Resolução da Lista III

Cálculo Numérico

•

UFBA

0

Hugo Aurélio

28.06.2017

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Questao 1
	Função	x^2 - 5	Método	Bissecção	Tolerância 	< 0,0001
	Fase I - Isolamento da raiz
	x	¦(x)
	0	-5
	1	-4
	2	-1	Intervalo inicial: [2,3]
	3	4
	Quantidade de Iterações	(log10(b-a) - log10(tolerância)) / log10(2)
	13.287712379549449
	Quantidade Minima de Iterações: 14 (considerando intervalo [2,3] e tolerância 0,0001
	x ^2 - 5	x ^2 - 5	x ^2 - 5
	Iteração	a	b	x	¦(a)	¦(b)	¦(x)	|b - a|	tolerância
	0	2.00000	3.00000	-1.00000	4.00000	1.00000	> 0,0001
	1	2.50000	1.25000	> 0,0001
	2.00000	2.50000	-1.00000	1.25000	0.50000
	2	2.25000	0.06250	> 0,0001
	2.00000	2.25000	-1.00000	0.06250	0.25000
	3	2.12500	-0.48438	> 0,0001
	2.12500	2.25000	-0.48438	0.06250	0.12500
	4	2.18750	-0.21484	> 0,0001
	2.18750	2.25000	-0.21484	0.06250	0.06250
	5	2.21875	-0.07715	> 0,0001
	2.21875	2.25000	-0.07715	0.06250	0.03125
	6	2.23438	-0.00757	> 0,0001
	2.23438	2.25000	-0.00757	0.06250	0.01563
	7	2.24219	0.02740	> 0,0001
	2.23438	2.24219	-0.00757	0.02740	0.00781
	8	2.23828	0.00990	> 0,0001
	2.23438	2.23828	-0.00757	0.00990	0.00391
	9	2.23633	0.00116	> 0,0001
	2.23438	2.23633	-0.00757	0.00116	0.00195
	10	2.23535	-0.00320	> 0,0001
	2.23535	2.23633	-0.00320	0.00116	0.00098
	11	2.23584	-0.00102	> 0,0001
	2.23584	2.23633	-0.00102	0.00116	0.00049
	12	2.23608	0.00007	< 0,0001
> 0,0001
	2.23584	2.23608	-0.00102	0.00007	0.00024
	13	2.23596	-0.00047	> 0,0001
	2.23596	2.23608	-0.00047	0.00007	0.00012
	14	2.23602	-0.00020	< 0,0001
	2.23602	2.23608	-0.00020	0.00007	0.00006
Questao 2
	Função	e^x - x^2 + 4	Método	Falsa Posição	Tolerância 	< 0,000001
	Fase I - Isolamento da raiz
	x	¦(x)
	-3	-4.9502129316	Intervalo inicial: [-3,-2]
	-2	0.1353352832
	-1	3.3678794411714423
	0	5
	1	5.7182818284590446
	2	7.3890560989306504
	3	15.085536923187668
	Fase II - Refinamento
	Iteração	a	b	x	¦(a)	¦(b)	¦(x)	|b - a|	tolerância
	0	-3.0000000	-2.0000000	-4.9502129	0.1353353	1.0000000	> 0,000001
	1	-2.0266117	0.0246261	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0266117	-4.9502129	0.0246261	0.9733883
	2	-2.0314301	0.0044394	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0314301	-4.9502129	0.0044394	0.9685699
	3	-2.0322980	0.0007989	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0322980	-4.9502129	0.0007989	0.9677020
	4	-2.0324541	0.0001437	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0324541	-4.9502129	0.0001437	0.9675459
	5	-2.0324822	0.0000259	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0324822	-4.9502129	0.0000259	0.9675178
	6	-2.0324873	0.0000047	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0324873	-4.9502129	0.0000047	0.9675127
	7	-2.0324882	0.0000008	< 0,000001
> 0,000001
	-3.0000000	-2.0324882	-4.9502129	0.0000008	0.9675118
	8	-2.0324884	0.0000002	> 0,000001
	-3.0000000	-2.0324884	-4.9502129	0.0000002	0.9675116
Questao 3
	Função	 x^2 - e^x	Método	Iteração Linear	Tolerância 	≤ 0,02
	Fase I - Isolamento da raiz
	x	¦(x)
	-2	3.8646647168	¦(x) Continua em I
	-1	0.6321205588	Intervalo inicial: [-1,0]	ϕ(x) Continua em I
	0	-1	ϕ'(x) Continua em I
	1	-1.7182818285	|ϕ'(x)| < 1, "x ϵ I
	2	-3.3890560989
	Fase II - Refinamento
	Determinando Função de Iteração
	¦1(x)	+ RaizQuadrada(e ^ x)
	¦2(x)	- RaizQuadrada(e ^ x)
	Condição de Convergência: |ϕ'(x)| < 1, " x ϵ I
	Função	Derivada
	x	|¦1'(x)| = |¦2'(x)| = + (1 / 2 * RaizQuadrada(e ^ x)) * (e ^ x)
	-1	0.1115650801	| ϕ'(-1) | < | ϕ'(0) | Þ Xo = -1 
	0	0.5
	- RAIZ(e ^ x)	x ^2 - e ^ x
	Iteração	X	ϕ(x)	¦(x)	|Xi - Xi-1|	tolerância
	0	-1	-0.606530660	0.632120559	> 0,02
	1	-0.606530660	-0.738403150	-0.177359771	0.393469340	> 0,02
	2	-0.738403150	-0.691286050	0.067362808	0.131872490	> 0,02
	3	-0.691286050	-0.707765096	-0.023055028	0.047117100	> 0,02
	4	-0.707765096	-0.701957409	0.008187228	0.016479046	≤ 0,02
Questao 4
	Função	5x ^ 4 - sen(x) 	Método	Newton Raphson	Tolerância 	< 0,001
	Fase I - Isolamento da raiz
	x	¦(x)
	0.5	-0.1669255386	Intervalo inicial: [0.5,1]
	1	4.1585290152
	Fase II - Refinamento
	Condição de Convergência: f’(x) e f’’(x) ≠ 0 e preservem o sinal ∀x ∈ [a,b]
	20x ^ 3 - cos(x)	60x ^ 2 + Sen(x)
	x	¦'(x)	¦''(x)
	0.5	1.6224174381	15.4794255386
	1	19.4596976941	60.8414709848
	5x ^ 4 - sen(x) 	20x ^ 3 - cos(x)	x - ¦(x)/¦'(x) 
	Iteração	X	¦(x)	¦'(x)	ϕ(x)	|Xi - Xi-1|	tolerância
	0	0.50000	-0.16693	1.62242	0.60289	> 0,0001
	1	0.60289	0.09354	3.55896	0.57660	0.10289	> 0,0001
	2	0.57660	0.00751	2.99578	0.57410	0.02628	> 0,0001
	3	0.57410	0.00006	2.94463	0.57408	0.00251	> 0,0001
	4	0.57408	0.00000	2.94419	0.57408	0.00002	> 0,0001
Questao 5
	Função	Função	x ^ 3 - 2x ^ 2 + 2x - 5	Método	Secante	Tolerância 	< 0,00001
	x ^ 3 - 2x ^ 2 + 2x - 5	x ^ 3 - 2x ^ 2 + 2x - 5	(xi¦(xi+1) - xi+1¦(xi)) / (¦(xi+1) - ¦(xi)) 
	Iteração	Xi	Xi+1	¦(xi)	¦(xi+1)	ϕ(x)	|Xi - Xi-1|	tolerância
	0	2.00000000	3.00000000	-1.00000000	10.00000000	2.09090909	1.00000000	> 0,00001
	1	3.00000000	2.09090909	10.00000000	-0.42073629	2.12761355	0.90909091	> 0,00001
	2	2.09090909	2.12761355	-0.42073629	-0.16709958	2.15179499	0.03670446	> 0,00001
	3	2.12761355	2.15179499	-0.16709958	0.00643446	2.15089837	0.02418144	> 0,00001
	4	2.15179499	2.15089837	0.00643446	-0.00009249	2.15091108	0.00089662	> 0,00001
	5	2.15089837	2.15091108	-0.00009249	-0.00000005	2.15091108	0.00001271	< 0,00001
	6	2.15091108	2.15091108	-0.00000005	0.00000000	2.15091108	0.00000001	< 0,00001
Questao 6 a
	Função	(x/2) ^ 2 - sen(x) 	Método	Bissecção	Tolerância 	< 0,0001
	Fase I - Isolamento da raiz
	x	¦(x)
	1.5	-0.43499498660405445
	2	9.0702573174318291E-2
	Quantidade de Iterações	(log10(b-a) - log10(tolerância)) / log10(2)
	12.287712379549449
	(x/2) ^ 2 - sen(x) 	(x/2) ^ 2 - sen(x) 	(x/2) ^ 2 - sen(x) 
	Iteração	a	b	x	¦(a)	¦(b)	¦(x)	|b - a|	tolerância
	0	1.50000	2.00000	-0.43499	0.09070	0.50000	> 0,0001
	1	1.75000	-0.21836	> 0,0001
	1.75000	2.00000	-0.21836	0.09070	0.25000
	2	1.87500	-0.07518	> 0,0001
	1.87500	2.00000	-0.07518	0.09070	0.12500
	3	1.93750	0.00496	> 0,0001
	1.87500	1.93750	-0.07518	0.00496	0.06250
	4	1.90625	-0.03581	> 0,0001
	1.90625	1.93750	-0.03581	0.00496	0.03125
	5	1.92188	-0.01560	> 0,0001
	1.92188	1.93750	-0.01560	0.00496	0.01563
	6	1.92969	-0.00536	> 0,0001
	1.92969	1.93750	-0.00536	0.00496	0.00781
	7	1.93359	-0.00021	> 0,0001
	1.93359	1.93750	-0.00021	0.00496	0.00391
	8	1.93555	0.00237	> 0,0001
	1.93359	1.93555	-0.00021	0.00237	0.00195
	9	1.93457	0.00108	> 0,0001
	1.93359	1.93457	-0.00021	0.00108	0.00098
	10	1.93408	0.00043	> 0,0001
	1.93359	1.93408	-0.00021	0.00043	0.00049
	11	1.93384	0.00011	> 0,0001
	1.93359	1.93384	-0.00021	0.00011	0.00024
	12	1.93372	-0.00005	< 0,0001
	1.93372	1.93384	-0.00005	0.00011	0.00012	> 0,0001
	13	1.93378	0.00003	> 0,0001
	1.93372	1.93378	-0.00005	0.00003	0.00006
Questao 6 b
	Função	(x/2) ^ 2 - sen(x) 	Método	Newton Raphson	Tolerância 	< 0,0001
	Fase I - Isolamento da raiz
	x	¦(x)
	1.5	-0.4349949866
	2	0.0907025732
	Função	Derivada
	Fase II - Refinamento
	Condição de Convergência: f’(x) e f’’(x) ≠ 0 e preservem o sinal ∀x ∈ [a,b]
	x/2 - cos(x)	1/2 +sen(x)
	x	¦'(x)	¦''(x)
	1.5	0.6792627983	1.4974949866
	2	1.4161468365	1.4092974268
	(x/2) ^ 2 - sen(x) 	x/2 - cos(x)	x - ¦(x)/¦'(x) 
	Iteração	X	¦(x)	¦'(x)	ϕ(x)	|Xi - Xi-1|	tolerância
	0	2.00000000	0.09070257	1.41614684	1.93595115	> 0,0001
	1	1.93595115	0.00290823	1.32506949	1.93375638	0.06404885	> 0,0001
	2	1.93375638	0.00000345	1.32192117	1.93375376	0.00219478	< 0,0001
	3	1.93375376	0.00000000	1.32191743	1.93375376	0.00000261
< 0,0001
	4	1.93375376	0.00000000	1.32191743	1.93375376	0.00000000	> 0,0001
	5	1.93375376	0.00000000	1.32191743	1.93375376	0.00000000	> 0,0001