ainda
x = ±
√
∆
4a2=
−b±√∆
2a
.
Eis a raza˜o de ser da Fo´rmula de Bhaskara!
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