Introdução À Álgebra Linear

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Introdução à Álgebra Linear
Prof. Bárbara Lopes Amaral
Setembro de 2016
1
Part I
Matrizes e Sistemas
Lineares
3
1
Matrizes
Em matemática, uma matriz m × n é uma tabela de m linhas e n colunas de
símbolos sobre um conjunto, normalmente o conjunto dos números reais R, rep-
resentada sob a forma de um quadro. As matrizes são utilizadas na resolução de
sistemas de equações lineares e no estudo das transformações lineares, assuntos
que serão abordados mais a frente nesse curso.
Aplicações de matrizes são encontrados em inúmeras áreas da ciência. Em to-
dos os ramos da física, incluindo a mecânica clássica, eletromagnetismo, óptica,
mecânica quântica, e eletrodinâmica quântica, matrizes são usadas para estu-
dar fenômenos importantes, tais como o movimento de corpos rígidos. Matrizes
também são utilizadas para representar estados, transformações e medições real-
izadas em determinados sistemas. Em computação gráfica, matrizes são usadas
para projetar uma imagem tridimensional em uma tela bidimensional. Em teoria
de probabilidade e estatística, matrizes estocásticas são usados para descrever
conjuntos de probabilidades. Esse tipo de matriz aparece, por exemplo, no al-
goritmo PageRank, que classifica as páginas em uma pesquisa no Google.
Nesse capítulo veremos alguns aspectos da álgebra matricial. Matrizes de
mesmo tamanho podem ser somadas ou subtraídas: soma-se ou subtrai-se cada
elemento individualmente. A regra que se aplica à multiplicação matricial é
diferente: multiplica-se duas matrizes somente quando o número de colunas da
5
6 Introdução à Álgebra Linear
primeira é igual ao número de linhas da segunda. No capítulo seguinte, veremos
como as matrizes podem ser utilizadas na resolução de sistemas de equações
lineares.
1.1 Definição
Uma matriz A é uma tabela demn números dispostos emm linhas (horizontais)
e n colunas (verticais).
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn

Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n
(escreve-se m× n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Exemplo 1. A matriz
A =
1 2 3
4 5 6

é uma matriz do tipo 2× 3.
Cada um dos símbolos que aparece em uma matriz é chamado de elemento
ou entrada da matriz. Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha
e na j-ésima coluna é chamado de elemento ij ou (i, j)-ésimo elemento de A.
Ele é escrito como aij ou A[i, j]. No exemplo anterior, o elemento a12 é 2, o
número que aparece na primeira linha e segunda coluna do quadro.
Dizemos que duas matrizes A e B são iguais se elas têm o mesmo tamanho
e os elementos correspondentes são iguais, ou seja, se A e B são ambas m× n
e aij = bij para todos os valores de i e j.
Três tipos de matrizes recebem nomes especiais:
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• Matriz linha ou vetor linha: matriz do tipo 1× n, ou seja, uma matriz
que possui uma única linha.
Exemplo 2. A matriz 1× 3
[
3 7 2
]
é uma matriz linha.
• Matriz coluna ou vetor coluna: matriz do tipo n × 1, ou seja, uma
matriz que possui uma única coluna.
Exemplo 3. A matriz 3× 1 
4
1
8

é uma matriz coluna.
• Matriz quadrada: matriz do tipo n× n, ou seja, uma matriz que tem o
mesmo número de linhas e colunas.
Exemplo 4. A matriz 3× 3

9 13 5
1 11 7
2 6 3

é uma matriz quadrada.
Exemplo 5. Considere as seguintes matrizes:
A =
1 2
3 4
, B =

−1 2
1 3
0 1
, C = [1 2 4 0], D =
1
3
,
8 Introdução à Álgebra Linear
E =
[−2], F =

1 2 4 −1 0
0 3 −1 4 −5
7 −3 1 4 −4
2 1 −1 0 5
−5 1 2 0 1

.
A é uma matriz quadrada 2× 2, B é uma matriz 3× 2, C é uma matriz linha
1 × 4, D é uma matriz coluna 2 × 1, E é uma matriz quadrada 1 × 1 e F é
uma matriz quadrada 5× 5. Exemplos de elementos dessas matrizes: a12 = 2,
b32 = 1, c13 = 4, d21 = 3, e11 = −2, f54 = 0.
1.2 Operações envolvendo matrizes
1.2.1 Multiplicação de um número real por uma matriz
A multiplicação de um número real por uma matriz é a operação matricial mais
simples que podemos definir. Para multiplicar um número real k por uma matriz
A do tipo n × m, basta multiplicar cada elemento aij de A por k. Assim, a
matriz resultante B será também n×m e bij = k · aij.
Pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número:
basta multiplicá-la pelo inverso desse número.
Exemplo 6. Dada a matriz
A =
1 8 −3
4 −2 5
,
ao multiplicá-la pelo escalar 2 obtemos
2A = 2
1 8 −3
4 −2 5
 =
2× 1 2× 8 2× (−3)
2× 4 2× (−2) 2× 5
 =
2 16 −6
8 −4 10
.
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1.2.2 Adição e subtração entre matrizes
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo m × n, sua soma A + B é a matriz
m× n computada adicionando os elementos correspondentes:
(A+B)[i, j] = A[i, j] +B[i, j].
Exemplo 7. Considere as matrizes
A =

1 3
1 0
1 2
 e B =

0 0
7 5
2 1
.
Sua soma é obtida da seguinte maneira:
A+B =

1 3
1 0
1 2
 +

0 0
7 5
2 1
 =

1 + 0 3 + 0
1 + 7 0 + 5
1 + 2 2 + 1
 =

1 3
8 5
3 3
.
Exemplo 8. Considere as matrizes
A =

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
 e

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
.
Sua soma é obtida da seguinte forma:

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
 +

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
 =

3 + 1 −1 + 0 2 + 4
1 + 2 1− 5 2 + 0
3− 2 2 + 1 2− 1
 =

4 −1 6
3 −4 2
1 3 1
.
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo m× n, sua subtração A− B é a
matriz m× n computada subtraindo os elementos correspondentes:
(A−B)[i, j] = A[i, j]−B[i, j].
10 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 9. Considere as matrizes
A =

1 3
1 0
1 2
 e B =

0 0
7 5
2 1
.
Sua subtração é obtida da seguinte maneira:
A−B =

1 3
1 0
1 2
−

0 0
7 5
2 1
 =

1− 0 3− 0
1− 7 0− 5
1− 2 2− 1
 =

1 3
−6 −5
−1 1
.
Exemplo 10. Considere as matrizes
A =

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
 e

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
.
Sua subtração é obtida da seguinte forma:

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
−

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
 =

3− 1 −1− 0 2− 4
1− 2 1− (−5) 2− 0
3− (−2) 2− 1 2− (−1)
 =

2 −1 −2
−1 6 2
5 1 3
.
Observação 1. As operações A−B e A+ (−1)B resultam na mesma matriz.
1.2.3 Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas
da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A
é uma matriz m×n e B é uma matriz n× p, então seu produto AB é a matriz
m× p (m linhas e p colunas) dada por:
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(AB)[i, j] = A[i, 1]B[1, j]+A[i, 2]B[2, j]+...+A[i, n]B[n, j] =
∑
k
A[i, k]B[k, j]
para cada par i e j.
A expressão acima pode parecer complicada, mas na prática o cálculo do ele-
mento (AB)[i, j] é bastante simples. Ele é obtido multiplicando-se os elementos
da linha i de A pelos elementos correspondentes da coluna j de B e somando
os resultados.
Exemplo 11. Dadas a matriz 2× 3
A =
 1 0 2−1 3 1

e a matriz 3× 2
B =

3 1
2 1
1 0

seu produto AB é calculado da seguinte forma
 1 0 2−1 3 1
×

3 1
2 1
1 0
 =
 (1× 3 + 0× 2 + 2× 1) (1× 1 + 0× 1 + 2× 0)
(−1× 3 + 3× 2 + 1× 1) (−1× 1 + 3× 1 + 1× 0)
 =
5 1
4 2
.
Nesse caso também podemos calcular o produto BA:

3 1
2 1
1 0
×
 1 0 2−1 3 1
 =

(3× 1 + 1× (−1) 3× 0 + 1× 3 3× 2 + 1× 1
2× 1 + 1× (−1) 2× 0 + 1× 3 2× 2 + 1× 1
1× 1 + 0× (−1) 1× 0 + 0× 3 1× 2 + 0× 1

=

2 3 7
1 3 5
1 0 2
.
12 Introdução à Álgebra Linear
Note que no exemplo acima AB 6= BA, já quea primeira é uma matriz
2× 2 enquanto a segunda é uma matriz 3× 3. Isso mostra que a multiplicação
de matrizes não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores altera o valor do
produto. Em alguns casos, pode ser possível calcular AB, mas o produto BA
pode nem estar definido.
Exemplo 12. Dadas a matriz 1× 3
A =
[
1 0 2
]
e a matriz 3× 2
B =

3 1
2 1
1 0

seu produto AB é calculado da seguinte forma
[
1 0 2
]×

3 1
2 1
1 0
 = [(1× 3 + 0× 2 + 2× 1) (1× 1 + 0× 1 + 2× 0)] = [5 1].
Nesse caso NÃO podemos calcular o produto BA, já que uma matriz 3× 2
não pode ser multiplicada por uma matriz 1× 3.
Observação 2. Não se define adição ou subtração de um número com uma
matriz, nem divisões envolvendo matrizes.
Teorema 1. Sejam α e β constantes reais e A e B matrizes de tamanho apro-
priado. As operaçõs matriciais satisfazem as seguintes propriedades:
1. Comutatividade da soma: A+B = B + A;
2. Associatividade da soma: A+ (B + C) = (A+B) + C;
3. Associatividade da multiplicação por constante: α(βA) = (αβ)A;
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4. Distributividade da multiplicação por constante: (α+ β)A = αA+
βA;
5. Distributividade da multiplicação por constante: α(A+B) = αA+
αB;
6. Associatividade do produto: (AB)C = A(BC);
7. Distributividade do produto de matrizes: A(B + C) = AB + BC e
(A+B)C = AC +BC;
8. Associatividade do produto: α(AB) = (αA)B = A(αB).
Exercício 1. Prove a validade das propriedades acima.
1.2.4 Transposição
A matriz transposta de uma matriz A do tipom×n é a matriz AT do tipo n×m
que se obtém trocando as linhas pelas colunas de A, ou seja, AT [i, j] = A[j, i].
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n... ... . . . ...
am1 am2 . . . am,n
⇔ A
T =

a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2... ... . . . ...
a1n a2n . . . amn
.
Exemplo 13. 1. Se A =
[
1 2
]
, então AT =
1
2
.
2. Se A =
1 2
3 4
 então AT =
1 3
2 4
.
Proposição 1. Seja c uma constante real e A e B matrizes de tamanho ade-
quado. As seguintes propriedades são válidas:
14 Introdução à Álgebra Linear
1.
(
AT
)T = A;
2. (A+B)T = AT +BT ;
3. (cA)T = cAT ;
4. (AB)T = BTAT .
Demonstração.
1.
(
AT
)T [i, j] = AT [j, i] = A[i, j];
2.
(A+B)T [i, j] = (A+B)[j, i]
= A[j, i] +B[j, i]
= AT [i, j] +BT [i, j]
= (AT +BT )[i, j];
.
3. (cA)T [i, j] = (cA)[j, i] = c× A[j, i] = c× AT [i, j];
4. (AB)T [i, j] = AB[j, i] = ∑k ajkbki = ∑k bkiajk = BTAT [i, j].
Exercício 2. Dadas as matrizes
A =
2 −1
4 −2
 e B =
 5 10
15 0

calcule A+B, 2A− 3B, 12A+ 5B.
Exercício 3. Utilizando as matrizes do exercício 2, calcule AB e BA. Conclua
que o produto de matrizes não é comutativo.
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Exercício 4. Seja
C =
 3 0−1 2
.
1. Utilizando as matrizes A e B do exercício 2, calcule (A + B) + C e
A+ (B + C) (efetue primeiro a operação que está entre parênteses). As
duas matrizes obtidas são iguais? Esse resultado ilustra a propriedade
associativa da soma de matrizes.
2. Calcule (AB)C e A(BC) (utilize um computador para realizar as contas).
As duas matrizes obtidas são iguais? O resultado ilustra a propriedade
associativa do produto de matrizes.
Exercício 5. Seja
I =
1 0
0 1
.
Utilizando as matrizes dos exercícios 2 e 4, calcule AI, IA, BI, IB, CI,
IC (utilize um computador para realizar as contas). Você percebe alguma
propriedade interessante ao calcular esses produtos? A matriz I é chamada
matriz identidade. Veremos algumas propriedades dessa matriz na subseção
1.3.4.
Exercício 6. Entre as matrizes abaixo, quais podem ser somadas e quais podem
ser multiplicadas? Justifique. Em caso afirmativo, calcule a soma ou o produto.
1. X =
0 1
4 −2
, Y =
2 −1 9
4 7− 2 8
;
2. X =

2 10 1
4 3 −2
3 4 1
, Y =
2 −1 9
4 −2 8
;
3. X =
0 1 3
4 −2 2
, Y =
2 −1 9
4 −2 8
;
16 Introdução à Álgebra Linear
4. X =
0 1 3
4 −2 2
, Y =

2 −1 9
4 −2 8
−1 0 1
.
Exercício 7. Seja
A =
 2 x2
2x− 1 2
.
Se A = AT , encontre o valor de x.
Exercício 8. Verique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando
uma armativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira.
1. (−A)T = −(AT );
2. (A+B)T = BT + AT ;
3. (−A)(−B) = −(AB);
4. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada;
5. Se AB e BA são definidos, então A e B são matrizes quadradas;
6. Se AB = B então A = I;
7. (AB)2 = A2B2;
8. (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 17
1.3 Algumas matrizes especiais
1.3.1 Matrizes Diagonais
A diagonal principal de uma matriz quadrada corresponde aos elementos aij com
i = j. 
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
an1 an2 · · · ann

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos exteriores à
diagonal principal são nulos.
Exemplo 14. As matrizes
1 0
0 1
,

0 0 0
0 2 0
0 0 3
,

3 0 0
0 1 0
0 0 5
,

0 0 0
0 0 0
0 0 0

são matrizes diagonais. Observe que a definição de uma matriz diagonal permite
que o elementos que pertencem à diagonal principal de uma matriz diagonal
sejam nulos.
Várias operações matriciais preservam a forma de matrizes diagonais:
• O produto de um escalar por uma matriz diagonal é uma matriz diagonal;
• A soma de duas matrizes diagonais é uma matriz diagonal;
• O produto de duas matrizes diagonais é uma matriz diagonal.
1.3.2 Matrizes triangulares
Uma matriz quadrada é chamada triangular quando os elementos acima ou
abaixo da diagonal principal são zero. Mais especificamente, uma matriz trian-
18 Introdução à Álgebra Linear
gular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são
nulos, ou seja, aij = 0 sempre que i > j; uma matriz triangular inferior é aquela
em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, aij = 0
sempre que i < j.
Várias operações matriciais preservam a forma de matrizes triangulares:
• O produto de uma matriz triangular superior por uma constante é uma
matriz triangular superior;
• A soma de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular
superior;
• O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular
superior.
Analogamente, temos que:
• O produto de uma matriz triangular inferior por uma constante é uma
matriz triangular inferior;
• A soma de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular
inferior;
• O produto de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular
inferior.
Exemplo 15. A matriz
A =

1 4 2
0 3 4
0 0 1

é uma matriz triangular superior e a matriz
B =

1 0 0
2 8 0
4 9 7

Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 19
é uma matriz triangular inferior.
Exercício 9. Mostre que se uma matriz é triangular superior e inferior simul-
taneamente, então ela é uma matriz diagonal.
1.3.3 Matrizes Nulas
A matriz nula 0m,n é a matriz m× n com todos os elementos iguais a zero.
Exemplo 16. As matrizes
01,1 =
[
0
]
, 02,2 =
0 0
0 0
, 02,3 =
0 0 0
0 0 0

são matrizes nulas.
Em geral, a matriz nula m× n tem a forma
0m,n =

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · 0
.
A matriz nula m × n é o elemento neutro para a soma das matrizes de
tamanho m×n, ou seja, para toda matriz A do tipo m×n valem as igualdades
A+ 0m,n = 0m,n + A = A.
Em geral, o tamanho da matriz fica claro do contexto e escrevemos apenas
0 para denotar a matriz nula. Fiquem sempre atentos para não confundir com
o número 0 ou as diferentes matrizes nulas entre si. Sempre que aparecer o
símbolo 0, ele representará a matriz nulade tamanho adequado.
20 Introdução à Álgebra Linear
1.3.4 Matrizes Identidade
A matriz identidade n× n é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal
são todos iguais a 1. é denotada por In ou simplesmente I, quando o tamanho
da matriz for claro do contexto. A matriz identidade In tem a seguinte forma:
In =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · 1

A matriz In é o elemento neutro da multiplicação de matrizes n× n. Mais
precisamente, para qualquer matriz A do tipo n×n, as seguintes igualdades são
válidas:
AIn = InA = A.
2
Sistemas Lineares
A teoria de sistemas lineares é uma parte fundamental da Álgebra Linear, um
tema que é usado na maior parte da matemática moderna, pura ou aplicada.
Podemos encontrar várias áreas onde a utilização de sistemas lineares é funda-
mental, entre elas a física, a química, a economia, a engenharia, a biologia, a
geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e a astronomia.
Algoritmos computacionais também são importantes para quem utiliza sitemas
lineares, uma vez que na grande maioria das aplicações os sistemas que devem ser
resolvidos são enormes, o que inviabiliza qualquer tentativa de solução analítica.
A utilização de sistemas cada vez maiores faz com que a busca por métodos mais
eficientes e rápidos de soluções dos sistemas seja cada vez mais importante.
Além da importância intrínseca dos sistemas lineares, em algumas situações
é possível substituir ou aproximar um sistema de equações não-lineares de um
sistema linear, uma técnica útil em modelagem matemática ou simulação com-
putacional de sistemas complexos.
21
22 Introdução à Álgebra Linear
2.1 Equações Lineares
Dizemos que uma equação envolvendo as variáveis x1, . . . xn é uma equação
linear se nela aparecem apenas somas dessas variáveis multiplicadas por números
reais, isto é, se ela pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b.
Observação 3. Em uma equação linear não podem aparecer potências das var-
iáveis com expoentes diferentes de 1, ou seja, não podem aparecer termos da
forma x2i , x3i , etc. Também não podem aparecer funções envolvendo as variáveis,
como por exemplo cos, sen, exp, log, etc.
Exemplo 17. 1. A equação x1 + 2x2 − 4x3 − x4 = 1 é uma equação linear
envolvendo as variáveis x1, x2, x3 e x4;
2. A equação x21+2x2−4x33−x4 = 1 não é uma equação linear pois aparecem
as potências x21 e x33;
3. A equação cos(x1) + 2x2 − 4x3 − sen(x4) = 1 não é uma equação linear
pois aparecem os termos cos(x1) e sen(x4);
4. A equação x1+2x2−4x3−x4 = cos(1) é uma equação linear. Observe que
a função cos que a aprece na equação não está sendo aplicada a nenhuma
das variáveis: cos(1) é um número real como qualquer outro.
2.2 Sistemas de Equações Lineares
Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto
finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto finito de variáveis.
Por exemplo,
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 23

3x + 2y − z = 1
2x − 2y + 4z = −2
−x + 12y − z = 0
é um sistema de três equações com três variáveis (x, y e z). Uma solução
para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis que satisfaz
simultaneamente todas as equações do sistema. Uma solução para o sistema
acima é dada por

x = 1
y = −2
z = −2
já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A
palavra "sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto,
e não de forma individual, ou seja, procuramos por valores das variáveis que
satisfaçam, simultaneamente, todas as equações do sistema.
De maneira geral, um sistema linear com m equações lineares e n incógnitas
pode ser escrito na forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
onde x1, x2, . . . , xn são as incógnitas, a11, a12, . . . , amn são os coeficientes do
sistema e b1, b2, . . . , bm são termos constantes.
Muitas vezes, os coeficientes e as incógnitas são números reais ou com-
plexos, mas pode-se encontrar também números inteiros e racionais ou elemen-
tos de uma estrutura algébrica abstrata. Nesse curso trabalharemos apenas com
sistemas lineares com coeficientes e incógnitas reais.
Em geral, as incógnitas representam propriedades de um determinado prob-
lema real, que devem satisfazer certas condições representadas pelas equações
24 Introdução à Álgebra Linear
do sistema. Encontrar soluções para o sistema é fundamental para o estudo
do problema real em questão. Nesse capítulo veremos algumas estratégias para
encontrar essas soluções. Veremos mais adiante alguns exemplos de problemas
reais que podem ser modelados através de sistemas lineares.
2.2.1 Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma
das equações, obtendo uma igualdade com um polinômio que depende apenas
das outras incógnitas. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra
das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.
Exemplo 18. Vamos ilustrar esse método resolvendo um exemplo simples:
 2x + 3y = 64x + 9y = 15.
Em primeiro lugar, resolvemos a equação superior para x em termos de y:
x = 3− 32y.
Em seguida, substituímos expressão para x na equação inferior:
4
(
3− 32y
)
+ 9y = 15.
Isto resulta numa única equação envolvendo apenas a variável y. Resolvendo
essa equação obtemos y = 1, e voltando à equação anterior e substituindo y
por seu valor (isto é, 1), vem que x = 3/2.
Este método se generaliza para sistemas com variáveis adicionais. Vamos
resolver o sistema
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 25
Exemplo 19. 
x + 2y − z = 1
y + z = 2
x + 3y = 0
utilizando o mesmo método.
Vamos começar isolando as variáveis x e z em função de y, utilisando as
duas equações de baixo que são mais simples. Assim temos
x = −3y, z = 2− y.
Substituindo na primeira equação temos
−3y + 2y − (2− y) = 1⇒ −2 = 1
obtemos então uma contradição, o que implica que o sistema acima não possui
solução. Isso acontece porque as três equações, consideradas conjuntamente,
são contraditórias. Vejamos porquê.
Se supomos que as duas primeiras equações são verdadeiras, temos que
 x + 2y − z = 1y + z = 2.
Temos então que
(x+ 2y − z) + (y + z) = 1 + 2⇒ x+ 3y = 3
o que contradiz a terceira equação, que exige que x+ 3y = 0.
Exemplo 20. Vamos resolver agora o sistema
 x + y − z = 1x − 2y + z = 0
26 Introdução à Álgebra Linear
Utilizando a segunda equação e isolando x, temos x = 2y− z. Substituindo
na segunda equação temos
(2y − z) + y − z = 1⇒ 3y − 2z = 1⇒ y = 1 + 2z3 .
Substituindo na equação para x temos
x = 2 + 4z3 − z =
2 + z
3 .
Como não há mais equações que podem ser utilizadas, não há nenhuma restrição
que possa ser feita ao valor de z. Logo, a incógnita z pode assumir qualquer
valor real. Assim, vemos que o sistema admite infinitas soluções, uma para cada
valor especificado de z. Essas soluções podem ser agrupadas na forma
x = 2 + z3 , y =
2 + 4z
3 , z ∈ R.
No exemplo 18, vemos um sistema que possui uma única solução; no exemplo
19, vemos um sistema que não possui solução e no exemplo 20, um sistema
que possui infinitas soluções. Veremos mais adiante que essas são as únicas
possibilidades.
O método de substituição funciona para qualquer sistema, para qualquer
número de equações e de incógnitas. No entanto, ele se torna extremamente
trabalhoso quando o número de incógnitas passa de três. Além disso, ele não
é adequado para implementações computacionais. Na próxima seção veremos
como reescrever um sistema utilizando notação matricial e como utilizar as ma-
trizes envolvidas para desenvolver um método mais eficiente para a solução do
sistema.
Exercício 10. Resolva os sistemas abaixo utilizando o métodode substituição:
1.
 x + 3y = 42x + y = 1;
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 27
2.

x + y − z = 3
x + 3y − 5z = 10
x + 4y − 3z = 5.
2.3 Notação matricial de sistemas lineares
Dado o sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(2.1)
considere as matrizes
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
, X =

x1
x2...
xn
, B =

b1
b2...
bm
.
Observe que A é uma matriz m× n, X é uma matriz coluna com n elementos
e B é uma matriz coluna com m elementos, em que m é o número de equações
e n o número de incógnitas.
Com essas definições, o sistema linear se torna equivalente à equação matri-
cial
AX = B. (2.2)
De fato, ao efetuar o produto no lado esquerdo da equação, temos
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
 =

b1
b2...
bm
.
28 Introdução à Álgebra Linear
A igualdade matricial acima se verifica se, e somente se, o sistema (2.1) é
satisfeito.
A partir de agora, trabalharemos com a equação matricial AX = B. O
objetivo é encontrar a matriz de incógnitas X. Quanto mais simples for a
matriz A, mais fácil será encontrar X.
Exemplo 21. Resolva os sistema AX = B em que
A =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 e B =

1
−1
2
.
Solução. Ao efetuar o produto no lado esquerdo da equação matricial AX = B
obtemos 
1 0 0
0 1 0
0 0 1


x1
x2
x3
 =

x1
x2
x3
 =

1
−1
2

o que implica que x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2.
No exemplo anterior, a resolução da equação matricial pode ser feita de
forma trivial. Nem sempre é esse o caso. Vamos agora descrever um método que
pode ser utilizado para resolver qualquer equação matricial da forma (2.2). Esse
método consite, essencialmente, em aplicar à equação operações que simplificam
a forma da matriz A sem alterar o conjunto de soluções do sistema. O objetivo
final é obter uma matriz o mais parecida possível com a matriz do exemplo 21.
2.4 Método de eliminação de Gauss
O método de eliminação de Gauss (também conhecido como método do escalon-
amento) é um importante algoritmo para resolver sistemas de equações lineares.
Esse algoritmo consiste da aplicação de uma sequência de operações realizadas
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 29
sobre a matriz associada ao sistema, afim de transformá-lo num sistema de
mais fácil resolução que possui as mesmas soluções que o original. Este método
também pode ser utilizado para vários outros objetivos, como veremos melhor
mais adiante. O método recebeu o nome do matemático Carl Friedrich Gauss
(1777-1855), apesar de já ser conhecido por matemáticos chineses já em 179
dC.
As operações que podem ser utilizadas para simplificar o sistema sem alterar
seu conjunto de soluções são chamadas operações elementares. São elas:
1. Trocar duas equações de lugar;
2. Multiplicar uma equação por um número qualquer diferente de 0;
3. Substituir uma equação pela sua soma com um múltiplo de outra equação.
Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema
linear, somente os coeficientes do sistema são alterados, assim podemos aplicar
as operações sobre a matriz de coeficientes do sistema
a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2... ... . . . ... | ...
am1 am2 · · · amn | bm

que chamamos de matriz aumentada do sistema.
Exercício 11. Encontre a matriz aumentada dos sitemas abaixo:
1.

2x + 3y − z = 1
5x + y + 10z = 2
x − y + z = 3.
2.

x + 2y − z + w = 3
2x + 3y − 5z + 2w = 10
x + 4y − 3z + 4w = 5.
30 Introdução à Álgebra Linear
3.
 x + 3y − 2z = 42x + y − z = 1.
O resultado das operações elementares sobre a matriz aumentada são:
1. Trocar duas linhas da matriz [A|B];
Exemplo 22. Troca da primeira com a terceira linha:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

←−
←−
⇒

7 8 9
4 5 6
1 2 3
 .
2. Multiplicar uma linha da matriz [A|B] por um número qualquer diferente
de 0;
Exemplo 23. Multiplicação da segunda linha por 2:

1 2 3
4 5 6
7 8 9
 | 2 ⇒

1 2 3
8 10 12
7 8 9
 .
3. Substituir uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra linha da
matriz [A|B].
Exemplo 24. Somar à terceira linha −1 vezes a segunda linha:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

←−
× (−1)
+
⇒

1 2 3
4 5 6
3 3 3
 .
Toda operação elementar possui uma operação elementar inversa, isto é,
uma operação elementar que disfaz o que a primeira fez. Se trocamos a linha
k pela linha l, a operação elementar inversa é trocar novamente a linha k pela
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 31
linha l. Se multiplicamos uma linha por um número α 6= 0, a operação elementar
inversa é multiplicar a mesma linha por 1α . Se somamos um múltiplo de uma linha
à outra, a operação elementar inversa é subtrair dessa mesma linha o mesmo
múltiplo da linha que somamos.
Teorema 2. Se dois sistemas linearesAX = B e CX = D, são tais que a matriz
aumentada [C|D] é obtida de [A|B] aplicando-se uma operação elementar, então
os dois sistemas possuem as mesmas soluções.
Demonstração. A demonstração deste teorema segue de duas observações:
1. Se X é solução de um sistema, então X também é solução do sistema
obtido aplicando-se uma operação elementar sobre suas equações. É claro
que alterar a ordem de duas equação não altera a solução; multiplicar
ambos os lados de uma equação pelo mesmo número não nulo também não
altera a validade da equação; finalmente, se duas equações são satisfeitas,
a soma delas também será.
Isso mostra que toda solução de [A|B] é também solução de [C|D].
2. Se o sistema CX = D é obtido de AX = B aplicando-se uma operação
elementar, então o sistema AX = B também pode ser obtido de CX = D
aplicando-se uma operação elementar às suas equações, pois cada oper-
ação elementar possui uma operação elementar inversa do mesmo tipo,
como comentado anteriormente.
Essa afirmação combinada com a observação 1 mostra que qualquer solução
de [C|D] é também solução de [A|B]. Podemos concluir que ambos os sistemas
possuem exatamente as mesmas soluções.
32 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 25. Vamos resolver o sistema linear

x + − z = 1
x + 2y + z = −1
3x + y = 0
utilizando operações elementares.
Solução. Primeiramente, escrevemos a matriz aumentada do sistema

1 0 −1 | 1
1 2 1 | −1
3 1 0 | 0
 .
Vamos aplicar agora uma série de operações elementares com o objetivo de sim-
plificar ao máximo a matrix A que está do lado esquerdo da matriz aumentada.
O objetivo é deixar apenas um elemento não nulo em cada coluna. Veremos ao
final desse exemplo que quando isso acontece a resolução do sistema é trivial.
Vamos começar com a primeira coluna. Na primeira linha aparece o ele-
mento a11 = 1. Ele será o único elemento não nulo da primeira coluna ao final
do processo. Devemos agora zerar os outros elementos da primeira coluna. Para
zerar o elemento a21, multiplicamos a primeira linha por −1 e somamos à se-
gunda linha. Para zerar o elemento a31 multiplicamos a primeira linha por −3 e
somamos à terceira linha.

1 0 −1 | 1
1 2 1 | −1
3 1 0 | 0
 ←−
× (−1)
+ ⇒

1 0 −1 | 1
0 2 2 | −2
3 1 0 | 0

←−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 | 1
0 2 2 | −2
0 1 3 | −3
 .
Com essas operações, levamos a primeira coluna ao formato desejado. Vamos
agora trabalhar com a segunda coluna. O primeiro elemento da segunda coluna
é igual a zero. Vamos então trabalhar com o elemento a22. Para facilitar os
cálculos, vamos dividir a segunda linha por 2 para que a22 seja igual a 1.
Prof. BárbaraAmaral - Mentores - OBMEP 33

1 0 −1 | 1
0 2 2 | −2
0 1 3 | −3
 | 12 ⇒

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 1 3 | −3
 .
Vamos agora zerar o elemento a32 para que a22 seja o único elemento não
nulo nessa coluna. Para isso, multiplicamos a linha 2 por −1 e somamos à linha
3.

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 1 3 | −3

←−
× (−1)
+
⇒

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 2 | −2
 .
Observe que as operações realizadas para simplificar a segunda coluna NÃO
alteraram a primeira coluna. Essa propriedade é crucial para o funcionamento
do método.
Para simplificar as contas, dividimos a terceira coluna por 2.

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 2 | −2

| 12
⇒

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 1 | −1
 .
Vamos agora zerar os elementos a13 e a23 para que o elemento a33 seja o
único elemento não nulo da terceira coluna. Para isso somamos a terceira linha
à primeira e em seguida multiplicamos a terceira linha por −1 e somamos à
segunda.

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 1 | −1
 ←−
×−1
+
←−−−−−
× (−1)
+
⇒

1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | −1
 .
A matriz acima não pode ser mais simplificada através de operações ele-
mentares. Quando chegamos a esse ponto transformamos a matriz aumentada
novamente em um sistema. Nesse caso temos
34 Introdução à Álgebra Linear

x + 0× y + 0× z = 0
0× x + y + 0× z = 0
0× x + 0× y + z = −1
cuja solução única é, obviamente, x = 0, y = 0 e z = −1.
Nem sempre é possível levar a matriz de coeficientes do sistema a uma forma
análoga à do exemplo anterior. A forma mais simples que podemos obter através
de operações elementares é chamada forma escalonada reduzida da matriz.
Definição 1. Dada uma matriz A, chamamos de pivô de uma linha i de A o
primeiro elemento não nulo dessa linha.
Definição 2. Dizemos que uma matriz está na sua forma escalonada reduzida
quando ela satisfaz as seguintes condições:
1. Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de
zeros;
2. O pivô de cada linha é igual a 1 e está numa coluna à direita do pivô da
linha acima;
3. Todos os elementos de uma coluna que contém um pivô são zero.
Exemplo 26. Considere as matrizes
A =
0 0
4 5
, B =
0 1 0
1 −1 2
, C =

1 0 2
0 1 −1
0 0 1
, D =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
, E =

1 0 2
0 1 −1
0 0 0
.
A matriz A não está na forma escalonada reduzida porque não satisfaz a condição
1. A matriz B não está na forma escalonada reduzida porque não satisfaz
a condição 2. A matriz C não está na forma escalonada reduzida porque não
satisfaz a condição 3. Já as matrizes D e E estão na forma escalonada reduzida,
uma vez que satisfazem todas as condições exigidas.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 35
Proposição 2. Dada uma matriz qualquer A, é possível levá-la a uma matriz C
na forma escalonada reduzida aplicando operações elementares sobre as linhas de
A. A matriz C é única, ou seja, não depende da ordem ou do tipo de operações
elementares aplicadas à matriz A.
Considere um sistema com matriz de coeficientes [A|B]. Para transformar
esse sistema em outro mais simples que tenha o mesmo conjunto de soluções,
aplicamos operações elementares à matriz de coeficientes [A|B] até que a matriz
A esteja na forma escalonada reduzida.
Exemplo 27. Vamos resolver o sistema linear
x − z = 2
2x − 2y + z = 1
3x − 2y = 4
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:
1 0 −1 | 2
2 −2 1 | 1
3 −2 0 | 4
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 −2 3 | −3
0 −2 3 | −2
 | − 12
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 −2 3 | −2

←−
× 2
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 0 0 | 1
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x − z = 2
y + 3z2 = −32
0× x + 0× y + 0× z = 1
36 Introdução à Álgebra Linear
que é um sistema sem solução, uma vez que a terceira equação implica que
0 = 1, o que obviamente não é uma igualdade verdadeira.
Observe que nesse caso não é necessário completar todo o escalonamento
para ver que o sistema não possui solução. Após a primeira etapa do escalon-
amento a segunda equação equivale a −2x + 3y = −3 enquanto a terceira
equação equivale a −2x + 3y = −2 que claramente não podem ser satisfeitas
simultaneamente.
Exemplo 28. Vamos resolver o sistema linear
x − z = 2
2x − 2y + z = 1
3x − 2y = 3
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:
1 0 −1 | 2
2 −2 1 | 1
3 −2 0 | 3
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 −2 3 | −3
0 −2 3 | −3
 | − 12
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 −2 3 | −3

←−
× 2
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x − z = 2
y + 3z2 = −32
0× x + 0× y + 0× z = 0
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 37
Observe que a última equação se reduz a 0 = 0 e portanto pode ser descartada.
Ficamos então com o sistema
 x − z = 2y + 3z2 = −32
que implica que x = 2 − z e y = −32(1 + z). Como não há outra equação
que possa ser utilizada para determinar o valor de z, essa váriavel pode assumir
qualquer valor real. Logo o sistema possui infinitas soluções, uma para cada
valor real da variável z.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida somando-se as
duas primeiras. Isso quer dizer que a equação não fornece nenhuma informação
adicional sobre as variáveis e portanto pode ser eliminada.
Exemplo 29. Vamos resolver o sistema linear

x − z + w = 2
2x − y + z + 2w = 0
2x − 2y + 5z + w = 3
38 Introdução à Álgebra Linear
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

1 0 −1 1 | 2
2 −1 1 2 | 0
2 −2 5 1 | 3
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−2)
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 −1 3 0 | −4
0 −2 7 −1 | −1
 | − 1
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 −2 7 −1 | −1

←−
× 2
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 0 1 −1 | 7

←−+
←−
× 3
+
⇒

1 0 0 0 | 9
0 1 0 −3 | 25
0 0 1 −1 | 7
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x = 9
y − 3w = 25
z − w = 7
o que implica que x = 9 e y = 25 + 3w e z = 7 + w. Como não há outra
equação que possa ser utilizada para determinar o valor de w, essa váriavel pode
assumir qualquer valor real. Logo o sistema possui infinitas soluções, uma para
cada valor real da variável w.
Exemplo 30. Vamos resolver o sistema linear

x − z + w = 2
2x − y + z + 2w = 0
3x − y + 3w = 3
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 39
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

1 0 −1 1 | 2
2 −1 1 2 | 0
3 −1 0 3 | 3
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 −1 3 0 | −4
0 −1 3 0 | −3
 .
A matriz do lado esquerdo ainda não está na forma escalonada reduzida, mas
nesse estágio já podemos perceber que o sistema não possui solução, uma vez
que a segunda equação implica que −y+ 3z = −4 e a terceira equação implica
que −y + 3z = −3, condições que não podem ser simultaneamente satisfeitas.
Exemplo 31. Vamos resolver o sistema linear

x − z + w = 2
2x − y + z + 2w = 0
3x − y + 3w = 2
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

1 0 −1 1 | 2
2 −1 1 2 | 0
3 −1 0 3 | 2
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 −1 3 0 | −4
0 −1 3 0 | −4
 | − 1
⇒

1 0 −1 1 | 20 1 −3 0 | 4
0 −1 3 0 | −4

←−+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 0 0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x − z + w = 2
y − 3z + = 4
0× x + 0× y + 0× z + 0× w = 0
40 Introdução à Álgebra Linear
Observe que a última equação se reduz a 0 = 0 e portanto pode ser descartada.
Ficamos então com o sistema
 x − z + w = 2y − 3z + = 4
que implica que x = 2 + z − w e y = 4 + 3z. Como não há outra equação que
possa ser utilizada para determinar os valores de z e w, essas váriaveis podem
assumir qualquer valor real. Logo o sistema possui infinitas soluções, uma para
cada par de valores reais de z e w.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida somando-se as
duas primeiras. Isso quer dizer que a equação não fornece nenhuma informação
adicional sobre as variáveis e portanto pode ser eleminada.
Exemplo 32. Vamos resolver o sistema linear

2x + y = 3
x − y = 0
x + 2y = 3
3x + 3y = 6
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 41
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

2 1 | 3
1 −1 | 0
1 2 | 3
3 3 | 6

←−
←− ⇒

1 −1 | 0
2 1 | 3
1 2 | 3
3 3 | 6

←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−1)
+
←−−−−−−−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 −1 | 0
0 3 | 3
0 3 | 3
0 6 | 6

| 13
⇒

1 −1 | 0
0 1 | 1
0 3 | 3
0 6 | 6
 ←−
× (−3)
+
←−−−−−−
× (−6)
+
⇒

1 −1 | 0
0 1 | 1
0 0 | 0
0 0 | 0

←−+
⇒

1 0 | 1
0 1 | 1
0 0 | 0
0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x = 1
y = 1
0× x + 0× y = 0
0× x + 0× y = 0
Observe que as duas últimas equações se reduzem a 0 = 0 e portanto podem
ser descartadas. Já as duas primeiras implicam que x = 1 e y = 1 e portanto o
sistema possui solução única.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida subtraindo a se-
gunda equação da primeira, enquanto a quarta equação pode ser obtida subtraindo-
se a segunda equação do dobro da primeira. Isso quer dizer que essas equações
não fornecem nenhuma informação adicional sobre as variáveis e portanto podem
ser eleminadas.
42 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 33. Vamos resolver o sistema linear

2x + y = 3
x − y = 0
x + 2y = 2
3x + 3y = 6
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

2 1 | 3
1 −1 | 0
1 2 | 2
3 3 | 6

←−
←− ⇒

1 −1 | 0
2 1 | 3
1 2 | 2
3 3 | 6

←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−1)
+
←−−−−−−−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 −1 | 0
0 3 | 3
0 3 | 2
0 6 | 6
 .
A matriz do lado esquerdo ainda não está na forma escalonada reduzida,
mas já podemos perceber que o sistema não possui solução, uma vez que a
segunda equação implica que 3y = 3 enquanto a terceira implica que 3y = 2,
duas condições que nunca podem ser satisfeitas simultaneamente.
Exemplo 34. Vamos resolver o sistema linear

x + y + z = 1
x − y + z = 3
2x + 2z = 4
3x + y + 3z = 5
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 43
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:
1 1 1 | 1
1 −1 1 | 3
2 0 2 | 4
3 1 3 | 5

←−
× (−1)
+
←−−−−−−
× (−2)
+
←−−−−−−−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 1 1 | 1
0 −2 0 | 2
0 −2 0 | 2
0 −2 0 | 2

| − 12
⇒

1 1 1 | 1
0 1 0 | −1
0 −2 0 | 2
0 −2 0 | 2
 ←−
× 2
+
←−−−−
× 2
+
⇒

1 1 1 | 1
0 1 0 | 1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0

←−
× −(1)
+
⇒

1 0 1 | 2
0 1 0 | 1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x + z = 2
y = −1
0× x + 0× y + 0× z = 0
0× x + 0× y + 0× z = 0
Observe que as duas últimas equações se reduzem a 0 = 0 e portanto podem
ser descartadas. Já as duas primeiras implicam que x = 2− z e y = −1. Como
não há mais equações para determinar o valor de z, segue que o sistema tem
infinitas soluções, uma para cada valor real de z.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida somando-se a
segunda equação com primeira, enquanto a quarta equação pode ser obtida
somando-se à segunda 2 vezes a primeira. Isso quer dizer que essas equações
não fornecem nenhuma informação adicional sobre as variáveis e portanto podem
ser eleminadas.
44 Introdução à Álgebra Linear
Observe dos exemplos acima que um pivô sozinho em uma linha determina
unicamente o valor da variável correspondente. Uma linha de zeros corresponde
a uma equação que não fornece nenhuma informação relevante sobre o sistema
e pode ser descartada. Equações contraditórias implicam que sistema não tem
solução. Linhas com duas entradas não nulas geram uma dependência entre as
respectivas variáveis.
Exercício 12. Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre as soluções dos
sistemas lineares abaixo:
1.
 x + y = 3x − y = 1
2.
 x + 2y = 52x + 5y = 12
3.

x + y = 4
x − 2y = 1
2x − y = 4
4.

x + y = 2
3x + y = 5
5x + 3y = 9
5.
 x + 2y − z = −3x − y + z = 1
6.

x + y + 2z = 3
2x + 4y − 3z = 4
x + 3y − 5z = 2
7.

2x + 3y − z + w = 1
5x + y + 10z + 2w = 2
3x − 2y + 11z + w = 3
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 45
Exercício 13. Verdadeiro ou falso:
1. Se a terceira equação de um sistema linear começa com um coeficiente
nulo (0x), então nenhum múltiplo da primeria equação será subtraído da
terceira equação durante o processo de escalonamento;
2. Se a terceira equação de um sistema linear possui o segundo coeficiente
nulo (0y), então nenhum múltiplo da segunda equação será subtraído da
terceira equação durante o processo de escalonamento;
3. Se a terceira equação de um sistema linear possui os dois primeiros coe-
ficientes nulos (0x e 0y), então nenhum múltiplo da primeria equação ou
da segunda equação será subtraído da terceira equação durante o processo
de escalonamento.
Observação 4. Quando dois sitemas AX = B1 e AX = B2 possuem a mesma
matriz de coeficientes do lado esquerdo, podemos resolvê-lo simultâneamente
escalonando a matriz aumentada
[A|B1|B2].
Exemplo 35. Suponhamos que precisamos resolver os sistemas

x − 2y − 2z = −2
2x − 4y − 3z = −7
x − 2y + z = 4
,

x − 2y − 2z = 2
2x − 4y − 3z = 5
x − 2y + z = 0
.
Como ambos possuem a mesma matriz de coeficientes
A =

1 −2 −2
2 −4 −3
1 −2 1
,
46 Introdução à Álgebra Linear
podemos construir a matriz aumentada

1 −2 −2 | −2 | 2
2 −4 −3 | −7 | 5
1 −2 1 | 4 | 0

e resolver os sistemas simultaneamente. Após escalonamento obtemos

1 −2 0 | 0 | 43
0 0 1 | 0 | 0
0 0 0 | 1 | −13
,
o que implica que nenhum dos sistemas acima possui solução.
2.5 Comportamento de sistemas lineares
Proposição 3. Se um sistema linear possui duas soluções distintas, então ele
possui infinitas soluções.
Demonstração. Suponhamos queX1 eX2 sejam soluções do sistema AX = B.
Então Xλ = λX1 + (1− λ)X2 também é solução para qualquer valor real de λ,
uma vez que
A(λX1 + (1− λ)X2) = λAX1 + (1− λ)AX2 = λB + (1− λ)B = B.
Temos então três opções para o comportamento de um sistema linear.
1. Um sistema possível determinado é um sistema que possui uma única
solução. Nesse caso, a forma escalonada reduzida de A é sempre igual à
matriz identidade (com, possivelmente, algumas linhas nulas abaixo).
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 472. Um sistema possível indeterminado é um sistema que possui infinitas
soluções. Nesse caso, a forma escalonada reduzida sempre tem alguma
linha nula que levará a uma variável indeterminada.
3. Um sistema impossível é um sistema que não possui solução. Nesse
caso, sempre aparece uma linha com zeros em todos os elementos do lado
correspondente à matriz A, enquanto o elemento correspondente à matriz
B é diferente de zero.
Nos dois últimos casos, a forma escalonada reduzida da matriz A possui uma
linha de zeros. Quando isso acontece dizemos que o sistema é singular.
Exercício 14. Explique por que o sistema
x + y + z = 2
x − y +z = 1
2x + 2z = 2
é impossível, encontrando uma combinação das três equações que leve à equação
0 = 1. Que valor deve substituir o último zero do lado direito para permitir que
o sistema tenha infinitas soluções? Nesse caso, qual é o conjunto de soluções?
Exercício 15. Para qual valor de a ∈ R o sistema 3x + 2y = 106x + 4y = a
é impossível? Por quê? Para quais valores de a o mesmo sistema possui infinitas
soluções? Por quê? Nesse caso encontre o conjunto de soluções. Existe algum
valor de a para o qual o sistema acima possui uma única solução?
Exercício 16. Verifique se existe algum valor de a para o qual o sistema ax + y = 14x + ay = 2
se torna singular. Nesse caso, o sistema é possível ou impossível?
48 Introdução à Álgebra Linear
Exercício 17. Escolha o valor do coeficiente b para o qual o sistema 2x + by = 164x + 8y = g
é singular. A seguir, escolha o valor de g para o qual o sistema possui solução.
Nesse caso, encontre o conjunto de soluções.
Exercício 18. Qual é a condição que b1 e b2 devem satisfazer para que o sistema 3x − 2y = b19x − 6y = b2
possua solução? Nesse caso, encontre o conjunto de soluções.
Exercício 19. Estude o comportamento do sistema abaixo, em função dos val-
ores de a, b1, b2, b3. 
ax + 2y + 3z = b1
ax + ay + 4z = b2
ax + ay + az = b3
2.6 Interpretação geométrica de sistemas
lineares
2.6.1 Sistemas com duas incógnitas
Você aprendeu em seu curso de Geometria Análitica e Cálculo Vetorial que
qualquer reta r em R2 pode ser descrita utilizando uma equação linear
r = {(x, y) | ax+ by = c},
ou seja, o ponto (x, y) pertence à reta r se, e somente se, a equação ax+by = c
é satisfeita. Um conjunto de equações lineares com duas incógnitas representa,
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 49
portanto, um conjunto de retas no plano. Um ponto satisfaz todas as equações
do sistema se, e somente se, pertence à todas essas retas. Isso quer dizer que
(x, y) será uma solução do sistema se, e somente se, pertencer à todas as retas
definidas pelas equações do sistema.
Essa ligação entre equações lineares e retas permite resolver sistemas lineares
e interpretar suas soluções de forma puramente geométrica.
Exemplo 36. Resolva o sistema
 x + y = 1x − y = 2 .
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar as retas determi-
nadas pelas duas equações e verificar qual é a sua interseção.
Figure 2.1: Retas x+ y = 1 e x− y = 2 e sua interseção.
Da figura 2.1 vemos que as retas se cruzam em um único ponto e portanto
o sistema possui solução única x = 1.5 e y = −0.5.
50 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 37. 
x + y = 1
x − y = 2
3x + y = 0
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar as retas determi-
nadas pelas duas equações e verificar qual é a sua interseção.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 51
Figure 2.2: Retas x+ y = 1, x− y = 2 e 3x+ y = 0. Observe que as retas não
se interceptam.
Da figura 2.2 vemos que as retas não se cruzam em portanto o sistema não
possui solução.
Exemplo 38. 
x + y = 1
x − y = 2
3x + y = 4
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar as retas determi-
nadas pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
52 Introdução à Álgebra Linear
Figure 2.3: Retas x+ y = 1, x− y = 2 e 3x+ y = 4. Observe que as retas não
se interceptam.
Da figura 2.3 vemos que as retas se cruzam em um único ponto e portanto
o sistema possui solução única x = 1.5 e y = −0.5.
Exercício 20. Resolva os sistemas abaixo e faça um esboço da interpretação
geométrica da solução.
1.
 2x + y = 3x − 2y = −1
2.

2x + y = 3
x − 2y = −1
3x − y = 3
3.

2x + y = 3
x − 2y = −1
3x − y = 2
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 53
4.

2x + y = 3
x + 2y = −1
3x − y = 4
2.6.2 Sistemas com três incógnitas
Você aprendeu em seu curso de Geometria Análitica e Cálculo Vetorial que
qualquer plano Π em R3 pode ser descrita utilizando uma equação linear
Π = {(x, y) | ax+ by + cz = d},
ou seja, o ponto (x, y, z) pertence ao plano Π se, e somente se, a equação
ax + by + cz = d é satisfeita. Um conjunto de equações lineares com três
incógnitas representa, portanto, um conjunto de planos no espaço. Um ponto
satisfaz todas as equações do sistema se, e somente se, pertence a todos esses
planos. Isso quer dizer que (x, y, z) será uma solução do sistema se, e somente
se, pertencer a todos os planos definidos pelas equações do sistema.
Essa ligação entre equações lineares e planos permite resolver sistemas lin-
eares e interpretar suas soluções de forma puramente geométrica.
Exemplo 39. 
x − z = 1
y − z = 2
x + y − 2z = 3
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar os planos determi-
nadas pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
54 Introdução à Álgebra Linear
Figure 2.4: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z =
2, x− y − z = 3 e sua interseção.
Da figura 2.4 vemos que os planos se cruzam em uma reta e portanto o sis-
tema possui infinitas soluções. Essa reta pode ser parametrizada pelas equações
x = z + 1 e y = z + 2, z ∈ R.
Exemplo 40. 
x − z = 1
y − z = 2
x + y − 2z = 4
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar os planos determi-
nados pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
Da figura 2.5 vemos que os planos não se interceptam em nenhum ponto e
portanto o sistema não possui solução.
Exemplo 41. 
x − z = 1
y − z = 2
x − y − z = −1
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar os planos determi-
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 55
Figure 2.5: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z = 2 e
x+ 2y − 2z = 4. Observe que os planos não se interceptam.
nados pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
Figure 2.6: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z =
2, x− y − z = 1 e sua interseção.
Das figuras 2.6, 2.7 e 2.8 vemos que os planos se interceptam em um único
ponto e portanto o sistema possui solução solução única x = 1, y = 2, z = 0.
56 Introdução à Álgebra Linear
Figure 2.7: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z =
2, x− y − z = 1 e sua interseção.
Exercício 21. Considere o sistema ax + 2y = 02x + ay = 0
em que a ∈ R.
1. Mostre que o sistema abaixo possui pelo menos uma solução para qualquer
valor de a;
2. Encontre o valor de a para que o sistema possua infinitas soluções. Nesse
caso, qual é a representação geométrica do conjunto de soluções? Faça
um esboço.
Exercício 22. Descreva a interseção dos três planos x+y+z = 3, x+y−z = 1
e 3x + 3y + z = 7. É uma reta, um ponto, ou um conjunto vazio? Como será
a interseção se o plano x = −1 for adicionado? Encontre uma quinta equação
que deixe o sistema sem solução.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 57
Figure 2.8: Cada reta representa a interseção de dois dos planos determi-
nados pelas equações do sistema. A interseção das três retas corresponde à
solução do sistema.
Exercício 23. Encontre dois pontos sobre a reta de interseção dos hiperplanos
w = 0, z = 0 e x+ y + z + w = 1 em um espaço quadridimensional.
Exercício24. Em que condições sobre os números l,m e n os pontos (0, l),
(1,m) e (2, n) se localizam em uma linha reta?
Exercício 25. Se três planos se cruzam em dois pontos, onde mais eles se
cruzam?
2.7 Sistemas lineares homogêneos
Um sistema da forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
58 Introdução à Álgebra Linear
é chamado sistema linear homogêneo, que pode ser escrito na forma matricial
como
AX = 0
em que
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
, X =

x1
x2...
xn
, 0 =

0
0
...
0
.
Observe que todo sistema homogêneo possui a solução
X =

0
0
...
0
,
chamada solução trivial. Portanto, não existe sistema homogêneo impossível.
Geometricamente, isso significa que o conjunto solução de qualquer sistema
homogêneo contém a origem.
Observe também que para resolver um sistema linear homogêneo basta
escalonarmos a matriz A, uma vez que as operações elementares não alteram a
coluna de zeros da matriz aumentada [A|0].
Sabemos que um sistema com n incógnitas terá solução única quando a
forma escalonada da matriz A possui n pivôs e nenhuma outra linha de zeros que
possa levar a uma contradição. Para sistemas lineares homogêneos, como o lado
direito da matriz aumenta [A|0] é sempre 0, linhas que levam a contradições não
existem e por isso sempre que encontrarmos n pivôs o sistema possuirá solução
única, ou seja, somente a solução trivial. Se não for possível encontrar n pivôs,
o sistema terá infinitas soluções.
Exercício 26. Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre as soluções dos
sistemas lineares homogêneos abaixo:
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 59
1.
 x + y = 0x − y = 0
2.
 x + 2y = 02x + 5y = 0
3.

x + y = 0
x − 2y = 0
2x − y = 0
4.

x + y = 0
3x + y = 0
5x + 3y = 0
5.
 x + 2y − z = 0x − y + z = 0
6.

x + y + 2z = 0
2x + 4y − 3z = 0
x + 3y − 5z = 0
7.

2x + 3y − z + w = 0
5x + y + 10z + 2w = 0
3x − 2y + 11z + w = 0
DICA: observe que você já tem as formas escalonadas reduzidas das matrizes A
do exercíco 12. Não é necessário escalonar todas as matrizes novamente.
Teorema 3. Todo sistema homogêneo com menos equações que incógnitas
possui infintas soluções.
Demonstração. Suponhamos que o sistema tenha n incógnitas. Como o
sistema tem menos equações que incógnitas, o número r de linhas não nulas da
60 Introdução à Álgebra Linear
forma escalonada reduzida da matriz aumentada [A|0] também é menor que n e
portanto não é possível encontrar n pivôs. Assim temos r pivôs e n−r variáveis
livres, que podem assumir todos os valores reais, o que implica que o sistema
possui infinitas soluções.
Teorema 4. Sejam X1 e X2 soluções do sistema AX = 0. Então valem as
seguintes propriedades:
1. X3 = X1 +X2 também é solução de AX = 0;
2. X4 = αX1 também é solução de AX = 0 para qualquer α ∈ R.
Demonstração. Sabemos que AX1 = 0 e AX2 = 0, uma vez que X1 e X2 são
soluções de AX = 0. Assim temos:
1. AX3 = A(X1 +X2) = AX1 + AX2 = 0 + 0 = 0;
2. AX4 = A(αX1) = αAX1 = α× 0 = 0.
Exercício 27. Mostre que as propriedades acima não são verdadeiras se o sis-
tema não for homogêneo.
3
Aplicações de Sistemas Lineares
3.1 O Algoritmo Page Rank
Vivemos na era do computador. A Internet faz parte de nossas vidas cotidianas
e informação sobre ABSOLUTAMENTE TUDO que você procura está a apenas
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AltaVista, Yahoo, digitar as palavras-chave, e o buscador irá exibir as páginas
relevantes para a sua pesquisa. Faça um teste e pense nas mais variadas palavras;
ao pesquisar cada palavra no Google, é ALTAMENTE provável que o que você
procura esteja em uma das primeiras páginas relacionadas. Como é que um
buscador desse tipo realmente funciona?
À primeira vista, parece razoável imaginar que o que o buscador faz é manter
um índice de todas as páginas da web, e quando um usuário digita uma consulta
de pesquisa, o buscador navega através desse índice e conta as ocorrências das
palavras-chave em cada arquivo web. Os vencedores são as páginas com o maior
número de ocorrências das palavras-chave. Estes são exibidas para o usuário, na
ordem decrescente do número de ocorrências da palavra pesquisada.
Isto costumava ser a imagem correta no início dos anos 90, quando os bus-
cadores usavam um sistema de ranking baseado em texto para escolher al clas-
sificação das páginas mais relevantes dada uma consulta. Entretanto, há uma
61
62 Introdução à Álgebra Linear
série de problemas com esta abordagem. Um termo de pesquisa comum, como
a “Internet” era problemático. A primeira página exibida por um dos buscadores
era uma página escrita em chinês, com repetidas ocorrências da palavra “Inter-
net” e que não continha nenhuma informação relevante sobre a Internet.
Além disso, suponha que você queria encontrar alguma informação sobre
a UFOP. Ao digitar a palavra “UFOP”, esperamos que “www.ufop.br” seja a
primeira página a aparecer na lista, já que ela é a página mais relevante para a
nossa consulta. Contudo, pode haver milhões de páginas na web no mundo em
que aparece a palavra “UFOP” e a página “www.ufop.br” pode não ser a página
em que ela apareça mais vezes. Suponha que decidimos escrever um web site
que contém a palavra “UFOP” um bilhão de vezes e nada mais. Então não faria
sentido o nosso web site para o primeiro exibido por um buscador. No entanto,
se tudo que o buscador faz é contar as ocorrências de palavras na consulta feita,
este é exatamente o que poderia acontecer.
A utilidade de um buscador depende da relevância do conjunto de resultados
que ele fornece. Evidentemente, vão haver milhões de páginas da Web que
incluem uma palavra ou frase especial; no entanto algumas delas vão ser mais
relevantes, populares, ou de autoridade do que outras. É impraticável que um
usuário abra todas as páginas que contêm as palavras da consulta feita para
verificar se aquela página é relevante.. Ele espera que as páginas relevantes
serão exibidas dentro do top 20 a 30 páginas listadas pelo buscador.
Buscadores modernos empregam métodos de classificar os resultados para
fornecer os "melhores" resultados primeiro que são bem mais elaboradas do que
classificação utilizando apenas texto. Um dos algoritmos mais conhecidos e
influentes para computar a relevância das páginas da Web é o algoritmo Page
Rank usado pelo Google. Foi inventado por Larry Page e Sergey Brin enquanto
eram estudantes de pós-graduação em Stanford, e tornou-se uma marca Google
em 1998.
A noção que Page Rank introduziu foi que a importância de qualquer página
da web pode ser julgado ao olharmos para as páginas que apontam para ela.
Se criarmos uma página da web i e incluirmos um link para a página web j,
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 63
isto significa que nós consideramos j importante e relevante para o nosso tema.
Se há um monte de páginas que apontam para j, isto significa que é a crença
comum de que a página j é importante. Se, por outro lado, j tem apenas
um backlink, mas isso vem de uma autoridade local k, (como www.google.com,
www.cnn.com, www.ufop.br) Que dizer que k transfere sua autoridade para j;
Por outras palavras, uma página importante k afirma que j é importante. Inde-
pendentemente de considerarmos popularidade ou autoridade, podemos atribuir
uma classificação a cada página web, com base no número e na importância das
páginas que apontam para ela.
Para este objetivo, começamos imaginando a rede web como um grafo dire-
cionado, com vértices representando páginas web e arestas representando links
entre elas.
Suponha, por exemplo, que temos uma pequena Internet composta de ape-
nas 4 páginas “www.page1.comsites”, “www.page2.com”, “www.page3.com”,
“www.page4.com”, referenciando umas às outras da maneira sugerida pela im-
agem :
64 Introdução à Álgebra Linear
Nós podemos "traduzir" a imagem em um grafo direcionado com 4 vétices,
um para cada página. Quando a página i referencia a página j, nós adicionamos
uma aresta dirigida de i para j. Depois de analisar cada página da web, nós
temos o seguinte grafo
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 65
Em nosso modelo, cada página deve transferir sua importância uniforme-
mente para as páginas relacionadas a ela. A página 1 tem 3 arestas de saída,
por isso vai passar 13 da sua importância para cada uma das outras 3 páginas.
A página 3 tem apenas uma aresta de saída, por isso vai passar toda sua im-
portância para a página 1. Em geral, se um vértice tem k arestas de saída, ele
vai passar 1k de sua importância para cada um dos vértices que ele referencia.
Vamos visualizar melhor o processo atribuindo pesos a cada aresta.
Denote por x1, x2, x3 e x4 a importância das quatro páginas. Analisando a
situação em cada vértice temos o sistema:
66 Introdução à Álgebra Linear

x1 = 1× x3 + 12 × x4
x2 = 13 × x1
x3 = 13 × x1 + 12 × x1 + 12 × x4
x4 = 13 × x1 + 12 × x2
cuja solução é x2 = 23x4, x3 =
3
2x4, x1 = 2x4. Como o valor exato de cada xi
não interessa, o que importa é qual deles é maior, podemos fazer x4 = 1 obtendo
x4 = 1, x2 = 23 , x3 =
3
2 , x1 = 2. Assim concluímos que em uma pesquisa as
páginas apareceriam ordenadas da seguinte forma:
1. Página 1;
2. Página 3;
3. Página 4;
4. Página 2.
3.2 Circuitos Elétricos
O fluxo da corrente num circuito elétrico é governado por três princípios básicos:
1. A lei do Ohm: A diferença de potencial através de um resistor é o produto
da corrente que passa por ele e a resistência, ou seja,
V = Ri.
2. A Lei de Corrente de Kirchhoff: A soma algébrica das correntes fluindo
para dentro de qualquer ponto de um circuito elétrico é igual à soma
algébrica das correntes fluindo para fora do ponto.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 67
3. A Lei de Voltagem de Kirchhoff: Em torno de qualquer circuito fechado
(também chamado de malha), a soma algébrica das diferenças de potencial
é zero.
Utilizando os três princípios acima, podemos encontrar o valor da corrente
que passa em cada parte do circuito utilizando sistemas lineares.
Exemplo 42. Encontre as correntes i1, i2 e i3 no circuito abaixo.
As direções dos fluxos para as correntes i1, i2 e i3 (marcadas por flechas)
foram tomadas arbitrariamente. Se alguma destas correntes for negativa é por
que, na realidade, flui no sentido oposto ao selecionado.
Aplicando a Lei de Corrente de Kirchhoff aos pontos A e B, obtemos o
sistema:
i1 = i2 + i3.
Precisamos de mais duas equações para determinar unicamente i1, i2 e i3.
Estas equações serão obtidas com a Lei de Voltagem de Kirchhoff. Para aplicar
68 Introdução à Álgebra Linear
a Lei de Voltagem de Kirchhoff a um circuito fechado, selecione um sentido
positivo em torno do circuito (digamos, sentido horário) e faça a seguinte con-
venção de sinais: uma corrente passando por um resistor produz uma diferença
de potencial positiva se flui no sentido positivo do circuito e uma diferença de
potencial negativa se flui no sentido negativo do circuito.
Aplicando a Lei de Voltagem de Kirchhoff e a Lei de Ohm à malha interna
1 e 2 da figura, obtemos respectivamente
7i1 + 3i3 − 30 = 0
11i2 − 3i3 − 50 = 0.
Combinando estas equações obtemos o sistema linear:
i1 − i2 − i3 = 0
7i1 + 3i3 = 30
11i2 − 3i3 = 50.
cuja solução é
i1 =
570
131 , i2 =
590
131 , i3 =
−20
131 .
Observe que i3 é negativo, o que significa que esta corrente flui no sentido oposto
ao indicado na figura.
3.3 Balanceamento de Reações Químicas
Numa equação química é sempre importante verificar se o número de átomos de
cada elemento é o mesmo em ambos os lados da equação, ou seja, se ela está
balanceada. Os números que colocamos antes dos símbolos são denominados
coeficientes estequiométricos . Esses coeficientes devem ser os menores inteiros
possíveis, pois não dá para imaginar 1⁄2 molécula de algum elemento químico.
Note que nunca haverá uma única equação balanceada para uma reação, já que
todo múltiplo inteiro positivo de uma equação balanceada será também uma
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 69
equação balanceada. Assim, usualmente procuramos a equação balanceada mais
simples para uma reação. Para isso vamos analisar a combustão da gasolina.
A gasolina é uma mistura de elementos químicos chamados hidrocarbonetos,
mas o composto predominante é o f g h g , a combustão completa da gasolina
acontece quando reage com o gás oxigênio resultando em gás carbônico e água,
então,
C8H18 +O2 −→ CO2 +H2O.
Agora, precisamos balancear a equação, e para isso vamos utilizar sistemas de
equações lineares. Chamando as quantidades de cada molécula da fórmula de
x, y, w e z, temos:
xC8H18 + yO2 −→ wCO2 + zH2O.
Agora precisamos analisar quantos átomos de cada elemento químico temos de
um lado e do outro da equação. Esses números têm que ser os mesmos para
todos os elementos! Para os átomos de carbono:
8x = w.
Para os átomos de hidrogênio:
18x = 2z ⇒ 9x = z.
Para os átomos de oxigênio:
2y = 2w + z.
Obtemos então o seguinte sistema de equações lineares:

8x − w = 0
9x − z = 0
2y − z − 2w = 0.
70 Introdução à Álgebra Linear
Note que temos 3 equações e 4 variáveis, o que implica que o sistema é pos-
sível e indeterminado, ou seja, admite infinitas soluções. Resolvendo o sistema
obtemos:
x = 18w, y =
25
16w, z =
9
8w, w ∈ R.
Para a solução mais simples os coeficientes estequiométricos devem ser os menores
inteiros que satisfazem todas as equações portanto, temos que
x = 2, y = 25, z = 18ew = 16
é a solução da equação e, consequentemente, a equação balanceada é:
2C8H18 + 25O2 −→ 16CO2 + 18H2O.
3.4 Trânsito
Durante o dia é fácil observar que há vários fluxos de veículos em determinados
pontos da cidade.
Vejamos um exemplo. Suponha que uma determinada cidade tem dois con-
juntos de ruas de mão única que se cruzam como mostra a figura abaixo:
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 71
Queremos determinar a média do número de veículos por hora que entram e
saem dessa seção durante o horário do rush. Para tanto necessitamos determinar
a quantidade de veículos entre cada um dos quatro cruzamentos. Observando
que o número de entrada de veículos é igual ao número de saída e que o fluxo
tem o mesmo sentido das setas indicadas na figura, obtemos:
360 + x = 488 + y, Cruzamento A
416 + y = 384− z, Cruzamento B
312 + z = 480 + t, Cruzamento C
512 + t = 248 + x. Cruzamento D
72 Introdução à Álgebra Linear
A solução desse sistema é
x = 264 + t, y = 136 + t, z = 168 + t, t ∈ N.
Sabendo o valor de t, que pode por exemplo ser medido através de radares
ou outros mecanismos semelhantes, conseguimos encontrar o número de carros
entre cada trecho da malha viária.
Part II
Espaços Vetoriais
73
4
Espaços Vetoriais Reais
Em vários conjuntos podemos definir uma operação envolvendo os elementos
do próprio conjunto, que chamaremos genericamente de soma, e uma oper-
ação envolvendo elementos do conjunto e números reais, que chamaremos de
multiplicação por escalar. Quando essas operações satisfazem um conjunto de
propriedades importantes para sua utilidade na descrição de problemas reais,
dizemos que esse conjunto é um espaço vetorial sobre R.
A noção de espaço vetorial é extremamente geral e pode ser aplicada a situ-
ações totalmente diferentes, em que a única coisa em comum é a existência das
operações mencionadas. A generalidade com que espaços vetoriais são definidos
nos leva a uma teoria bastante abstrata, mas é justamente essa abstração que
possibilita o tratamentosimultâneo de objetos de natureza tão distinta.
Apesar da generalidade com que pretendemos tratar o assunto, devemos
sempre nos lembrar dos espaços vetoriais R2 e R3 onde toda a a teoria pode ser
traduzida de maneira geométrica, fazendo com que todos os resultados enunci-
ados possam ser compreendidos de maneira intuitiva. Vamos sempre trabalhar
com as duas abordagens: a abordagem algébrica e abstrata, que pode ser apli-
cada igualmente a todos os espaços vetoriais, e a abordagem geométrica que
possibilita a vizualização dos conceitos da álgebra linear nos espaços R2 e R3.
75
76 Introdução à Álgebra Linear
4.1 Definição e Propriedades
Definição 3. Um espaço vetorial V sobre R é um conjunto de vetores |v〉munido
de uma soma vetorial
+ : V × V −→ V
(|u〉, |v〉) 7−→ |u〉+ |v〉
e de um produto por escalar
· : R× V −→ V
(λ, |u〉) 7−→ λ|u〉
tais que para todos |u〉, |v〉, |w〉 ∈ V e λ, ν ∈ R temos
1. (Associatividade) |u〉+ (|v〉+ |w〉) = (|u〉+ |v〉) + |w〉;
2. (Comutatividade) |u〉+ |v〉 = |v〉+ |u〉;
3. (Existência de zero) Existe um vetor 0 ∈ V tal que |u〉+ 0 = |u〉;
4. (Existência de inverso aditivo) Dado |u〉 ∈ V existe vetor −|u〉 ∈ V tal
que |u〉+ (−|u〉) = 0;
5. (Associatividade) λ(ν|u〉) = (λν)|u〉;
6. (Distributividade) λ(|u〉+ |v〉) = λ|u〉+ λ|v〉;
7. (Distributividade) (λ+ ν)|u〉 = λ|u〉+ ν|u〉;
8. 1|u〉 = |u〉.
Exemplo 43 (Rn é um espaço vetorial sobre R). Rn é o conjunto das n-uplas
ordenadas (x1, . . . , xn), xi ∈ R. Podemos definir a soma e produto por escalar,
respectivamente, por
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 77
λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn).
Será útil posteriormente identificar vetores em Rn e matrizes coluna n× 1:
(x1, . . . , xn)↔

x1...
xn
.
Exemplo 44 (O conjunto dos polinômios é um espaço vetorial sobre R). Seja
P = {anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0; ai ∈ R}
o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em R. Esse conjunto é um
espaço vetorial com a soma
(anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0) + (bnxn + bn−1xn−1 + . . .+ b1x+ b0) =
= (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)xn−1 + . . .+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0)
e o produto por escalar
λ
(
anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0
)
= (λan)xn+(λan−1)xn−1+. . .+(λa1)x+(λa0).
Exemplo 45 (O conjunto das matrizes m × n é um espaço vetorial sobre R).
SejaMm×n o conjunto de todas as matrizes m×n. Esse conjunto é um espaço
vetorial com a soma de matrizes e produto de matriz por escalar usuais.
Exemplo 46 (O conjunto de soluções de um sistema homogêneo é um espaço
vetorial sobre R). De acordo com o teorema 4, se X1 e X2 são soluções do
sistema AX = 0, valem as seguintes propriedades:
1. X3 = X1 +X2 também é solução de AX = 0;
2. X4 = αX1 também é solução de AX = 0 para qualquer α ∈ R.
78 Introdução à Álgebra Linear
Esse espaço vetorial é chamado espaço nulo da matriz A.
Exemplo 47. Mostre que os exemplos acima são de fato espaços vetoriais com
as operações indicadas.
Exemplo 48. Suponhamos que no conjunto R2 seja definida a soma
(x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1).
Com a soma definida acima e com o produto por escalar usual, R2 não é um
espaço vetorial sobre R. De fato, a propriedade 6
λ(|u〉+ |v〉) = λ|u〉+ λ|v〉
não é satisfeita por essa soma. Veja, por exemplo, que
3× [(1, 1)⊕ (2, 2)] = 3× (4, 4) = (12, 12)
enquanto
3× (1, 1)⊕ 3× (2, 2) = (3, 3) + (6, 6) = (10, 10.)
Exemplo 49. O conjunto dos números não-negativos R+ não é um espaço
vetorial com a soma usual e o produto por números reais usual. De fato, ao
multiplicar qualquer elemento não nulo de R+ por qualquer número real negativo
obtemos um número negativo, que portanto está fora de R+.
Exercício 28. Mostre que o conjunto R+ de todos os números reais não nulos
é um espaço vetorial sobre R com a soma definida por
x⊕ y = xy
e o produto por escalar definido por
λ⊗ x = xλ.
Qual é o vetor nulo desse espaço vetorial?
O exemplo 49 e o exercício 28 mostram que a definição de espaço vetorial não
depende apenas do conjunto V , depende do conjunto e também das operações
de soma e multiplicação definidas nesse conjunto.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 79
4.2 A geometria dos espaços vetoriais R2 e R3
Os espaços vetorias R2 e R3 se destacam entre os exemplos mencionados an-
teriormente por vários motivos. Eles são os espaços vetoriais ustilizados para
representar posição, velocidade, aceleração e por isso aparecem sempre na de-
scrição de sistemas físicos. Além disso, as operações de soma e multiplicação
por escalar nos espaços vetoriais R2 e R3 podem ser representados geometrica-
mente, o que faz com que eles sejam importantes também do ponto de vista
pedagógico.
Em R2 cada vetor |u〉 = (x, y) é representado por um segmeto orientado que
liga à origem do plano cartesiano ao ponto com coordenadas (x, y). A figura
abaixo mostra a representação geométrica do vetor ~u = (3, 4) ∈ R2.
Em R3 cada vetor |u〉 = (x, y, z) é representado por um segmento orientado
que liga à origem do plano cartesiano ao ponto com coordenadas (x, y, z). A
figura abaixo mostra a representação geométrica do vetor ~u = (3, 4, 4) ∈ R3.
80 Introdução à Álgebra Linear
A soma de dois vetores também pode ser representada geometricamente.
Dados dois vetores |u〉 e |v〉, sua soma é igual ao vetor obtido da seguinte
forma: tomamos o segmento orientado que representa |u〉; em seguida, tomamos
o segmento orientado que representa |v〉 com origem na extremidade de |u〉; o
vetor |u〉 + |v〉 é representado pelo segmento oriendado que vai da origem até
a extremidade de |v〉. A soma dos vetores |u〉 = (3, 4) e |v〉 = (6, 2) é ilustrada
na figura abaixo.
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 81
A multiplicação de um vetor por um escalar também pode ser representada
geometricamente. Dado um vetor |v〉 ∈ R2 e λ ∈ R, o vetor λ|v〉 é encontrado
da seguinte forma: se λ = 0 então λ|v〉 = 0; caso contrário, λ|v〉 tem compri-
mento |λ| vezes o comprimento de |v〉 e mesma direção de |v〉 (dizemos que eles
são paralelos); λ|v〉 tem o mesmo sentido de |v〉 se λ > 0 e sentido oposto se
λ < 0. A figura abaixo ilustra os vetores |v〉 = (3, 4), 2|v〉, |v〉2 ,−|v〉,−2|v〉,− |v〉2 .
82 Introdução à Álgebra Linear
Em R3 a soma e a multiplicação por escalar podem ser representadas de
maneira análoga. A figura abaixo mostra a soma dos vetores (3, 4, 4) e (2, 2, 1)
que resulta no vetor (5, 6, 5).
Prof. Bárbara Amaral - Mentores - OBMEP 83
A figura abaixo mostra o vetor |u〉 = (3, 4, 4) (preto), assim como seus
múltiplos |u〉2 (rosa), 2|u〉 (verde), −|u〉 (roxo), − |u〉2 (azul) e −2|u〉 (amarelo).
84 Introdução à Álgebra Linear
4.3 Combinações Lineares
Um espaço vetorial é um conjunto onde os elementos podem ser combinados
livremente através da soma e da multiplicação por escalar.
Definição 4. Dizemos que |v〉 é uma combinação linear de |u1〉, . . . , |uk〉 se
existem constantes a1, . . . , ak tais que
|v〉 = a1|u1〉+ . . .+ ak|uk〉.
Com essa definição, podemos dizer que um espaço vetorial é um conjunto
no qual podemos fazer combinações lineares.
Exemplo 50. O vetor (7, 2, 9) ∈ R3 é uma combinação linear dos vetores
(2, 1, 3) e (1, 0, 1) porque
(7, 2, 9) = 2(2, 1, 3) + 3(1, 0, 1).
Exemplo 51. No espaço vetorial P , todo polinômio de grau 2 é combinação
linear dos polinômios {1, x, x2}, uma vez que qualquer polinômio de grau 2 pode
ser escrito na forma
p(x) = a2x2 + a1x1 + a0 = a2 × x2 + a1 × x1 + a0 × 1.
De maneira geral, fixado n ∈ N, qualquer polinômio de grau n é uma combinação
linear dos polinômios {1, x, x2, . . . , xn}.
Exemplo 52. O vetor nulo 0 é sempre combinação linear de qualquer conjunto
de vetores |v1〉, . . . , |vk〉. De fato,
0 = 0|v1〉+ . . .+ 0|vk〉.
Exemplo 53. Considere os vetores |e1〉 = (1, 0, 0), |e2〉 = (0, 1, 0) e |e3〉 =
(0, 0, 1). Qualquer vetor em R3 é combinação linear desses três vetores. De
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