Apostila: Raciocínio Lógico

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MATERIAL DIDÁTICO 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U N I V E R S I DA D E
CANDIDO MENDES
 
CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA 
PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010 
 
Impressão 
e 
Editoração 
 
0800 283 8380 
 
www.ucamprominas.com.br 
 
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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DO RACIOCÍNIO LÓGICO ................................ 5 
UNIDADE 2 – FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS AO RACIOCÍNIO 
LÓGICO ............................................................................................................... 48 
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
INTRODUÇÃO 
 
“Loucura é querer resultados diferentes, fazendo tudo sempre igual.” 
(Abert Einstein) 
 
Que as empresas continuamente procuram profissionais mais gabaritados, 
ou seja, mais dinâmicos, já é sabido por todos nós. Mas como poderíamos 
diferenciar profissionais mais gabaritados e dinâmicos? Em verdade, o mercado 
procura profissionais que consigam tomar decisões através de raciocínios e 
estratégias corretas. Mas o que seria uma argumentação correta? Nesse sentido 
surgem a Lógica, a Filosofia e a Matemática que formam em conjunto, as áreas 
do conhecimento que descrevem o raciocínio lógico, que é amplamente utilizado 
para a resolução de problemas diversos e comumente cobrado em concursos 
públicos e/ou privados. 
Inicialmente deve-se observar que quando falamos ou escrevemos, na 
grande maioria das vezes, surgem termos e expressões com sentido não muito 
claro, inserindo assim, várias dúvidas com relação ao sentido de nossa fala e 
escrita, ou seja, ambiguidade. Dessa forma, pode-se pensar numa série de 
indagações, tais como: Qual o significado desta expressão? Qual a sua 
lógica? Não são ideias contraditórias? É lógico? Tem sentido? É sabido que 
a terminologia “Lógica” é proveniente da Grécia significando “logos”, sendo a 
discussão do uso de raciocínio em alguma atividade, ou seja, o estudo normativo, 
filosófico do raciocínio. 
Historicamente, a Lógica foi estudada em várias civilizações da 
Antiguidade, desde a Índia, na recursão silogística, passando pela China no 
Moísmo e na Escola dos Nomes, bem como, na Grécia Antiga que a Lógica foi 
estabelecida como disciplina por Aristóteles, com a sua obra Organon. 
É interessante salientarmos ainda que a Lógica examina de modo geral as 
formas que a argumentação pode tomar, quais dessas formas são válidas e quais 
são sem sentido. De outra forma, ressalta-se que em Filosofia, a Lógica tem papel 
fundamental na metafísica, ontologia, epistemologia e ética, enquanto que na 
Matemática, estudam-se as formas válidas de inferência de uma linguagem 
formal, caracterizando o seu valor lógico. Já para a Ciência da Computação, a 
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lógica é uma ferramenta indispensável nas linguagens de programação e, por fim, 
a Lógica também é estudada na teoria da argumentação. Atualmente, a Lógica é 
utilizada em concursos de organizações privadas e governamentais nos mais 
variados níveis de instrução em processos seletivos. 
Portanto, o nosso módulo busca a apresentação de ferramentas 
relacionadas à teoria da argumentação e do raciocínio lógico propriamente dito, 
que visa a resolução de problemas de uma forma coerente e estruturada, seja em 
termos gerenciais ou não. 
As palavras acima são nossa justificativa para o módulo em estudo. 
 
“Teoria é quando nada funciona e todo mundo sabe o porquê. 
Prática é quando tudo funciona, mas ninguém sabe o porquê.” 
 (Anônimo) 
 
“As soluções que mais interessam a uma organização são aquelas 
que aumentam a sua competitividade.” 
(Kaplan) 
 
“Você nunca sabe que resultados virão da sua ação. Mas se você não 
fizer nada, não existirão resultados.” 
(Gandhi) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DO RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
1.1 Aspectos introdutórios 
Poderíamos iniciar a abordagem do nosso texto, indagando: “O que seria a 
Lógica?” ou “O que seria o Raciocínio Lógico?” Ou ainda, “Você sabe utilizar o 
seu Raciocínio Lógico para a resolução de problemas?” De outra forma, “Saberia 
definir uma decisão?” “Saberia classificar os diversos problemas e as 
metodologias de resolução dos mesmos?” Sendo assim, esperamos responder 
questões como estas e outras que nos façam entender a importância do 
Raciocínio Lógico e, porque não da Lógica para a resolução de problemas 
simulados diversos. É sabido que as empresas, de forma geral, praticam de 
problemas deste foco em concursos diversos, desde instituições financeiras, bem 
como, multinacionais. 
Inicialmente, devemos salientar que, de acordo com Martins (2012), o 
termo “lógica” (do grego clássico λογική logos, que significa palavra, 
pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico), é uma 
ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o 
pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a 
verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser 
atingida. 
Dessa maneira, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem 
pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A 
aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto 
meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente, a fim de chegar a 
conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos 
argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de 
evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi 
Aristóteles, com sua obra chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e 
material. 
Nesse caso, note que a Lógica é o ramo do conhecimento humano que 
estuda as formas pelas quais se pode construir um argumento correto. Porém, 
como poderíamos caracterizar um raciocínio correto? Geralmente, um raciocínio é 
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considerado correto quando as conclusões a que se chega são as melhores 
possíveis, dada a informação disponível. 
Devemos ressaltar que, ao analisarmos uma determinada proposição, 
queremos em verdade decidir se ela é verdadeira ou não, por mais simples que 
seja. Exemplificando, quando você deve decidir pela direção da direita ou pela 
direção da esquerda, ou ainda, definir qual ramo gostaria de se formar, são 
proposições simples, mas que demanda de uma argumentação para a tomada de 
decisão. Com relação a esta decisão, pode-se mensurar o estudo da Lógica em 
dois tipos. 
 Lógica Dedutiva: uma proposição pode ser apenas verdadeira ou 
falsa, não havendo alternativa intermediária. 
 Lógica Indutiva: uma proposição pode ter diferentes graus de 
plausibilidade associados a ela, de acordo com esta parece ser mais ou menos 
verdadeira. 
 
Vejamos a ilustração introdutória a seguir. 
 
Situação Introdutória (Adaptada de Martins, 2012): suponhamos que 
você é um guarda de uma determinada rede de supermercados, e durante a sua 
inspeção noturna escuta um alarme disparar. O alarme que disparou é o alarme 
de uma joalheria dentro do hipermercado, e a mesma está com o vidro da frente 
totalmente estilhaçado. Saindo da joalheria, você vê um homem, vestindo uma 
máscara e carregando algo na mão, em verdade um saco. Após detê-lo para 
averiguar o que está acontecendo, você vê que o saco está cheio das joias da 
joalheria. Segue logicamente, de uma forma dedutiva, que o indivíduo abordado é 
um ladrão, ou seja, que ele estava assaltando a joalheria dentro do hipermercado.Cabe ainda comentarmos que a Lógica Dedutiva, frequentemente chamada 
simplesmente de Lógica, lida com a verdade de proposições. Grosso modo, uma 
proposição corresponde ao significado de uma dada sentença e, em lógica 
dedutiva, elas são afirmações que são ou verdadeiras ou falsas. De outro modo, 
com relação à Lógica Aristotélica, proposições são encaradas como afirmações 
que afirmam ou negam um predicado (uma qualidade) de um sujeito. Vamos 
averiguar mais um exemplo simples. 
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A: Sócrates é um homem. 
Portanto, temos que: 
B: Sócrates é mortal. 
Notemos que o raciocínio acima está correto, mas será que ele serve de 
um molde que garanta que qualquer raciocínio que tenha a mesma forma será 
correto? Em verdade, o raciocínio do exemplo anterior, possui a seguinte 
estrutura: dada uma premissa A, segue uma conclusão B. O problema é saber se 
qualquer raciocínio desta forma é correto. Vejamos outro exemplo, utilizando a 
mesma forma: 
A: Meu automóvel é verde. 
Portanto, 
B: meu carro é um vegetal. 
Para raciocinarmos no sentido completo, vejamos o exemplo: 
A 

 B: Todo homem é mortal. 
A: Sócrates é um homem. 
B: Sócrates é mortal. 
Aqui, pode-se caracterizar que o esquema acima é válido para quaisquer 
inferências, chegando a uma conclusão correta, desde que as premissas sejam 
corretas. A saber, se A implica em B e se A é verdadeiro, logo B também o é. 
Em outro sentido, quando falamos com relação ao Raciocínio Lógico, de 
acordo com Braine e Rumain (1983), para a compreensão de um texto, o leitor ou 
ouvinte tanto utiliza o raciocínio lógico para a compreensão analítica (o que exige 
mais habilidade mental) quanto o raciocínio prático para compreensão ordinária (o 
que se revela mais superficial). 
Grosso modo, quando é necessária a resolução de problemas, ou nos 
envolvemos em discussões ou argumentações, o melhor é não se deixar levar 
pelo caminho mais fácil e sim procurar obter uma compreensão a respeito da 
situação analisando uma a uma, cuidadosamente, as premissas relacionadas, de 
modo a tirarmos conclusões de maneira mais exata e precisa possível. Não 
utilizar o raciocínio lógico, muitas vezes pode nos levar a conclusões incorretas e 
a recorrer a falácias na argumentação, já que, de modo prático, nos deixaremos 
influenciar pelo conteúdo das premissas e por nossas crenças. Lógica, portanto, 
parte de uma dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas 
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premissas, delas, por inferência, se tira uma terceira, chamada conclusão. 
Argumentar de forma lógica é diferente de usar manipulação, coação ou 
persuasão; cada estratégia melhor se aplica a contextos distintos e visa a 
finalidades específicas. 
 
 
Figura 01: Fundamentos da Lógica. 
Disponível: http://educacion.udd.cl/ver-diplomado/diplomado-en-neurociencia-aplicada-a-
la-educacion/ Acesso em: 14 nov. 2015. 
 
Além disso, é sabido que a Lógica tem como sustentação para a sua 
descrição teórica três princípios fundamentais. Porém, antes de apresentarmos os 
mesmos, vamos exemplificar a fim de compreendermos os mesmos. Se 
considerarmos, LEANDRO é LEONARDO, essa premissa contraria dois 
princípios, que podem ser observados, a seguir. 
Primeiro Princípio (Identidade) (KELLER e BASTOS, 2004): esse 
princípio nos diz que se um enunciado é verdadeiro, ele é verdadeiro, sempre e, 
de outra forma, se ele é falso, ele é falso, sempre. Dessa forma, observe que: 
 
 
LEANDRO é LEANDRO / LEONARDO é LEONARDO 
 
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Segundo Princípio (Não contradição) (KELLER e BASTOS, 2004): Esse 
princípio nos fala que um enunciado não pode ser verdadeiro e falso ao mesmo 
tempo. 
 
1.2 Terminologias fundamentais da lógica 
De acordo com Martins (2013), temos algumas nomenclaturas ou 
terminologias importantes na descrição e construção dos aspectos relacionados 
ao raciocínio lógico a partir da Lógica Proposicional. 
 
1.2.1. Tipos de argumentos 
a) Argumentos dedutivos (tipo silogísticos). Nestes argumentos, a 
verdade das premissas assegura a verdade da conclusão. Se as premissas forem 
verdadeiras, e o seu encadeamento adequado, a conclusão será 
necessariamente verdadeira. Os argumentos dedutivos não acrescentam nada de 
novo ao que sabemos. 
 
Exemplo: Todos os homens são mortais. Francisco é homem. Logo, 
Francisco é mortal. 
 
b) Argumentos indutivos. Neste caso, a conclusão ultrapassa o conteúdo 
das premissas. Embora estas possam ser verdadeiras, a conclusão é apenas 
provável. 
 
Exemplo: Todos os banhistas observados até hoje em uma determinada 
praia brasileira estavam queimados pelo sol. Logo, o próximo banhista que for 
observado estará queimado pelo sol (aqui temos o argumento indutivo: 
generalização, previsão). 
 
c) Argumento por Analogia. Neste tipo de argumentos, parte-se da 
semelhança entre duas coisas para se concluir que a propriedade de uma é a 
mesma que podemos encontrar na outra. As diferenças específicas são 
ignoradas. 
 
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Exemplo: Marte é um astro como a Terra. A Terra é habitada. Logo, Marte 
é também habitado. 
 
d) Argumentos falaciosos. Argumentos com aparência de verdadeiros ou 
válidos, mas falsos e inválidos. 
 
1.2.2. A nova retórica – classificação dos argumentos 
 
a) Argumentos Quase Lógicos. A sua estrutura formal confere às suas 
conclusões uma aparência lógica irrefutável. 
 
Exemplo: A pena de morte é contraditória com o objetivo de querer 
prevenir a violência, uma vez que matar é sempre considerado um ato de 
violência. 
 
b) Argumentos baseados na Estrutura do Real. A sua estrutura está 
baseada em fatos reais. As conclusões, por este motivo, têm implícita a ideia que 
são suscetíveis de serem confirmadas. 
 
Exemplo: Existem crimes que destroem vidas humanas, logo os seus 
autores devem ser castigados de acordo com a natureza dos seus atos. 
 
c) Argumentos que fundam a Estrutura do Real. Sua estruturação está 
centrada em princípios universais, que se supõem estruturarem a realidade. As 
conclusões decorrem destes princípios, impondo-se aparentemente como 
necessárias. Este tipo de raciocínio parte de casos conhecidos que são 
assumidos como modelos ou regras gerais. A argumentação tem por objetivo 
passar destes casos particulares para uma generalização dos exemplos. 
 
Exemplo: A Igualdade de todos os cidadãos perante a Lei é um princípio 
sagrado da Justiça e da coesão social; sem o respeito por este princípio, qualquer 
sociedade desagrega-se. 
 
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1.3 Dialética: tese, antítese e síntese 
A tese é uma afirmação ou situação inicialmente dada. A antítese é uma 
oposição à tese. Do conflito entre tese e antítese surge a síntese, que é uma 
situação nova que carrega dentro de si elementos resultantes desse embate. A 
síntese, então, torna-se uma nova tese, que contrasta com uma nova antítese 
gerando uma nova síntese, em um processo em cadeia infinito. 
 
1.3.1 Formas de argumentação 
a) Argumentação por citação: sempre que queremos defender uma ideia, 
procuramos pessoas ‘consagradas’, que pensam como nós acerca do tema em 
evidência. Apresentamos no corpo de nosso texto a menção de uma informação 
extraída de outra fonte. O trecho citado deve estar de acordo com as ideias do 
texto, assim, tal estratégia poderá funcionar bem. 
 
b) Argumentação por comprovação: a sustentação da argumentação se 
dará a partir das informações apresentadas (dados, estatísticas, percentuais) que 
a acompanham. Esse recurso é explorado quando o objetivo é contestar um 
ponto de vista equivocado. 
 
c) Argumentação por raciocínio lógico: a criação de relações de causa e 
efeito é um recurso utilizado para demonstrar que uma conclusão (afirmada no 
texto) é necessária, e não fruto de uma interpretação pessoal que pode ser 
contestada. 
 
1.4 Meios de convencimentoA busca por informações é fundamental no mundo atual para as 
organizações ou para as pessoas propriamente ditas, logo, em diversos casos, 
temos notícias sobre novos indicadores estatísticos, taxas de juros e índices de 
preços, sendo que alguns são corretos ou legítimos enquanto que outros são 
incorretos e ilegítimos. Tal fato está ligado aos meios de convencimento, sendo os 
argumentos o que originam a falácia ou sofisma. Dessa forma, de acordo com 
Martins (2013), define-se premissa e termo como segue. 
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 Premissa: é uma fórmula considerada hipoteticamente verdadeira, 
dentro de uma dada inferência. Esta se constitui de duas partes: uma coleção de 
premissas, e uma conclusão. Premissa, em verdade, significa a proposição, o 
conteúdo, as informações importantes que servem de alicerce para o raciocínio, 
para um estudo que levará a uma conclusão. 
 Termo: considerando um sistema lógico, temos que um termo é um 
nome associado a um objeto do universo de discussão. 
 Falácias Lógicas: são consideradas erros de raciocínio ou de 
argumentação, erros estes que podem ser visualizados e corrigidos por 
pensadores que primam pela prudência. De acordo com Bispo (2011), as falácias 
são divididas em: 
 falácia do homem espantalho – consiste em definir um termo para 
vantagem própria, utilizando posições definidas por um opositor. Este tipo de 
falácia é muito utilizado no ramo político; 
 falácia de várias perguntas – muito utilizada no âmbito do direito pelos 
advogados em ocasiões oficiais, ao fazer uma pergunta que em verdade é 
múltipla, ou seja, uma pergunta que vale por duas ou mais perguntas, a qual não 
caberia como resposta um sim ou um não. Exemplificando, “Já parou de bater na 
sua filha?” Note que aqui, tal pergunta pode ser desdobrada em: “Alguma vez já 
bateu na sua filha?” e “Bate atualmente?”; 
 falácia da inversão dos quantificadores – para este tipo de falácia, 
vamos observar o seguinte exemplo: “Todas as pessoas têm uma mãe, então, 
existe alguém que é mãe de todas as pessoas”. 
 
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Figura 02: Termos utilizados na Lógica. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.5 Elaborando a solução de problemas lógicos e matemáticos 
Sabemos que a tomada de decisões é levada a cabo em todos os aspectos 
da vida e em qualquer altura. Você com certeza já se deparou com uma situação 
problema, seja ela mais simples ou mais complexa. Ou seja, em algum momento 
teve que tomar a decisão acerca da resolução de um problema. Você saberia 
descrever o que seria uma solução? Saberia descrever o primeiro passo para a 
resolução de um problema? Saberia caracterizar as várias faces de problemas 
que temos? Entende perfeitamente o grau de complexidade de um problema 
qualquer? 
Primeiramente, deve-se entender o conceito de decisão. Para tal, decisão é 
um termo do latim decisio, a decisão é uma determinação ou resolução que se 
toma acerca de uma determinada coisa. Geralmente, a decisão supõe iniciar ou 
pôr fim a uma situação; isto é, impõe uma mudança de estado. Os especialistas 
definem a decisão como sendo o resultado de um processo mental-cognitivo de 
uma pessoa ou de um grupo de indivíduos. Conhece-se como tomada de 
decisões ao processo que consiste em optar por uma entre várias alternativas. Na 
visão organizacional das empresas, a tomada de decisões costuma ter recurso a 
metodologias quantitativas (com estudos de mercado, ferramentas de raciocínio 
lógico, estatísticas, técnicas financeiras, entre outros) para reduzir a margem de 
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erro. Salientamos que existem várias definições e conceitos de decisão, mas uma 
que exprime bem a forma como será tratada aqui diz que uma decisão é um curso 
de ação escolhido pela pessoa, como o meio mais efetivo à sua disposição para 
alcançar os objetivos procurados, ou seja, para resolver o problema que a 
incomoda. 
Atualmente, o nosso universo de vivência é cada vez mais globalizado, ou 
seja, temos que as organizações, de acordo com a concorrência contínua, 
acirrada e até mesmo desleal, sejam elas no âmbito público ou privado, querem a 
contratação de profissionais que consigam raciocinar de maneira crítica em vista 
dos diferentes problemas que surgem no decorrer de suas vidas sociais e 
profissionais, tornando-se, dessa forma, mais dinâmicos e argumentativos com 
base em critérios e em princípios logicamente validados. Dessa forma, é muito 
importante o entendimento dos tipos de problemas, bem como, os passos lógicos 
para a resolução e/ou encaminhamento da solução dos mesmos. 
 
1.6 Problemas 
O que seria um problema? É evidente que temos algumas frases populares 
que fazem parte do nosso mundo atual. Quem nunca ouviu? 
Que falta de sorte! Justo agora fura o pneu do meu automóvel! 
Algum problema, meu filho! 
É, tenho que pensar e muito de como vou sair dessa situação agora. 
Grosso modo, um problema pode ser encarado como qualquer situação 
que exija o pensar do indivíduo para levar a sua solução. Uma exigência atual do 
mundo globalizado é por gestores e/ou administradores cada vez mais dinâmicos 
e completos, neste sentido, “o pensar produtivamente” é importante e, para isso, 
nada melhor do que estar familiarizado com situações problemas que os 
envolvam, os desafiem e os motivem a querer resolvê-las. Consequentemente, a 
resolução de problemas tem sido reconhecida como uma metodologia de 
raciocínio fundamental, logo, é necessário o desenvolvimento da habilidade de 
elaborar um raciocínio lógico e fazer o uso inteligente e eficaz dos recursos 
disponíveis, para que sejam propostas boas soluções aos problemas comuns do 
cotidiano. 
 
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1.7 Classificando os problemas 
Com relação aos tipos de problemas, de acordo com Dante (2000), 
podemos classificá-los em: exercícios de reconhecimento, exercícios de 
algoritmos, problemas padrão, problemas processo ou heurísticos e 
problemas de aplicação. Cabe ressaltar que todos eles demandam de raciocínio 
estruturado para resolução, bem como, de uma sequência de passos para a sua 
resolução. 
 
Figura 03: Classificação dos Problemas. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Vejamos a descrição e exemplos de cada um deles a seguir. 
 Exercícios de reconhecimento: seu objetivo é fazer com que o 
indivíduo reconheça, identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma 
definição, uma propriedade, entre outros. 
Por exemplo: 
1) Dados os números 12, 15, 100, 1003, 1560 e 2070, quais são 
primos? 
2) Qual é o sucessor de 1000? 
3) Duas centenas equivalem a quantas dezenas? 
 
 Exercícios de algoritmos: são aqueles que podem ser resolvidos 
passo a passo, tendo como objetivo o de treinar a habilidade em executar um 
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dado algoritmo. Lembrando que um algoritmo que é um termo muito utilizado na 
área computacional, é entendido como uma sequência lógica de passos. 
Por exemplo: 
1) Determinar o valor de [13 x 14) + 20] ÷ 5. 
2) Efetuar a soma: (1008 + 1140) – 2004 + 70 x (30– 4) + 10. 
3) Se 20 x 30 é igual a 600, dado n natural podemos afirmar que o 
produto n x (n + 1) sempre é um múltiplo de 2? 
 
 Problemas padrão: na sua resolução temos o envolvimento de uma 
aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e não exige 
qualquer estratégia. É interessante notarmos que aqui, a solução do problema já 
está contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem 
usual em uma linguagem matemática, identificando as operações ou algoritmos 
necessários para a sua resolução. Comumente cobrado em problemas diversos 
de concursos. Eles podem ser divididos em problemas padrão simples e 
compostos. 
Exemplificando: 
1) (Simples) Numa classe existem 45 meninos e 21 meninas. Quantos 
alunos existem na classe? 
2) (Simples) Uma telha pesa 1 quilograma então 1 telha e meia pesa 
quantos quilogramas?3) (Composto) Carlos, Rodrigo e Caetano possuem juntos 90 
ingressos. Sabendo que Carlos tem 32 ingressos e os outros dois possuem 
quantidades iguais, determine o número de ingressos de cada um. 
 
 Problemas Processo: são problemas em que a solução relaciona 
operações não contempladas no enunciado, sendo que, em geral, não podem ser 
traduzidos de forma direta para a linguagem matemática e nem solucionados pela 
aplicação automática de algoritmos. Também são comumente reconhecidos pela 
nomenclatura problemas heurísticos. 
Exemplificando: 
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1) Em uma reunião de uma organização existem 8 gestores. Se cada 
um trocar um aperto de mão com todos os outros gestores, quantos apertos de 
mão teremos ao final desta reunião? 
 
2) Eu, Carlos, tenho o dobro da idade que você tinha, quando eu tinha 
a idade que você tem, quando tiver a idade que eu tenho, a soma de nossas 
idades será 45 anos. Quais são nossas idades atuais? 
 
 Problemas de Aplicação: são problemas que apresentam situações 
diversas do dia a dia e que exigem o uso das ferramentas da Matemática para 
serem resolvidos. Comumente recebem a nomenclatura de situações problema. 
Aqui, podemos citar ferramentas matemáticas simples até as mais complexas. 
Exemplificando, para realizar um relatório, um gerente de uma empresa 
precisa saber qual é o gasto mensal, por colaborador, que ele tem com a 
alimentação. Como podemos ajudá-lo? Neste caso, poderíamos indagar: 
Quantos colaboradores da empresa almoçam na empresa diariamente? E 
mensalmente? Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, sal, entre 
outros, a empresa consome por mês? Qual o preço atual por quilo de cada 
um desses alimentos? Quanto se gasta de gás? 
 
1.8 Resolvendo um problema – passos fundamentais 
Para descrevermos a solução de um problema, podemos nos pautar em 
uma metodologia que leva em consideração quatro etapas principais, que são: 
compreender o problema, elaborar um plano, executar um plano e fazer o 
retrospecto ou verificação. Tal metodologia, segundo Dante (2000), ou mais 
precisamente, tais etapas não são rígidas, fixas e intocáveis, pois a resolução de 
um problema é um processo dinâmico, sequencial, subjetivo e rico, não se 
limitando a seguir instruções passo a passo, tudo depende do grau de 
complexidade do mesmo. Vejamos no Quadro 1, as principais características de 
cada uma dessas etapas. 
Quadro 01: Descrição das etapas de resolução de um problema. 
Etapa O que pode ser feito? 
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Compreensão do 
problema 
 
O que o problema quer? O que ele deseja? 
Quais são as hipóteses e as condições do 
problema? 
É possível fazer uma figura, um esquema ou um 
diagrama, ou ainda um fluxograma? 
É possível simular a resposta? 
 
 
Elaboração de um Plano 
 
Qual é o seu plano para a resolução do problema? 
Quais estratégias você tentará desenvolver? 
Você se lembra de um problema semelhante que 
pode ajudá-lo a resolver este? Já resolveu algo 
parecido? 
Tente organizar os dados na forma tabular e 
gráfica. 
Tente resolver o problema por partes. 
Execução do Plano 
Anterior 
 
Execute o plano elaborado, verificando-o passo a 
passo do mesmo. 
Faça todos os cálculos indicados no plano de 
ação. 
Execute todas as estratégias pensadas, obtendo 
várias maneiras de resolver o mesmo problema. 
 
Realização do 
retrospecto ou 
Verificação 
 
Observe se a solução obtida está correta. 
Existe um outro caminho para a resolução deste 
problema? 
É possível utilizar o método empregado para 
resolver problemas semelhantes? 
Fonte: Adaptado pelo autor de Dante (2000). 
Vejamos alguns exemplos que ilustram os vários tipos de problemas. 
Exemplo 01: Sabemos que 100 representa uma centena, enquanto que 20 
representa duas dezenas, sendo assim, quantas vezes 100 é maior do que 20, ou 
seja, uma centena é maior do que duas dezenas? 
19 
 
Solução: Primeiramente, devemos calcular a diferença entre 100 e 20, ou 
seja, 100 – 20 = 80, na sequência dividimos 80 por 4, obtendo 80 : 20 = 4, 
portanto 100 é 4 vezes maior que 20, ou na forma percentual, 100 é 400% maior 
que 20. 
 
Exemplo 02: Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um 
tijolo e meio? 
 
Solução: Neste caso, notemos que de acordo com os dados do problema, 
podemos escrever que: 
1tijolo = 1 kg + ½ tijolo 1tijolo – ½ tijolo = 1 kg ½ tijolo = 1kg se ½ tijolo pesa 
1 kg, logicamente 1 tijolo pesa 2 kg, e um tijolo e meio, ou seja, 1 ½ tijolo pesa 3 
kg. 
 
Exemplo 03: Um senhor na terceira idade tinha como única herdeira sua 
filha, que estava grávida, quando ele sentiu que a vida em breve lhe faltaria, 
decidiu então procurar um advogado e montar o seu testamento. Sendo assim, 
ele deixou, então, o seguinte testamento: “Deixo 1/3 da minha fortuna para 
minha única filha e o restante para a criança que ela está esperando, se for 
homem; deixo 1/2 de minha fortuna para minha única filha e o restante para 
a criança que ela está esperando, se for mulher.” 
De acordo com o testamento deixado pelo senhor, analise e julgue os itens 
a seguir em Verdadeiro (V) ou Falso (F). 
( V ) Se a criança for um menino a ele caberá o dobro do que sua mãe 
receberá como herança. 
( F ) Suponha que a filha do senhor deu à luz um casal de gêmeos. Dessa 
forma a herança deverá ser dividida em três partes iguais pelos herdeiros do 
senhor. 
( F ) Em qualquer caso a parte da mãe é menor do que a parte de seu(ua) 
filho(a). 
 
1.9 Relacionando a lógica com a filosofia 
20 
 
É sabido que a Lógica é uma ciência de índole Matemática e intensamente 
ligada à Filosofia, pois o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o 
conhecimento busca a verdade, sendo assim, é preciso estabelecer algumas 
regras para que essa meta possa ser atingida. 
Dessa forma, segundo Bispo (2011), a Lógica é o ramo da Filosofia que 
cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um 
instrumento do pensar. Salienta-se que a aprendizagem da Lógica não constitui 
um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso 
pensamento proceda corretamente, a fim de chegar a conhecimentos 
verdadeiros. 
Podemos, então, dizer que a Lógica trata dos argumentos, isto é, das 
conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a 
sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra 
chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e material. 
 
Definição (Sistema Lógico), de acordo com Bispo (2011), um sistema 
lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar 
formalmente o raciocínio válido. 
 
Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo 
quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na 
computação e em Inteligência artificial. Historicamente, Lógica é também a 
designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, 
sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando 
a razão, dedutivamente e indutivamente. 
A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado nas outras 
áreas, como na psicologia cognitiva. Como ciência, a Lógica define a estrutura de 
declaração e argumento e elabora fórmulas através das quais estes podem ser 
codificados. 
Implícita no estudo da lógica está a compreensão do que gera um bom 
argumento e de quais os argumentos que são falaciosos. A Lógica filosófica lida 
com descrições formais da linguagem natural. A maior parte dos filósofos assume 
que a maior parte do raciocínio "normal" pode ser capturada pela lógica, desde 
21 
 
que se seja capaz de encontrar o método certo para traduzir a linguagem corrente 
para essa lógica. Note então que a Lógica Formal delineia um método 
organizadoe cuidadoso de pensar que caracteriza qualquer investigação 
científica ou qualquer outra atividade de raciocínio. 
 
1.10 Lógica Proposicional – aspectos fundamentais 
De acordo com Martins (2013), a linguagem natural, com a qual nos 
expressamos diariamente, é muito suscetível a ambiguidades e imprecisões. 
Existem frases não gramaticais que possuem sentido (por exemplo, anúncios de 
classificados no jornal) e frases perfeitamente gramaticais sem sentido ou com 
sentido múltiplo. Isso faz com que a linguagem não seja apropriada para o estudo 
das relações lógicas entre suas sentenças. Sendo assim, no estudo da Lógica 
Matemática e Computacional, utilizamos de uma linguagem formal. 
 
Definição (Linguagens Formais), de acordo com Bispo (2011), 
Linguagens Formais são objetos matemáticos, cujas regras de formação são 
precisamente definidas e às quais podemos atribuir um único sentido, sem 
ambiguidade. 
É interessante se observar que linguagens formais podem ter diversos 
níveis de expressividade. Em termos gerais, quanto maior a expressividade, maior 
também a complexidade de se manipular essas linguagens. Iniciaremos nosso 
estudo da lógica a partir de uma linguagem proposicional, que tem uma 
expressividade limitada, mas já permite expressar uma série de relações lógicas 
interessantes. Nesse contexto, uma proposição é um enunciado ao qual 
podemos atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso). 
É necessário lembrar que nem toda sentença pode possuir um valor 
verdade. Por exemplo, não podemos atribuir valor verdade a sentenças que se 
referem ao seu próprio valor verdade, com a sentença “esta sentença é falsa”. 
Esse tipo de sentença é chamado de autorreferente e deve ser excluído da 
linguagem em questão, pois, se a sentença é verdadeira, então ela é falsa; por 
outro lado, se ela for falsa, então é verdadeira. 
A linguagem proposicional exclui sentenças autorreferentes. Dessa 
maneira, a Lógica Proposicional Clássica nos permite tratar de enunciados aos 
22 
 
quais podemos atribuir valor verdade (as proposições) e as operações que 
permite compor proposições complexas a partir de proposições mais simples, 
como a conjunção “e”, a disjunção “ou”, a implicação “se...então...” e a 
negação “não”. A linguagem proposicional não nos permite expressar relações 
sobre elementos de um conjunto, como as noções de “todos”, “algum” ou 
“nenhum”. Tais relações são chamadas de quantificadoras. 
 
1.11 Proposições e princípios fundamentais 
 Definição (Proposição), de acordo com Martins (2013), define-se 
proposição ou sentença como sendo todo o conjunto de palavras ou símbolos 
que exprimem um pensamento no sentido completo. 
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou 
exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Vejamos 
alguns exemplos de proposições como segue: 
a) A Lua é um satélite da Terra. 
b) Toda função é uma relação. 
c) Goiânia é a capital de Goiás. 
d) 

 > 
3
. 
e) O conjunto dos números primos é finito. 
f) O conjunto dos números racionais é enumerável. 
g) sen(90°) = 1. 
 
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os 
dois seguintes princípios ou axiomas. Ressaltamos que um Axioma é uma 
afirmação aceita como verdadeira sem demonstração. Tais princípios são: 
 
Princípio 01: (Princípio da Não Contradição) – uma proposição não 
pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
 
Princípio 02: (Princípio do Terceiro Excluído) – toda a proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca 
um terceiro. 
23 
 
 
Figura 04: Características obrigatórias de uma proposição. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Segundo Bispo (2011), por conta deste segundo princípio, fala-se que a 
Lógica Matemática é uma Lógica Bivalente. Por exemplo, as proposições 
citadas anteriormente são todas verdadeiras, contrariamente das proposições 
seguintes, que são falsas. 
(a) Luís Américo descobriu o Brasil. 
(b) Einstein escreveu os Lusíadas. 
(c) O conjunto dos números reais é finito. 
(d) 
5
3 é um número inteiro. 
(e) O número 

 é irracional. 
(f) A constante de Euler e é um número irracional. 
(g) Carlos é mortal. 
(h) Os números transmitem conclusões do mercado. 
(i) A sequência dos números primos é infinita. 
(j) O conjunto dos números irracionais é finito. 
(k) tg(
4

) = 1. 
 
24 
 
Sendo assim, percebemos que as proposições são expressões a respeito 
das quais podemos dizer que são verdadeiras ou falsas. 
 
 
Figura 05: Caracterização das proposições. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
1,12 Valores lógicos das proposições 
 Definição (Valor Lógico), de acordo com Martins (2013), define-se valor 
lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade 
se a proposição é falsa. 
Ressalta-se que os valores lógicos verdade e falsidade de uma 
proposição designam-se abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. 
Dessa maneira, o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído 
afirmam é que: 
 
Importante! Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V ou F. 
 
Consideremos, por exemplo, as seguintes proposições: 
 
a) A proposição “O mercúrio é mais pesado que a água” tem valor 
lógico verdade (V). 
25 
 
b) A proposição “O Sol gira em torno da Terra” tem valor lógico 
falsidade (F). 
c) A cidade de São Paulo é a capital do estado de São Paulo tem valor 
lógico verdade (V). 
d) O número 2 é o único número par primo tem valor lógico verdade 
(V). 
 
1.13 Proposições – simples e compostas 
De acordo com Martins (2013), pode-se classificar as proposições da 
seguinte forma: 
 Simples ou Atômicas 
e 
 Compostas ou Moleculares 
 
 
Figura 06: Classificação das proposições. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Definição (Proposição Simples), de acordo com Martins (2013), chama-
se de proposição simples ou proposição atômica aquela que não contém 
nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. 
26 
 
Além disso, segundo Martins (2013), as proposições simples são 
geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s,..., chamadas 
letras proposicionais. 
Vejamos alguns exemplos de proposições simples: 
p: Carlos é careca. 
q: Pedro é estudante. 
r: O número 25 é quadrado perfeito. 
s: Recife é a capital de Pernambuco. 
 
Definição (Proposição Composta), de acordo com Martins (2013), 
chama-se de proposição composta ou proposição molecular, aquela formada 
pela combinação de duas ou mais proposições. 
Segundo Martins (2013), as proposições compostas são geralmente 
designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S,..., também chamadas 
letras proposicionais. 
Vejamos alguns exemplos de proposições compostas: 
P: Carlos é careca e Pedro é estudante. 
Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. 
R: Se Carlos é careca então é infeliz. 
 
Note que cada uma delas é formada por duas proposições simples. 
As proposições compostas também costumam serem chamadas fórmulas 
proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar ou explicar que 
uma proposição composta P é formada pela combinação das proposições simples 
p, q, r, ..., escrevemos: 
P(p, , r, ...) 
As proposições simples e as proposições compostas também são 
chamadas respectivamente átomos e moléculas. Deve-se ressaltar ainda que as 
proposições componentes de uma proposição composta podem ser, elas 
mesmas, proposições compostas. 
 
1.14 Conectivos: o que são? 
27 
 
Definição: de acordo com Martins (2013), conectivos são as palavras que 
usamos para formar novas proposições a partir de outras. 
Dessa forma, por exemplo, nas seguintesproposições compostas: 
P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. 
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles. 
R: Não está chovendo. Salientamos que na literatura encontramos que o 
“não” é conhecido como modificador. 
S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática. 
T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo. 
 
Todos estes exemplos, são de conectivos usuais da Lógica Matemática 
(palavras grifadas em negrito), isto é, “e” , “ou” , “não” , “se ... então” , “... se e 
somente se ...”. 
 
Figura 07: Conectivos usuais da Lógica Matemática. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.15 Tabela Verdade: o que são? 
Vimos que segundo o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição 
simples p é verdadeira ou falsa, isto é, tem valor lógico V(verdade) ou o valor 
lógico F (falsidade), ou seja, podemos escrever de forma simples a seguinte 
disposição tabular. 
28 
 
P 
V 
F 
 
Figura 08: Valores lógicos possíveis relacionados a uma proposição p. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Em se tratando de uma proposição composta, a determinação do seu 
valor lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples 
componentes, faz-se com base no seguinte princípio: “O valor lógico de 
qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos 
das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente 
determinado.”. 
Admitindo tal princípio, para aplicá-lo na prática à determinação do valor 
lógico de uma proposição composta dada, recorremos quase sempre a um 
dispositivo denominado tabela verdade, na qual figuram todos os possíveis 
valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis 
atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. Em verdade, 
segundo Martins (2013), a tabela verdade é um instrumento utilizado para 
determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições 
de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes. 
Sendo assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas 
proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de 
valores lógicos a p e a q são: 
 
 p q 
1 V V 
2 V F 
3 F V 
4 F F 
 
Deve-se notar que os valores lógicos V e F se alternam dois em dois para 
a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, 
29 
 
além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois 
elementos V e F. 
Para uma proposição composta cujas proposições simples componentes 
são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são 
mostrados abaixo: 
 p q r 
1 V V V 
2 V V F 
3 V F V 
4 V F F 
5 F V V 
6 F V F 
7 F F V 
8 F F F 
 
 
Analogamente, observa-se que os valores lógicos V e F se alternam de 
quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda 
proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, 
VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF são os arranjos ternários com 
repetição dos dois elementos V e F. 
 
1.16 Notações dos valores lógicos na tabela verdade 
Segundo Martins (2013), o valor lógico de uma proposição simples p será 
indicado por V(P). Sendo assim, exprimimos que p é verdadeira (V), escrevendo 
V(p) = V. 
Analogamente, exprimimos que p é falsa (F), escrevendo V(p) = F. 
Vejamos o seguinte exemplo ilustrativo, levando em conta as seguintes 
afirmações: 
p: O Sol é verde. 
q: Um hexágono tem 9 diagonais. 
r: 2 é raiz da equação x 2 + 3.x – 4 = 0. 
30 
 
Logo, temos que: 
V(p) = F, V(q) = V, V(r) = F 
 
Analogamente, o valor lógico de uma proposição composta P é indicado 
por V(P). 
Resumindo, podemos interpretar uma tabela verdade, ou tabela de 
verdade ou tabela veritativa como um tipo de tabela matemática usada em 
Lógica Matemática e Computacional para determinarmos se uma fórmula é válida 
ou se um sequente é correto. As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob 
Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a forma atual em 
1922, através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A seguir, são 
apresentadas algumas figuras de processos diversos associados às tabelas 
verdade relacionadas. 
 
 
 
Figura 09: Representação de uma tabela-verdade. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
31 
 
 
 
Figura 10: Representação de uma tabela-verdade. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
Figura 11: (a) Tabela-verdade e (b) Circuito para somador completo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.17 Linguagem simbólica e linguagem corrente 
Segundo Martins (2013), quando uma proposição é descrita em termos de 
palavras, dizemos que a mesma está em linguagem corrente, enquanto que se 
uma proposição for caracterizada em termos dos símbolos lógicos, dizemos que 
ela está em linguagem simbólica. 
 
Exemplo: Traduzindo para a linguagem corrente. Sendo as proposições p: 
Jorge é rico, q: Carlos é feliz, então podemos escrever: 
a) q

p 
Se Carlos é feliz, então Jorge é rico. 
b) q

~p 
Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico. 
c) ~p

q 
Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz. 
33 
 
Exemplo: Traduzindo para a linguagem simbólica. Sendo as proposições 
p: Marcos é alto, q: Marcos é elegante, então podemos escrever: 
 
a) Marcos é alto e elegante. 
p

 q 
b) Marcos é alto, mas não é elegante. 
p

 ~ q 
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante. 
~ (~ p

q) 
 
1.18 Operações lógicas sobre proposições 
Da mesma forma com que trabalhamos com a soma e adição entre 
números, multiplicação e divisão de números, em várias situações com relação às 
proposições, efetuamos muitas vezes certas operações, as quais são chamadas 
de operações lógicas. Essas operações obedecem a regras de um cálculo, 
denominado cálculo proposicional, muito semelhante ao que acontece no 
contexto da aritmética sobre números. Aqui, estudaremos interessados em 
estudar as operações lógicas fundamentais, que são: negação, conjunção, 
disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. 
 
Figura 12: Principais operações lógicas fundamentais. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
34 
 
Definição (Negação), segundo Martins (2013), chama-se negação de 
uma proposição p à proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a 
verdade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira. 
Dessa maneira, “não p” tem o valor lógico oposto daquele de p. Em 
símbolos, a negação de p é indicada com a notação “~ p”, onde lemos: “não p”. O 
valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte 
tabela-verdade construída de forma muito simples: 
 
p ~ p 
V F 
F V 
 
 
Ou seja, pelas igualdades: 
 
~V = F, ~F = V 
e 
V(~ p) = ~ V(p) 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
a) p: 3 + 3 = 6 (V) e ~ p: 8 + 3 

5 (F) 
 
b) q: 1 < 3 (F) e ~ q: 9 > 3 (V) 
 
c) r: Roma é a capital da França (F) e ~ q: Roma não é a capital da 
França (V) 
 
Na linguagem comum, a negação efetua-se, nos casos mais simples, 
antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, por exemplo, a 
negação da proposição: 
p: O Sol é uma estrela é ~ p: O Sol não é uma estrela 
35 
 
Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição 
dada expressões, tais como “não é verdade que”, “é falso que”. Desta forma, porexemplo, a negação da proposição: 
q: Carlos é engenheiro é ~ q: Não é verdade que Carlos é 
engenheiro 
Ou 
~ q: É falso que Carlos é engenheiro 
 
Devemos notar ainda, que a negação de “Todos os homens são 
elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem 
é elegante” é “Algum homem é elegante”. 
 
Definição (Conjunção), de acordo com Martins (2013), chama-se 
conjunção de duas proposições p e q à proposição representada por “p e q”, 
cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas 
verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. 
Em símbolos, a conjunção de duas proposições p e q é indicada pela 
notação: “p

q”, onde lemos: “p e q”. 
O valor lógico da conjunção de duas proposições é, portanto, definido pela 
seguinte tabela-verdade: 
 
p q p 

 q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Ou seja, pelas igualdades: 
V

 V = V, V

 F = F, F

 V = F, F

 F = F 
e 
V(p

q) = V(p)

V(q) 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
36 
 
 
a) 



 )(52:
)(:
Vq
VbrancaéneveAp 
 
 p

q: A neve é branca e 2 < 5 (V) 
 V(p

q) = V(p)

V(q) = V

V = V 
 
b) 



)(7:
)(:
Vprimonúmerouméq
FverdeéenxofreOp 
 
 p

q: O enxofre é verde e 7 é um número primo (F) 
 V(p

q) = V(p)

V(q) = F

V = F 
 
c) 



)(:
)(:
FmédicoeraFERMATq
VRússiananasceuCANTORp 
 
 p

q: CANTOR nasceu na Rússia e FERMAT era médico (F) 
 V(p

q) = V(p)

V(q) = V

 
F = F 
 
d) 






)(0
2
:
)(4:
Fsenq
Fp


 
 
 p

q: 
4
 e 
0
2


sen
 (F) 
 V(p

q) = V(p)

V(q) = F

F = F 
 
Definição (Disjunção), de acordo com Martins (2013), chama-se 
disjunção de duas proposições p e q à proposição representada por “p ou q”, 
cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é 
verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. 
Em símbolos, a disjunção de duas proposições p e q é indicada pela 
notação: “p

q”, que se lê: “p ou q”. 
37 
 
O valor lógico da disjunção de duas proposições é, portanto, definido pela 
seguinte tabela-verdade: 
 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Ou seja, pelas igualdades: 
V

V = V, V F = V, F

 V = V, F

 F = F 
e 
V(p

q) = V(p)

V(q) 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
a) 



 )(549:
)(:
Vq
VFrançadacapitalaéParisp 
 
 p

q: Paris é a capital da França ou 9 – 4 = 5 (V) 
 V(p

q) = V(p) 

 V(q) = V

V = V 
 
b) 



 )(3:
)(:
Fq
VLusíadasosescreveuCAMÔESp

 
 
 p

q: CAMÔES escreveu os Lusíadas ou 

 = 3 (V) 
 V(p

q) = V(p) 

 V(q) = V

F = V 
 
c) 



)(7/5:
)(:
Vprópriafraçãoumaéq
FRússiadacapitalaéRomap 
 
38 
 
 p

q: Roma é a capital da Rússia e 5/7 é uma fração própria (V) 
 V(p

q) = V(p) 

 V(q) = F

V = V 
 
d) 



 )(11:
)(:
Fq
FBahiananasceuGOMESCARLOSp 
 
 p

q: CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou 
11 
 (F) 
 V(p

q) = V(p) 

 V(q) = F

F = F 
 
 
Definição (Disjunção Exclusiva), conforme Martins (2013), chama-se 
disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada 
simbolicamente por “p

q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q, mas não ambos”, 
cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é 
verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) 
quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Na linguagem comum, a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, por 
exemplo, consideremos as duas seguintes proposições compostas: 
P: Carlos é médico ou professor. 
Q: Mário é alagoano ou gaúcho. 
Na proposição P se está a indicar que uma pelo menos das proposições 
“Carlos é médico”, “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas 
verdadeiras: “Carlos é médico e professor”. Porém, na proposição Q, se está a 
precisar que uma e somente uma das proposições “Mário é alagoano”, “Mário é 
gaúcho” é verdadeira, pois, não é possível ocorrer “Mário é alagoano e 
gaúcho”. Dessa forma, a proposição P é a disjunção inclusiva ou apenas 
disjunção das proposições simples “Carlos é médico”, “Carlos é professor”, 
isto é: 
P: Carlos é médico 

 Carlos é professor 
Ao passo que a proposição Q é a disjunção exclusiva das proposições 
simples “Mário é alagoano”, “Mário é gaúcho’’, isto é: 
Q: Mário é alagoano 

 Mário é gaúcho 
39 
 
Sendo assim, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é 
definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p

 q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Ou seja, pelas igualdades: 
V

V = F, V

F = V, F

V = V, F

F = V 
e 
V(p

q) = V(p)
 

V(q) 
 
Definição (Condicional), conforme Martins (2013), chama-se proposição 
condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “se p 
então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é 
falsa e a verdade (V) nos demais casos. 
Em símbolos, a condicional de duas proposições p e q é indicada pela 
notação: “p

q”, que também de uma de duas maneiras: 
(i) p é condição suficiente para q. 
(ii) q é condição necessária para p. 
Além disso, na condicional “p

q”, dizemos que p é o antecedente e q é o 
consequente. O símbolo “

” é denominado símbolo de implicação. 
O valor lógico da condicional de duas proposições é, portanto, definido pela 
seguinte tabela-verdade: 
p q p 

 q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
40 
 
Ou seja, pelas igualdades: 
V

V = V, V F = F, F V = V, F F = V 
e 
V(p

q) = V(p) 

 V(q) 
 
Importante! Portanto, vemos que uma condicional é verdadeira todas as 
vezes que o seu antecedente é uma proposição falsa. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 a) 



)(:
)(:
Vrealnúmerouméq
VdueloemmorreuGALOISp

 
 
 p

q: Se GALOIS morreu em duelo, então 

 é um número real 
(V) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = V

V = V 
 
b) 



)(:
)(31:
FplanaéTerraAq
VdiastemmaiodemêsOp 
 
 p

q: Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana (F) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = V

F = V 
 
c) 



)(:
)(:
VConjuntosdosTeoriaacriouCANTORq
FLusíadasosescreveuDANTEp 
 
 p

q: Se DANTE escreveu os Lusíadas, então CANTOR criou a 
Teoria dos Conjuntos (V) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = F

V = V 
 
d) 



)(9:
)(:
FmesestemanoOq
FCearánonasceuDUMONTSANTOSp 
 
41 
 
 p

q: Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará, então o ano tem 9 
meses (V) 
 V(p

q) = V(p)

V(q) = F

F = V 
 
Importante! Uma condicional p

q não afirma que o consequente q se 
deduz ou é consequência do antecedente p. Assim, por exemplo, as 
condicionais: 7 é um número ímpar

Brasília é uma cidade; 3 + 5 = 9 

SANTOS DUMONT nasceu no Ceará; não estão a afirmar, de modo 
nenhum, que o fato de “Brasília ser uma cidade” se deduz do fato de “7 ser 
um número ímpar” ou que a proposição “SANTOS DUMONT nasceu no 
Ceará” é consequência da proposição “3 + 5 = 9”. O que uma condicional 
afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e 
doconsequente de acordo com a tabela-verdade anterior. 
 
Definição (Bicondicional), conforme Martins (2013), chama-se 
proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição 
representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) 
quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos 
demais casos. 
Em símbolos, a bicondicional de duas proposições p e q é indicada pela 
notação: “p

q”, que também de uma de duas maneiras: 
(i) p é condição necessária e suficiente para q. 
(ii) q é condição necessária e suficiente para p. 
O valor lógico da bicondicional de duas proposições é, portanto, definido 
pela seguinte tabela-verdade: 
p q p 

 q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Ou seja, pelas igualdades: 
42 
 
V

V = V, V F = F, F V = F, F F = V 
e 
V(p

q) = V(p)

V(q) 
 
Importante! Portanto, vemos que uma bicondicional é verdadeira somente 
quando também o são as duas condicionais: p

q e q

p. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 a) 



)(:
)(:
VbrancaéneveAq
VEuropanaficaRomap 
 
 p

q: Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca (V) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = V

V = V 
 
b) 




 )(3
4
:
)(:
Ftgq
VPortugaldecapitalaéLisboap

 
 
 p

q: Lisboa é a capital de Portugal se e somente se 
3
4


tg
 (F) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = V

F = F 
c) 



)(:
)(:
VenforcadofoiTIRADENTESq
FBrasilodescobriuGAMADAVASCOp 
 
 p

q: VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e somente se 
TIRADENTES enforcado (F) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = F

V = F 
 
 
d) 



)(2:
)(:
Fracionalnúmerouméq
FplanaéTerraAp 
 
43 
 
 p

q: A Terra é plana se e somente se 
2
 é um número racional 
(V) 
 V(p

q) = V(p) 

V(q) = F

F = V 
 
1.19 Caracterizando a tabela verdade de uma proposição composta 
Se considerarmos uma série de proposições simples p, q, r, s,..., podemos 
combiná-las com a utilização dos conectivos lógicos: ~, 
 ,,,
. Além disso, 
vimos que podemos construir proposições compostas, como por exemplo: 
P(p, q) = ~ p

(p

q) 
Q(p, q) = (p

~q)

q 
R(p, q, r) = (p

~q

r) 

~(q

(p

~ r)) 
Dessa maneira, se utilizarmos as tabelas-verdade das operações lógicas 
fundamentais: 
~ p, p

q, p

q, p

q, p

q 
 
É possível construirmos uma tabela-verdade correspondente a qualquer 
proposição composta dada, tabela-verdade esta que mostrará exatamente os 
casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), 
admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores 
lógicos das proposições simples componentes. Salientamos que 
primeiramente, para a construção de uma tabela-verdade para uma dada 
composição composta, vamos discutir com relação ao número de linhas desta 
nova tabela. Sabemos que o número de linhas da tabela-verdade de uma 
proposição composta depende do número de proposições simples que a 
integram, sendo dado pelo seguinte Teorema 01 abaixo. 
 
Teorema 01 (Número de Linhas da Tabela-verdade de uma Proposição 
Composta), segundo Martins (2013), a tabela-verdade de uma proposição 
composta com n proposições simples componentes contém 2 n linhas. 
Para a construção prática da tabela-verdade de uma proposição 
composta, iniciamos por contar o número de proposições simples que a 
integram. Se há n proposições simples componentes: p
1
, p
2
, p
3
,..., p
n
, então a 
44 
 
tabela-verdade contém 2 n linhas. Para isto, à 1 a proposição simples p
1
 atribuem-
se 
2
2n = 2 1n valores V seguidos de 2 1n valores F; à 2 a proposição simples p
2
 
atribuem-se 
4
2n = 2 2n valores V, seguidos de 2 2n valores F, seguidos de 2 2n 
valores V, seguidos, finalmente, de 2 2n valores F; e assim por diante. 
Genericamente, a k-ésima proposição simples p
k
 (k

n) atribui-se alternadamente 
k
n
2
2 = 2 kn valores V seguidos de igual número de valores F. No caso, por 
exemplo, de uma proposição composta com cinco (5) proposições simples 
componentes, a tabela-verdade contém 2 5 linhas, e os grupos de valores V e F se 
alternam de 16 em 16 para a 1 a proposição simples p
1
, de 8 em 8 para a 2 a 
proposição simples p
2
, de 4 em 4 para a 3 a proposição simples p
3
, de 2 em 2 
para a 4 a proposição simples p
4
, e, enfim de 1 em 1 para a 5 a proposição 
simples p
5
. Vejamos um exemplo ilustrativo. 
Exemplo: Vamos construir a tabela-verdade da proposição composta: 
P(p, q) = ~ (p

~ q) 
 
Solução: Apresentaremos a construção da tabela-verdade solicitada no 
exemplo, de três modos diferentes. 
1° Modo de Resolução: Formamos em primeiro lugar, o par de colunas 
correspondentes às duas proposições simples componentes p e q. A seguir, 
formamos a coluna para ~q. Depois, formamos a coluna para (p

~q). E, por fim, 
formamos a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta dada. 
p q ~q p

~q ~ (p

~ q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
45 
 
2° Modo de Resolução: formamos em primeiro lugar as colunas 
correspondentes às duas proposições simples p e q. Em seguida, à direita, 
traçamos uma coluna para cada uma dessas proposições e para cada um dos 
conectivos que figuram na proposição composta dada. 
 
p q ~ (p 

 
~ q) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Depois, numa certa ordem, completamos essas colunas, escrevendo em 
cada uma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado: 
 
p q ~ (p 

 
~ q) 
V V V V F F F 
V F F V V V F 
F V V F F F V 
F F V F F V F 
 4 1 3 2 1 
 
Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se na coluna 
completada em último lugar (Coluna 4). Portanto, os valores lógicos da 
proposição composta dada correspondem a todas as possíveis atribuições dos 
valores lógicos V e F às proposições simples componentes p e q (VV, VF, FV e 
FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente: 
 
P(VV) = V, P(VF) = F, P(FV) = V, P(FF) = V 
 
Ou seja, de forma simplificada: 
P(VV, VF, FV, FF) = VFVV 
46 
 
Note que a proposição P(p, q) associa a cada um dos elementos do 
conjunto U = {VV, VF, FV, FF} um único elemento do conjunto {V, F}, isto é, P(p, 
q) outra coisa não é que uma função de U em {V, F}: 
P(p, q): U

{V, F} 
 
1.20 Tautologias, contradições e contingências 
Poderíamos iniciar a abordagem do nosso texto, indagando: “O que seria a 
Lógica?” ou “O que seria o Raciocínio? 
Definição (Tautologia), chamamos de tautologia ou proposição 
logicamente verdadeira, a toda proposição composta cujo valor lógico será 
sempre V (Verdade) independentemente dos valores lógicos das proposições 
simples que a compõem. 
Definição (Contradição), chamamos de contradição ou proposição 
logicamente falsa, a toda proposição composta cujo valor lógico será sempre F 
(Falsidade), independentemente dos valores lógicos das proposições simples que 
a compõem. 
Definição (Contingência), chamamos de contingência a uma proposição 
composta em que possui tanto valores lógicos V como F é dita uma contingencia, 
ou seja, uma contingência nada mais é do que uma proposição em que na última 
coluna comparece tanto V quanto F. 
 
1.21 Implicação e equivalência lógica 
Segundo Martins (2013), dizemos que uma proposição P implica 
logicamente ou apenas implica uma proposição Q, se Q é verdadeira (V) todas 
as vezes que P é verdadeira (V). Observeclaramente, que dizermos que uma 
proposição P implica logicamente Q significa que todas as vezes que nas 
respectivas tabelas verdade dessas duas proposições não aparece V na última 
coluna de P e F na última coluna de Q, com V e F em linha comum, isto é, não 
ocorre de modo simultâneo valores lógicos V e F para P e Q. 
 
Exemplo: Consideremos a tabela verdade a seguir que nos mostra as 
proposições p, p

q, e p

q . 
 
47 
 
p q p

q p

q 
 p

q 
 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
 
De acordo com a mesma, percebemos que a proposição “p

q” é 
verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições “p

q” e “p

q” 
também são verdadeiras (V). Dessa forma, a partir da definição formal descrita 
anteriormente da implicação, notamos que a proposição “p

q” implica p

q, bem 
como, “p

q” implica p

q, donde escrevemos em símbolos p

q 

 p

q e p

q 

p

q. 
De outra forma, segundo Martins (2013), fala-se que uma proposição P é 
logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q, se as 
tabelas verdade destas duas proposições são idênticas, ou seja, quando 
apresentam os mesmos valores lógicos respectivamente. 
 
Exemplo: Consideremos a tabela verdade a seguir que nos mostra as 
proposições “p” e “~ ~ p”. 
 
 
 
p ~ p ~ ~ p 
V F V 
F V F 
 
 
Ou seja, este exemplo, nos mostra que a dupla negação equivale à 
afirmação. Dessa forma, a partir da definição formal descrita anteriormente da 
equivalência, notamos que as proposições p e (~ ~ p) são logicamente 
equivalentes ou equivalentes, donde escrevemos em símbolos “p”

“~ ~ p”. 
48 
 
UNIDADE 2 – FERRAMENTAS MATEMÁTICAS 
APLICADAS AO RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
2.1 Aspectos Introdutórios 
Agora estaremos interessados em apresentar algumas ferramentas da 
Matemática, da Matemática Aplicada para a resolução de problemas envolvendo 
o raciocínio lógico. Em verdade, temos diversas ferramentas desde as mais 
simples até as mais complicadas no intuito da resolução de problemas diversos. 
 
2.2 Grandezas Proporcionais 
Se uma propriedade X de uma substância está relacionada à outra 
propriedade Y e se uma depende da outra, dizemos que X é proporcional a Y. O 
símbolo α (alfa) indica a proporcionalidade. Ou seja, em geral dizemos que: duas 
grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) 
uma delas numa determinada razão, a outra aumenta (ou diminui) nessa mesma 
razão. 
Notação: X α Y (X é diretamente proporcional a Y) 
A densidade, por exemplo, é a constante que relaciona a proporcionalidade 
direta entre a massa e o volume de qualquer substância. Por definição, sabemos 
que a densidade é igual à massa dividida pelo volume. Dessa forma: 
d = 
V
m
 
m α V 
(Massa é diretamente proporcional ao volume) 
m = dV 
(Massa é igual à densidade multiplicada pelo volume) 
 
Contrariamente, temos também a proporcionalidade inversa ou indireta, 
acontecendo quando qualquer aumento de X, acarreta em uma diminuição 
proporcional em Y e vice-versa. Em geral, temos que: duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando, diminuindo (ou aumentando) uma delas 
numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) nessa mesma razão. 
Neste caso, a relação de pressão com o volume é uma relação inversamente 
49 
 
proporcional, pois para uma mesma massa e mantida a mesma temperatura, um 
aumento de pressão irá acarretar em uma diminuição do volume e vice-versa. 
P α 
V
1 
(Pressão é inversamente proporcional ao volume) 
 
Os problemas de proporcionalidade são resolvidos por Regra de Três, que 
se trata de uma maneira bastante prática e simples que discutiremos a seguir. 
 
Figura 13: Tipos de Regra de Três. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
2.3 Regra de três simples 
Ao analisarmos grandezas proporcionais, procuramos apenas 
reconhecer a natureza da dependência entre elas. Aqui, vamos ampliar nossa 
análise incluindo valores numéricos envolvidos nessa dependência e 
determinando os que são desconhecidos. 
Para tal, vejamos a seguinte situação introdutória. 
Situação Problema: Suponha que seja de seu interesse determinar a 
distância que um automóvel percorrerá em 8 horas, sabendo que, se a mesma 
velocidade for mantida durante 6 horas o carro percorrerá 900 km. 
Primeiramente, para a resolução desta situação, duas questões são 
colocadas: a primeira é quanto à natureza da proporção entre as grandezas 
envolvidas, e a segunda refere-se à montagem da proporção. Ao conjunto de 
respostas dessas duas questões e à determinação do valor desconhecido 
denominamos de Regra de Três. 
Solução: Neste caso, montamos a regra de três da seguinte forma, 
dispondo as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que 
50 
 
possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Desta maneira, 
podemos escrever: 
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Tempo Percorrido) 
6 
 
8 
 
900 
x 
 
Observemos que colocamos na mesma linha valores que se 
correspondem: 6 horas e 900 km, 8 horas e o valor desconhecido. Além disso, 
utilizamos as setas para indicar a natureza da proporção entre as grandezas. 
Caso elas estejam no mesmo sentido, as grandezas são diretamente 
proporcionais. Caso estejam em sentidos contrários, são inversamente 
proporcionais. Nesta situação introdutória, para estabelecer se as setas têm o 
mesmo sentido, é necessário respondermos à indagação: Considerando a mesma 
velocidade, se aumentarmos o tempo, aumentará a distância percorrida? Como a 
resposta a essa questão é afirmativa, descobrimos que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Sendo assim, podemos escrever: 
8
6 = 
x
900 
Ou seja: 
6.x = 8.900 
 
x = 
6
7200 
 
x = 1200 
 
Portanto, concluímos que o automóvel percorrerá 1200 km em 8 horas. 
 
Notemos que claramente neste exemplo, temos uma Regra de Três do 
tipo Simples Direta. 
51 
 
Vejamos outra situação que ilustraremos um exemplo envolvendo uma 
Regra de Três do tipo Simples Inversa. 
 
Situação Problema: Suponha que um automóvel, com velocidade média 
de 90 km/h, percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual seria o tempo 
necessário para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade média de 60 
km/h? 
 
Solução: Neste caso, podemos montar a seguinte disposição: 
 
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Velocidade) 
8 
 
x 
 
90 
 
60 
 
Agora devemos responder a seguinte indagação: Mantendo o mesmo 
espaço percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará? A 
resposta é portanto Negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são 
inversamente proporcionais. Como a proporção é inversa, será necessário 
invertermos a ordem dos termos de uma das colunas, tomando a proporção 
direta. Sendo assim, modificamos a disposição acima, reescrevendo agora da 
seguinte forma: 
 
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Velocidade) 
8 
 
x 
 
60 
 
90 
 
Logo, podemos escrever a proporção: 
x
8 = 
90
60 
52 
 
Ou seja: 
60.x = 8.90 
x = 
60
90.8 
x = 12 
 
Vejamos mais alguns exemplos resolvidos envolvendo, Regra de Três 
Simples Direta e Regra de Três Simples Inversa. 
 
Situação Problema: Numa determinada indústria farmacêutica, 16 
funcionários com igual capacidade de trabalho realizam uma tarefa durante 45 
dias. Com apenas 10 funcionários, em quantos dias será realizada a mesma 
tarefa? 
Solução: Neste caso, podemos montar a seguinte disposição: 
Grandeza 1 (Número de 
Funcionários) 
Grandeza 2 (Dias de 
Trabalho) 
 
16 
 
10 
 
 
45 
 
x 
 
Notemos que colocamos as setas com sentidos contrários,já que se 
aumentarmos o número de funcionários, diminuirá o tempo necessário para 
efetuar a mesma tarefa. Então, temos uma proporção inversa, o que torna 
necessária uma inversão de termos em qualquer uma das colunas. Sendo assim, 
escrevemos: 
 
16 x 
 
 10 5 
Daí, segue que: 
53 
 
10
16 = 
45
x
 
 
Ou seja: 
x = 72 
Em outras palavras, a mesma tarefa será executada em 72 dias. 
 
Situação Problema: Comprei 15 kg de feijão por R$ 360,00. Quantos 
quilos poderia comprar, se tivesse R$ 1.200,00? 
 
Solução: Neste caso, podemos montar a seguinte disposição: 
 
Grandeza 1 (Quantidade de feijão) Grandeza 2 (Preço) 
 
15 
 
x 
 
 
360 
 
1200 
 
A proporção entre as grandezas é direta, porque, se aumentarmos a 
quantidade de feijão que vamos comprar, aumentaremos o gasto. Dessa maneira, 
a proporção necessária será : 
x
15 = 
1200
360 
 
Ou seja: 
x = 50 
 
Em outras palavras, poderia comprar 50 kg de feijão. 
 
Importante! Regra de Três Simples é um processo prático utilizado para 
resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou 
54 
 
inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em 
que se conhecem três termos e o quarto termo é procurado. 
 
2.4 Regra de três Composta 
Como resolver problemas semelhantes aos anteriores, mas apresentando 
mais de duas grandezas? Ou seja, vamos agora utilizar a Regra de Três para 
resolver algumas situações em que nos deparamos com mais de duas grandezas, 
ou seja, estão envolvidas mais de duas grandezas proporcionais. Como exemplo 
introdutório, analisemos a seguinte situação. 
 
Situação Problema: Numa empresa alimentícea, 10 máquinas trabalhando 
20 dias produzem 2000 unidades de determinado produto. Quantas máquinas 
serão necessárias para produzir 1680 unidades deste produto em 6 dias? 
 
Solução: Como nos exemplos anteriores, devemos verificar a natureza da 
proporção entre as grandezas e escrever essa proporção. Vamos utilizar o 
mesmo modo para dispor as grandezas e os valores envolvidos. 
 
Grandeza 1 (Número 
de Máquinas) 
Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Unidades 
do produto) 
 
10 
 
x 
 
20 
 
6 
 
 
2000 
 
1680 
 
Para estabelecermos o sentido das setas, é necessário que fixemos uma 
das grandezas e relacioná-la com as outras. Suponhamos então que o número de 
dias seja fixo e, consideremos a seguinte indagação: Aumentando o número de 
máquinas, aumentará o número de unidades produzidas do produto? A resposta a 
essa questão é Afirmativa. Dessa forma, as grandezas 1 e 3 são diretamente 
proporcionais. 
55 
 
Agora, suponhamos fixo o número de unidades produzidas do produto, 
respondemos a seguinte questão: Aumentando o número de máquinas, 
aumentará o número de dias necessários para o trabalho? Neste caso, 
percebemos que a resposta é Negativa. Logo, as grandezas 1 e 2 são 
inversamente proporcionais. 
Para escrevermos corretamente a proporção, devemos fazer com que 
todas estejam no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas 
convenientes. Naturalmente, neste exemplo, fica mais fácil inverter a coluna da 
grandeza 2, daí podemos dispor da seguinte forma: 
 
Grandeza 1 (Número 
de Máquinas) 
Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Unidades 
do produto) 
 
10 
 
x 
 
6 
 
20 
 
 
2000 
 
1680 
 
Vamos utilizar agora (lembrarmos) que uma grandeza proporcional a duas 
outras é também proporcional ao produto delas. Assim, vamos escrever a 
proporção: 
x
10 = 
1680
2000
.
20
6 
Ou seja, 
x = 28 
Portanto, concluímos que serão necessárias 28 máquinas para produzir 
1680 unidades do produto. 
Vejamos mais alguns exemplos resolvidos envolvendo a interpretação de 
Regra de Três Composta. 
 
Situação Problema: Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com 
uma vazão de 1 L por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas 
torneiras, com vazão de 2 L por minuto, encham o mesmo tanque? 
56 
 
 
Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição: 
 
Grandeza 1 
(Torneiras) 
Grandeza 2 (Horas) Grandeza 3 (Vazão) 
 
1 
 
2 
 
20 
 
x 
 
 
1 
 
2 
 
Comparando as grandezas número de torneiras e vazão com a grandeza 
número de horas, que mantém a incógnita x, percebemos que: 
i) Mantendo fixo o número de torneiras e aumentando a vazão, o tempo de 
encher o tanque deverá ser menor. Desse modo, diminuirá o número de horas. 
Essas grandezas são, portanto, inversamente proporcionais. Logo, as setas 
devem ser colocadas em sentidos contrários. 
ii) Mantendo fixa a vazão e aumentando o número de torneiras, o tempo 
para encher o tanque deverá ser menor. Desse modo, diminuirá o número de 
horas. Essas grandezas são, portanto, inversamente proporcionais. Logo, as 
setas devem ser colocadas em sentidos contrários. 
 
Dessa forma, já considerando a inversão das colunas, a proporção deve 
ser: 
 
x
20 = 
1
2
.
1
2 
Ou seja, 
x = 5 
 
Portanto, concluímos que serão necessárias 5 horas para encher o tanque. 
 
2.5 Teoria dos conjuntos e aplicações 
57 
 
A partir da segunda metade do século passado, os pesquisadores 
passaram a se preocupar, cada vez mais, com modelos teóricos capazes de 
abranger também os aspectos qualitativos, além dos aspectos quantitativos, de 
cada um dos infinitos fenômenos que compõem o nosso mundo real. 
Procurou-se, portanto, uma linguagem universal que permitisse descrever, 
de maneira precisa e concisa, todos estes modelos, desde os existentes até 
aqueles que porventura viessem a ser criados, sendo assim, nasce e é 
estruturada a teoria dos conjuntos, que também constitui uma poderosa 
ferramenta para a resolução de problemas de raciocínio lógico. Especificamente 
falando, o diagrama de Venn é uma ferramenta prática para a resolução de 
problemas. 
 
2.6 Conceitos fundamentais da teoria de conjuntos 
O pontapé inicial da teoria dos conjuntos consiste nos conceitos primitivos 
de conjunto, elemento de um conjunto e igualdade de conjuntos. Dessa maneira, 
para indicarmos que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x

A (leia-se 
x pertence a A). Contrariamente, se escrevermos x

A, significa que x não é 
elemento do conjunto A. Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui 
uma base para a construção de estruturas mais complexas, logo, além de 
representarmos um conjunto por uma letra, na maioria das vezes maiúscula, 
podemos usar mais três representações distintas, que são: 
a) Enumerando os seus elementos: 
{a, e, i, o, u} conjunto das vogais, 
{0, 1, 2, 3, 4,..., 2009,...} conjunto dos números naturais (IN) 
b) Descrevendo os elementos do conjunto por uma propriedade exclusiva 
dos mesmos: IN = {x / x é um número natural}; V = {x/ x é uma vogal}. 
c) Representação Gráfica pelo Diagrama de Venn, que constitui uma 
excelente ferramenta para visualizarmos as relações entre elementos e conjuntos, 
bem como entre os conjuntos, como mostrado na Figura 14 a seguir. 
 
58 
 
Figura 14: Exemplos de Diagramas de Venn. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Dessa maneira, de acordo com Dante (2000), dizemos que dois conjuntos 
A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos, isto é, todo elemento 
de A é também elemento de B e, todo elemento de B é elemento de A. Tal fato é 
denotado por A = B. Por exemplo, os conjuntos A = {3, 4, 7} e B = {4, 7, 3} são 
iguais. Além disso, dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de 
A se, e somente se, todo elemento de B é elemento de A. Esta relação é dita 
relação de inclusão, sendo denotada por B

A (lemos B está contido em A). Por 
outro lado, se existir pelo menos