1ª lista de exercícios de GA-nova

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aula 1: Coordenadas cartesianas no plano e distaˆncia entre dois pontos
• Coordenadas cartesianas na reta (reta orientada): tome uma reta (r), selecione um ponto O arbitra´rio nessa reta
(origem), um sentido positivo e uma unidade de medida u;
• Existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre pontos da reta e nu´meros reais;
• Coordenadas cartesianas no plano (plano cartesiano): Tome um plano (pi) e considere duas retas orientadas que
se interceptam perpendicularmente (origem de ambas). Existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre pontos do
plano e pares ordenados de nu´meros reais;
• No plano cartesiano, temos:
1. Dois eixos coordenados denominados eixo das abscissas e eixo das ordenadas;
2. O plano fica dividido em quatro regio˜es denominadas quadrantes;
3. Os quadrantes sa˜o caracterizados pelos sinais da abscissa e da ordenada de cada ponto da seguinte maneira:
abscissa e ordenada positivas (1o quadrante), abscissa negativa e ordenada positiva (2o quadrante), abscissa
e ordenada negativas (3o quadrante), abscissa positiva e ordenada negativa (4o quadrante);
4. As retas y = x e y = −x sa˜o denominadas bissetrizes dos quadrantes ı´mpar e par, respectivamente;
• Distaˆncia entre dois pontos: tome dois pontos arbitra´rios distintos P (xp, yp) e Q(xq, yq). A distaˆncia entre os
pontos P e Q e´ dada por
d(P,Q) =
√
(xq − xp)2 + (yq − yp)2 =
√
42x+42y
• Observac¸a˜o: Se P (xp, yp) e Q(xq, yq) representam o mesmo ponto (P ≡ Q), enta˜o d(P,Q) e´ definida como zero
e concorda com a expressa˜o anterior;
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Lista de Exerc´ıcios 1 - Geometria Anal´ıtica
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendac¸o˜es:
• Mencione todas as vezes que voceˆ utilizar um resultado importante;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Na˜o se limite a fazer somente os exerc´ıcios da lista.
1a Questa˜o: Um ponto no plano cartesiano e´ representado pelas coordenadas (x + 3y,−x − y) e tambe´m por
(4 + y, 2x+ y), em relac¸a˜o ao mesmo sistema de coordenadas. Determine xy.
Resp.: −8
2a Questa˜o: Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), determine o valor de x de tal maneira que o triaˆngulo determinado por
A, B e C seja retaˆngulo em B. Qual e´ a a´rea desse triaˆngulo?
Resp.: x = −3 e sua a´rea e´ 25
2
u.a.
3a Questa˜o: Determine a relac¸a˜o existente entre x e y, sabendo-se que P (x, y) equidista dos pontos A(−3, 7) e B(4, 3).
Resp.: 14x− 8y + 33 = 0
4a Questa˜o: O circuncentro de um triaˆngulo4ABC e´ o ponto Q que equidista de A, B e C. Determine o circuncentro
do triaˆngulo determinado pelos pontos A(8, 11), B(−4,−5) e C(−6, 9).
Resp.: Q(2, 3)
5a Questa˜o: Determine as coordenadas do ponto P , da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista dos pontos
A(8,−8) e B(12,−2).
Resp.: P (−5, 5)
6a Questa˜o: Sejam A(−2, 4) e B(3,−1) dois ve´rtices consecutivos de um quadrado. Determine os outros dois ve´rtices.
Resp.: C(8, 4) e D(3, 9) ou C(−2,−6) e D(−7,−1)
7a Questa˜o: Dados B(3, 1) e C(−1,−1), determine as coordenadas do ponto A(x, y), sabendo-se que o triaˆngulo
ABC e´ equila´tero.
Resp.: A
(
1 +
√
3,−2√3) ou A (1− 2√3, 2√3)
8a Questa˜o: Mostre que o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(3, 1), B(4,−4) e C(−2, 2) e´ iso´sceles, mas na˜o e´ retaˆngulo.
Resp.: Mostre que 4ABC na˜o satisfaz o teorema de Pita´goras.
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aula 2: Distaˆncias orientadas, divisa˜o de um segmento numa dada raza˜o e condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos
• Segmentos orientados: Sejam A e B dois pontos distintos no plano cartesiano. O segmento de reta com origem
A e extremidade B e´ denominado segmento orientado e sera´ denotado por
−−→
AB. Caso A ≡ B, dizemos que −−→AB
e´ o segmento orientado nulo;
• Divisa˜o de um segmento numa dada raza˜o: Sejam −−→AB um segmento orientado e r 6= −1. Dizemos que o ponto
P divide o segmento orientado
−−→
AB na raza˜o r se
d(A,P )
d(P,B)
= r,
em que as distaˆncias envolvidas sa˜o tomadas com sinais da seguinte maneira: d(A,P ) e´ positiva se
−→
AP tem
mesmo sentido de
−−→
AB e negativa caso contra´rio. Ana´logo para d(P,B);
• Consequeˆncias:
1. r > 0⇐⇒ P e´ interior a` −−→AB;
2. r < 0⇐⇒ P e´ exterior a` −−→AB;
3. r = 0⇐⇒ P ≡ A;
4. r = 1⇐⇒ P e´ ponto me´dio de −−→AB;
• Coordenadas do ponto P : Se P (xp, yp) divide o segmento orientado −−→AB na raza˜o r, enta˜o
xp =
xa + rxb
1 + r
e yp =
ya + ryb
1 + r
,
em que A(xa, ya) e B(xb, yb);
• Caso particular: Se P e´ ponto me´dio do segmento orientado −−→AB, enta˜o
xp =
xa + xb
2
e yp =
ya + yb
2
,
• Condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos: Sejam A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc) treˆs pontos distintos do plano
cartesiano. Enta˜o,
A, B e C esta˜o alinhados ⇐⇒ det
 xa ya 1xb yb 1
xc yc 1
 = 0
• Observac¸a˜o: Se pelo menos dois dos pontos sa˜o coincidentes, enta˜o A, B e C sa˜o sempre colineares e o determi-
nante mencionado acima sempre se anula;
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Lista de Exerc´ıcios 1 - Geometria Anal´ıtica
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendac¸o˜es:
• Mencione todas as vezes que voceˆ utilizar um resultado importante;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Na˜o se limite a fazer somente os exerc´ıcios da lista.
9a Questa˜o: Sejam A(3, 7), B(2, 1) e C(8, 2). Mostre que A, B e C na˜o esta˜o alinhados. Classifique, quanto a medida
dos lados, o triaˆngulo determinado por A, B e C. Qual o per´ımetro desse triaˆngulo?
Resp.: O triaˆngulo e´ iso´sceles. Seu per´ımetro e´ 5
√
2 + 2
√
37 u.c.
10a Questa˜o: Determine as coordenadas dos pontos que trisseccionam o segmento determinado por A(−1, 7) e
B(11,−8).
Resp.: C(3, 2) e D(7,−3)
11a Questa˜o: Sabendo-se que A(0, 0), B(3, 7) e C(5,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo, determine a medida da mediana
relativa ao lado BC.
Resp.: 5
12a Questa˜o: Se A(−2, 1) e B(4, 4) sa˜o ve´rtices consecutivos de um paralelogramo e E(3,−1) e´ o ponto de intersecc¸a˜o
de suas diagonais, determine as coordenadas dos outros dois ve´rtices.
Resp.: C(8,−3) e D(2,−6)
13a Questa˜o: Seja 4ABC um triaˆngulo qualquer. Mostre que o segmento de reta, cujas extremidades sa˜o os pontos
me´dios de dois dos seus lados, e´ paralelo ao terceiro lado e tem medida igual a metade deste.
Resp.: Considere o triaˆngulo com um ve´rtice sendo a origem e um lado que conte´m tal ve´rtice apoiado sobre o eixo-x.
14a Questa˜o: Sejam A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) treˆs pontos na˜o colineares. O baricentro G do triaˆngulo 4ABC
e´ definido pela intersecc¸a˜o das suas treˆs medianas.
(a) Mostre que o baricentro G divide qualquer mediana na raza˜o 2 : 1.
(b) Mostre que G
(
x1 + x2 + x3
3
,
y1 + y2 + y3
3
)
.
(c) Seja G(1, 6) o baricentro do triaˆngulo 4ABC. Se A(2, 5) e B(4, 7) sa˜o dois ve´rtices desse triaˆngulo, determine as
coordenadas do ve´rtice C.
Resp.: (a) Use o exerc´ıcio 11 (b) Use a fo´rmula de divisa˜o de um segmento numa raza˜o dada (c) C(−3, 6)
15a Questa˜o: Prove que os pontos me´dios dos lados do quadrila´tero determinado pelos pontos A(a, b), B(c, d), C(e, f)
e D(g, h) determinam um paralelogramo.
Resp.: Mostre que as diagonais do quadrila´tero determinado pelos pontos me´dios se interceptam ao meio.
16a Questa˜o: Mostre que, para qualquer a ∈ R, os pontos A(a, 2a − 1), B(a + 1, 2a + 1) e C(a + 2, 2a + 3) sa˜o
colineares.
Resp.: Mostre que A, B e C satisfazem a condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos para qualquer valor de a ∈ R.
17a Questa˜o: Para que valores de a, os pontos A(0, a), B(a,−4) e C(1, 2) determinamum triaˆngulo? Existe a ∈ R
tal que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em B?
Resp.: a 6= −1 e a 6= 4; @ a ∈ R
18a Questa˜o: Mostre que a medida da mediana relativa a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo e´ igual a metade da
medida da hipotenusa.
Resp.: Considere o triaˆngulo retaˆngulo com o ve´rtice que forma o aˆngulo reto sendo a origem.
19a Questa˜o: Mostre que as diagonais de um trape´zio iso´sceles tem a mesma medida.
Resp.: Considere o trape´zio com um ve´rtice sendo a origem e um lado que conte´m tal ve´rtice apoiado sobre o eixo-x.
20a Questa˜o: Sabendo-se que os pontos M1(2,−1), M2(1,−2) e M3(−1, 3) sa˜o os pontos me´dios dos lados de um
triaˆngulo, determine as coordenadas de seus ve´rtices. Em seguida, classifique-o quanto a` medida dos seus lados.
Resp.: A(4,−6), B(−2, 2) e C(0, 4); 4ABC e´ escaleno
5
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aula 3: Estudo da reta no plano: formas da equac¸a˜o e intersecc¸o˜es
• Teorema: Toda reta (r) do plano cartesiano esta´ associada a pelo menos uma equac¸a˜o da forma
(r) : ax+ by + c = 0, com a2 + b2 6= 0
• A equac¸a˜o (r) : ax+ by + c = 0 e´ denominada equac¸a˜o da reta (r) na forma geral;
• Intersecc¸a˜o de duas retas distintas: Sejam (r) : a1x+ b1y+ c1 = 0 e (s) : a2x+ b2y+ c2 = 0 duas retas do plano
cartesiano. Se (r) e (s) se interceptam em um ponto P (xp, yp), enta˜o xp e yp satisfazem o sistema de equac¸o˜es
lineares {
a1x+ b1y + c1 = 0
a2x+ b2y + c2 = 0
• Posic¸a˜o relativa de duas retas:
1. (r) e (s) sa˜o concorrentes ⇐⇒ (r) ∩ (s) possui um u´nico ponto;
2. (r) e (s) sa˜o paralelas distintas ⇐⇒ (r) ∩ (s) = ∅;
3. (r) e (s) sa˜o paralelas coincidentes ⇐⇒ (r) ∩ (s) possui infinitos pontos;
• Equac¸a˜o da reta na forma reduzida: Seja (r) : ax+ by + c = 0 uma reta na˜o vertical, isto e´, com b 6= 0. Enta˜o
y = mx+ n,
em que m = −a
b
e n = −c
b
. Os nu´meros m e n sa˜o denominados coeficientes angular e linear, respectivamente;
• Geometricamente, m e n representam a tangente da inclinac¸a˜o de (r) e sua intersecc¸a˜o com o eixo das ordenadas,
respectivamente;
• Equac¸a˜o da reta na forma fundamental (ou forma ponto-coeficiente angular): Seja P (x0, y0) um ponto arbitra´rio
do plano cartesiano e m ∈ R fixado. Enta˜o, existe uma u´nica reta (r) do plano cartesiano que passa por P e
tem coeficiente angular m e sua equac¸a˜o e´ dada por
(r) : y − y0 = m(x− x0)
• Equac¸a˜o da reta na forma segmenta´ria: Seja (r) uma reta do plano cartesiano que intercepta os eixos coordenados
nos pontos P (xp, 0) e Q(0, yq). Enta˜o, sua equac¸a˜o e´ dada por
x
xp
+
y
yq
= 1
• Equac¸a˜o da reta na forma segmenta´ria: Seja (r) : ax + by + c = 0 uma reta do plano cartesiano. Suponha que
x = x(t) e y = y(t) sa˜o func¸o˜es de uma terceira varia´vel t. Enta˜o, o par de equac¸o˜es
(r) :
{
x = x(t)
y = y(t)
e´ denominado equac¸a˜o da reta (r) na forma parame´trica.
• Aplicac¸o˜es f´ısicas:
1. Movimento retil´ıneo uniforme: s = s0 + vt;
2. Movimento retil´ıneo acelerado: v = v0 + at;
3. Conversa˜o de escalas termome´tricas:
C
5
=
F − 32
9
=
K − 273
5
;
4. Se uma part´ıcula desloca-se no plano e a trajeto´ria descrita por ela e´ uma reta (ou segmento de reta), enta˜o
o par de equac¸o˜es parame´tricas
(r) :
{
x = x(t)
y = y(t)
fornece a posic¸a˜o dessa part´ıcula para cada instante de tempo t;
7
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Lista de Exerc´ıcios 1 - Geometria Anal´ıtica
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendac¸o˜es:
• Mencione todas as vezes que voceˆ utilizar um resultado importante;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Na˜o se limite a fazer somente os exerc´ıcios da lista.
21a Questa˜o: Prove que os pontos A(0, 0), B(1, 3) e C(4, 0) na˜o sa˜o colineraes. Em seguida, determine as equac¸o˜es
gerais das retas suportes dos lados do triaˆngulo, cujos ve´rtices sa˜o A, B e C.
Resp.: Como det
 0 0 11 3 1
4 0 1
 6= 0, os pontos A, B e C na˜o colineares. Reta suporte de AB : 3x − y = 0; Reta
suporte de AC : y = 0; Reta suporte de BC : x+ y − 4 = 0
22a Questa˜o: Sejam A(a, b+ c), B(b, a+ c) e C(c, a+ b). Fac¸a o que se pede:
(a) Mostre que A, B e C sa˜o colineares.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta (r) que passa pelos pontos A, B e C.
Resp.: (b) (r) : x+ y − (a+ b+ c) = 0
23a Questa˜o: Verifique se a reta (r) : 5x − 3y = 0 passa pelo baricentro do triaˆngulo determinado pelos pontos
A(−5,−5), B(1, 5) e C(19, 0).
Resp.: G(5, 0) /∈ (r)
24a Questa˜o: Esboce, no plano cartesiano, as retas cujas equac¸o˜es sa˜o dadas abaixo:
(a) (r) : x− y + 5 = 0
(b) (s) : x+ y + 3 = 0
(c) (t) : −2x+ y = 0
(d) (u) : y = 3
(e) (v) : x = a, a < 0
Resp.: (a)
(b)
(c)
(d)
9
(e)
25a Questa˜o: Mostre que as retas de equac¸o˜es (r) : x− 2y = 0, (s) : x+ 2y− 8 = 0 e (t) : (1 +k)x+ 2(1−k)y− 8 = 0
concorrem no mesmo ponto, ∀k ∈ R.
Resp.: Ache o ponto de intersecc¸a˜o entre (r) e (s) e mostre que as coordenadas de tal ponto satisfaz a equac¸a˜o da reta
(t) para qualquer k ∈ R.
26a Questa˜o: A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa pelo ponto C(3, 4). Determine a relac¸a˜o existente entre
a e b.
Resp.: 4a+ 3b− ab = 0
27a Questa˜o: Sejam A(a, 0) e B(0, b) dois pontos fixados, em que a, b 6= 0.
(a) Mostre que a equac¸a˜o geral da reta (r) que passa pelos pontos A e B e´ dada por (r) : bx+ ay − ab = 0.
(b) Mostre que a equac¸a˜o obtida no item (a) e´ equivalente a` equac¸a˜o (r) :
x
a
+
y
b
= 1. Esta equac¸a˜o e´ denominada
equac¸a˜o da reta (r) na forma segmenta´ria.
(c) Determine a equac¸a˜o da reta (r), na forma segmenta´ria, que passa pelos pontos A(−2, 1) e B
(
0,− 3
11
)
.
Resp.: (c) (r) :
x
−3
7
+
y
− 3
11
= 1
28a Questa˜o: As retas suportes dos lados do triaˆngulo ABC sa˜o (AB) : 3x − 4y = 0, (BC) : x + y − 7 = 0 e
(CA) : 4x− 3y = 0. Mostre que ABC e´ um triaˆngulo iso´sceles.
Resp.: A(0, 0), B(4, 3), C(3, 4) e AB = AC
29a Questa˜o: Discuta, em func¸a˜o do paraˆmetro m, a posic¸a˜o relativa das retas (r) : (m − 1)x + my − 1 = 0 e
(s) : (1−m)x+ (m+ 1)y + 1 = 0.
Resp.: Para m 6= 1 e m 6= −1
2
, as retas (r) e (s) sa˜o concorrentes; para m = 1, as retas (r) e (s) sa˜o paralelas distintas;
para m = −1
2
, as retas (r) e (s) sa˜o paralelas coincidentes.
30a Questa˜o: Dado o ponto A(1, 2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados, respectivamente, sobre
as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto me´dio do segmento PQ.
Resp.: P
(
4
3
,
4
3
)
e Q
(
2
3
,
8
3
)
31a Questa˜o: Dados os pontos A(−1, 1) e B(7, 25), determine a equac¸a˜o da reta (r) que passa por A e B nas formas
geral, reduzida e segmenta´ria.
Resp.: Geral: 3x− y + 4 = 0; Reduzida: y = 3x+ 4; Segmenta´ria: x
−4
3
+
y
4
= 1
10
32a Questa˜o: Sejam (r) : (k− 1)x+ 6y+ 1 = 0 e (s) : 4x+ (k+ 1)y− 1 = 0 duas retas e k ∈ R. Determine os valores
de k, de tal maneira que (r) e (s) sejam:
(a) Paralelas distintas; (b) Paralelas coincidentes; (c) Perpendiculares;
Resp.: (a) k = 5 ou k = −5 (b) @ k ∈ R tal que (r) e (s) sejam paralelas coincidentes (c) k = −1
3
33a Questa˜o: Quando expressamos as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer da reta (r) em func¸a˜o de uma terceira
varia´vel, denominada paraˆmetro, o par de equac¸o˜es obtido e´ chamado de equac¸o˜es parame´tricas da reta (r), isto e´,
(r) :
{
x = x(t)
y = y(t)
, em que t ∈ R.
(a) Dadas as retas (r) e (s) de equac¸o˜es parame´tricas (r) :
{
x = 3t
y = 2t
, t ∈ R e (s) :
{
x = 3− u
y = 2 + u
, u ∈ R,
determine as equac¸o˜es de (r) e (s) na forma geral.
(b) Mostre que as retas (r) e (s) sa˜o concorrentes e determine as coordenadas do pontoonde elas concorrem.
Resp.: (a) (r) :
2
3
x− y = 0 e (s) : x+ y − 5 = 0 (b) (3, 2)
11
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aula 4: Teoria angular: condic¸o˜es de paralelismo e perpendicularismo. Aˆngulo entre duas retas. Distaˆncia entre
ponto e reta. Regio˜es do plano dadas por inequac¸o˜es do primeiro grau em duas varia´veis
• Condic¸a˜o de paralelismo: Sejam (r) e (s) duas retas quaisquer. Se (r) e (s) sa˜o verticais, enta˜o (r)//(s). Caso
contra´rio,
(r)//(s)⇐⇒ mr = ms
• Condic¸a˜o de perpendicularismo: Sejam (r) e (s) duas retas quaisquer. Se (r) e´ vertical e (s) e´ horizontal, enta˜o
(r) ⊥ (s). Caso contra´rio,
(r) ⊥ (s)⇐⇒ mr ·ms = −1
• Aˆngulo entre retas: Sejam (r) e (s) duas retas na˜o verticais. Enta˜o, a medida do menor aˆngulo θ determinado
por (r) e (s) e´ dado por
tan θ =
∣∣∣∣ mr −ms1 +mr ·ms
∣∣∣∣
• Observac¸a˜o: Se (s) e´ vertical, enta˜o θ e´ dado por tan θ =
∣∣∣∣ 1mr
∣∣∣∣;
• Distaˆncia de ponto a` reta: Seja (r) : ax+ by+ c = 0 uma reta qualquer do plano cartesiano e P (x0, y0) um ponto
arbitra´rio que na˜o pertence a (r). Enta˜o, a distaˆncia do ponto P ate´ a reta (r) e´ dada por
d(P, (r)) =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
• Observac¸a˜o: Se P ∈ (r), enta˜o, por definic¸a˜o, d(P, (r)) = 0 e concorda com a fo´rmula estabelecida anteriormente;
• Inequac¸o˜es do primeiro grau em duas varia´veis: Seja F = F (x, y) uma func¸a˜o, dada na forma fatorada, envol-
vendo as varia´veis x e y e cujos fatores sa˜o todos lineares. As relac¸o˜es
F (x, y) ≥ 0, F (x, y) > 0, F (x, y) ≤ 0 e F (x, y) < 0
sa˜o denominadas inequac¸o˜es do primeiro grau em duas varia´veis e seu conjunto soluc¸a˜o, excetuando a possibili-
dade do conjunto vazio, e´ sempre uma porc¸a˜o do plano cartesiano;
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Lista de Exerc´ıcios 1 - Geometria Anal´ıtica
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendac¸o˜es:
• Mencione todas as vezes que voceˆ utilizar um resultado importante;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Na˜o se limite a fazer somente os exerc´ıcios da lista.
34a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta (u) que passa pelo ponto de intersecc¸a˜o das retas (r) :
x
2
+
y
2
= 1 e
(t) : 3x+ 4y = 0 e e´ paralela a` reta (s) :
{
x = 3v
y = 2 + 3v
, em que v ∈ R.
Resp.: (u) : x− y − 14 = 0
35a Questa˜o: Dois lados de um paralelogramo ABCD esta˜o contidos sobre as retas (r) : y = 2x e (s) : x = 2y. Se
A(5, 4) e´ um dos ve´rtices desse paralelogramo, determine as coordenadas dos ve´rtices B, C e D.
Resp.: B(4, 2), C(0, 0), D(1, 2)
36a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o geral da reta (s) que conte´m o ponto P (3, 4) e e´ perpendicular a` reta
(r) : 2x+ 3y = 0.
Resp.: (r) : 3x− 2y − 1 = 0
37a Questa˜o: Mostre que, ∀ a, b 6= 0, as retas de equac¸o˜es (r) : x
a
+
y
b
= 1 e (s) :
x
b
=
y
a
sa˜o perpendiculares.
Resp.: Mostre que mr.ms = −1, para quaisquer a, b ∈ R\{0}.
38a Questa˜o: Determine os valores de p de tal forma que as retas de equac¸o˜es (r) : p2x + py + 2 = 0 e
(s) : 3x+ (p+ 1)y − 7 = 0 sejam perpendiculares.
Resp.: p = −1
4
39a Questa˜o: Determine a projec¸a˜o ortogonal do ponto P (3, 2) sobre a reta (r) : x − y + 1 = 0. Qual e´ a distaˆncia
do ponto P a reta (r)?
Resp.: (2, 3) e d(P, r) =
√
2
40a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta (s), sime´trica da (r) : x+2y−3 = 0 em relac¸a˜o a` bissetriz dos quadrantes
pares.
Resp.: Geometricamente, a bissetriz dos quadrantes pares faz o papel de “espelho”enquanto a reta (s) e´ o reflexo de
(r) por esse “espelho”; (s) : 2x+ y + 3 = 0
41a Questa˜o: Determine o ortocentro (ponto de encontro das alturas) do triaˆngulo determinado pelos pontos A(1, 3),
B(2, 1) e C(4, 5).
Resp.: H
(
1
2
,
13
4
)
42a Questa˜o: Mostre que se A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) determinam um triaˆngulo, enta˜o a a´rea da regia˜o
triangular e´ dada por A =
1
2
|D|, em que D = det
 x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
. Use esse resultado para calcular a a´rea delimitada
pelo quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜o A(0, 0), B(4,−2), C(6, 8) e D(0, 4).
Resp.: A = 34 unidades de a´rea
43a Questa˜o: Resolva, graficamente, as seguintes inequac¸o˜es:
(a)
x− y + 2
x+ y − 2 ≥ 0
(b) (3x− y + 6)(2x+ 4y − 12) < 0
Resp.: (a)
(b)
44a Questa˜o: Mostre que os pontos (3, 0), (1, 0) e (4 +
√
3, 1 +
√
3) determinam um triaˆngulo. Classifique esse
triaˆngulo quanto a medida dos seus aˆngulos internos.
Resp.: Os aˆngulos internos sa˜o
3pi
4
,
pi
6
e
pi
12
e o ABC e´ um triaˆngulo obtusaˆngulo.
45a Questa˜o: Calcule o comprimento da altura AH, relativa ao lado BC, do triaˆngulo de ve´rtices A(−3, 0), B(0, 0)
e C(6, 8).
Resp.:
12
5
unidades de comprimento
46a Questa˜o: O ponto P (2,−5) e´ um ve´rtice de um quadrado que tem um dos seus lados na˜o adjacentes a P sobre
a reta (r) : x− 2y − 7 = 0. Qual e´ a a´rea desse quadrado?
Resp.: A = 5 unidades de a´rea
47a Questa˜o: Mostre que, em um triaˆngulo retaˆngulo, a reta determinada pelo ve´rtice do aˆngulo reto e o centro do
quadrado constru´ıdo sobre a hipotenusa, externamente ao triaˆngulo, e´ a bissetriz do aˆngulo reto.
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48a Questa˜o: Dados os pontos A(1, 2), B(2,−2) e C(4, 3), determine a equac¸a˜o da reta (r) que passa pelo ponto A
e pelo ponto me´dio do segmento BC.
Resp.: (r) : 3x+ 4y = 11
49a Questa˜o: Determine as coordenadas do ponto da reta y = 2x+ 1 que equidista da origem e do ponto P (2,−2).
Resp.: (−3, 5)
50a Questa˜o: Dada a reta de equac¸a˜o (r) : x+
√
3y − 2√3 = 0, determine o valor de cos θ, em que θ e´ o aˆngulo que
a reta (r) faz com a direc¸a˜o positiva do eixo - x.
Resp.: −
√
3
2
51a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta (r) que passa pelo ponto P (3, 4) e e´ paralela a` bissetriz dos quadrantes
pares.
Resp.: (r) : x+ y − 7 = 0
52a Questa˜o: Sabendo-se que as retas de equac¸o˜es (r) :
x
a
+
y
b
= 1 e (s) : Ax + By + C = 0 sa˜o perpendiculares,
mostre que Ab+ aB = 0.
Resp.: Use a condic¸a˜o de perpendicularismo.
53a Questa˜o: Um quadrila´tero e´ dito ser um losango se suas diagonais se interceptam perpendicularmente. Determine,
se poss´ıvel, a ∈ (0,+∞) tal que os pontos M(0, 0), N(0, 3), P (a, a+ 3) e Q(a, a) sejam ve´rtices de um losango.
Resp.: a =
3
√
2
2
54a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta (r) que e´ perpendicular a bissetriz dos quandrantes ı´mpares e que passa
pelo ponto de intersecc¸a˜o das retas (s) : 2x− 3y − 1 = 0 e (t) : 3x− y − 2 = 0.
Resp.: (r) : 7x+ 7y − 6 = 0
55a Questa˜o: Observe a figura dada abaixo:
Determine a equac¸a˜o da reta (r).
Resp.: (r) : x− 3y + 5 = 0
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56a Questa˜o: Determine a medida da a´rea da figura hachurada abaixo:
Resp.:
9
2
u.a.
57a Questa˜o: Mostre que o conjunto de pontos do plano P (x, y) tais que |x|+ |y| = 4 e´ um quadrado cuja diagonal
mede 8.
Bons estudos!
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