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Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 36 ANÁLISE DIMENSIONAL 1- Aplicações Verificar a homogeneidade de fórmulas; Mudança no sistema de unidades; Previsão de fórmulas; Sistematização de coleta de dados para estudos experimentais; Estabelecimento das leis de modelos. 2- Fórmula Dimensional Grandeza – é um conjunto homogêneo dos estados de uma característica física ou de uma propriedade. Se um destes estados é tomado como padrão, recebe o nome de unidade de grandeza e os outros estados serão chamados de medidas de grandeza. Fundamentais – No Sistema Internacional de Unidades são utilizadas sete grandezas fundamentais: Comprimento (metro), Massa (quilograma), Tempo (segundo), Intensidade de corrente elétrica (Ampere), Temperatura termodinâmica (Kelvin), Intensidade luminosa (candela), Quantidade de matéria (mol). Porém, em análise dimensional utilizamos apenas três grandezas massa, comprimento e tempo, as quais são representadas pelas letras M, L e T, respectivamente, sistema CGS ou comprimento, força e tempo, LFT (sistema técnico). Pode-se, a partir dessas grandezas determinar uma série de outras. Derivadas – Que é definida a partir das fundamentais. Ex: área = [ 2L ] Obs: O expoente 2 é chamado de dimensão da grandeza. Equação dimensional é a forma usada para definir as grandezas derivadas em função das fundamentais. No ex. anterior, [ 2L ] é a equação dimensional. 3 – Grandezas Físicas Geométricas – São as que podem ser expressas por apenas uma grandeza fundamental. De modo geral L comprimento. Área - [A] = 2L , Volume – [V]= 3L . Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 37 Cinemática – São aquelas que além das grandezas geométricas, necessitam de outra grandeza fundamental. De modo geral L comprimento e T tempo. Velocidade =[V] = 1LT , Vazão - [Q] = 13TL . Dinâmica – São aquelas expressas pelas cinemáticas e uma de natureza dinâmica. De modo geral M massa ou F força. Pressão = .)..(ou.)..( 212 SGCTMLTFLFL 4 – Princípios da Análise Dimensional A análise dimensional baseia-se em dois princípios: 1° - Teorema de Bridgeman Toda grandeza física oriunda de outras grandezas pode ser expressa pelo produto de uma constante pelas grandezas das quais depende, elevadas a expoentes constantes. Se G= ),.....,,( 21 nGGGf podemos expressar G como sendo: G= nx n xx ggCg .....21 21 , onde x1, x2 xn, são valores constantes. 2º - Homogeneidade: “Se um fenômeno físico depende de determinadas grandezas a sua lei física é expressa por uma equação homogênea relacionando estas grandezas. Ou seja, todas as parcelas que compõem uma equação têm a mesma equação dimensional.” 5- Grandezas que intervêm no escoamento: Grandezas Geométricas: a) Medida linear da seção transversal. Diâmetro – [D] (encanamentos) ou Raio Hidráulico – [R] ( canais). Obs: L molhadoperímetro molhadaárea R b) Medida linear genérica. L comprimento Expressa a outra dimensão do encanamento/ canal, [l]= L comprimento. c) Rugosidade – altura média das reentrâncias das paredes sólidas. [e] = L. Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 38 Grandezas Cinemáticas d) Velocidade – [V] = 1LT . Grandezas Dinâmicas As grandezas dinâmicas se dividem em dois grupos: Grandezas Dinâmicas, formado por grandezas que não dependem da natureza do fluido e Grandezas Dinâmicas Características, grupo formado pelas grandezas que traduzem propriedades do meio fluido. Grandezas Dinâmicas e) Força de contato normal – Pressão – [p]= MTL 21 f) Força tangencial - Força Tangencial - MTL A F 21][ g) Força da gravidade – Peso Específico - MTL 22][ Grandezas Dinâmicas Características h) Massa específica - 3][ ML m i) Viscosidade dinâmica – [ MTL 11][ j) Elasticidade – módulo de elasticidade – [ MTL d dp 21 / ][ T k) Tensão Superficial - MT 2][ No caso mais geral o escoamento de um fluido depende de onze grandezas independentes, 0),,,,,,,,,,( pVelD 6 – Grandezas que compõem a Força de Inércia A força de inércia é de grande importância no estudo dos escoamentos, as grandezas que a compõem, em muitas aplicações da análise dimensional, são tomadas como grandezas fundamentais. A força de inércia é o produto da massa pela aceleração. Vamos tomar a massa específica e o volume para definir a massa, sendo que o volume expresso por uma medida linear. A aceleração depende da velocidade V e do comprimento. Logo, em última análise, a força de inércia resulta do comprimento D, da velocidade V da massa específica ρ. Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 39 7 – Método de Rayleigh ou método de previsão de fórmulas. O método consiste na aplicação do Teorema de Bridgeman. Considerando a força de inércia Fi= f ( D, V, ), podemos escrever, zyx i VCDF , onde C é constante. zyzyx MTLCMLT 32 Igualando os expoentes, teremos: Expoentes de L: 1 = x+y-3z, Expoentes de T: -2 = -y, Expoentes de M: 1 = z, Donde x = 2, y = 2 e z = 1, substituindo teremos: 22VCDFi 8 – Parâmetros Adimensionais Número de Reynolds – função da viscosidade. , y V AFv podemos escrever: DCDf Y A V Y A Fv ')(, ,'DVCFv se dividirmos a força de inércia por esta equação, teremos: , '' 22 DV C C DVC VCD F F v i como v i F F IR DV IR ~, Logo o Número de Reynolds é proporcional à relação entre as forças de inércia e viscosidade. Número de Froude – função da força de gravidade IF= gD V , Fg = , 3'DC 3'DCFg zyx MLLTLCMLT )()( 312 Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 40 g i g i g i F F IF gD V F F D V C DC VCD F F ~'' ' 2 2 3 22 Número de Euler - função da força de pressão IE= /p V , / '' ' 2 2 22 p V F F p V C pDC VCD F F p i p i p i F F IE ~2 Número de Prandtl – força tangencial de turbulência. f ( ) IP = / V IP 2 ~ F Fi Número de Mach – função da força de elasticidade - f ( ) IM= F F IM V i~ / 2 Número de Weber – função da tensão superficial – f ( ) W= W D V / 2 ~ F Fi 9 – Método de Buckingham ou Teorema dos ¶’s Se um fenômeno físico depende de m grandezas, das quais n são consideradasgrandezas fundamentais, a lei física do fenômeno pode ser expressa por uma função de m-n parâmetros adimensionais, sendo cada um obtido pelo produto de cada uma das grandezas não fundamentais, pelas grandezas fundamentais elevadas a expoentes constantes. Vimos que no caso mais geral o escoamento de um fluido depende de onze grandezas independentes (m=11), 0),,,,,,,,,,( pVelD , das quais 3 (n=3) podem ser consideradas fundamentais: comprimento D, velocidade V e massa específica ρ. A lei física do escoamento pode ser expressa por uma função de ( m-n = 8) parâmetros adimensionais: 0),,,,,,,( 87654321 , onde: 111 1 zyx VlD , 222 2 zyx VeD , 333 3 zyx VpD , 444 4 zyx VD , 555 5 zyx VD , 666 6 zyx VD , 777 7 zyx VD , 888 8 zyx VD . Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 41 111 1 zyx VlD 111 ][][ 31000 zyx MLLTLLMTL 1111 31000 zyzx MTLMTL 00,3;10 1111 zyzyx .00;1 111 zeyx Substituindo: D l MVDl 0011 , Analogamente: D e 2 , 23 V p , 24 V , 25 V D , VD 6 , 27 V , . 28 VD Se observarmos os parâmetros, teremos que: 23 V p = , 1 2IE 24 V = , 1 2IP 25 V D = , 1 2IF VD 6 = , 1 IR 27 V = , 1 2IM 228 1 WVD Podemos expressar a lei física geral sob a forma: 0) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,,( 22222 WIMIRIFIPIED e D l , que podemos escrever como sendo: 0),,,,,,,(' WIMIRIFIPIE D e D l 10- Semelhança Mecânica Protótipo – é a estrutura natural. Modelo reduzido ou modelo – é a estrutura que se quer reduzir ou aumentar. Semelhança Geométrica – (forma) Ocorre semelhança geométrica quando há proporcionalidade entre as medidas lineares, ou seja, quando existe uma razão. Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 42 escalaLL L L Lp L razão protótipo elom ][mod [A]= 2 2 2 2 ][l L L L L A A p m p m p m Semelhança Cinemática (movimento) Quando além da semelhança geométrica há também proporcionalidade entre as velocidades, ou seja, as velocidades dos pontos homólogos são vetores de mesma direção e sentido, cujos módulos guardam uma relação constante. [V]= 1 1 1 ][][ tl TL TL V V pp mm p m , [Q]= [l] 3 [t] 1 Semelhança Dinâmica – (forças) Dizemos que há semelhança dinâmica quando além da semelhança geométrica e cinemática há proporcionalidade entre as forças. [F]= p m F F Exercícios Seja o predominante num escoamento as forças de gravidade, sabendo-se que a escala do modelo é de 1:20, que a velocidade do protótipo é de 10m/s, Pede- se a velocidade a ser adotada no modelo. Análise Dimensional Hidráulica Teórica Página 43 Um modelo de reservatório é esgotado em 4 minutos. A escala de modelo é de 1:225. Quanto tempo levará para ser esvaziado o protótipo? Um píer retangular em um raio tem 1,20m de largura por 3,60m de comprimento. E uma profundidade média de 2,70m. Um modelo é construído na Escala 1:16. No modelo, a velocidade do escoamento é de 2,75m/s. A força atuante é de 0,4kgf. Pede-se quais serão os valores da velocidade e da força no protótipo. Se uma onda padrão no modelo tem 0,05m de altura, qual será a altura de onda esperada no protótipo?
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