EN2611_digcom_parte2_1.0p7_3t2013

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EN2611 
Comunicação Digital 
Prof. Ivan R. S. Casella 
ivan.casella@ufabc.edu.br 
3T2013 
Análise de Sistemas de 
 Comunicação Digital 
em Banda Base 
 
 Nos sistemas digitais, o sinal aplicado ao transmissor é 
escolhido de um conjunto finito de símbolos possíveis 
– Principal objetivo do receptor é decidir, a partir das formas de onda 
recebidas com ruído, quais símbolos foram transmitidos 
 
– Não se deseja reproduzir com fidelidade as formas de onda 
transmitidas, pois elas são conhecidas perfeitamente 
 
– Uma das figuras de mérito mais utilizadas é a probabilidade de erro 
de decisão (Pe) para uma dada relação de energia de bit por 
densidade espectral de ruído (Eb/No) 
Transmissão em Banda Base 
   i
M
i
iie mPmmmPP 
1
ˆ
Transmissão em Banda Base 
 Um sistema básico de transmissão digital consiste de uma 
fonte de informação, um filtro de transmissão, um canal de 
comunicação, uma fonte de ruído, um filtro de recepção, 
um amostrador e um dispositivo de decisão 
 
 
 
 
– Considerando uma sinalização polar, um bit de informação pode 
ser representado matematicamente por uma função impulso com 
área +Es e –Es , correspondendo aos dígitos 1 e 0, ou seja: 
 
 
– Os dados de informação sucessivos são, nesse modelo, 
independentes e não correlacionados 
Map 
Pulso 
hT(t) 
Canal 
hC(t) 
Detector 
hR(t) 
Decisor 
 tx nd
 
0ou1
na
 tr  ty
 sTny 
 
0ou1
ˆ
na
)(tn
 ssn EEd  ,
Transmissão em Banda Base 
 Os impulsos de informação ocorrem regularmente a 
intervalos iguais a Ts (taxa de símbolo ou “Baud Rate”) 
 Nessa discussão introdutória, cada símbolo ou impulso 
contém apenas um bit de informação, mas o modelo pode 
ser facilmente generalizado para que cada símbolo 
contenha múltiplos bits de informação 
– Por exemplo, se cada impulso puder assumir os valores +Es , –Es 
+3Es e –3Es ,  4 símbolos possíveis, cada um transmitindo 2 bits 
 
Assim, é importante pensar numa 
representação da informação por uma 
função de impulsos no nível de símbolo ao 
invés no nível de bit 
 Uma seqüência de informação binária pode ser 
representada por: 
 
 
 Onde cada símbolo tem uma dada probabilidade de 
ocorrência associada. Pode-se definir sem perda de 
generalidade que: 
 
 
 
 Onde, 
 
Transmissão em Banda Base 
   



n
sn nTtdtd 
 sn EdPP 1
 sn EdPP 0
110  PP
 ssn EEd  ,
 Apesar da informação ser digital, a transmissão através de 
um canal de comunicação normalmente requer o uso de 
uma forma de onda digital de tempo contínuo 
– O filtro de transmissão é responsável pela conversão dos símbolos 
de informação digital, representados pela função de impulsos, 
numa forma de onda digital de tempo contínuo 
– O filtro de transmissão pode ser caracterizado pela sua resposta ao 
impulso hT(t)  HT() 
 Deste modo, a forma de onda transmitida pode ser 
representada por: 
Transmissão em Banda Base 
   



n
sTn nTthdtx
 Existem 2 hipóteses importantes na representação de hT(t) 
– A energia contida em hT(t) dever ser unitária 
 
 
 
 
– hT(t) será modelada por um pulso retangular de duração Ts 
 
 
 
 
 
 Assim, a resposta do filtro de transmissão a um impulso de 
informação com área Es é um pulso Es  hT(t) com 
energia Es 
Transmissão em Banda Base 
    1
2
1 22  




 dHdtth TT
sT1
sT
t
 thT Será visto posteriormente que os 
formatos de pulso mais interessantes 
não são limitados no tempo 
 Embora o principal interesse seja a transmissão de dados 
em canais limitados em banda, será inicialmente 
considerado um canal linear com banda infinita: 
 
 
 
 Deste modo, os pulsos serão transmitidos sem distorção 
 
 Apesar do sinal ser transmitido por meio de uma forma de 
onda digital de tempo contínuo pelo canal de comunicação, 
no receptor, a saída do filtro de recepção é amostrada para 
determinar a informação digital original 
 
Transmissão em Banda Base 
    jC eCH
  CHC 
    CH
 A função do filtro de recepção é de: 
– Maximizar a potência do sinal de informação no instante de 
amostragem (requer um filtro de banda larga) 
– Minimizar a potência do ruído no instante de amostragem (requer 
um filtro de banda estreita) 
 
 Deseja-se satisfazer as duas condições opostas 
simultaneamente de uma maneira ótima 
– Como será visto depois, isso é possível usando um Filtro Casado 
 
 Para essa análise inicial, será utilizada uma abordagem 
One Shot, ou seja, o sinal na saída do filtro de recepção 
decorrente da transmissão de um único pulso 
– Desconsiderar a ocorrência de ISI (canal sem distorção) 
Transmissão em Banda Base 
 Por simplicidade, será considerando inicialmente um filtro 
de recepção passa-baixa composto por um circuito RC 
– Para receber um pulso retangular positivo de duração Ts 
 
 Assim, a forma de onda na saída do filtro de recepção: 
 
 
 
 Claramente o valor de pico ocorre em Ts 
Transmissão em Banda Base 
  








RC
t
s
s e
T
E
tx 10
t 
x0(t) 
Ts 
s
s
T
E
 Considerando a transmissão de pulsos positivos e 
negativos, o sinal na saída do filtro de recepção poderá 
assumir os seguintes valores, no instante de amostragem: 
 
 
 
 Mas, além do sinal desejado, haverá na saída do filtro, a 
presença de um ruído do tipo AWGN: 
Transmissão em Banda Base 
  Ae
T
E
Tx RC
T
s
s
s
s











10
n 
fN(n) 
0 
N2
1
 
SN() 
No/2 
 2,0 NN    
2
0NRn 
 
2
0NSn 
 Dado o filtro de recepção representado por: 
 
 
 
 
 Tem-se que: 
 
 
 
 De modo que: 
 
 
 
Transmissão em Banda Base 
     dNdttnP oono 





22
2
1   
 



dHSP
on
o
S
Rnn 



  
2
2
1
      Ro HNN      thtntn Ro * tn  N
 
 
 
 
  222 

R
SS
o HNN
NoN


   RR Hth 
 Portanto, a potência do ruído AWGN na saída do filtro de 
recepção, pode ser obtida fazendo: 
 
 
 
 
 
 No caso especial em que o filtro de recepção é um filtro 
passa baixa RC, tem-se que: 
Transmissão em Banda Base 
      
 
   
dH
N
dHStnE R
S
Rn
on






2022
0
42
1
  
 
CRj
HR




1
1
 
2
0NSN 
 Assim, a potência do ruído na saída do filtro de recepção 
passa baixa RC é dada por: 
 
Transmissão em Banda Base 
  
 
 
CR
N
x
CR
N
dx
xCR
N
d
CR
N
d
CRj
N
tnE





















4
arctan
4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
00
2
0
2
0
2
02
0






CR
N
N


4
02
 A saída do filtro de recepção é amostrada para determinar 
quando o pulso transmitido é positivo ou negativo 
– Deve-se notar que o melhor ponto de amostragem para essa forma 
de onda é no seu pico, correspondente ao instante t = Ts 
 
 Se não houvesse ruído, não haveriam erros. Entretanto, a 
presença de ruído pode acarretar em erros 
– Deste modo, é importante determinar a probabilidade de ocorrência 
deerros nesse cenário 
 
 O ponto chave para essa análise é reconhecer que cada 
amostra de ruído na saída do filtro é uma variável aleatória 
Gaussiana com variância N
2, equivalente à potência do 
ruído na saída do filtro (AWGN tem média zero) 
Transmissão em Banda Base 
 O sinal amostrado na saída do filtro de recepção é, então, 
composto por uma parcela de sinal x0(Ts) = A e uma 
parcela de ruído do tipo AWGN com variância N
2 
 Essa amostra com ruído pode ser representada por 
conveniência como uma V.A.: 
 
 
 Deste modo, a saída pode apresentar 2 funções de 
densidade de probabilidade condicionais distintas: 
Transmissão em Banda Base 
NAY 
 
 
2
2
2
1
2
1
1 N
Ay
N
Y eyf






  
 
2
2
2
1
2
1
0 N
Ay
N
Y eyf







 Deseja-se analisar o valor da V.A. Y e decidir quando a 
informação original transmitida é 0 ou 1 
 Esse problema elementar da teoria de decisão é mostrado 
na figura abaixo: 
Transmissão em Banda Base 
y VT 
+A 
 
 
2
2
2
1
2
1
1 N
Ay
N
Y eyf







 Deseja-se analisar o valor da V.A. Y e decidir quando a 
informação original transmitida é 0 ou 1 
 Esse problema elementar da teoria de decisão é mostrado 
na figura abaixo: 
Transmissão em Banda Base 
y VT 
P(erro|1) P(erro|0) 
+A –A 
 
 
2
2
2
1
2
1
1 N
Ay
N
Y eyf






 
 
2
2
2
1
2
1
0 N
Ay
N
Y eyf







 De acordo com a figura anterior 
– Se y > VT  decide-se que foi enviado um símbolo 1 
– Se y < VT  decide-se que foi enviado um símbolo 0 
 
 Pode-se, então, determinar a probabilidade de se cometer 
um erro de detecção considerando que: 
Transmissão em Banda Base 
   0enviadoerro,1enviadoerro, PPPe 
       
       
 
 
 
 















 





T
N
T
N
T
T
V
AyV Ay
N
V
Y
V
Y
e
dyePdyeP
dyyfPdyyfP
PPPPP
2
2
2
2
2
1
2
1
01
2
1
0011
00erro11erro


 Para símbolos equiprováveis (P(0) = P(1) = 0.5), pode-se 
verificar facilmente que o limiar de decisão é dado por: 
Transmissão em Banda Base 
0TV
O que ocorre se os símbolos não forem equiprovaveis? 
Como pode-se provar esta afirmação matematicamente? 
0e
T
P
dV
d
 Assim, para P(0) = P(1) = 0.5, tem-se que: 
Transmissão em Banda Base 
   
 






 
 
 























N
N
N
NN
A
x
A
y
N
Ay
N
AyAy
N
e
dxe
dye
dye
dyedyeP








2
2
1
0
2
1
0
2
10
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 

Q
A
QP
N
e 






 
2
2
0
2
2
N
s
N
TxA

 
Note que a probabilidade de erro 
decresce com o aumento de  
 Minimização da probabilidade de erro usando um filtro de 
recepção passa baixa (RC) 
– Um decréscimo da banda do filtro acarreta em: 
• Redução da potência de ruído na saída do filtro 
• Redução do valor de pico do sinal de saída x0(Ts) 
 
– Um aumento da banda do filtro acarreta em: 
• Aumento da potência de ruído na saída do filtro 
• Aumento do valor de pico do sinal de saída x0(Ts) 
 
– Assim, deve haver um valor ótimo de banda que resulta numa 
mínima probabilidade de erro, ou de maneira equivalente, num 
valor máximo de  
Transmissão em Banda Base 
 Considerando que: 
 
 
 
 Tem-se: 
 
 
 
 
 Pode-se verificar que o valor máximo ocorre quando 
 = 1.256  g[ ] = 0.815. Assim: 
Transmissão em Banda Base 
CR
N
N


4
02  








RC
T
s
s
s
s
e
T
E
Tx 10
   
0
2
2
2
0 212
N
E
RCT
eTx s
s
RCT
N
s
s 






   Mg  
0
2
N
Es
M


   Me QQP   815.0
 Otimização de  
 
Transmissão em Banda Base 
 
0
12
2




m
te
dx
d 


RC
Ts
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
X: 2.402
Y: -0.1496
x
D/Dx(SNR
norm
) = 0 (x = Ts/RC)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
X: 1.27
Y: 0.8145
x
Máxima SNR
norm
 x Banda (x= Ts/RC)
Transmissão 
em Banda-Base 
Filtro Casado 
 Um Filtro Casado é um filtro linear projetado para oferecer 
a máxima SNR de saída para um dado sinal de entrada 
– Dado que se tenha na entrada de um filtro LTI um sinal conhecido 
x(t) adicionado a um sinal de ruído n(t) 
– Deseja-se encontrar um filtro que maximiza a SNR de saída de 
forma a minimizar a probabilidade de erro de detecção no instante 
de decisão 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
Filtro Casado 
hR(t) 
r(t) = x(t) + n(t) y(t) = x0(t) + n0(t) y(tm) = x0(tm) + n0(tm) 
 O método de detecção discutido anteriormente, considera 
que o pulso recebido é amostrado no seu valor de pico  A 
 Devido ao ruído do canal, o valor da amostra detectada é 
igual a  A + n , que é diferente do valor de pico 
 Assim, a decisão é realizada a partir do valor  A + n 
 De acordo com a análise apresentada, para esse caso, 
para minimizar Pe é necessário maximizar , pois: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
 

Q
A
QP
N
e 






 
2
2
0
2
2
N
s
N
TxA

 
 Considerando, sem perda de generalidade, que o pulso 
recebido sem ruído seja dado por x(t) = +Es  hT(t) com 
energia Es e duração Ts : 
 
 
 
 
 
 Deseja-se maximizar  através do uso de um filtro de 
recepção capaz de aumentar a potência do pulso recebido 
e simultaneamente reduzir a potência de ruído no instante 
de decisão tm na saída do filtro: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
t 
x(t) 
Ts 
 
2
2
0
N
mtx

 
 Representação do sistema 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
Filtro Casado 
hR(t) 
r(t) = x(t) + n(t) y(t) = x0(t) + n0(t) 
      RHRY  RH R
 Considerando que a saída do filtro de recepção, devido a 
componente de sinal x(t) = +EshT(t), é dada por: 
 
 
– Onde, 
 Tem-se que, no instante de decisão tm : 
 
 
 
 Enquanto que, a componente de ruído na saída do filtro de 
recepção pode ser representada por: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
       RHXtx  10
       

deHH
E
tx m
tj
RT
s
m 



2
0
        dHStnE RnN 



222
0
2
1
    Ts HEX 
 Deste modo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
    
    





dHS
deHH
E
Rn
tj
RT
s m


















2
2
2
1
2
    
    




dHS
deHH
E
Rn
tj
RT
s
m
















2
2
2
 Desigualdade de Schwarz 
–Seja t uma variável real e seja: 
 
 
 
 
– Então: 
 
 
 
 
• Onde a igualdade ocorre quando: 
 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
        dttvdttudttvtu
b
a
b
a
b
a
 






22
2
   tvKtu 
   dttu
b
a
2    dttv
b
a
2
 Para maximizar , pode-se fazer uso da desigualdade de 
Schwarz no domínio da freqüência: 
 
 
 
 Onde a igualdade ocorre quando: 
 
 
 Assim, fazendo: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
         dVdUdVU
b
a
b
a
b
a
 
22
2
     VKU
      Rn HSU 
 
 
 


n
tj
T
S
eH
V
m

    
    




dHS
deHH
E
Rn
tj
RT
s
m
















2
2
2
 Tem-se que: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
 
 
   
    






dHS
dHSd
S
eH
E
Rn
Rn
n
tj
T
s
m













2
2
2
2
 
 
   
    





dHS
dHSd
S
H
E
Rn
Rn
n
T
s












2
2
2
1
2
 
 




 d
S
HE
n
Ts




2
2
 Para um canal do tipo AWGN, a SNR máxima é dada por: 
 
 
 
 Mas a energia do pulso transmitido é normalizada como 1: 
 
 
 
 Tem-se que: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
  

 dH
N
Es






2
0
max
  1
2
1 2
 




dHT
0
max
2
N
Es
Para um Filtro Casado, todas 
as formas de onda são 
equivalentes, desde que 
tenham a mesma energia 
 



 d
N
HE Ts




22 0
2
max
 Onde a igualdade ocorre quando: 
 
 
 
 
 
 
 Considerando que x(t) é real, tem-se que HT
*() = HT(–). 
Portanto, com essa hipótese, o filtro que maximiza  é 
representado por: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
   
   
 
 










 






n
tj
T
Rn
S
eH
KHS
VKU
m
 
 
 


n
tj
T
R
S
eH
KH
m

 
 
 


n
tj
T
R
S
eH
KH
m

*
Filtro Casado 
 Para um canal AWGN, HR() é dado por: 
 
 
 
– Onde, 
 
 
 
 Cuja resposta ao impulso é: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
 
 
  m
m
tj
T
tj
T
R eHK
N
eH
KH




 
  0
0 2
0
0
2
N
K
K


    mtjTR eHKth   10
 Usando as propriedades da Transformada de Fourier: 
 
 
 
 
 Tem-se: 
 
 
 
 
 Deste modo, tem-se que: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
   tthKth mTR  0
    TT Hth
    mtjTmT eHtth
 
        mtjTmT eHYtthty
 
        mtjTmT eHYtthty
 
 A constante arbitrária K0 multiplica tanto o sinal desejado 
como o sinal de ruído e não afeta a  
– Assim, a probabilidade de erro não dependente do valor de K0 
 Por conveniência, adotasse K0 = 1, de modo que: 
 
 
– O filtro casado é ótimo no sentido de maximizar a SNR no instante 
de decisão 
– Será provado posteriormente que quando o ruído de canal é do tipo 
AWGN, o filtro casado é ótimo no sentido de minimizar a 
probabilidade de erro 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
      mtjTmTR eHtthth
 
 O sinal na saída do filtro casado equivale ao sinal x(t) 
rebatido em relação a origem e atraso de tm: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
tm < Ts 
tm = Ts 
tm > Ts 
t 
x(t)=Es  hT(t) 
Ts 
tm 
tm 
tm 
hT(–t) 
hR(t) = hT(tm – t) 
hR(t) = hT(tm – t) 
hR(t) = hT(tm – t) 
 tm < Ts : representa uma reposta ao impulso não-causal, 
que não é realizável 
 tm > Ts: representa uma reposta ao impulso causal e, 
portanto, realizável. Entretanto, essa situação agrega um 
retardo no instante de decisão desnecessário 
 tm = Ts: representa uma reposta ao impulso causal e, 
portanto, realizável. Essa é a situação oferece o atraso 
mínimo usando um filtro realizável 
– Como tanto hR(t) como x(t) tem uma duração de Ts segundos, o 
pulso na saída do filtro casado terá duração de 2Ts e o pico irá 
ocorrer em Ts 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
t 
hR(t)x(t) 
Ts 2  Ts 
 Substituindo o filtro casado em x0
2(Ts), tem-se: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
     
 
s
Ts
Tj
CasadoFiltro
Tj
TT
s
s
E
dHE
deeHH
E
Tx ss












































2
1
2
2
2
0
2
1
2
  
  





      
 
 
2
2
1
2
2
1
2
2
1
0
1
20
*
2
0
2
22
0
N
dH
N
deH
N
deHSTnE
T
Tj
T
CasadoFiltro
Tj
TnNs
s
s






















  
  









 Substituindo o filtro casado em E[n0
2(Ts)], tem-se: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
     2*2  TT HHrealsempreéPSD 
 Considerando P(0) = P(1) = 0.5, tem-se que: 
 
 
 
 Assim, comparando com a probabilidade de erro obtida 
pelo emprego de um filtro de recepção RC: 
 
 
 Pode-se verificar o ganho de desempenho obtido pelo filtro 
casado 
Transmissão em Banda Base 
   M
o
s
e Q
N
E
QQP  









2
   Me QQP RC   815.0
 Filtro Casado x Filtro RC 
Transmissão em Banda Base 
0 5 10 15
10
-16
10
-14
10
-12
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
Eb/N0 (dB)
B
E
R
Comparação de Desempenho
 
 
Filtro RC
Filtro Casado
Eb/No Filtro RC Filtro Casado 
0 0.10085 0.07865 
2 0.053996 0.037506 
5 0.011593 0.0059539 
7 0.0021302 0.00077267 
10 2.7032e-005 3.8721e-006 
12 1.8606e-007 9.006e-009 
15 3.4985e-013 9.124e-016 
 Comparação de Desempenho 
 
 % Eb/No 
 EbNodB=[0 2 5 7 10 12 15]; 
 EbNo=10.^(EbNodB/10); 
 
 % Prob. de Erro Filtro RC 
 Perc=qfunc(sqrt(0.815*2*EbNo)); 
 
 % Prob. de Erro MF 
 Pemf=qfunc(sqrt(2*EbNo)); 
 
 % Comparação 
 [EbNodB' Perc' Pemf'] 
 
 semilogy(EbNodB, Perc, EbNodB, Pemf); grid 
 legend('Filtro RC', 'Filtro Casado') 
 title('Comparação de Desempenho') 
 xlabel('Eb/N0 (dB)') 
 ylabel('BER') 
Transmissão em Banda Base 
 O filtro casado também pode ser implementado 
empregando o arranjo alternativo mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Esse arranjo é denominado de receptor correlator 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
Decisor 
 ty
 sTny 
)(thT
r(t) = ±x(t) + n(t) 
   dt
)(thR
hT(t) é uma base para o sinal 
x(t)= EshT(t) 
   



n
sTn nTthdtx
 ssn EEd  ,
 Se a entrada do filtro casado é r(t), então a saída é dada 
por: 
 
 
 
– Onde, Assim, tem-se que: 
 
 
 
 No instante de decisão Ts, tem-se que: 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
           dthrthtrty RR 



       tThthtThth sTRsTR  
       dtThrty sT



       dhrTy Ts 



Correlação 
 Assumindo que o sinal hT(t) chega na entrada do filtro de 
recepção em t = 0 e que x(t) = 0 para x > Ts, tem-se: 
 
 
 
 O detector ótimo mede a semelhança entre o sinal 
recebido e o pulso 
 Baseado na medida de similaridade, ele decide quando foi 
transmitido ou não 
 Nessa análise foi considerado a utilização da sinalização 
polar onde somente um tipo de pulso é usado 
 Geralmente na comunicação binária pode-se usar 2 tipos 
distintos de pulsos para representar os 2 símbolos 
Transmissão em Banda Base - Filtro Casado 
       dhrTy
sT
Ts  
0
Transmissão 
em Banda-Base 
Receptor Binário 
Ótimo 
 Num esquema binário, onde os símbolos são transmitidos 
a cada Ts segundos, pode-se considerar de forma geral 
que p(t) e q(t) são 2 pulsos usados para transmitir os 
símbolos 1 e 0, respectivamente 
 A estrutura do receptor ótimo considerada é mostrada 
abaixo: 
 
 
 
 
 O pulso recebido passa por um filtro HR() e sua saída é 
amostrada a uma taxa de Ts segundos 
Receptor Binário Ótimo 
HR() Decisor 
 ty
 sTny 
r(t) = x(t) + n(t)   Tsn VTya  Se0
  Tsn VTya  Se1
 A decisão se 0 ou 1 está presente na entrada do receptor 
depende se y(Ts) for maior ou menor que o limiar de 
decisão VT 
 Seja p0(t) e q0(t) as respostas do filtro HR() às entradas 
p(t) e q(t), respectivamente 
 Pode-se obter os sinais no instante de decisão Ts por: 
Receptor Binário Ótimo 
       

deHPTp s
Tj
Rs 



2
1
0
       

deHQTq s
Tj
Rs 



2
1
0
 A potência do ruído na entrada do filtro é dada por: 
 
 
 
 A potência do ruído na saída do filtro é dada por: 
 
 
 
 
 Se n0 é a saída do filtro referente ao ruído no instante Ts , 
então a saída do filtro amostrada, y (Ts) , será dada por: 
Receptor Binário Ótimo 
        dHStnE RnN 



22
0
2
2
1
    00 nTqTy ss 
        




    dSdeSRtnE njnN 2
1
2
1
0 02
      2
0
 Rnn HSS 
    00 nTpTy ss 
ou 
  Tsn VTya  Se0  Tsn VTya  Se1
 Portanto, a saída pode apresentar 2 funções de densidade 
de probabilidade condicionais distintas: 
 
Receptor Binário Ótimo 
 
  
2
2
0
2
1
2
1
1 N
sTpy
N
Y eyf






 
  
2
2
0
2
1
2
1
0 N
sTqy
N
Y eyf







 0yfY
y VT 
P(erro|1) P(erro|0) 
p0(Ts) q0(Ts) 
 1yfY
 A probabilidade condicional de erro P(erro|an = 0) é a 
probabilidade de fazer um erro de decisão quando an= 0 
– Essa probabilidade é simplesmente a área sob fY(y|0) de VT a  
 De forma similar, P(erro|an = 1) é a probabilidade de fazer 
um erro de decisão quando an= 1 
– Essa probabilidade é a área sob fY(y|1) de – a VT 
 Assim, a probabilidade de erro é dada por: 
 
 
 Assumindo que P(an = 0) = P(an = 1) = 0.5 , tem-se que: 
Receptor Binário Ótimo 
      
i
ii
i
ie aPaPaPP erroerro,
   
2
00 ss
T
TqTp
V


 De acordo com a figura anterior, tem-se que: 
– Se y > VT  decide-se que foi enviado um símbolo 1 
– Se y < VT  decide-se que foi enviado um símbolo 0 
 Deste modo, pode-se determinar a probabilidade de se 
cometer um erro de detecção considerando que: 
 
 
 
 
 Para P(an = 0) = P(an = 0) = 0.5, tem-se que: 
Receptor Binário Ótimo 
   0enviadoerro,1enviadoerro, PPPe 
       



T
T
V
Y
V
Ye dyyfPdyyfPP 0011
  
dyeP
T
N
s
V
Tqy
N
e 
 



2
2
0
2
1
2
1 

 





 

N
sT
e
TqV
QP

0
 Mas VT é dado por: 
 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 
 
– Onde, 
Receptor Binário Ótimo 
       














 

N
s
N
ss
N
sT
e
TqTqTp
Q
TqV
QP 
0000
2
   
2
00 ss
T
TqTp
V


   









N
ss
e
TqTp
QP
2
00







2

QPe
   
N
ss TqTp

 00 
 Substituindo p0(t) , q0(t) e N
2 em  2, tem-se que: 
 
Receptor Binário Ótimo 
         
    


dHS
deHQdeHP
Rn
Tj
R
Tj
R
ss



















2
2
2
2
1
2
1
2
1
    
2
2
002
N
ss TqTp

 
      
    





dHS
deHQP
Rn
Tj
R
s
















2
2
2
2
1
2
1
 Aplicando a desigualdade de Schwarz, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 Onde a igualdade ocorre quando: 
 
Receptor Binário Ótimo 
      
    
 
    





dSHde
S
QP
deHQP
nR
Tj
n
Tj
R
s
s














2
2
2
   
        
 










 






n
Tj
nR
S
eQP
KSH
XKY
s
 Assim  2max é dado por: 
Receptor Binário Ótimo 
   
 




 d
S
QP
n





2
2
max
2
1
    
 
   
    






dHS
dSHde
S
QP
Rn
nR
Tj
n
s



















2
2
2
2
2
max
2
1
2
1
    
 
   
    





dHS
dHSd
S
QP
Rn
Rn
n












2
2
2
2
max
2
1
 E o filtro ótimo HR() é dado por: 
 
 
 
 
 
 Para um ruído do tipo AWGN, tem-se que: 
Receptor Binário Ótimo 
        
 









 




n
Tj
nR
S
eQP
KSH
s
      
 


n
Tj
R
S
eQP
KH
s

      
20N
eQP
KH
sTj
R



       sTjR eQP
N
K
H


 
0
2
 Como K é uma constante arbitrária, pode-se considerá-la 
como: 
 
 
 Assim, tem-se que: 
 
 
 Cuja resposta ao impulso é dada por: 
 
 
– Que representa a reposta ao impulso de um filtro casado ao sinal 
p(t) – q(t), 
Receptor Binário Ótimo 
2
0NK 
       sTjR eQPH
 
     tTqtTpth ssR 
 Assumindo um ruído do tipo AWGN, tem-se que: 
 
 
 
 Aplicando o teorema de Parseval, tem-se que: 
 
 
 
 Considerando que a duração de símbolo é Ts, obtém-se: 
Receptor Binário Ótimo 
     dQPN 





2
0
2
max
1
    dttqtp
N 



2
0
2
max
2          dQPdttqtp 





22
2
1
      








  dttqdttqtpdttpN
sss TTT
0
2
00
2
0
2
max 2
2
 Definindo as energias de p(t) e q(t) como: 
 
 
 
 E a função de correlação entre p(t) e q(t) por: 
 
 
 
 Tem-se que: 
 
Receptor Binário Ótimo 
2
2
0
2
max
N
EEE pqqp 

  dttpE
sT
p 
0
2   dttqE
sT
q 
0
2
   dttqtpE
sT
pq  
0
 No caso binário, a probabilidade de erro de detecção é a 
probabilidade de erro de bit, que representa a taxa de erro 
de bit (BER) 
 Assim, pode-se representar a probabilidade de erro de bit 
por: 
 
 
 
 O limiar de detecção ótimo pode ser obtido substituindo os 
valores de p0(Ts) e q0(Ts) na expressão de VT: 
Receptor Binário Ótimo 











02
2
N
EEE
QP
pqqp
b






2
maxQPb
   
2
00 ss
T
TqTp
V


 Assim, tem-se que: 
 
 
 
 Considerando o filtro ótimo HR(), tem-se que: 
Receptor Binário Ótimo 
         
2
2
1
2
1 

deHQdeHP
V
ss Tj
R
Tj
R
T






 

       

deHQPV s
Tj
RT 



4
1
            deeQPQPV ss TjTjT 


 
4
1
 Assim, tem-se que: 
 
 
 
 
 Considerando que: 
 
 
 
 Tem-se que: 
Receptor Binário Ótimo 
       
        




















dPQdQP
dQQdPPVT
4
1
        pqEdPQdQP  




 2
1
2
1
        





 




 dQQdPPVT 4
1
 De modo que: 
 
 
 
 Resultando em: 
Receptor Binário Ótimo 
    





 




 dQdPVT
22
2
1
2
1
2
1
 qpT EEV 
2
1
Transmissão 
em Banda-Base 
Receptores Binários 
Ótimos Equivalentes 
 Para o receptor ótimo abaixo: 
 
 
 
 Tem-se que: 
 
 
 Esse filtro pode ser realizado por uma combinação paralela 
de 2 filtros casados, um casado com p(t) e o outro casado 
com q(t), respectivamente, como mostrado abaixo: 
Receptor Binário Ótimo 
hR(t) Decisor 
 ty
 sTny 
r(t) = x(t) + n(t)   Tsn VTya  Se0
  Tsn VTya  Se1
      ss TjTjR eQePH
   
p(Ts – t) 
Decisor 
 ty
 sTny 
r(t) = x(t) + n(t)   Tsn VTya  Se0
  Tsn VTya  Se1q(Ts – t) 
– 
+ 
 Outra forma equivalente de implementação é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Como o limiar de decisão é dado por (Ep – Eq)/2, pode-se 
subtrair Ep /2 e Eq /2 da saída dos 2 filtros casados com p(t) 
e q(t), respectivamente 
– Isso equivale a deslocar o limiar de decisão para zero 
Receptor Binário Ótimo 
p(Ts – t) 
Decisor 
r(t) = x(t) + n(t) 
q(Ts – t) 
sTt 
2
pE

2
qE

Selecionar 
Maior 
 No caso em que Ep = Eq, não é necessário subtrair das 
saídas Ep /2 e Eq /2, e o receptor pode ser simplificado de 
acordo com a figura abaixo: 
Receptor Binário Ótimo 
p(Ts – t) 
Decisor 
r(t) = x(t) + n(t) 
q(Ts – t) 
sTt 
Selecionar 
Maior 
Transmissão 
em Banda-Base 
Probabilidade de Erro 
de Sinalizações 
 Sinalização Polar 
– Nesse caso, tem-se que: 
 
– De modo que: 
 
 
 
 
– Substituindo esses valores na expressão geral da probabilidade de 
erro, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
qp EE 
  p
T
pq EdttpE
s
 
0
2
   tqtp 











02
2
N
EEE
QP
pqqp
b 








0
2
N
E
QP
p
b
– Na sinalização Polar, a resposta ao impulso do filtro casado é dada 
por: 
 
 
– Como VT = (Ep – Eq)/2, tem-se que: 
 
 
– Portanto, o receptor ótimo se reduz à: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
p(Ts – t) Decisor 
 ty
 sTny 
r(t) = x(t) + n(t)   0Se0  sn Tya
  0Se1  sn Tya
     tTqtTpth ssR     tTpth sR  2
0TV
– A probabilidade de erro também pode ser expressa em função da 
energia média de bit (Eb) 
– No caso da sinalização Polar, assumindo que a probabilidade de 
transmitir o bit 1 é igual a probabilidade de transmitir o bit 0, a 
energia de bit (Eb) pode ser obtida através valor médio de Ep e Eq 
– Assim, tem-se que: 
 
 
– Como para o caso polar, Ep = Eq, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
2
qp
b
EE
E


pb EE 
– Deste modo, a probabilidade de erro de bit é, então, dada por: 
 
 
 
– O parâmetro Eb/N0 expressa a energia de bit normalizada e será 
considerado uma figura de mérito parâmetro fundamental na 
análise de sistemas de comunicação digitais 
– Se a taxa de transmissão é de Rb símbolos (bits) por segundo (bits 
por segundo), a potência de sinal é dada por: 
 
 
 
• Como a potência do sinal é igual a Eb vezes Rb, para uma dada Eb 
potência de sinal é a mesma (para uma dada taxa de bit) 
• Na comparação de sistemas digitais, para um dada Eb, a comparação 
é feita para uma dada potência de sinal 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 







 

0
2
N
E
QP bb
bbs REP 
bo
s
o
b
RN
P
N
E


 Sinalização On-Off 
– Nesse caso, tem-se que: 
 
– De modo que: 
 
 
 
 
– Substituindo esses valores na expressão geral da probabilidade de 
erro, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
0qE
    0
0
  dttqtpE
sT
pq
  0tq











02
2
N
EEE
QP
pqqp
b 









02 N
E
QP
p
b
– Na sinalização On-Off, a resposta ao impulso do filtro casado é 
dada por: 
 
 
– Como VT = (Ep – Eq)/2, tem-se que: 
 
 
 
– Portanto, o receptor ótimo se reduz à: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
     tTqtTpth ssR     tTpth sR 
2
p
T
E
V 
p(Ts – t) Decisor 
 ty
 sTny 
r(t) = x(t) + n(t)   2Se0 psn ETya 
  2Se1 psn ETya 
– A probabilidade de erro também pode ser expressa em função da 
energia média de bit (Eb) 
– No caso da sinalização On-Off, assumindo que a probabilidade de 
transmitir o bit 1 é igual a probabilidade de transmitir o bit 0, a 
energia de bit (Eb) pode ser obtida através valor médio de Ep e Eq 
– Assim, tem-se que: 
 
 
– Como para o caso On-Off, Eq = 0, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
2
qp
b
EE
E


2
p
b
E
E 
– Deste modo, a probabilidade de erro de bit é, então, dada por: 
 
 
 
 
– Uma comparação com a sinalização Polar, revela que a sinalização 
On-off requer 3 dB a mais de energia por bit para atingir o mesmo 
desempenho 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 









0N
E
QP bb
 Sinalização Ortogonal 
– Nesse caso, tem-se que p(t) e q(t), são ortogonais entre 0 e Ts 
 
 
– De modo que: 
 
 
 
– Substituindo esses valores na expressão geral da probabilidade de 
erro, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
    0
0
  dttqtpE
sT
pq
   tqtp 











02
2
N
EEE
QP
pqqp
b 









02 N
EE
QP
qp
b
– Na sinalização Ortogonal, a resposta ao impulso do filtro casado é 
dada por: 
 
– Como VT = (Ep – Eq)/2, tem-se que: 
 
 
– Portanto, o receptor ótimo é dado por: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
     tTqtTpth ssR 
2
qp
T
EE
V


p(Ts – t) 
Decisor 
r(t) = x(t) + n(t) 
q(Ts – t) 
sTt 
2
pE

2
qE

Selecionar 
Maior 
– A probabilidade de erro também pode ser expressa em função da 
energia média de bit (Eb) 
– No caso da sinalização Ortogonal, assumindo que a probabilidade 
de transmitir o bit 1 é igual a probabilidade de transmitir o bit 0, a 
energia de bit (Eb) pode ser obtida através valor médio de Ep e Eq 
– Assim, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
2
qp
b
EE
E


– Deste modo, a probabilidade de erro de bit é, então, dada por: 
 
 
 
 
– Uma comparação com a sinalização On-off, mostra que a 
sinalização Ortogonal requer a mesma energia média por bit para 
atingir o mesmo desempenho 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 









0N
E
QP bb
 Sinalização Bipolar (AMI) 
– Embora a sinalização bipolar seja um esquema binário, elas usa 3 
símbolos: p(t), –p(t) e 0 
 
– Deste modo, o resultado anterior de recepção ótima binária não 
pode ser diretamente aplicado sem algumas modificações 
 
– Como na sinalização Bipolar se deseja distinguir entre os sinais p(t) 
e 0, e entre os sinais –p(t) e 0, pode-se considerar esse esquema 
de uma forma similar à sinalização On-Off 
– Para símbolos equiprováveis, tem-se que: 
 
 
– O que implica que as probabilidades dos sinais transmitidos é: 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
    5.010  PP
      25.0 tpPtpP   5.00 P
e 
 Sinalização Bipolar (AMI) 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
s(t) 
t 
A 
–A 
 1 1 1 1 0 0 1 1 
t 
A 
p(t) 
t 
–A 
 – p(t) 
Probabilidade de Erro de Sinalizações 
Como Calcular 
este Caso? 
Tentem Fazer 
FIM