EP3 Métodos Determinísticos 2017.1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 3 do Caderno Dida´tico.
Atenc¸a˜o!!!
Esta e´ o gabarito do EP3. Na˜o estude apenas por ele, antes, leia a versa˜o de questo˜es do EP, que
traz uma breve explicac¸a˜o de alguns pontos importantes da teoria desta aula. E lembre-se sempre
que, antes de consultar os gabaritos das questo˜es, voceˆ deve tentar resolveˆ-las!
Exerc´ıcio 1 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas:
a) O Brasil fica na Ame´rica do Sul e a Inglaterra fica na A´frica.
b) A China fica na Ame´rica do Sul ou o Canada´ fica na Ame´rica do Norte.
c) A Argentina fica na Ame´rica do Sul ou o Chile fica na Ame´rica do Sul.
d) A Coloˆmbia fica na A´frica e Portugal fica na Ame´rica do Sul.
e) Cuba fica na Europa ou o Japa˜o fica na Ame´rica do Norte.
Soluc¸a˜o:
a) Falsa.
O conectivo e´ a conjunc¸a˜o “e”. Logo, uma proposic¸a˜o composta e´ verdadeira se ambas as
proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras.
Como neste item, a segunda proposic¸a˜o envolvida e´ falsa segue que a proposic¸a˜o composta e´
falsa.
b) Verdadeira.
O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira
basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, a segunda proposic¸a˜o envolvida e´ verdadeira, segue que a proposic¸a˜o com-
posta e´ verdadeira.
c) Verdadeira.
O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira
basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras, segue que a proposic¸a˜o
composta e´ verdadeira.
d) Falsa.
O conectivo e´ a conjunc¸a˜o “e”. Logo, uma proposic¸a˜o composta e´ verdadeira se ambas as
proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras.
Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o falsas segue que a proposic¸a˜o composta
e´ falsa.
Me´todos Determin´ısticos I EP3 2
e) Falsa.
O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira
basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o falsas, segue que a proposic¸a˜o composta
e´ falsa.
Exerc´ıcio 2 Qual a negac¸a˜o das proposic¸o˜es abaixo:
a) p: Hoje e´ sexta-feira
b) q: O meu pai era paulista
c) r: Amanha˜ na˜o sera´ sa´bado
d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuic¸a˜o
lo´gico-matema´tica, dizer qual e´ a negac¸a˜o da proposic¸a˜o abaixo:
s: Ningue´m e´ forte o bastante para me deter!
Antes que voceˆ diga que
∼ s: Todo mundo e´ forte o bastante para me deter!
lembre-se de que a negac¸a˜o e´ o oposto lo´gico, na˜o o antoˆnimo no portugueˆs. Tente pensar o que
precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmac¸a˜o p.
Soluc¸a˜o:
a) ∼ p: Hoje na˜o e´ sexta-feira
b) ∼ q: O meu pai na˜o era paulista
c) ∼ r: Amanha˜ sera´ sa´bado
d) Ora, para que s seja falso, isto e´, para que seja mentira que Ningue´m e´ forte o bastante
para me deter!, basta que exista pelo menos uma pessoa forte o bastante para me deter!
Assim,
∼ s: Existe alguma pessoa forte o bastante para me deter!
ou ainda
∼ s: Algue´m e´ forte o bastante para me deter!
Entendido?
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 3
Exerc´ıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Ora, na˜o velejo. Assim,
(A) Estudo e fumo.
(B) Na˜o fumo e surfo.
(C) Na˜o velejo e na˜o fumo.
(D) Estudo e na˜o fumo.
(E) Fumo e surfo.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova da ANEEL (Ageˆncia Nacional de Energia Ele´trica – Aneel – 2004
– Esaf) e e´ uma questa˜o t´ıpica em provas de racioc´ınio lo´gico. Como exemplo, vamos resolveˆ-la.
Soluc¸a˜o: Nesse tipo de questa˜o, primeiro nos da˜o algumas proposic¸o˜es como “fatos”, isto e´, pro-
posic¸o˜es que devemos considerar que sa˜o verdadeiras. Chamamos a essas proposic¸o˜es de premissas.
Neste caso, as premissas sa˜o as seguintes:
Premissas:
Surfo ou estudo.
Fumo ou na˜o surfo.
Velejo ou na˜o estudo.
Na˜o velejo.
Geralmente as premissas sa˜o formadas por proposic¸o˜es compostas (como as treˆs primeiras acima).
A partir delas temos que descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Ado-
taremos o seguinte me´todo para resolver estas questo˜es:
1) Escrever as proposic¸o˜es simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposic¸a˜o:
Proposic¸o˜es:
s: surfo
e: estudo
f : fumo
v: velejo
Nosso objetivo e´ determinar quais dessas proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposic¸o˜es e os s´ımbolos dos conectivos
lo´gicos (o s´ımbolo de “e” e´ ∧ e o de “ou” e´ ∨. A negac¸a˜o e´ representada por ∼.)
Premissas:
s ∨ e
f ∨ ∼ s
v ∨ ∼ e
∼ v
3) Analisar as premissas para descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas:
Comec¸ando pela u´ltima premissa, sabemos que e´ verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa).
Da´ı podemos concluir que v e´ falso (dizer que e´ verdade que na˜o velejo e´ o mesmo que dizer que e´
falso que velejo).
Agora avaliando a penu´ltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e e´ verdade. Mas isso significa que pelo
menos uma das duas proposic¸o˜es elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa “ou”).
Ja´ sabemos que v e´ falsa (conclu´ımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Da´ı podemos
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 4
concluir que e e´ falso.
Sabendo que e e´ falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s e´ verdadeiro (pois se s
fosse falso, a premissa na˜o seria verdadeira, e premissas sempre sa˜o verdadeiras).
Finalmente, a segunda premissa nos garante que f e´ verdadeiro (pois ja´ vimos que ∼ s e´ falso).
Observando as alternativas da questa˜o, conclu´ımos que a correta e´ a letra E: surfo e fumo.
Exerc´ıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou na˜o como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal
e na˜o cozinho.
a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo:
( ) Leio jornal.
( ) Passeio.
( ) Como fora.
( ) Cozinho.
Soluc¸a˜o:
a) Proposic¸o˜es:
l: leio jornal;
p: passeio;
f : como fora;
c: cozinho;
b) Premissas:
1) l ∨ p (Leio jornal ou passeio.)
2) p∨ ∼ f (Passeio ou na˜o como fora. )
3) f ∨ c (Como fora ou cozinho.)
4) l∧ ∼ c (Leio jornal e na˜o cozinho.)
c) Pela u´ltima premissa ja´ sabemos que l e´ verdadeira e c e´ falsa, isto e´, leio jornal e na˜o cozinho.
Pela terceira premissa, como ja´ descobrimos que c e´ falsa, podemos deduzir que f e´ verdadeira,
ou seja, como fora.
Pela segunda premissa, como f e´ verdadeira, segue que ∼ f e´ falsa, o que implica que p tem
que ser verdadeira (ou a premissa seria falsa). Portanto, passeio.
Repare que mesmo sem usar a primeira premissa ja´ sabemos tudo o que desejamos:
(V) Leio jornal.
(V) Passeio.
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(V) Como fora.
(F) Cozinho.
Exerc´ıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou na˜o sou brasileiro. Sou engenheiro ou
sou advogado. Na˜o sou magro ou na˜o sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Na˜o sou
magro e na˜o sou pedreiro.
a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas noenunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo:
( ) Sou brasileiro.
( ) Sou engenheiro.
( ) Sou magro.
( ) Sou advogado.
( ) Sou pedreiro.
d) Para resolver o item anterior voceˆ precisou usar todas as premissas?
Soluc¸a˜o:
a) Proposic¸o˜es:
b: sou brasileiro;
e: sou engenheiro;
m: sou magro;
a: sou advogado;
p: sou pedreiro;
b) Premissas:
1) b ∨ e
2) m∨ ∼ b
3) e ∨ a
4) ∼ m∨ ∼ e
5) a ∨ p
6) ∼ m∧ ∼ p
c) Pela u´ltima premissa ja´ sabemos que m e p sa˜o falsas.
Pela quinta premissa, como ja´ descobrimos que p e´ falsa, podemos deduzir que a e´ verdadeira.
Pela segunda premissa, como m e´ falsa, segue que ∼ b e´ verdadeira, isto e´, b e´ falsa.
Pela primeira premissa, como b e´ falsa, e tem que ser verdadeira.
Logo, temos:
(F) Sou brasileiro.
(V) Sou engenheiro.
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(F) Sou magro.
(V) Sou advogado.
(F) Sou pedreiro.
d) Na˜o. Foram utilizadas somente as premissas 1, 2, 5 e 6.
Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas
as proposic¸o˜es a seguir.
a) 3 ∈ A e a ∈ A;
b) 1 ∈ A ou b ∈ A;
c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B;
d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B
Observac¸a˜o: Nesta questa˜o continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relac¸o˜es de pertineˆncia
e inclusa˜o de conjuntos estudados na Semana 1.
Soluc¸a˜o:
a) Falsa
Como a proposic¸a˜o 3 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o a ∈ A e´ falsa e a proposic¸a˜o composta
e´ formada pelo conectivo “e”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ falsa;
b) Verdadeira
Como a proposic¸a˜o 1 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o b ∈ A e´ falsa e a proposic¸a˜o composta e´
formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira;
c) Verdadeira
Como a proposic¸a˜o 3 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o {a} ⊂ B e´ verdadeira e a proposic¸a˜o
composta e´ formada pelo conectivo “e”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira;
d) Verdadeira
Como a proposic¸a˜o 1 6∈ A e´ falsa, a proposic¸a˜o {b} ⊂ B e´ verdadeira e a proposic¸a˜o composta
e´ formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira;
Exerc´ıcio 7 Considere os conjuntos A =
{
−1
2
, −3 , −1
6
}
, B =
{
−6 , −1
3
, 2
}
e C = {6 , 10}.
Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas.
Justifique suas respostas.
a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B.
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b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B.
c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x e´ ı´mpar.
d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz.
Soluc¸a˜o:
a) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se que
1/x pertence ao conjunto B”. Desta forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio
que o inverso de todos os elemento do conjunto A pertenc¸am ao conjunto B. Isto e´ falso, pois
existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que seu inverso na˜o pertence ao conjunto
B. De fato, o elemento x = −1/2 ∈ A e´ tal que que 1/x = −2 6∈ B. Para mostrarmos que a
proposic¸a˜o e´ falsa, observe que bastou encontrarmos um elemento de A, o elemento x = −1/2,
tal que seu inverso na˜o pertence ao conjunto B.
b) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto A, tal que 1/x
pertence no conjunto B”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar,
pelo menos, um elemento do conjunto A, de modo que 1/x pertenc¸a ao conjunto B. Isto e´
verdadeiro, pois, para x = −3 ∈ A, temos que 1
x
= −1
3
∈ B. Para mostrarmos que a proposic¸a˜o
e´ verdadeira, observe que precisamos pegar apenas um dos elementos de A e mostrar que o
inverso dele e´ um elemento de B.
c) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que para
todo y que pertence no conjunto C, temos que y/x e´ ı´mpar”. Para que a proposic¸a˜o acima seja
verdadeira, devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto B, de modo que para todo
elemento y do conjunto C, o quociente y/x e´ um nu´mero ı´mpar. Isto e´ verdadeiro. Os elementos
do conjunto C sa˜o: 6 , 10. Se tomarmos o elemento x = 2 ∈ B , para y = 6 ∈ C, temos que
y
x
=
6
2
= 3 e´ ı´mpar e para y = 10 ∈ C, temos que y
x
=
10
2
= 5 e´ ı´mpar.
d) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe y
que pertence no conjunto C e existe z que pertence no conjunto A, tal que x = yz”. Para
que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, para todo elemento x do conjunto B, devemos en-
contrar, pelo menos, um elemento y do conjunto C e, pelo menos, um elemento z do con-
junto A, tal que x seja o produto de y com z. Isto e´ falso. Os elementos do conjunto
A sa˜o: −1
2
, −3 , −1
6
, os elementos do conjunto B sa˜o: −6 , −1
3
, 2 e os elemen-
tos do conjunto C sa˜o: 6 , 10. Se tomarmos, por exemplo, o elemento x = −6 ∈ B ,
temos que −6 6= 6 ×
(
−1
2
)
= −3, −6 6= 6 × (−3) = −18, −6 6= 6 ×
(
−1
6
)
= −1,
−6 6= 10×
(
−1
2
)
= −5, −6 6= 10× (−3) = −30, −6 6= 10×
(
−1
6
)
= −5
3
. Para negarmos a
proposic¸a˜o, observe que bastou encontramos um elemento de B, o elemento x = 6, tal que todas
as combinac¸o˜es poss´ıveis de produtos envolvendo todos os elementos de C e todos os elementos
de A, onde uma das parcelas e´ um elemento de C e a outra e´ um elemento de A, nunca gera
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x = −6 como resultado.
Exerc´ıcio 8 Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se sa˜o verdadeiras ou
falsas. Justifique suas respostas.
a) ∀x ∈ Q; x > 1
b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3
c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3
d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3
e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0
f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0
Soluc¸a˜o:
a) Para todo x racional, x e´ maior que 1. Falso, pois -1 e´ racional e na˜o e´ maior que 1.
b) Existe y inteiro tal que y + 1 = −3. Verdadeiro: considere y = −4.
c) Existe z inteiro tal que z + 3 = 1/3. Falso: para que z + 3 = 1/3, z teria que ser igual a
−8/3, que na˜o e´ um nu´mero inteiro.
d) Para todo m natural, m+ 1 > 3. Falso: para m = 1, m+ 1 = 2 < 3.
e) Para todo p inteiro, existe q inteiro tal que p + q = 0. Verdadeiro. Para cada p inteiro,
podemos tomar q = −p, enta˜o teremos p+ q = 0 (e q sera´ inteiro tambe´m).
f) Existe q inteiro tal que para todo p inteiro p+q = 0. Falso, pois existe, por exemplo, q = 2 ∈ Z
tal que nem todo elemento p de Z satisfaz p + 2 = 0. Considere, por exemplo, p = −3 ∈ Z.
Note que escolhendo um outro valor para q ∈ Z, sempre se conseguira´ encontrar p ∈ Z tal que
a soma p+ q na˜o seja igual a zero.
Observac¸a˜o para os itens (e) e (f): e´ muito importante perceber que o simples fato de ter mudado a
ordem dos quantificadores nos dois u´ltimos itens, muda totalmente o significado das proposic¸o˜es. Em
(e) pergunta´vamos se para cada p existe um q que “o anula”, ja´ no item seguinte, pergunta´vamos
se existe um mesmo q que “anula” todo e qualquer p.
Exerc´ıcio 9 Escreva a negac¸a˜o das afirmativas abaixo:
a) Toda casa tem um dono.
b) Existe gato que gosta de a´gua.
c) Existe cachorro que na˜o persegue gato.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 9
d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus da´.
e) Todo boteco que se preza diz que na˜o vende fiado.
Soluc¸a˜o:
a) Existe casa que na˜o tem um dono.
b) Todo gato na˜o gosta de a´gua (ou nenhum gato gosta de a´gua, ou, ainda, na˜o existe gato que
gosta de a´gua).
c) Todo cachorro persegue gato.
b) Existemenina baiana que na˜o tem um jeito que Deus da´.
b) Existe boteco que se preza que na˜o diz que na˜o vende fiado.
Exerc´ıcio 10 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos,
como
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto e´, na forma {x|...}), os
conjuntos
a) A ∩B
b) A−B
c) A ∩B ∩ C
d) (A ∪B)− C
Soluc¸a˜o: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
a) A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
b) A−B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B} ou ainda A−B = {x|x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)}
c) A ∩B ∩ C = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
d) (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C} ou ainda
(A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B)∧ ∼ (x ∈ C)}
Exerc´ıcio 11 A proposic¸a˜o “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como
“∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expresso˜es sa˜o equivalentes. Escreva, utilizando quantifi-
cadores, expresso˜es equivalentes a
a) A 6⊂ B
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b) A ⊂ (B ∪ C)
c) A−B = ∅
Soluc¸a˜o: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
a) A 6⊂ B equivale a ∃x ∈ A|x /∈ B
b) A ⊂ (B ∪ C) equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ∨ x ∈ C
c) A−B = ∅ equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ou ainda @x ∈ A|x /∈ B
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