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05 Analise Dimensional

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Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 36 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
1- Aplicações 
 
 Verificar a homogeneidade de fórmulas; 
 Mudança no sistema de unidades; 
 Previsão de fórmulas; 
 Sistematização de coleta de dados para estudos experimentais; 
 Estabelecimento das leis de modelos. 
 
 
2- Fórmula Dimensional 
 
 Grandeza – é um conjunto homogêneo dos estados de uma característica 
física ou de uma propriedade. Se um destes estados é tomado como padrão, 
recebe o nome de unidade de grandeza e os outros estados serão chamados 
de medidas de grandeza. 
 Fundamentais – No Sistema Internacional de Unidades são utilizadas 
sete grandezas fundamentais: Comprimento (metro), Massa 
(quilograma), Tempo (segundo), Intensidade de corrente elétrica 
(Ampere), Temperatura termodinâmica (Kelvin), Intensidade luminosa 
(candela), Quantidade de matéria (mol). 
 Porém, em análise dimensional utilizamos apenas três grandezas massa, 
comprimento e tempo, as quais são representadas pelas letras M, L e T, 
respectivamente, sistema CGS ou comprimento, força e tempo, LFT (sistema 
técnico). Pode-se, a partir dessas grandezas determinar uma série de outras. 
 Derivadas – Que é definida a partir das fundamentais. 
 Ex: área = [ 2L ] 
 
 Obs: O expoente 2 é chamado de dimensão da grandeza. 
 
 Equação dimensional é a forma usada para definir as grandezas derivadas 
em função das fundamentais. 
 No ex. anterior, [ 2L ] é a equação dimensional. 
 
3 – Grandezas Físicas 
 
 Geométricas – São as que podem ser expressas por apenas uma grandeza 
fundamental. De modo geral L 

 comprimento. 
 Área - [A] = 2L , Volume – [V]= 3L . 
 
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 37 
 Cinemática – São aquelas que além das grandezas geométricas, necessitam 
de outra grandeza fundamental. De modo geral L

comprimento e T

tempo. 
Velocidade =[V] = 1LT , Vazão - [Q] = 13TL  . 
 
 Dinâmica – São aquelas expressas pelas cinemáticas e uma de natureza 
dinâmica. De modo geral M

 massa ou F

 força. 
Pressão = 
.)..(ou.)..( 212 SGCTMLTFLFL  
 
 
 
4 – Princípios da Análise Dimensional 
 
A análise dimensional baseia-se em dois princípios: 
 
1° - Teorema de Bridgeman 
Toda grandeza física oriunda de outras grandezas pode ser expressa pelo 
produto de uma constante pelas grandezas das quais depende, elevadas a 
expoentes constantes. 
 
 Se G= 
),.....,,( 21 nGGGf
 podemos expressar G como sendo: 
 G= 
nx
n
xx
ggCg .....21 21
, onde x1, x2 xn, são valores constantes. 
 
2º - Homogeneidade: 
“Se um fenômeno físico depende de determinadas grandezas a sua lei física é 
expressa por uma equação homogênea relacionando estas grandezas. Ou seja, 
todas as parcelas que compõem uma equação têm a mesma equação 
dimensional.” 
 
 
 5- Grandezas que intervêm no escoamento: 
 
Grandezas Geométricas: 
 
a) Medida linear da seção transversal. 
Diâmetro – [D] (encanamentos) ou Raio Hidráulico – [R] ( canais). 
Obs: 
L
molhadoperímetro
molhadaárea
R 
 
b) Medida linear genérica. L 

 comprimento 
Expressa a outra dimensão do encanamento/ canal, [l]= L 

 comprimento. 
 
c) Rugosidade – altura média das reentrâncias das paredes sólidas. [e] = L. 
 
 
 
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 38 
Grandezas Cinemáticas 
 
d) Velocidade – [V] = 1LT . 
 
 
Grandezas Dinâmicas 
 
 As grandezas dinâmicas se dividem em dois grupos: Grandezas Dinâmicas, 
formado por grandezas que não dependem da natureza do fluido e Grandezas 
Dinâmicas Características, grupo formado pelas grandezas que traduzem 
propriedades do meio fluido. 
 
 Grandezas Dinâmicas 
 
e) Força de contato normal – Pressão – [p]= 
MTL 21 
 
f) Força tangencial - Força Tangencial - 
MTL
A
F 21][ 
 
g) Força da gravidade – Peso Específico - 
MTL 22][ 
 
 
 Grandezas Dinâmicas Características 
 
h) Massa específica - 
3][  ML
m


 
i) Viscosidade dinâmica – [
MTL 11][ 
 
j) Elasticidade – módulo de elasticidade – [
MTL
d
dp 21
/
][ 




T 
k) Tensão Superficial - 
MT 2][ 
 
 
 No caso mais geral o escoamento de um fluido depende de onze grandezas 
independentes, 
0),,,,,,,,,,(  pVelD 
 
 
6 – Grandezas que compõem a Força de Inércia 
 
A força de inércia é de grande importância no estudo dos escoamentos, as 
grandezas que a compõem, em muitas aplicações da análise dimensional, são 
tomadas como grandezas fundamentais. 
A força de inércia é o produto da massa pela aceleração. Vamos tomar a 
massa específica 

 e o volume para definir a massa, sendo que o volume expresso 
por uma medida linear. A aceleração depende da velocidade V e do comprimento. 
Logo, em última análise, a força de inércia resulta do comprimento D, da 
velocidade V da massa específica ρ. 
 
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 39 
 
 
7 – Método de Rayleigh ou método de previsão de fórmulas. 
 
 O método consiste na aplicação do Teorema de Bridgeman. 
 Considerando a força de inércia Fi= f ( D, V, 

), podemos escrever, 
 
zyx
i VCDF 
, onde C é constante. 
 
 
 
zyzyx MTLCMLT   32
 
 
Igualando os expoentes, teremos: 
 
Expoentes de L: 1 = x+y-3z, 
Expoentes de T: -2 = -y, 
Expoentes de M: 1 = z, 
 
 Donde x = 2, y = 2 e z = 1, substituindo teremos: 
 
 
22VCDFi 
 
 
 
8 – Parâmetros Adimensionais 
 
Número de Reynolds – função da viscosidade. 
,
y
V
AFv 
 podemos escrever: 
DCDf
Y
A
V
Y
A
Fv ')(,  
 
 
,'DVCFv 
se dividirmos a força de inércia por esta equação, teremos: 
 
,
''
22



 DV
C
C
DVC
VCD
F
F
v
i 
como 
v
i
F
F
IR
DV
IR ~,



 
 
 Logo o Número de Reynolds é proporcional à relação entre as forças de inércia 
e viscosidade. 
 
Número de Froude – função da força de gravidade 
 
IF=
gD
V
, Fg = 

, 
3'DC
3'DCFg 
 
zyx MLLTLCMLT )()( 312  
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 40 
g
i
g
i
g
i
F
F
IF
gD
V
F
F
D
V
C
DC
VCD
F
F
~''
'
2
2
3
22
 


 
 
Número de Euler - função da força de pressão 
 
IE=
/p
V
, 


/
''
'
2
2
22
p
V
F
F
p
V
C
pDC
VCD
F
F
p
i
p
i 
 

 
p
i
F
F
IE ~2
 
 
Número de Prandtl – força tangencial de turbulência. f (

) 
IP = 
 /
V
 

 IP 2 ~
F
Fi
 
 
Número de Mach – função da força de elasticidade - f (

) 
IM=
 F
F
IM
V i~
/
2
 
 
Número de Weber – função da tensão superficial – f ( 

) 
W=
W
D
V

 /
2 ~
F
Fi
 
 
 
9 – Método de Buckingham ou Teorema dos ¶’s 
 
 Se um fenômeno físico depende de m grandezas, das quais n são 
consideradasgrandezas fundamentais, a lei física do fenômeno pode ser expressa 
por uma função de m-n parâmetros adimensionais, sendo cada um obtido pelo 
produto de cada uma das grandezas não fundamentais, pelas grandezas 
fundamentais elevadas a expoentes constantes. 
 
 Vimos que no caso mais geral o escoamento de um fluido depende de onze 
grandezas independentes (m=11), 
0),,,,,,,,,,(  pVelD , das quais 3 
(n=3) podem ser consideradas fundamentais: comprimento D, velocidade V e 
massa específica ρ. 
 
 A lei física do escoamento pode ser expressa por uma função de ( m-n = 8) 
parâmetros adimensionais: 
0),,,,,,,( 87654321 
 , onde: 
 
 
111
1
zyx
VlD  
, 
222
2
zyx
VeD  
, 
333
3
zyx
VpD  
, 
444
4
zyx
VD  
, 
555
5
zyx
VD  
, 
666
6
zyx
VD  
, 
777
7
zyx
VD  
, 
888
8
zyx
VD  
. 
 
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 41 
111
1
zyx
VlD  
 
 
111 ][][ 31000
zyx
MLLTLLMTL 
 
 
1111 31000 zyzx MTLMTL

 
00,3;10 1111  zyzyx
 
 
.00;1 111  zeyx
 
 
Substituindo: 
D
l
MVDl   0011
, 
 
Analogamente: 
D
e
2
, 
23 V
p

 
, 
24 V

 
, 
25 V
D


 
, 
VD

 6
, 
27 V

 
, 
.
28 VD

 
 
 
Se observarmos os parâmetros, teremos que: 
 
23 V
p

 
=
,
1
2IE
 
24 V

 
=
,
1
2IP
 
25 V
D


 
=
,
1
2IF
 
VD

 6
=
,
1
IR
 
27 V

 
=
,
1
2IM
 
228
1
WVD



 
 
Podemos expressar a lei física geral sob a forma: 
0)
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,,(
22222

WIMIRIFIPIED
e
D
l
, que podemos escrever como sendo: 
 
0),,,,,,,('  WIMIRIFIPIE
D
e
D
l
 
 
 
10- Semelhança Mecânica 
 
 Protótipo – é a estrutura natural. 
 Modelo reduzido ou modelo – é a estrutura que se quer reduzir ou 
aumentar. 
 
Semelhança Geométrica – (forma) 
 Ocorre semelhança geométrica quando há proporcionalidade entre as medidas 
lineares, ou seja, quando existe uma razão. 
 
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 42 
 
escalaLL
L
L
Lp
L
razão
protótipo
elom  ][mod
 
[A]=
2
2
2
2
][l
L
L
L
L
A
A
p
m
p
m
p
m 









 
 
Semelhança Cinemática (movimento) 
 Quando além da semelhança geométrica há também proporcionalidade entre 
as velocidades, ou seja, as velocidades dos pontos homólogos são vetores de 
mesma direção e sentido, cujos módulos guardam uma relação constante. 
 
 
[V]= 
1
1
1
][][ 


 tl
TL
TL
V
V
pp
mm
p
m
, [Q]= [l] 3 [t] 1 
 
Semelhança Dinâmica – (forças) 
 Dizemos que há semelhança dinâmica quando além da semelhança 
geométrica e cinemática há proporcionalidade entre as forças. 
[F]=
p
m
F
F
 
 
 
Exercícios 
 
 Seja o predominante num escoamento as forças de gravidade, sabendo-se 
que a escala do modelo é de 1:20, que a velocidade do protótipo é de 10m/s, Pede-
se a velocidade a ser adotada no modelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Dimensional 
 Hidráulica Teórica Página 43 
 Um modelo de reservatório é esgotado em 4 minutos. A escala de modelo é 
de 1:225. Quanto tempo levará para ser esvaziado o protótipo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um píer retangular em um raio tem 1,20m de largura por 3,60m de 
comprimento. E uma profundidade média de 2,70m. Um modelo é construído na 
Escala 1:16. No modelo, a velocidade do escoamento é de 2,75m/s. A força atuante 
é de 0,4kgf. Pede-se quais serão os valores da velocidade e da força no protótipo. 
Se uma onda padrão no modelo tem 0,05m de altura, qual será a altura de onda 
esperada no protótipo?

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