2ª lista de exercícios de GA-nova

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aula 5: Lugares geome´tricos no plano
• Definic¸a˜o: Uma figura e´ um lugar geome´trico (l.g.) de pontos no plano quando todos os seus pontos, e somente
eles, tem uma certa propriedade em comum;
• Alguns lugares geome´tricos importantes:
1. Fixado dois pontos A e B distintos, o lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam de A e B e´ a
reta mediatriz desse segmento;
2. Fixados um ponto C e um nu´mero real r > 0, o lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam
exatamente r de C e´ a circunfereˆncia de centro C e raio r;
3. Fixados dois pontos distintos F1 e F2 que distam um do outro 2c e um nu´mero real 2a > 2c, o lugar
geome´trico dos pontos do plano cuja a soma das distaˆncias a` F1 e F2 e´ constante e igual a 2a e´ uma elipse;
4. Fixados dois pontos distintos F1 e F2 que distam um do outro 2c e um nu´mero real 2a < 2c, o lugar
geome´trico dos pontos do plano cuja diferenc¸a, em mo´dulo, das distaˆncias a` F1 e F2 e´ constante e igual a
2a e´ uma hipe´rbole;
5. Fixados uma reta (d) e um ponto F fora dela, o lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam de
(d) e de F e´ uma para´bola;
• Dado um lugar geome´trico, nosso objetivo central sera´ obter uma equac¸a˜o que o descreva. Em geral, isso na˜o e´
uma tarefa fa´cil. Contudo, os objetos geome´tricos que abordaremos podera˜o ser equacionados;
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Lista de Exerc´ıcios 2 - Geometria Anal´ıtica
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendac¸o˜es:
• Mencione todas as vezes que voceˆ utilizar um resultado importante;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Na˜o se limite a fazer somente os exerc´ıcios da lista.
1a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o de cada lugar geome´trico dado abaixo.
(a) O lugar geome´trico dos pontos equidistantes dos pontos A(−3, 1) e B(7, 5).
(b) O lugar geome´trico dos pontos cuja a distaˆncia ao ponto C(2,−1) e´ 5.
(c) O lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam da reta (r) : y = −1
4
e do ponto F
(
0,
1
4
)
.
(d) O lugar geome´trico dos pontos do plano cuja diferenc¸a, em mo´dulo, das distaˆncias a F1(−5, 0) e F2(5, 0) e´ constante
e igual a 6.
(e) O lugar geome´trico dos pontos do plano cuja soma das distaˆncias a F1(0,−3) e F2(0, 3) e´ constante e igual a 10.
(f) O lugar geome´trico dos pontos que equidistantes dos eixos coordenados.
Resp.: (a) 5x + 2y − 16 = 0 (b) x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 (c) y = x2 (d)x
2
9
− y
2
16
= 1 (e)
y2
25
+
x2
16
= 1
(f) |y| = |x|
2a Questa˜o: Um segmento de reta com 12 unidades de comprimento se desloca de modo que seus extremos se
encontram sempre apoiados sobre os eixos coordenados. Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico descrito pelo ponto
me´dio desse segmento.
Resp.: x2 + y2 = 36
3a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos do plano cujo quociente entre as distaˆncias aos
pontos A(1, 0) e B(0, 1), nessa ordem, e´ igual a 2.
Resp.: Circunfereˆncia de centro C(−1, 2) e raio r = 2
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aula 6: O estudo da circunfereˆncia
• Definic¸a˜o: Fixados um ponto C e um nu´mero real r > 0, o lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam
exatamente r de C e´ denominado circunfereˆncia de centro C e raio r;
• Equac¸a˜o reduzida da circunfereˆncia: (λ) : (x− a)2 + (y − b)2 = r2;
• Equac¸a˜o geral (ou normal) da circunfereˆncia: (λ) : x2 + y2 − 2ax− 2by + a2 + b2 − r2 = 0;
• Seja Ax2 +By2 +Cxy +Dx+Ey + F = 0, A2 +B2 6= 0, uma equac¸a˜o geral do segundo grau nas varia´veis x e
y. Se essa equac¸a˜o representa uma circunfereˆncia, enta˜o A = B e C = 0;
• Se A = B e C = 0 na˜o podemos garantir que tal equac¸a˜o represente uma circunfereˆncia, uma vez que pode ser
uma das suas degenerac¸o˜es (ponto ou o conjunto vazio);
• Utilizaremos o me´todo de completar quadrados para identificar quando tal equac¸a˜o (com A = B e C = 0)
representa uma circunfereˆncia;
• Posic¸o˜es relativas entre ponto e circunfereˆncia: Seja (λ) uma circunfereˆncia de centro C e raio r e P um ponto
arbitra´rio do plano cartesiano. Temos:
1. P e´ interior a (λ) ⇐⇒ d(P,C) < r;
2. P ∈ (λ) ⇐⇒ d(P,C) = r;
3. P e´ exterior a (λ) ⇐⇒ d(P,C) > r;
• Posic¸o˜es relativas entre reta e circunfereˆncia: Seja (λ) uma circunfereˆncia de centro C e raio r e (r) uma reta
arbitra´ria do plano cartesiano. Temos:
1. (r) e´ secante a (λ) ⇐⇒ d((r), C) < r ⇐⇒ (r) ∩ (λ) possui examente dois pontos;
2. (r) e´ tangente a (λ) ⇐⇒ d((r), C) = r ⇐⇒ (r) ∩ (λ) possui examente um ponto;
3. (r) e´ exterior a (λ) ⇐⇒ d((r), C) > r ⇐⇒ (r) ∩ (λ) = ∅;
• Regio˜es do plano dadas por inequac¸o˜es do segundo grau em duas varia´veis;
4a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o reduzida da circunfereˆncia com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto
A(1, 1).
Resp.: (λ) : (x− 2)2 + (y − 1)2 = 1
5a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o reduzida da circunfereˆncia que passa pelos pontos (2, 5), (1, 6) e (−3, 0).
Resp.: O centro da circunfereˆncia situa-se na intersecc¸a˜o das mediatrizes que ligam quaisquer dois pontos.
(λ) : (x+ 1)2 + (y − 3)2 = 13
6a Questa˜o: Determine se as equac¸o˜es dadas abaixo representam ou na˜o uma circunfereˆncia. Em caso afirmativo,
determine seu centro e raio. Em qualquer outro caso, justifique o porqueˆ.
(a) x2 + y2 + 2x− 2y + 1 = 0
(b) x2 + y2 + 6x− 8y + 26 = 0
(c) x2 + y2 + 2x− 6y − 6 = 0
(d) x2 + y2 + 8x+ 6y + 50 = 0
(e) x2 + y2 + 8x+ 6y = 0
(f) x2 + y2 + 14x+ 6y + 25 = 0
(g) x2 + y2 + 10x− 4y + 29 = 0
Resp.: (a) C(−1, 1) e r = 1 (b) na˜o (c) C(−1, 3) e r = 4 (d) na˜o (e) C(−4,−3) e r = 5 (f) C(−7,−3) e r = √33
(g) na˜o
7a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta (r) que passa pelo centro da circunfereˆncia (λ) : (x− 3)2 + (y − 2)2 = 8 e
e´ perpendicular a reta (s) : x− y − 16 = 0.
Resp.: (r) : x+ y − 5 = 0
8a Questa˜o: Mostre que C = {(x, y) ∈ R ∣∣ 4x2 + 4y2− 12x+ 12y− 7 = 0} representa uma curva fechada. Qual a a´rea
da regia˜o delimitada por essa curva?
Resp.: Representa uma circunfereˆncia de centro C
(
3
2
,−3
2
)
e raio r =
5
2
. A a´rea delimitada por essa curva e´ A =
25pi
4
.
9a Questa˜o: Quais condic¸o˜es devemos impor sobre os paraˆmetros a, b, c ∈ R, de tal forma que
(λ) : 2x2 + ay2 + bxy + 3x+ 4y + c = 0 represente uma circunfereˆncia?
Resp.: a = 2, b = 0 e c <
25
8
10a Questa˜o: Os pontos A(5, 0) e B(−1, 0) representam os ve´rtices consecutivos de um quadrado. Determine a
equac¸a˜o da circunfereˆncia circunscrita a esse quadrado.
Resp.: (λ) : (x− 2)2 + (y + 3)2 = 18 ou (λ) : (x− 2)2 + (y − 3)2 = 18
11a Questa˜o: Mostre que C = {(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9} representa uma regia˜o limitada do plano. Qual a a´rea
dessa regia˜o?
Resp.: C representa uma coroa circular cuja a´rea e´ 8pi unidades de a´rea.
12a Questa˜o: Determine a posic¸a˜o relativa entre a reta (r) : x+y = 0 e a circunfereˆncia (λ) : x2+y2−5x+4y+4 = 0.
Caso (r) ∩ (λ) 6= ∅, determine as coordenadas do(s) ponto(s) de intersecc¸a˜o(o˜es).
Resp.: (r) e (λ) sa˜o secantes e (r) ∩ (λ) =
{
(4,−4),
(
1
2
,−1
2
)}
4
13a Questa˜o: Sejam P e Q os pontos de intersecc¸a˜o da reta (r) : 3x + 2y + 12 = 0 com a circunfereˆncia
(λ) : x2 + y2 + 4x + 6y = 0. Mostre que a reta determinada por P e Q conte´m O, em que O e´ o centro de
(λ).
Resp.: P (−4, 0), Q(0,−6) e O e´ o ponto me´dio de PQ
14a Questa˜o: Determine a medida da corda determinada pela reta (r) : x + y − 2 = 0 sobre a circunfereˆncia (λ) de
centro C(1, 1) e raio r = 2
√
2.
Resp.: 4
√
2
15a Questa˜o: Determine as equac¸o˜es das retas tangentes a circunfereˆncia (λ) : x2 + y2− 8x− 8y+ 24 = 0 e paralelas
a reta y= x.
Resp.: (r) : x− y + 4 = 0 e (s) : x− y − 4 = 0
16a Questa˜o: Seja C a regia˜o limitada do plano cartesiano dada por
C = {(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x− y ≤ 0 e x ≥ 0}
Esboce a regia˜o C e determine sua a´rea.
Resp.: C e´ um arco de uma coroa circular cuja a´rea e´ 3pi
8
u.a.
17a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta que tangencia a circunfereˆncia x2 + y2 = 16 no ponto P (−2√2, 2√2).
Resp.: (r) : x− y + 4√2 = 0
5
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aulas 7 e 8: O estudo da elipse
• Definic¸a˜o: Fixados dois pontos distintos F1 e F2 que distam um do outro 2c e um nu´mero real 2a > 2c, o lugar
geome´trico dos pontos do plano cuja a soma das distaˆncias a` F1 e F2 e´ constante e igual a 2a e´ denominado
elipse;
• Elementos principais de uma elipse:
1. F1, F2: focos;
2. C: e´ o ponto me´dio do segmento de extremos F1 e F2, denominado centro da elipse;
3. A1A2: eixo maior da elipse. Os pontos A1 e A2 sa˜o denominados pontos extremos do eixo maior;
4. B1B2: eixo menor da elipse. Os pontos B1 e B2 sa˜o denominados pontos extremos do eixo menor;
5. 2a: medida do eixo maior da elipse;
6. 2b: medida do eixo menor da elipse;
7. 2c: distaˆncia focal da elipse;
8. e =
c
a
: excentricidade da elipse;
• Relac¸a˜o nota´vel da elipse: a2 = b2 + c2;
• Observac¸o˜es:
1. A excentricidade e de uma elipse e´ tal que 0 < e < 1;
2. Se e→ 0, enta˜o a elipse tem o formato mais arredondado, assemelhando-se a uma circunfereˆncia;
3. Se e→ 1, enta˜o a elipse tem o formato mais achatado;
• Equac¸a˜o reduzida de uma elipse de centro C(x0, y0) e cujo eixo maior e´ paralelo ao eixo das abscissas:
(E) : (x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
• Equac¸a˜o reduzida de uma elipse de centro C(x0, y0) e cujo eixo maior e´ paralelo ao eixo das ordenadas:
(E) : (x− x0)
2
b2
+
(y − y0)2
a2
= 1
18a Questa˜o: Determine as equac¸o˜es das elipses representadas abaixo. Em seguida, determine as coordenadas dos
focos e a excentricidade de cada uma delas.
(a)
(b)
(c)
Resp.: (a)
x2
16
+
y2
9
= 1 (b)
(y − 1)2
25
+
(x− 2)2
4
= 1 (c)
(x+ 1)2
25
+
(y − 1)2
1
= 1
19a Questa˜o: As metades do eixo maior e da distaˆncia focal de uma elipse medem, respectivamente, 10 cm e 6 cm e
seu centro e´ O(4,−2). Se o seu eixo menor e´ paralelo ao eixo - x, determine a equac¸a˜o reduzida dessa elipse.
Resp.:
(x− 4)2
64
+
(y − 2)2
100
= 1
20a Questa˜o: Construa o gra´fico da coˆnica dada pela equac¸a˜o 25x2 + 16y2 = 400. Determine as coordenadas dos
seus focos e sua excentricidade.
Resp.: F1(0, 3), F2(0,−3) e e = 3
5
7
21a Questa˜o: O ponto C(3, 2) e´ o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria sa˜o
paralelos aos eixos coordenados, determine a equac¸a˜o reduzida dessa elipse.
Resp.:
(x− 3)2
9
+
(y − 2)2
4
= 1
22a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P (1, 1) e um dos focos e´
F1
(
−
√
6
2
, 0
)
.
Resp.:
x2
3
+
y2
3
2
= 1
23a Questa˜o: A equac¸a˜o
(x− 1)2
25
+
(y − 1)2
9
= 4 representa uma coˆnica. Identifique essa coˆnica e determine as
coordenadas do(s) seu(s) foco(s).
Resp.: A coˆnica e´ uma elipse de centro em C(1, 1), eixo maior paralelo ao eixo x, focos F1(−7, 1) e F2(9, 1) e
excentricidade e =
4
5
Questa˜o extra: Determine a equac¸a˜o da reta mediatriz do segmento cujos os extremos sa˜o os pontos de intersecc¸a˜o
da reta (r) : 5x+ y − 5 = 0 com a elipse 25x2 + y2 = 25.
8
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aulas 9 e 10: O estudo da hipe´rbole
• Definic¸a˜o: Fixados dois pontos distintos F1 e F2 que distam um do outro 2c e um nu´mero real 2a < 2c, o lugar
geome´trico dos pontos do plano cuja diferenc¸a, em mo´dulo, das distaˆncias a` F1 e F2 e´ constante e igual a 2a e´
denominado hipe´rbole;
• Elementos principais de uma hipe´rbole:
1. F1, F2: focos;
2. C: e´ o ponto me´dio do segmento de extremos F1 e F2, denominado centro da hipe´rbole;
3. A1A2: eixo real da hipe´rbole. Os pontos A1 e A2 sa˜o denominados pontos extremos do eixo real;
4. B1B2: eixo imagina´rio da hipe´rbole. Os pontos B1 e B2 sa˜o denominados pontos extremos do eixo ima-
gina´rio;
5. 2a: medida do eixo real da hipe´rbole;
6. 2b: medida do eixo imagina´rio da hipe´rbole;
7. 2c: distaˆncia focal da hipe´rbole;
8. e =
c
a
: excentricidade da hipe´rbole;
9. (r1), (r2): par de retas ass´ıntotas da hipe´bole;
• Relac¸a˜o fundamental da hipe´rbole: c2 = a2 + b2;
• Observac¸o˜es:
1. A excentricidade e de uma hipe´rbole e´ tal que e > 1;
2. Se e→ 1, enta˜o a hipe´rbole tem o formato mais fechado;
3. Se e→ +∞, enta˜o a hipe´rbole tem o formato mais aberto;
• Equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole de centro C(x0, y0) e cujo eixo real e´ paralelo ao eixo das abscissas:
(H) : (x− x0)
2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1
• Equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole de centro C(x0, y0) e cujo eixo real e´ paralelo ao eixo das ordenadas:
(H) : (y − y0)
2
a2
− (x− x0)
2
b2
= 1
• Equac¸a˜o das retas ass´ıntotas de hipe´rboles:
(r1), (r2) : y − y0 = ± b
a
(x− x0) (eixo real horizontal)
(r1), (r2) : y − y0 = ±a
b
(x− x0) (eixo real vertical)
24a Questa˜o: Determine as equac¸o˜es das hipe´rboles representadas abaixo. Em seguida, determine as coordenadas
dos focos e a excentricidade de cada uma delas.
(a)
(b)
(c)
Resp.: (a)
x2
4
− y
2
9
= 1 (b)
(y − 1)2
16
− (x+ 3)
2
49
= 1 (c)
(x− 2)2
9
− (y − 1)
2
16
= 1
25a Questa˜o: Qual e´ a distaˆncia focal da hipe´rbole cuja equac¸a˜o e´
x2
36
− y
2
64
= 1? Quais sa˜o as coordenadas dos seus
focos? Determine a excentricidade dessa hipe´rbole.
Resp.: 2c = 20 e e =
10
6
26a Questa˜o: Represente, graficamente, as hipe´rboles x2− y2 = 1 e y2− x2 = 1. Existe alguma diferenc¸a entre elas?
Determine os seus elementos principais.
10
Resp.:
x2 − y2 = 1
y2 − x2 = 1
27a Questa˜o: Dada a hipe´rbole 9y2 − 16x2 = 144, determine as coordenadas dos focos, a distaˆncia focal, a medida
do eixo real, a medida do eixo imagina´rio e a excentricidade.
Resp.: Focos F1(0,−5) e F2(0, 5), 2c = 10, 2a = 8, 2b = 6 e e = 5
4
28a Questa˜o: Determine as coordenadas do(s) foco(s) da coˆnica dada pela equac¸a˜o
(x− 1)2
7
− (y − 1)
2
2
= 1.
Resp.: F1(−2, 1) e F2(4, 1)
29a Questa˜o: Determine o valor de b de tal forma que a reta y = x+b na˜o intercepte os ramos da hipe´rbole x2−y2 = 1.
Resp.: b = 0
11
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Plano de aula de Geometria Anal´ıtica
Aulas 11 e 12: O estudo da para´bola
• Definic¸a˜o: Fixados uma reta (d) e um ponto F fora dela, o lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam
de (d) e de F e´ denominado para´bola;
• Elementos principais de uma para´bola:
1. F : foco;
2. (d): reta diretriz;
3. p: paraˆmetro;
4. V : ve´rtice;
5. eixo de simetria: reta que passa por V e F ;
• Equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice V (x0, y0), eixo de simetria vertical e cuja concavidade e´ voltada para
cima:
(P) : (x− x0)2 = 4p(y − y0)
• Equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice V (x0, y0), eixo de simetria vertical e cuja concavidade e´ voltada para
baixo:
(P) : (x− x0)2 = −4p(y − y0)
• Equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice V (x0, y0), eixo de simetria horizontal e cuja concavidade e´ voltada para
direita:
(P) : (y − y0)2 = 4p(x− x0)
• Equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice V (x0, y0), eixo de simetria horizontal e cuja concavidade e´ voltada para
esquerda:
(P) : (y − y0)2 = −4p(x− x0)
• Propriedade de reflexa˜o das sec¸o˜es parabo´licas: seja (P) umasec¸a˜o parabo´lica de foco F . Se P e´ um ponto
qualquer de (P), enta˜o as aˆngulos α e β, determinados, nessa ordem, pela normal em P com os segmentos PF
e PQ sa˜o iguais, em que PQ e´ paralelo ao eixo de simetria de (P);
• Reconhecimento de coˆnicas: O conjunto de pontos do plano que satisfaz uma equac¸a˜o da forma
Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0,
com A2 +B2 6= 0, pode representar uma coˆnica ou uma de suas degenerac¸o˜es, isto e´,
1. Elipses;
2. Hipe´rboles;
3. Para´bolas;
4. Circunfereˆncias;
5. Par de retas concorrentes;
6. Uma u´nica reta
7. Um u´nico ponto;
8. O conjunto vazio;
No caso particular em que C = 0 (auseˆncia de rotac¸a˜o), identificamos a coˆnica (ou uma de suas degenerac¸o˜es)
atrave´s do me´todo de completar quadrados;
13
30a Questa˜o: Determine as equac¸o˜es das para´bolas representadas abaixo. Em seguida, determine as coordenadas do
foco e do ve´rtice e a equac¸a˜o da reta diretriz de cada uma delas.
(a)
(b)
(c)
Resp.: (a) y2 = 8x, F (2, 0), V (0, 0) e x = −2 (b) x2 = 16y, F (0, 4), V (0, 0) e y = −4 (c) (y − 2)2 = 4(x − 4),
F (5, 2), V (4, 2), x = 3
31a Questa˜o: Determine os valores de a, b e c de tal forma que a para´bola y = ax2 + bx + c passe pelos pontos
(0,−3), (−3, 0) e (2, 5). Determine as coordenadas do foco e do ve´rtice e a equac¸a˜o da reta diretriz dessa para´bola.
Resp.: y = x2 + 2x− 3, F
(
−1,−15
4
)
, V (−1,−4) e y = −17
4
32a Questa˜o: Em um farol parabo´lico a abertura tem diaˆmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm.
Determine a distaˆncia, em relac¸a˜o ao ve´rtice do farol, em que a laˆmpada deve ser posicionada.
Resp.: 20 cm
33a Questa˜o: Mostre que, se a reta (r) : ax+ by + c = 0 e´ tangente a para´bola y2 = kx, enta˜o 4ac = kb2.
Resp.: Resolva o sistema formado pelas equac¸o˜es da reta e da para´bola e imponha a condic¸a˜o do discriminante da
equac¸a˜o do 2o grau obtida ser zero.
14
34a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o reduzida da para´bola que tem eixo de simetria vertical e que passa pelos pontos
A(0, 0), B(2, 2) e C(−4, 20). Determine, tambe´m, seus elementos principais.
Resp.: y = x2 − x
35a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da reta mediatriz do segmento, cujos extremos sa˜o os ve´rtices das para´bolas
y = x2 + 4x+ 6 e y = x2 − 4x+ 2.
Resp.: y = x
36a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da para´bola que tem foco F (2, 2) e cuja reta diretriz tem equac¸a˜o (d) : x = 0.
Resp.: (y − 2)2 = 4(x− 1)
37a Questa˜o: Descreva todos os elementos da para´bola cuja equac¸a˜o e´ x = y2 − 6y + 8.
Resp.: x = −3
2
, V (−1, 3), F
(
−1
2
, 3
)
e p =
1
2
38a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipe´rbole
9x2 − 16y2 = −144 e cuja excentricidade e´ o inverso da excentricidade da hipe´rbole dada.
Resp.:
x2
625
16
+
y2
25
= 1
39a Questa˜o: Mostre que o lugar geome´trico dos pontos do plano cuja equac¸a˜o e´ x2 − y2 + x + y = 0 e´ um par de
retas concorrentes.
Resp.: As retas concorrentes procuradas sa˜o (r) : y = −x e (s) : y = x+ 1
40a Questa˜o: Identifique a coˆnica que e´ representada por cada equac¸a˜o dada abaixo. Determine os elementos prin-
cipais de cada uma delas.
(a) y2 − x+ y + 1 = 0
(b) 4x2 − y2 − 32x+ 8y + 52 = 0
(c) x2 + 2x− 2y + 7 = 0
(d) x2 + 2y2 − 4x+ 2 = 0
(e) 3x2 + 2y2 − 12x− 4y + 8 = 0
(f) 4x2 − 3y2 + 6y − 15 = 0
(g) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
Resp.: (a) para´bola; V
(
3
4
,−1
2
)
; F
(
1,− 12
)
(b) hipe´rbole; a = 2; b = 1; c =
√
5; e =
√
5
2
; F1(4, 4 +
√
5) e
F2(4, 4−
√
5); O(4, 4); eixo real vertical (c) para´bola; V (−1, 3); F (−1, 72) (d) elipse; a = √2; b = 1; c = 1; e = √22 ;
F1(1, 0) e F2(3, 0); O(2, 0); eixo maior horizontal (e) elipse; a =
√
3; b =
√
2; c = 1; e =
√
3
3
; F1(2, 2) e F2(2, 0);
O(2, 1); eixo maior vertical (f) hipe´rbole; a =
√
3; b = 2; c =
√
7; e =
√
21
3
; F1(0, 1 +
√
7) e F2(0, 1 −
√
7); O(0, 1);
eixo real vertical (g) elipse; a = 3; b = 2; c =
√
5; e =
√
5
3
; F1(1 +
√
5, 2) e F2(1 −
√
5, 2); O(1, 2); eixo maior
horizontal
41a Questa˜o: Determine as equac¸o˜es das retas ass´ıntotas as seguintes hipe´rboles:
(a) 4x2 − 7y2 = 28
15
(b) 4y2 − 9x2 = 36
Resp.: (a) y = ±4
7
x (b) y = ±3
2
x
42a Questa˜o: Mostre que o produto das distaˆncias de um ponto de uma hipe´rbole as ass´ıntotas e´ constante.
43a Questa˜o: Mostre que C = {(x, y) ∈ R2 ∣∣ y2 − 6x2 − xy = 0} representa um par de retas concorrentes que se
interceptam na origem do sistema cartesiano.
Resp.: Encare a equac¸a˜o dada como um polinoˆmio de grau 2 em y e resolva-o em func¸a˜o de x.
44a Questa˜o: Resolva, graficamente, (y − x2)(x+ y − 2) ≥ 0.
Resp.:
45a Questa˜o: Considere a elipse de equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1, em que a > b > 0. Fac¸a o que se pede:
(a) Discuta o que acontece com o formato da elipse quando c→ 0 (leˆ-se c tende a 0), isto e´, e→ 0.
(b) Discuta o que acontece com o formato da elipse quando c→ a (leˆ-se c tende a a), isto e´, e→ 1.
46a Questa˜o: Considere a hipe´rbole de equac¸a˜o
x2
a2
− y
2
b2
= 1. Fac¸a o que se pede:
(a) Discuta o que acontece com o formato da hipe´rbole quando c→ a (leˆ-se c tende a a), isto e´, e→ 1.
(b) Discuta o que acontece com o formato da hipe´rbole quando c→ +∞ (leˆ-se c tende a +∞), isto e´, e→ +∞.
47a Questa˜o: Determine uma equac¸a˜o para a coˆnica que satisfaz as condic¸o˜es dadas:
(a) Para´bola com ve´rtice V (0, 0) e foco F (0,−2).
(b) Para´bola com foco F (−4, 0) e reta diretriz x = 2.
(c) Para´bola com ve´rtice V (0, 0), eixo de simetria y = 0 e passando por P (1,−4).
(d) Elipse com focos F1(−2, 0) e F2(2, 0) e eixo maior cujos extremos sa˜o A1(−5, 0) e A2(5, 0).
(e) Elipse com focos F1(0, 2) e F2(0, 6) e eixo maior cujos extremos sa˜o A1(0, 0) e A2(0, 8).
(f) Elipse com centro C(−1, 4) e eixo maior cujos extremos sa˜o A1(−1, 0) e A2(−1, 6).
(g) Hipe´rbole com focos F1(−5, 0) e F2(5, 0) e eixo real cujos extremos sa˜o A1(−3, 0) e A2(3, 0).
(h) Hipe´rbole com focos F1(−3,−7) e F2(−3, 9) e eixo real cujos extremos sa˜o A1(−3,−4) e A2(−3, 6).
(i) Hipe´rbole com retas ass´ıntotas y = ±2x e eixo real cujos extremos sa˜o A1(−3, 0) e A2(3, 0).
Resp.: (a) x2 = 8y (b) y2 = −12(x + 1) (c) y2 = 16x (d) x
2
25
+
y2
21
= 1 (e)
x2
12
+
(y − 4)2
16
= 1
(f)
(x+ 1)2
12
+
(y − 4)2
16
= 1 (g)
x2
9
− y
2
16
= 1 (h)
(y − 1)2
25
− (x+ 3)
2
39
= 1 (i)
x2
9
− y
2
36
= 1
16
Exerc´ıcio suplementar 1: Determine, em func¸a˜o do paraˆmetro k ∈ R, a posic¸a˜o relativa entre a reta
(r) : 4x+ 3y + k = 0 e a circunfereˆncia (λ) : x2 + y2 − 12x+ 16y + 96 = 0.
Resp.: Para |k| < 10 sa˜o secantes; para k = ±10 sa˜o tangentes; para |k| > 10 sa˜o exteriores;
Exerc´ıcio suplementar 2: Determine a a´rea do quadrila´tero formado pelos centros e pelos pontos de intersecc¸a˜o das
circunfereˆncias (λ1) : x
2 + y2 − 2x− 8y + 13 = 0 e (λ2) : x2 + y2 − 8x− 2y + 7 = 0.
Resp.: 6 u.a.
Exerc´ıcio suplementar 3: Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia circunscrita ao triaˆngulo de ve´rtices A(1, 4),
B(3,−2) e C(7, 2).
Resp.: (λ) : x2 + y2 − 7x− 3y + 2 = 0
Exerc´ıcio suplementar 4: Determine a equac¸a˜o da elipse tangente aos eixos coordenados e cujo centro esta´ na
intersecc¸a˜o das retas (r) : x+ y − 9 = 0 e (s) : x− y + 1 = 0. Identifique seus elementos principais.
Resp.:
(x− 4)2
16
+
(y − 5)2
25
= 1
Exerc´ıcio suplementar 5: O cabo de uma ponte suspensa tem a forma de uma para´bola. A distaˆncia entre as duas
colunas e´ 200 m, os pontos de suporte do cabo nas colunas esta˜o 22 m acima da pista e o ponto mais baixo do cabo
esta´ 6 m acima da pista. Determine a distaˆncia vertical do cabo a um ponto na pistaa 25 m do pe´ de uma das colunas.
Resp.: 15 m
Exerc´ıcio suplementar 6: A equac¸a˜o da diretriz de uma para´bola e´ x+ y = 0 e seu foco esta´ no ponto (1, 1). Fac¸a
o que se pede:
(a) Determine a equac¸a˜o dessa para´bola.
(b) Determine as coordenadas do ve´rtice.
(c) Definimos o latus rectum de uma para´bola como a corda perpendicular ao eixo de simetria que passa pelo foco
da para´bola. Determine o comprimento do latus rectum.
Resp.: (a) Use a definic¸a˜o da para´bola como lugar geome´trico (b) V
(
1
2
,
1
2
)
(c) 2
√
2 u.a.
Exerc´ıcio suplementar 7: A companhia Atlas produz dois tipos de bicicletas, Aurora e Estrela Negra. As poss´ıveis
quantidades x de bicicletas Aurora e y bicicletas Estrela Negra produzidas anualmente, em milhares de unidades, esta˜o
relacionadas pela equac¸a˜o
100x2 + 9y2 − 1200x− 216y + 3996 = 0
Qual a quantidade ma´xima de cada tipo de bicicleta pode ser fabricada anualmente?
Resp.: Aurora 9.000 bicicletas/ano e Estrela Negra 22.000 bicicletas/ano
Exerc´ıcio suplementar 8: Considere a equac¸a˜o y = ax2 + bx+ c, em que a 6= 0.
(a) Usando o me´todo de completar quadrados, mostre que a equac¸a˜o pode ser reescrita na forma(
x+
b
2a
)2
=
1
a
(
y +
4
4a
)
,
em que 4 = b2 − 4ac. Identifique as coordenadas do ve´rtice dessa para´bola
(b) Fac¸a y = 0 na equac¸a˜o do item (a) e obtenha a fo´rmula de Bha´skara.
17
Exerc´ıcio suplementar 9: Um fazendeiro dispo˜e de 200m de tela para cercar uma a´rea retangular. Qual o valor
ma´ximo da a´rea que pode ser cercada?
Resp.: 2500 m2
Exerc´ıcio suplementar 10: Cobrando-se uma dia´ria de R$ 200,00, um hotel consegue ocupar todos os seus 60
quartos. Para cada acre´scimo de R$ 5,00 no prec¸o da dia´ria, estima-se que um quarto na˜o sera´ ocupado.
(a) Determine a relac¸a˜o existente entre o faturamento dia´rio do hotel F e a quantidade x de quartos desocupados.
(b) Qual e´ o valor da dia´ria que gera faturamento ma´ximo? Nessa situac¸a˜o, qual e´ o valor do faturamento?
Resp.: (a) F (x) = −5x2 + 100x+ 12000 (b) R$ 250,00; R$ 12.500,00
Bons estudos!
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