EP8 2017 1 gabarito

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EP8 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2017-1
Exercício 1 (AP1 - 2014.1) Na AD2 de Métodos Determinísticos I, composta de duas questões,
560 alunos acertaram somente uma das questões e 310 acertaram a segunda. Sendo que 70 alunos
acertaram as duas questões e 275 erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Solução: Sabemos que a melhor forma de resolver este tipo de questão é começar pelo número de
elementos na interseção dos conjuntos existentes. No caso, os conjuntos são:
A: conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão;
B: conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão.
O número de alunos na interseção dos dois conjuntos é 70. Como 310 acertaram a segunda questão e,
neste total, também contam os que acertaram a primeira questão, temos que 310-70=240 acertaram
apenas a segunda questão. Como 560 alunos acertaram somente uma das questões, temos que 560-
240= 320 acertaram apenas a primeira questão. Finalmente, como 275 erraram a primeira questão e
estes podem ter acertado ou errado a segunda questão, temos que 275-240=35 alunos não acertaram
nenhuma das questões. Desta forma,
320 + 70 + 240 + 35 = 665
é o número de alunos que fizeram a prova. Abaixo temos o diagrama de Venn relativo a este problema.
Exercício 2 (AP1 - 2016.2) Em uma cidade, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-
se que 12% da população compra ambas as marcas; que o percentual da população que compra
a marca A é o triplo do percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da população não
compra A e nem B.
(a) Determine o percentual da população que compra apenas a marca A.
(b) Se a marca B lançar uma ofensiva publicitária e conseguir fazer com que um quinto das pessoas
que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Será o aumento percentual
de clientela da marca B?
Métodos Determinísticos I EP8 2
Solução:
(a) Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos com-
pradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma
diagrama de Venn, temos o seguinte:
Vamos chamar de t o número de habitantes da cidade, isto é, faremos n(U) = t. A informação
de que �12% da população compra ambas as marcas", nos dá então que n(A ∩ B) = 12
100
· t.
Além disso, como �apenas 16% da população não A e nem B", temos n(U − (A∪B)) = 16
100
· t.
Temos então o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
diagrama abaixo,
teremos n(B) = x+ n(A ∩ B) = x+ 12
100
· t. Como o número de compradores da marca A é o
triplo de compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3
(
x+
12
100
· t
)
= 3x+
36
100
· t.
Além disso, o número de compradores exclusivos da marca A será dado por
n(A)− n(A ∩B) =
(
3x+
36
100
· t
)
− 12
100
· t = 3x+ 24
100
· t.
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Métodos Determinísticos I EP8 3
Reunindo todas as informações no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que(
3x+
24
100
· t
)
+
12
100
·t+ x+ 16
100
· t = t,
logo
4x = t− 52
100
· t ∴ 4x = 48
100
· t ∴ x = 12
100
· t.
O percentual de compradores exclusivos de A será então
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12
100
· t+ 24
100
· t = 60
100
· t.
Com isso, 60% da população compra apenas a marca A.
Observação: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor
que a cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar à feita acima, porém sem o t.
Resolver desta forma, porém, poderia levar (não é o caso neste problema, mas poderia ocorrer)
à conjuntos com cardinalidade não inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da
forma 12,41%, por exemplo, que faz sentido para populações grandes.
(b) No item anterior, encontramos os seguintes percentuais:
Com isso, a marca B tem, hoje,
12
100
· t+ 12
100
· t = 24
100
· t compradores. Se a campanha publicitária
da marca B conseguir captar um quinto dos
60
100
· t compradores exclusivos da marca A, ela
representará um aumento de
1
5
· 60
100
· t = 12
100
· t
novos clientes.
O aumento percentual será o número de novos clientes dividido pelo número de clientes antigos,
isto é,
12
100
· t
24
100
· t =
1
2
=
50
100
= 50%.
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Métodos Determinísticos I EP8 4
Exercício 3 (Esaf) Percival encontra-se à frente de três portas numeradas de 1 a 3, cada uma das
quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas, encontra-se uma linda princesa; em outra, um
valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma
inscrição:
Porta 1: �Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da Porta 2.�
Porta 2: �Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entre na Porta 3 pois
atrás dela encontra-se um feroz dragão.�
Porta 3: �Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.�
Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as outras duas
verdadeiras), determine a que conlusão Percival chegou em relação ao que se encontra atrás de cada
uma das três portas, sabendo que ele acertou.
Solução:
Como método de resolução, uma vez que é sabido que apenas a inscrição de uma porta é falsa, vamos
dividir em casos, supondo, em cada caso, que uma delas é falsa e, portanto, as outras restantes são
verdadeiras e observar o que acontece.
Caso 1: vamos supor que a inscrição da Porta 1 é falsa e as inscrições das Portas 2 e 3 são
verdadeiras.
- Como a inscrição da Porta 2 é verdadeira, isto significa que as proposições �atrás da Porta
2 tem um valioso tesouro� e �atrás da Porta 3 tem um feroz dragão� são verdadeiras. Con-
sequentemente, a inscrição da Porta 3 é falsa, pois ela diz que não há dragão atrás da Porta 3. Mas,
isto não pode acontecer, pois, por hipótese, a inscrição da Porta 3 é verdadeira. Logo, a inscrição da
Porta 1 não é falsa. Ela é verdadeira. Portanto, concluímos que a princesa está atrás da Porta 2.
Descobrimos, então a inscrição da Porta 1 é verdadeira, de modo que a falsa deve ser a inscrição da
Porta 2 ou da Porta 3. Vamos, portanto, continuar nossa análise, supondo agora que outra inscrição
é falsa, para descobrir o que há atrás das Portas 1 e 3.
Caso 2: vamos supor, agora, que a inscrição da Porta 2 é falsa e as inscrições das Portas 1 e 3 são
verdadeiras.
- Como a inscrição da Porta 1 é verdadeira, temos que a princesa está atrás da Porta 2. Con-
cluímos, assim, que não tem um valioso tesouro atrás da Porta 2, o que não contraria nossa hipótese
inicial de que a inscrição da Porta 2 é falsa.
- Só que a inscrição da Porta 2 contém a afirmação: �não entre na Porta 3, pois atrás dela
encontra-se um feroz dragão�. Note que esta segunda afirmação da inscrição da Porta 2 pode
ser falsa ou verdadeira, pois, em ambos os casos, a inscrição da Porta 2 continua falsa, que é nossa
hipótese inicial.
- Vamos supor então, que ela é verdadeira. Isto significa que �o dragão está atrás da Porta
3�. Logo, a inscrição da Porta 3 é falsa, o que conduz a duas inscrições falsas, contrariando nossa
hipótese de que apenas a inscrição da Porta 2 é falsa. Consequentemente, �atrás da Porta 3
encontra-se um dragão� tem de ser falsa.
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Métodos Determinísticos I EP8 5
- Como, a princesa está atrás da Porta 2, e o dragão não está atrás da Porta 3, o dragão está
atrás da Porta 1. Consequentemente, o tesouro está atrás da Porta 3.
Tudo se encaixa perfeitamente, de modo que não há necessidade de supor que inscrição da Porta 3
é a inscriçãofalsa, pois já achamos a inscrição falsa: a inscrição da Porta 2.
Em todo caso, vamos continuar e supor que a inscrição da Porta 3 é a inscrição falsa e verificar que
isto gera uma inconsistência.
Caso 3: vamos supor que a inscrição da Porta 3 é falsa e as inscrições das Portas 1 e 2 são
verdadeiras.
- Da inscrição da Porta 1, temos que a a princesa está atrás da Porta 2, mas, pela inscrição da
Porta 2, temos que o tesouro está atrás da Porta 2. Estas duas afirmações entram em conflito, de
modo que a hipótese inicial de que a inscrição da Porta 3 é falsa não está correta, i.e. a inscrição da
Porta 3 é verdadeira.
Observe que apresentamos uma metodologia de resolver este tipo de questão, o que não impede que
outras formas de raciocínio particulares a cada problema sejam até mais eficientes. Nesta questão,
por exemplo, vemos que as inscrições das Porta 1 e 2 são conflitantes, pois uma diz que a princesa
está atrás da Porta 2 e a outra diz que não, pois é o tesouro que está atrás da Porta 2. Portanto,
uma das duas é falsa.
Da mesma forma, as inscrições das Porta 2 e 3 também são conflitantes, pois uma diz que dra-
gão está atrás da Porta 3 e a outra diz que não. Portanto, uma das duas é falsa.
Suspeitamos, então, que a falsa é a afirmação da Porta 2. Para comprovar, vamos supor a afir-
mação da Porta 2 é verdadeira. Como ela é conflitante com as inscrições das Portas 1 e 3, estas
duas afirmações devem ser falsas, o que contradiz a hipótese inicial de que apenas a inscrição de
uma porta é falsa. Concluímos, assim, que a inscrição falsa é a inscrição da Porta 2.
Exercício 4 (AP1 - 2015.2) Considere as proposições:
A: �Ana está na escola.�
B: �Se João está no cinema, então Maria está na loja.�
Sabendo que a proposição P: �A ou B� é falsa, pode-se afirmar que:
(i) Ana não está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.
(ii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria está na loja.
(iii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.
(iv) Ana está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.
(v) Ana está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.
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Métodos Determinísticos I EP8 6
Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo �A ou B�, seja falsa, é necessário
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P é falsa, segue que A é falsa e B também é falsa.
Dizer que A é falsa é dizer que Ana não está na escola.
Por outro lado, a proposição B é uma implicação do tipo p ⇒ q, onde p: �João está no cinema� e
q: �Maria está na loja�, logo, ela é falsa, apenas se vale p e ∼ q, isto é, se João está no cinema e
Maria não está na loja.
Portanto, a resposta correta é a (iii).
Exercício 5 Seja A =
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
}
e B =
{
1, 2, 3, 4,
1
5
}
. Decida se são falsas ou verdadeiras as
proposições a seguir e justificando sua resposta.
a) y ∈ B =⇒ 1
y
∈ A
b) ∀x ∈ A, 1
x
∈ B
c) ∀x ∈ A, (x ∈ N⇐⇒ x ∈ B)
d) ∃x ∈ A ;
(
1
x
∈ A
)
∧
(
x2 − 2x ≤ −2
3
)
e) ∀x ∈ B; (x ∈ N) ∨
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
Solução:
a) y ∈ B =⇒ 1
y
∈ A
A proposição acima é uma implicação do tipo p ⇒ q, onde p: �y ∈ B� e q: � 1
y
∈ A�, logo, ela
é falsa apenas se p for verdadeira e q for falsa. Portanto, se existir algum elemento y ∈ B, tal
que
1
y
6∈ A, a proposição �y ∈ B =⇒ 1
y
∈ A� será falsa. Observe que para y = 1
5
,
1
y
= 5 6∈ A.
Portanto a proposição �y ∈ B =⇒ 1
y
∈ A� é falsa.
b) ∀x ∈ A, 1
x
∈ B
Como estamos diante de uma proposição do tipo �∀x ∈ A�, devemos analisar se a proposição
�p :
1
x
∈ B� é verdadeira ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1, temos que
1
x
= 1 ∈ B; para x = 1
2
, temos que
1
x
= 2 ∈ B, para x = 1
3
, temos que
1
x
= 3 ∈ B, para x = 1
4
,
temos que 1/x = 4 ∈ B. Portanto, para todos os elementos de A, a proposição p é verdadeira.
Logo, a proposição �∀x ∈ A, 1
x
∈ B� é verdadeira.
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Métodos Determinísticos I EP8 7
c) ∀x ∈ A, (x ∈ N⇐⇒ x ∈ B)
Vamos chamar de p a proposição simples �x ∈ N� e de q a proposição simples �x ∈ B�. Isto é,
p: �x ∈ N.�
q: �x ∈ B.�
A proposição �p ⇔ q� é uma equivalência. Portanto, para que ela seja verdadeira, é preciso
que as duas proposições simples, p e q sejam ambas verdadeiras, ou que sejam ambas falsas.
Caso uma seja falsa e a outra verdadeira, a proposição �p⇔ q� será falsa.
Como estamos diante de uma proposição do tipo �∀x ∈ A�, devemos analisar se a proposi-
ção �p ⇔ q� é verdadeira ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1, temos que
p é verdadeira, pois 1 ∈ N e q também é verdadeira, pois 1 ∈ B, portanto, para x = 1, temos
que �p ⇔ q� é verdadeira. Para x = 1
2
, temos que p é falsa, pois
1
2
6∈ N e q também é falsa,
pois
1
2
6∈ B, portanto, para x = 1
2
, temos que �p⇔ q� é verdadeira. Para x = 1
3
, temos que p é
falsa, pois
1
3
6∈ N e q também é falsa, pois 1
3
6∈ B, portanto, para x = 1
3
, temos que �p⇔ q� é
verdadeira. Para x =
1
4
, temos que p é falsa, pois
1
4
6∈ N e q também é falsa, pois 1
4
6∈ B, por-
tanto, para x =
1
4
, temos que �p⇔ q� é verdadeira. Segue assim que, para todos os elementos
de A, a proposição �p⇔ q� é verdadeira. Logo, a proposição �∀x ∈ A, (x ∈ N⇐⇒ x ∈ B)� é
verdadeira.
d) ∃x ∈ A ;
(
1
x
∈ A
)
∧
(
x2 − 2x ≤ −2
3
)
Vamos chamar de p a proposição simples �
1
x
∈ A� e de q a proposição simples �x2− 2x ≤ −2
3
�.
Isto é,
p: �
1
x
∈ A.�
q: �x2 − 2x ≤ −2
3
.�
A proposição �p ∧ q� é uma conjunção. Portanto, para que ela seja verdadeira, é preciso que
as duas proposições simples sejam verdadeiras.
Além disso, como estamos diante de uma proposição do tipo �∃x ∈ A�, vamos verificar se
há um elemento de A, para o qual p e q sejam verdadeiras.
Analisando os elementos do conjunto A, temos que, apenas para o elemento de A, x = 1,
segue que
1
x
=
1
1
= 1 ∈ A. isto é, apenas para x = 1 a proposição p é verdadeira.
Vamos verificar se, para x = 1, a proposição q também é verdadeira. Para x = 1, temos
que x2 − 2x = 1 − 2 = −1. Como −1 ≤ −2
3
, pois −1 ≤ −2
3
⇔ −3 ≤ −2, segue que, para
x = −1, a proposição q é verdadeira.
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Métodos Determinísticos I EP8 8
Como, para x = 1, p é verdadeira e q também é verdadeira, concluímos que existe um elemento
do conjunto A, para o qual, a proposição �p ∧ q� é verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ;
(
1
x
∈ A
)
∧
(
x2 − 2x ≤ −2
3
)
é verdadeira.
e) ∀x ∈ B; (x ∈ N) ∨
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
Vamos chamar de p a proposição simples �x ∈ N� e de q a proposição simples �x − 1
2
<
4x− 1 < 1 + x�. Isto é
p: �x ∈ N.�
q: �x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x.�
A proposição �p ∨ q� é uma disjunção. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma
das proposições simples seja verdadeira.
Observe que a proposição q é verdadeira se, e somente se,
1
6
< x <
2
3
. De fato,
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x ⇔ x− 1
2
< 4x− 1 e 4x− 1 < 1 + x
⇔ x− 4x < −1 + 1
2
e 4x− x < 1 + 1
⇔ −3x < −1
2
e 3x < 2
⇔ 3x>1
2
e x <
2
3
⇔ x>1
6
e x <
2
3
⇔ 1
6
< x <
2
3
Como estamos diante de uma proposição do tipo �∀x ∈ B�, devemos analisar se a proposição
�p ∨ q� é verdadeira ou falsa para cada elemento do conjunto B. Para x = 1, x = 2, x = 3 e
x = 4, temos que, a proposição p é verdadeira. Logo, para x = 1, x = 2, x = 3 e x = 4, temos
que a disjunção
(x ∈ N) ∨
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
é verdadeira, pois, para estes valores de x, �(x ∈ N)� é verdadeira.
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Métodos Determinísticos I EP8 9
Para x =
1
5
, a proposição p é falsa.Porém, para este elemento de B, a proposição q verdadeira,
pois
1
6
<
1
5
<
2
3
. De fato,
1
6
<
1
5
<
2
3
⇔ 1
6
<
1
5
e
1
5
<
2
3
⇔ 5 < 6 e 3 < 10.
Desta forma, para x =
1
5
, a disjunção �(x ∈ N) ∨
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
� também é ver-
dadeira, pois, para este valor de x, �
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
� é verdadeira.
Concluímos, portanto, que a disjunção
�(x ∈ N) ∨
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
�
é verdadeira, para todo x ∈ B.
Logo, ∀x ∈ B ; (x ∈ N) ∨
(
x− 1
2
< 4x− 1 < 1 + x
)
é verdadeira.
Exercício 6 (AP1 - 2011.1)
Considere as seguintes premissas sobre o conjunto A:
1) A ⊂ N
2) ∀x ∈ A, x > 10
3) Se (∃x ∈ A;x > 20), então (5 ∈ A)
4) ∀x ∈ A, (x é ímpar ⇐⇒ x > 25)
Analise as premissas acima e diga o que se pode concluir a partir delas sobre o conjunto A. É ne-
cessário que você apresente o raciocínio que usou para deduzir sua conclusão a partir das premissas
dadas e que aponte sua conclusão de forma destacada do resto de sua resposta.
Solução: Pela primeira premissa, sabemos que A é um subconjunto dos naturais. A segunda pre-
missa nos diz que todos os elementos de A são maiores que 10. A partir desta informação, a terceira
premissa nos permite deduzir que não há em A nenhum elemento maior que 20, pois caso houvesse, 5
pertenceria a A, o que é vetado pela premissa 2 (os elementos de A são maiores que 10). Até aqui já
sabemos que A ⊂ {11, 12, 13, · · · , 18, 19, 20}. A premissa 4 nos diz que para todo x que pertença a
A, x é ímpar se, e somente se, x > 25. Mas já sabemos que A não tem nenhum elemento maior que
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25, logo todos os elementos de A devem ser pares. Podemos concluir que A ⊂ {12, 14, 16, 18, 20}
(veja que não temos como saber se vale a igualdade).
Conclusão: A ⊂ {12, 14, 16, 18, 20}.
Exercício 7 (AP1 - 2014.2) O salário mensal de um vendedor é formado de uma parte fixa igual a
dois salários mínimos acrescido de uma comissão de 5% sobre o total de vendas no mês. Sabendo
que um salário mínimo é igual a R$ 750, 00 e que no mês de dezembro o salário foi de R$ 1860, 00,
responda os itens a seguir.
(a) Determine o valor total de vendas no mês de dezembro.
(b) Considerando que em janeiro, do ano seguinte, as vendas cairam 25%, determine o salário do
vendedor no mês de janeiro.
Solução:
(a) Seja S o salário do vendedor no mês de dezembro e V o valor total de vendas. Logo,
S = 2 · salário mínimo+ 5% do total de vendas.
Ou seja,
1860 = 2 · 750 + 5
100
· V
=⇒ 5
100
· V = 1860− 2 · 750
=⇒ 5
100
· V = 1860− 1500
=⇒ 5
100
· V = 360
=⇒ V = 7200.
Logo, o valor total de vendas no mês de dezembro é igual a R$ 7200,00.
(b) Como as vendas cairam 25% isto equivale a dizer que houve uma perda de 25% de V .
Ou seja, houve uma perda de R$ 1800,00. Assim, em janeiro, o total de vendas foi de 7200−
1800 = 5400.
E, portanto, o salário de janeiro é igual a 1500 +
5
100
· 5400 = 1500 + 270 = 1770.
Logo, o salário do mês de janeiro é R$ 1770,00.
Exercício 8 (AP1 - 2014.1) Em um hospital, 40% dos funcionários são médicos. Destes 40%,
15% são ortopedistas. De todos os funcionários do hospital, qual é a percentagem de médicos
ortopedistas?
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Solução: Vamos chamar de F o número de funcionários do hospital, de M o número de médicos
do hospital e de O o número de ortopedistas do hospital. Neste caso, como 40% dos funcionários
são médicos, temos que
M =
40
100
F.
Além disto, como 15% destes 40% são ortopedistas, temos que
O =
15
100
M =
15
100
· 40
100
F =
6
100
F.
Portanto, 6% dos funcionários do hospital são médicos.
Exercício 9 (AP3 - 2016.2) Uma camiseta custava R$200,00 e, após dois aumentos sucessivos de
a%, seu preço foi para R$246,42. Determine a.
Observação: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
1, 012 = 1, 0201 1, 062 = 1, 1236 1, 112 = 1, 2321 1, 162 = 1, 3456
1, 022 = 1, 0404 1, 072 = 1, 1449 1, 122 = 1, 2544 1, 172 = 1, 3689
1, 032 = 1, 0609 1, 082 = 1, 1664 1, 132 = 1, 2769 1, 182 = 1, 3924
1, 042 = 1, 0816 1, 092 = 1, 1881 1, 142 = 1, 2996 1, 192 = 1, 4161
1, 052 = 1, 1025 1, 102 = 1, 2100 1, 152 = 1, 3225 1, 202 = 1, 4400
Solução: Após o primeiro aumento de a%, o preço da camisa, antes R$200,00, se tornará
P1 = 200 ·
(
1 +
a
100
)
.
Após novo aumento de a%, teremos o preço
P2 = P1 ·
(
1 +
a
100
)
=
(
200 ·
(
1 +
a
100
))
·
(
1 +
a
100
)
= 200 ·
(
1 +
a
100
)2
.
Mas o preço P2 calculado acima, após o segundo aumento, é de R$246,42. Logo,
200 ·
(
1 +
a
100
)2
= 246, 42,
e então (
1 +
a
100
)2
=
246
200
= 1, 2321.
Com isso, consultando a taboada fornecida, vemos que
1 +
a
100
= 1, 11,
logo
a
100
= 0, 11 ∴ a = 11.
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Métodos Determinísticos I EP8 12
Exercício 10 O custo C para enviar uma encomenda pelo SEDEX é dado pela fórmula
C = 10 + 0, 3(p− 1),
onde p representa o peso da encomenda em quilogramas.
a) Se o custo de uma encomenda for de 12, 7 reais, determine qual deve ser o peso em quilogramas
dessa encomenda.
b) Determine o intervalo de variação, possível, do peso, para que o custo não ultrapasse 20,5 reais.
Solução:
a) Como pelo enunciado C = 12, 7, segue que
10 + 0, 3(p− 1) = 12, 7 ⇐⇒ 10 + 3
10
(p− 1) = 12, 7
⇐⇒ 3
10
(p− 1) = 12, 7− 10
⇐⇒ 3
10
(p− 1) = 2, 7
⇐⇒ 3
10
(p− 1) = 27
10
⇐⇒ 3(p− 1) = 27
⇐⇒ p− 1 = 9
⇐⇒ p = 10 kg .
Portanto,o peso da encomenda deve ser de 10 kg.
b) Para que o custo não ultrapasse 20, 5 reais, devemos ter C ≤ 20, 5. Ou seja, devemos resolver a
inequação
10 + 0, 3(p− 1) ≤ 20, 5 ⇐⇒ 3
10
(p− 1) ≤ 10, 5
⇐⇒ 3
10
(p− 1) ≤ 105
10
⇐⇒ 3(p− 1) ≤ 105
⇐⇒ p− 1 ≤ 35
⇐⇒ p ≤ 36.
Logo, o intervalo é (0, 36].
Exercício 11 (AP1 - 2014.1)
a) Resolva a expressão a seguir. (
3
2
)3
÷
(
16
25
)− 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 3
9
,
escrevendo a resposta na forma de uma fração irredutível.
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Métodos Determinísticos I EP8 13
b) Racionalize a expressão abaixo, colocando o resultado na sua forma mais simples.
√
10√
3−√2 +
√
5√
5−√6
Solução:
a) (
3
2
)3
÷
(
16
25
)− 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 3
9
=
27
8
÷
(
25
16
) 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 1
3
=
27
8
÷ 5
4
− 3
√
2
5
3
√
2
=
27
8
· 4
5
− 5
=
27
10
− 5 = 27
10
− 50
10
= −23
10
.
b)
√
10√
3−√2 +
√
5√
5−√6 =
√
10√
3−√2 ·
(√
3 +
√
2
)(√
3 +
√
2
) + √5√
5−√6 ·
(√
5 +
√
6
)(√
5 +
√
6
)
=
√
10
(√
3 +
√
2
)
1
+
√
5
(√
5 +
√
6
)
−1
=
√
10
(√
3 +
√
2
)
−
√
5
(√
5 +
√
6
)
=
√
30 +
√
20−
√
25−
√
30
=
√
20−
√
25
= 2
√
5− 5
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Métodos Determinísticos I EP8 14
Exercício 12 (AP1 - 2015.1)
a) Determine o valor da expressão aritmética
(3)−1 − (27)2/3
b) Determine o valor da expressão aritmética
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
c) Simplifique a expressão algébrica
a2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b ,
sabendo que a > 0, b > 0 e a 6= b.
Dica: Racionalize a expressão: − 1√
a+
√
b
.
Solução:
a) (3)−1 − (27)2/3 = 1
3
− 3√(27)2 = 1
3
− 9 = 1
3
− 27
3
=
1− 27
3
= −26
3
b)
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
− = −2
5
[
1 +
(
7
2
− 10
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1 +
(
−3
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1− 3
2
·4
3
− 7
2
]
= −2
5
1− �3
�2
· ���
2
4
�3
− 7
2

= −2
5
[
1− 2− 7
2
]
= −2
5
[
2
2
− 4
2
− 7
2
]
= −2
5
[
−9
2
]
= −�2
5
[
−9
�2
]
=
9
5
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Métodos Determinísticos I EP8 15
c)
a2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b =
a2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b
= �
���(a− b)(a+ b)
(a− b)�2
−
√
a−√b
(
√
a+
√
b)(
√
a−√b) +
√
a−√b
a− b
=
a+ b
a− b −
√
a−√b
a− b +
√
a−√b
a− b
=
a+ b− (√a−√b) +√a−√b
a− b
=
a+ b−√a+√b+√a−√b
a− b
=
a+ b
a− b
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