Teoria dos Números Parte II UNIP

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5 MÉTODO DA INDUÇÃO, CONCEITOS DE DIVISÃO E NÚMEROS PRIMOS
5.1 Introdução
Milies e Coelho (2001) comentam o fato de que as ciências naturais frequentemente utilizam o método 
denominado “indução empírica” para formular leis relacionadas a determinados fenômenos da realidade, 
a partir de um grande número de observações particulares. Para eles, esse tipo de procedimento não é 
considerado como demonstração logicamente verdadeira, mas é possível ser satisfatório. Mas, em verdade, 
sua validade frequentemente está relacionada à evolução dos equipamentos dos quais os cientistas 
dispõem e está sujeita a modificações. Os autores argumentam a favor do método, quando comentam 
sobre a validade da afirmação de que um corpo liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície 
da Terra, cai segundo a vertical local. No entanto, as histórias da física e da química, por exemplo, estão 
repletas de exemplos de mudanças decorrentes das condições instrumentais dos cientistas.
A validade de um teorema matemático, no entanto, observam Milies e Coelho (2001), estabelece‑se 
de forma diferente. Uma afirmação ser verdadeira, em um grande número de situações particulares, 
não permite afirmar que ela seja válida. Nascimento e Feitosa (2009) introduzem a indução matemática 
como um princípio postulado por Peano, que resolve tal problema para os números naturais. Ou seja, se 
uma propriedade é verificada para o zero, e sempre verificada para um número natural n, também pode 
ser verificada para seu sucessor n+1, então a propriedade é verificada para todos os números naturais.
 Lembrete
Dada a ordem (A, <), todo subconjunto B de A, não vazio, tem elemento 
mínimo. Nesse caso, (A, <) é uma boa ordem.
Seja um conjunto A, não vazio, e contido em Z. Se A é um conjunto 
limitado inferiormente, então existe um elemento m ∈ A, tal que m< x, ∀x 
∈ A. O elemento m é então denominado de mínimo de A.
5.2 Princípio da Indução (PI)
Seja m ∈ N, e seja o conjunto A = {x ∈ N : m < x}. Considere que P(n) é uma propriedade sobre 
n ∈ N tal que:
i) P(m) é verdadeira.
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ii) Se n ∈ A e P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira.
 iii) Então P(n) é verdadeira para todo n ∈ A.
 Saiba mais
O estudante interessado em lógica formal e provas encontrará bons 
materiais no site do grupo CLE – Centro de Lógica, Epistemologia e História 
da Ciência. Disponível em: <http://www.cle.unicamp.br/principal/grupoglta/
index.php?pag=publicacoes.php>. Acesso em: 9 dez. 2011.
Exemplo 1
Mostrar que a expressão
1 2
1
2
+ + + =
+
...
( )
n
n n
É verdadeira para todo n > 1.
Solução:
i) Para n = 1 e substituindo na forma geral:
1
11 1
2
=
+( )
1
12
2
=
( )
Logo, 1=1
ii) Como P(n) é verdadeira, então P(n+1) deve ser verdadeira:
1 2
1
2
+ + + =
+
...
( )
n
n n ,
Escrevendo um termo a mais (o anterior a n) na expressão acima não a alteramos:
1 2 1
1
2
+ + + − + =
+
... ( )
( )
n n
n n
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 Observação
A expressão acima é uma progressão aritmética de razão 1:
r = 2‑1 = 1
Como o último termo é n, para obtermos o penúltimo termo faremos: n‑1.
Para P(n+1) temos:
1 2 1 1 1
1 1 1
2
+ + + + − + + =
+ + +
... [( ) ] ( )
( )[( ) ]
n n
n n
1 2 1 1 1
1 1 1
2
+ + + + − + + =
+ + +
... ( )
( )[ ]
n n
n n
1 2 1
1 2
2
+ + + + + =
+ +
... ( )
( )( )
n n
n n
Fazendo de outra forma
Somando um termo a mais (an+1) a ambos os membros da igualdade inicial a ser verificada, ou seja, 
somando n+1 a ambos os membros da igualdade:
1 2 1
1
2
1+ + + + + =
+
+ +... ( )
( )
( )n n
n n
n
1 2 1
1 2 1
2
+ + + + + =
+ + +
... ( )
( ) ( )
n n
n n n
1 2 1
2 2
2
2
+ + + + + =
+ + +
... ( )
( )
n n
n n n
1 2 1
3 2
2
2
+ + + + + =
+ +
... ( )n n
n n
Como n2 + 3n + 2 = (n + 1) (n +2)
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1 2 1
1 2
2
+ + + + + =
+ +
... ( )
( )( )
n n
n n
Portanto,
1 2 1
1 2
2
+ + + + + =
+ +
... ( )
( )( )
n n
n n
É a fórmula para P(n+1).
Exemplo 2
Verificar a validade do termo geral, por indução, de uma progressão aritmética utilizada em livros 
do ensino médio:
an = a1 + (n –1) . r
Resolução
Consideremos a progressão aritmética dada por (a1, a2, ..., an, ...) de razão r que representa a diferença 
entre um dos termos da progressão aritmética e o termo imediatamente anterior. Assim:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
 Observação
O número que multiplica a razão corresponde ao índice que indica a 
posição do termo na progressão aritmética a menos de uma unidade. Ou 
seja:
3 = 4 –1
an = an–1 + r = a1 + (n – 2) r + r = a1 + nr – 2r + r = a1 + nr – r = a1 + (n –1) r
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an+1 = an + r = a1 + (n –1) r + r = a1 + nr – r + r = a1 + nr
an+1 = a1 + nr
Aplicando o princípio de indução:
i) Para n=1:
a1 = a1 + (1 – 1) . r
a1 = a1
ii) Considerando que o termo geral vale para n, então é preciso testar para n+1.
an+1 = a1 + [(n + 1) – 1] . r
an+1 = a1 + [n + 1 – 1] . r
Logo, a fórmula vale para n+1.
an+1 = a1 + nr
 Observação
Os princípios da indução são utilizados para verificar algumas fórmulas 
de progressões aritméticas e geométricas. No entanto, é necessário tomar 
cuidado com sua aplicação, uma vez que a aplicação incorreta de conceitos 
pode levar a resultados enganosos.
5.3 Princípio forte da indução (PFI)
 Observação
Esse princípio da indução matemática é a propriedade fundamental 
dos números naturais, observa Ávila (2009). Ela é consequência direta do 
último dos cinco postulados que o matemático Giuseppe Peano utilizou na 
construção de números naturais.
Seja m ∈ N, e seja o conjunto A = {x ∈ N : m < x}. Considere que P(n) é uma propriedade sobre 
n ∈ N tal que:
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i) P(m) é verdadeira.
ii) Para todos n, r ∈ A , com m < r < n sempre que P(r) é verdadeira tem‑se que P(n) é verdadeira.
(iii) Então P(n) é verdadeira para todo n ∈ A.
 Lembrete
É preciso ter cuidado com o princípio de Indução Matemática, que exige 
que se provem duas proposições separadamente.
Ávila (2009, p.13) comenta que Pierre de Fermat imaginava que os números da forma:
F n
n
( ) = +2 12
Fossem todos primos, qualquer que fosse o
n > 0
Um momento de reflexão para o futuro professor
Teste para valores de n variando de 0 a 4 e terá os resultados 3, 5, 17, 257 e 65.537. O princípio de 
indução não é aplicável neste caso, uma vez que não há forma de relacionar F(n) com F(n+1). Como os 
cinco primeiros números obtidos são primos, Fermat conjecturou que F(n) é primo para todo n. Mas foi 
apenas uma conjuntura porque bastou Leonardo Euler, no século seguinte, calcular F(5) e verificar que 
o resultado é um número composto. Estava dado o contraexemplo à conjectura de Fermat. Os números 
com a forma anterior ficaram conhecidos como “primos de Fermat”.
 Observação
 Mesmo que o quinto termo não tivesse resultadoem um contraexemplo, 
não seria possível afirmar que Fermat estava certo uma vez que testar sua 
afirmação seria uma tarefa sempre interminável, visto que os número 
Naturais não são limitados superiormente.
Demonstração de teoremas (Ávila, 2009, p. 11‑12).
1) Teorema 1. Dados quatro números reais a, b, c, d, podemos afirmar que:
a
b
c
d
a b
b
c d
d
= ⇒
+
=
+
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Demonstração: basta notar que:
Multiplicando ambos os lados da igualdade por d.b:
a
b
c
d
a
b
db
c
d
db ad b c= ⇔ = ⇔ =. . . . . (1)
Multiplicando ambos os lados da igualdade por b/c:
a
b
c
d
a
b
b
c
c
d
b
c
a
c
b
d
= ⇔ = ⇔ =. . (2)
Logo de (1) e (2):
a
b
c
d
ad b c
a
c
b
d
= ⇔ = ⇔ =. .
Fazendo 1 1= =
b
b
d
d
 e 
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
b
b
c
d
d
d
a b
b
c d
d
= ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒
+
=
+
1 1 (transitividade)
Logo: 
a
b
c
d
a b
b
c d
d
= ⇒
+
=
+
2) Teorema 2. Dados quatro números reais a, b, c, d, podemos afirmar que:
a
b
c
d
a
b
c
d
a c
b d
= ⇒ = =
+
+
Demonstração: basta notar que da mesma forma, como no teorema anterior, podemos escrever ao 
somar 1 de ambos os lados da igualdade:
a
c
b
d
a
c
b
b
b
d
d
d
+ = + ⇒ + = +1 1
b
d
b
d
b
d
b
d
a
b
c
c
b
d
d
d
a c
c
b d
d
= ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒
+
=
+
1 1
Ou seja, multiplicando ambos os lados da igualdade por d.c, temos:
a c
c
b d
d
a c d b d c
+
=
+
⇔ + = +( ). ( ).
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Dividindo ambos os lados da igualdade por (b+d).d, temos:
a c
c
b d
d
a c d
b d d
b d c
b d d
a c
b d
c
d
+
=
+
⇔ +
+
= +
+
⇔
+
+
=( ). .
( ).
( ). .
( ).
1 1
Logo: 
a
b
c
d
a c
b d
c
d
= ⇔
+
+
=
Por fim: 
a
b
c
d
a c
b d
= =
+
+
5.4 Múltiplos e divisores
(i) Múltiplos:
Definição:
Seja m ∈ Z.
Os múltiplos de m são os números:
0, ± m, ± 2m, ...
Ou seja, todos os números da forma:
km, m ∈ Z
Propriedades
Sejam os múltiplos de m das formas km e pm. A soma e o produto de múltiplos de m também são 
múltiplos de m.
km + pm = (k + p) m
(km) . (pm = (kmp) m
(ii) Divisor
Definição:
Seja q = km, k, m, q ∈ Z:
k é denominado divisor de q, ou k divide q, ou q é divisível por k.
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Notação: k | q
Exemplos
1) O número inteiro 6 divide 12.
De fato:
12 = 2 . 6
2) O número inteiro ‑6 divide 12.
De fato:
12 = (–2) . ( –6)
3) O número inteiro 3 divide 0.
De fato:
0 = 0 . 3
4) Todo número inteiro n divide 0.
De fato:
0 = 0 . n
5) O número inteiro 1 divide todo número inteiro n.
De fato:
n = 1 . n
6) Qualquer número inteiro n divide n.
De fato:
n = 1 . n
Propriedades
i) q | q, ∀q ∈ Z, pois q = q . 1.
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ii) p | q e q | p, p, q ∈ Z, então p = q.
iii) p | q e q | r, p, q, r ∈ Z, então p | r.
iv) p | q e p | r, p, q, r ∈ Z , então p | (qx + ry), ∀ x, y ∈ Z.
5.5 Algoritmo da divisão de Euclides
O algoritmo da divisão garante que se a e b são números inteiros e b ≠ 0, então a é divisível por b e 
o resultado é um único quociente q e um único resto r, em que 0 < r < b.
Teorema (algoritmo da divisão de Euclides)
Sejam a, b ∈ Z com b > 0. Então existem (e são únicos) q, r ∈ Z, tais que a = qb + r e 0 < r < b.
Esse teorema decorre do fato de que se b é um número estritamente positivo, então ou a é um 
múltiplo de b ou está situado entre dois múltiplos qb e (q+1)b do número b. Ou seja:
qb < a < (q + 1) b
qb < a < qb + b
Somando –(qb) às desigualdades anteriores, temos:
qb + (–qb) < a + (–qb) < qb + (–qb) + b
0 < a – qb < b
Fazendo:
r = a – qb
0 < r < b
 Observação
É claro que se r = 0, então a é múltiplo de b.
Exemplos
1) Sejam a = 56 e b = 7. Assim 56 = 7 . 8 + 0. Logo, q=8 e r = 0.
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Vamos observar a posição de 56 na reta:
49 56 63
Figura 51
Foram listados três múltiplos de 7 próximos a 56. Como um dos múltiplos coincidiu com o valor do 
divisor, o resto da divisão é zero.
2) Sejam a = –56 e b = 7. Assim, – 56 = 7 . (–8) + 0. Logo, q = –8 e r = 0.
Foram listados três múltiplos de 7 próximos a ‑56. Como um dos múltiplos coincidiu com o valor do 
divisor, o resto da divisão é zero.
Vamos observar a posição de ‑56 na reta:
–63 –56 –49
Figura 52
3) Sejam a = –60 e b = 7. Assim, –60 = 7 . (–9) + 3. Logo, q = – 9 e r = 3.
Foram listados três múltiplos de 7 próximos a ‑60. Observe que ‑60 situa‑se entre os múltiplos de 
7: ‑56 e ‑63.
Assim:
–63 < –60 < –56
–(7 . 9) < –60 < –(7 . 8)
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Como:
r = a– qb , sendo 0 < r < b
r = – 60 – (– 9) 7
r = –60 + 63
r = 3
Vamos observar a posição de ‑60 na reta:
–63 –56 –49
Figura 53
4) Sejam a = 35 e b = 8. Assim 35 = 8 . 4 + 3. Logo, q = 4 e r = 3.
Foram listados três múltiplos de 8 próximos a 35. Observe que 35 situa‑se entre os múltiplos de 8, 
32 e 40.
Assim:
32 < 35 < 40
4 . 8 < 35 < 5 . 8
Como:
r = a – qb , sendo 0 < r < b
r = 35 –(4) 8
r = 35 – 32
r = 3
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Vamos observar a posição de 35 na reta:
32 40 48
Figura 54
5.5.1 Representação de inteiros em uma base
Para que o leitor entenda melhor o algoritmo usual prático da divisão, é necessária a identificação da 
base de numeração utilizada. Embora seja usual o tratamento com a base decimal, e será nesse campo 
que o professor do Ensino Fundamental e Médio irá atuar, outras bases podem ser utilizadas. Não se 
pode desconsiderar que o professor de matemática pode atuar em outras áreas e, particularmente na 
computação, a base binária é de importância fundamental.
 Saiba mais
o estudante interessado em material didático para conversão de bases 
encontrará em um material da Revista Nova Escola interessantes sugestões. 
Disponível em: <http://www.pead.faced.ufrgs.br/sites/publico/eixo7/didatica/
unidade2/materiais_didaticos/montessori_link2.pdf>. Acesso em: 9 dez. 2011.
Teorema (representação na base a)
Sejam a, b ∈ N e 1 < a. Se b ≠ 0, então existem r0, r1, ..., rn ∈ N, tais que b = rn . a
n + rn–1 . a
n–1 + ... + r1 . a + r0 
em que n ∈ N e, para todo i, 0 < ri < a e rn ≠ 0. Essa representação de b é única.
Observação: será feita a demonstração do teorema acima em relação à existência porque ela será útil 
na compreensão de sua aplicação prática e também na compreensão do algoritmo da divisão.
Demonstração da existência
Como b ≠ 0, vamos considerar a situação na qual b < a. Nesse caso, basta tomar b = r0.
Considerar a situação na qual b > a.
Passo 1: considere q0 = b.
Passo 2: pelo algoritmo da divisão, a partir de qi serão obtidos qi+1 e ri, de tal forma que qi = qi + 1 . a + ri 
com qi + 1, ri ∈ N e 0 < ri < a.
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Da igualdade:
qi = qi+1 . a + ri
Obtêm‑se as expressões equivalentes:
qi+1 . a = qi – ri < qi Transatividade
qi+1 . a < qi (1)
Mas, como 1 < a podemos afirmar que:
qi+1 < qi+1 . a (2)
Logo utilizando (1) e (2):
qi+1 < qi+1 . a < qi
 qi+1 < qi
Logo:
Passo 3: quando qi > a, repete‑se o passo 2.
Passo 4: quando qi+1 = 0, o processo está terminado.
Sintetizando:
qi = qi+1 . a + ri
b = q0 = q1 . a + r0
q1 = q2 . a + r1
q2 = q3 . a + r2
. 
. 
.
qi–1 = qi . a + ri–1
qi = 0 . a + ri
b = q1 . a + r0
= (q2 . a + r1) . a + r0 = q2 . a
2 + r1 . a + r0
= (q3 . a + r2) . a
2 + r1 . a + r0 = q3 . a
3 + r2 . a
2 + r1 . a + r0 =...
=qi . a
i + ... + r1 . a + r0 = ri . a
i + ... + r1 . a + r0
Substituindo q1
Substituindo q2
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Logo:
b = (ri, ri–1, ... + r1, r0)
 Observação
Coluna de restos de baixo para cima!
Exemplos
1) Escrever o número 125 na base 2.
Tomando como base a demonstração do teorema acima, para a base dois só utilizaremos os 
algarismos 0 e 1:
b = q0 = q1 . a + r0
125 = q0 = 62.2 + 1
q1 = 62 = 31.2 + 0
q2 = 31 = 15.2 + 1
q3 = 15 = 7.2 + 1
q4 = 7 = 3.2 + 1
q5 = 3 = 1.2 + 1
q6 = 1 = 0.2 + 1 = 0.2
1 + 1.20
Logo:
125 = 62.2 + 1 = (31.2 + 0) . 2 + 1 = 31.22 + 1 = (15.2 + 1) . 22 + 1 =
15.23 + 1,22 + 1 = (7.2 + 1) . 23 + 1.22 + 1 = 7.24 + 1.23 + 1.22 + 1 =
(3.2 + 1) . 24 + 1.23 + 1.22 + 1 = 3.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 1
(1.2 + 1) . 25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 1 = 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 1
= 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + (0.2 + 1)
= 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20
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Teoria dos números
 Observação
Um pequeno rearranjo foi necessário para manter a sequência de base 2:
(0.2 + 1) é equivalente a 0.21 + 1.20, uma vez que valem as igualdades 
a seguir:
2 = 21 e 1 = 20
Assim:
125 = 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20
Portanto:
(125)10 = (1111101)2
Sistema binário
O exemplo anterior deu como resultado da conversão de um número no sistema de base 10 para 
o sistema de base 2 um tipo de sequência de “1” e “0”. O leitor já deve ter se deparado no dia a dia 
com esse tipo de sequência em pagamentos de faturas que dispunham de códigos de barras e até 
mesmo ao observar os operadores de caixa nos supermercados utilizando leitoras para computar os 
itens comprados. A razão é o fato de os computadores operarem normalmente no sistema binário 
(sistema de base 2).
No entanto, o que parece tão simples em sua utilização é na verdade uma fonte de problemas para 
os que são responsáveis por sistemas operacionais e, até mesmo, usuários de calculadoras científicas, 
mesmo aquelas em versões simples. Ruggiero & Rocha Lopes (1996) comentam sobre a armadilha que 
se esconde no fato de usualmente utilizarmos o sistema decimal e as máquinas, o sistema binário:
Observe o que acontece na interação entre o usuário e o computador: os 
dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema 
decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e 
as operações serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão 
convertidos para o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos 
ao usuário. Todo esse processo de conversão é uma fonte de erros que 
afetam o resultado final dos cálculos. (RUGGIERO & ROCHA LOPES, 
1996. p. 3‑4).
Durante a graduação (em disciplinas como física e cálculo numérico) e em ambientes de pesquisa, 
esse problema será tratado, face a sua importância, em tópicos especiais denominados “análises de 
erros”.
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Esse sistema que nos parece, então, tão contemporâneo, em verdade, observa Fomin (1997), é muito 
antigo. Algumas tribos da Austrália e da Polinésia o utilizavam, mesmo que de forma muito imperfeita. 
Isso porque a vantagem desse sistema, observa o autor, é sua extrema simplicidade.
Código binário na telegrafia
Uma das aplicações, relativamente antiga, do sistema binário é o código telegráfico, observa Fomin 
(1997). A ideia fundante é a associação em ordem alfabética de letras (incluindo “_” para o espaço entre 
as palavras) com números, que são representados no sistema binário. Ele permite dar a um texto a forma 
de uma sucessão determinada de combinações de cinco dígitos formadas por zeros e uns que podem ser 
transmitidos por uma linha mediante uma combinação determinada de impulsos elétricos. Por exemplo:
Letras Números Sistema binário
_ 0 00000
A 1 00001
B 2 00010
C 3 00011
No entanto, comenta o autor, esse sistema permite que mensagens sejam interceptadas com facilidade. 
Por isso, particularmente nas condições de guerra, foram empregados diferentes procedimentos de 
codificação.
Sistema binário e computadores
Para uma noção da utilidade do sistema binário, consideremos um medidor usual de luz. Ele 
é composto de vários relógios com 10 posições distintas e ponteiros que giram sobre essas dez 
posições. Se quiséssemos um contador na base n, precisaríamos de n posições no relógio. Um 
medidor composto por relógios, ou outro processo mecânico qualquer, é relativamente lento para 
mudar de posição, e seria pouco prático usarmos tais medidores para a realização de milhares 
de operações aritméticas por segundo. Devido a isso, nos computadores convencionais são 
utilizados semicondutores por onde uma corrente elétrica pode passar (quando o circuito está 
fechado) ou não (quando o circuito está aberto). Assim, associa‑se o algarismo 0, quando não 
passa corrente, e 1 quando passa. Por ser um sistema eletrônico, e não mecânico, a mudança de 
estado aberto‑fechado é operada em velocidade altíssima, permitindo a realização de operações 
aritméticas com velocidades muito grandes. Assim as máquinas de Turing/Von Neuman, que são 
nossos computadores, operam com sistemas binários que traduzem na aritmética a passagem ou 
não de impulsos elétricos. É justamente a conversão de uma linguagem em outra que possibilita a 
construção dos computadores. (NASCIMENTO e FEITOSA, 2009).
2) Escrever o número 743 na base 8.
Tomando como base a demonstração do teorema acima, para a base oito utilizaremos os algarismos 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7:
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b = q0 = q1 . a + r0
743 = q0 = 92.8 + 7
q1 = 92 = 11.8 + 4
q2 = 11 = 1.8 + 3
q3 = 1 = 0.8 + 1 = 0.8
0 + 1
(743)10 = (1.347)8
Retomando o assunto do tópico, ou seja, o algoritmo da divisão ou de Euclides, percebe‑se a razão 
da inserção do conceito de representação de números em um sistema de base. O algoritmo usual prático 
da divisão é a utilização de uma base decimal.
Exemplo
Sejam a = 743 e b = 8.
Assim, 743 = 92.8 + 7. Logo, q = 92 e r = 7.
Foram listados três múltiplos de 8 próximos a 743. Observe que 743 situa‑se entre os múltiplos de 
8: 92 e 93.
Assim:
736 < 743 < 744
92.8 < 743 < 93.8
Como:
r = a –qb , sendo 0 < r < b
r = 743 – (92)8
r = 743 – 736
r = 7
Vamos observar a posição de 743 na reta:
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744 736 728
Figura 55
i) Comparando com o sistema de representação de base decimal:
743 = 7.102 + 4.101 + 3.100 = 700 + 40+ 3
= 740 + 3 = 74.10 + 3 = (9.8 + 2)10 + 3 = 9.8 + 20 + 3 =
9.8 + (2.8 + 4) + 3 = 9.8 + 2.8 + 7
Assim, numa primeira etapa da aplicação do algoritmo prático da divisão tem‑se:
743 8
972
2
O que se obteve sob a chave é o algarismo das dezenas do quociente procurado.
Retomando o processo, verifica‑se que a continuidade do que se obteve sob a chave é o algarismo 
das dezenas e da unidade do quociente procurado.
743 8
9272
2 3
16
7
i) No exemplo anterior de utilização de sistema de base obteve‑se o seguinte resultado:
(743)10 = (1.347)8
Apenas é preciso relembrar que:
a = 743= (1347)8 = 1. 8
3 +3. 82 +4. 81 +7.80
b = 8 = 1. 81
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1.347 8
1341
0 3
3
04
4
07
O que é equivalente a:
1 . 83 + 3 . 82 + 4 . 81 + 7.80 1.8
1. 82 +3. 81 +4. 80 1. 83
3. 82
3. 82
4. 81
4. 81
7. 80
Logo:
q = 1. 82 +3. 81 +4. 80 e r = 7.80
q = 64 +24 +4 e r = 7.1
q = 92 e r = 7
5.6 Números primos
Definição
Um número p ∈ Z é chamado inteiro primo (ou simplesmente primo) se, e somente se, p ≠ 0, p ≠ ± 
1 e os únicos divisores de p são ±1 e ±p.
Seja a ∈ Z. Os divisores a, –a, 1, –1 são chamados divisores triviais de a. Portanto, um número a ∈ Z 
é dito não primo, sendo a ≠ 0 e a ≠ ± 1 quando existem outros divisores de a além dos triviais. Quando 
a ∈ Z, não primo e, além disso, a ≠ 0 e a ≠ ± 1esse número é denominado de número inteiro composto.
Exemplos
1) O número 7 é primo porque só admite os divisores triviais: 7, ‑7, 1 e ‑1.
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2) O número 6 é composto porque, além dos divisores triviais 6, ‑6, 1 e ‑1, admite também os 
divisores 2, ‑2, 3 e ‑3.
 Observação
Seja um número p ∈ Z inteiro primo (ou simplesmente primo). Se p | ab então 
p | a ou p | b. Pelo Lema de Euclides, se p | a1 a2 ... an, então p divide um dos ai.
6 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Teorema
Dado um número a ∈ Z e a > 1. Existem r números inteiros estritamente positivos p1, ... pr de 
maneira que a = p1 p2 ... pr (r > 1). Além disso, se a = q1 q2 ... qs e os qj são primos estritamente positivos, 
então r = s e cada pi é igual a um dos qj (ou seja, a decomposição, a menos da ordem, é única).
 Observação
Se dado um número a ∈ Z e a < –1, existem r números inteiros 
estritamente positivos p1, ... pr de maneira que a = –p1 p2 ... pr (r > 1) e a 
decomposição, a menos da ordem, também é única.
Exemplos de aplicação
1) Decompor em fatores primos, segundo o teorema fundamental da matemática:
a) ‑100 = ‑22.52
b) 100 = 22.52
2) Decompor em fatores primos, segundo o teorema fundamental da aritmética em Z, os seguintes 
inteiros: 28820 e ‑1996.
a) 2880 ÷ 2 = 14410
14410 ÷ 2 = 7205
7205 ÷ 5 = 1441
1441 ÷ 11 = 131
131 ÷ 131 = 1
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Logo:
28820 = 2.2.5.11.131
28820 = 22.5.11.131
b) 1996 ÷ 2 =998
998 ÷ 2 =499
499 ÷499 = 1
Logo:
1996 = 2.2.499
1996 = 22.499
‑(1996) = ‑(22.499)
1996 = – 22.499
7 MAIOR DIVISOR COMUM E MENOR MÚLTIPLO COMUM; CONGRUÊNCIAS 
MÓDULO M EM Z; ARITMÉTICA MODULAR; EQUAÇÕES DIOFANTINAS
7.1 Introdução
Há alguns critérios simples que permitem determinar se um número é divisível por outro, 
sem realizar a divisão. No tópico anterior, foi introduzido um importante conceito sobre números 
inteiros que é o de divisor, que possibilitará tal antecipação a partir de conceitos desenvolvidos 
neste tópico.
 Lembrete
Seja q = km, k, m, q ∈ Z:
k é denominado divisor de q, ou k divide q, ou q é divisível por k.
Notação: k | q
As notações utilizadas na unidade anterior são muito utilizadas, a partir do Ensino Fundamental, em 
uma forma mais intuitiva e mais simples, mas que preserva o conceito de divisor.
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Seja uma equação do tipo
a = bx, a, b ∈ Z e b ≠ 0
Diz‑se que b divide a, ou b é um divisor de a, se existe um número inteiro x tal que a equação tenha 
solução. Nesse caso, a solução é única. O número inteiro, assim definido, é denominado quociente de a 
por b e é indicado por:
Notação: x
a
b
x a b= =, / ou 
Alguns critérios de divisibilidade:
Se a é um número inteiro positivo cuja expansão decimal é dada por:
a = rn . 10
n + rn–1 . 10
n–1 + ... + r1 . 10 + r0
em que para todo i , 0 < ri < 10, isto é:
a = (rn . rn–1 ... + r1 r0)10
i) 2 | a ⇔ 2 | r0.
ii) 5 | a ⇔ 5 | r0.
iii) 3 | a ⇔ 3 | (rn + rn–1 + ... + r0).
iv) 9 | a ⇔ 9 | (rn + rn–1 + ... + r0).
v) 11 | a ⇔ 11 | (r0 –r1 + . r2 – r3 + ...).
vi) Para 0 < m < n, 2m | a ⇔ 2m | (rm–1 10
m—1 + ... + r1 . 10 + . r0).
vii) Para 0 < m < n, 5m | a ⇔ 5m | (rm–1 . 10
m—1 + ... + r1 . 10 + . r0).
 Observação
 Os critérios i e ii são resultados obtidos em consequência de 2 e 5 serem 
divisores de 10.
Exemplos
1) Verificar se a = 225 é divisível por 5.
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Podemos escrever o número a ser analisado como:
225 = 2 . 102 + 2 . 101 + 5
Portanto, 225 é divisível por 5, uma vez que r0 = 5 e o critério 5 | a ⇔ 5 | r0 foi verificado. Ou seja, 5 
é divisor de 225, pois 5 é divisor de 5.
5 | 225, pois 5 | 5
2) Verificar se a = 220 é divisível por 2.
Podemos escrever o número a ser analisado como:
220 = 2.102 + 2.101 + 0
2 | 220, pois 2 | 0
3) Verificar se a = 225 é divisível por 3.
Podemos escrever o número a ser analisado como:
225 = 2 . 102 + 2.101 + 5
Portanto, 225 é divisível por 3, uma vez que (rn + rn–1 + ... + r0) = 2 + 2 + 5 = 9 e o critério 3 | a ⇔ 3 
| (rn + rn–1 + ... + r0)foi verificado. Ou seja, 3 é divisor de 225, pois 3 é divisor de 9.
3 | 225, uma vez que 3 | 9
4) Verificar se a = 231 é divisível por 11.
Podemos escrever o número a ser analisado como:
231 = 2 . 102 + 3 . 101 + 1
Lembrando que:
11 | a ⇔ 1 | (r0 – r1 + . r2 –r3 + ...)
(r0 – r1 + . r2 –r3) = 1 – 3 + 2 – 0 = 0
Como o critério de divisibilidade por 11 exige que sejam efetuadas diferenças entre os rn foi necessário 
escrever o número dado na forma:
231 = 0 . 103 + 2 . 102 + 3 . 101 + 1, ou seja, da direita para a esquerda:
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r0 = 1, r1 = 3, r2 = 2, r3 = 0
Obtendo as diferenças utilizadas acima:
r0 – r1 = 1 – 3, r2 – r3 = 2 – 0
Portanto, 231 é divisível por 11, uma vez que o critério foi verificado. Ou seja, 11 é divisor de 231, 
pois 11 é divisor de 0.
11 | 231, uma vez que 11 | 0
1) Verificar se a = 7264 é divisível por 8.
Como:
8 = 23
Logo, confrontando com o critério (vi):
m = 3
Podemos escrever o número a ser analisado como:
7264 = 7 . 103 + 2 . 102 + 6 . 101 + 4
Ou seja, da direita para a esquerda:
r0 = 4, r1 = 6, r2 = 2, r3 = 7
Lembrando que pelo critério v:
2m | a ⇔ 2m | (rm–1 . 10
m–1 + r1 . 10 + . r0)
Então:
23 | 7264 ⇔ 23 | (r2 . 10
2 +... + r1 . 10 + . r0)
23 | 7264 ⇔ 23 | (2 . 102 + 6 . 10 + . 4)
23 | 7264 ⇔ 23 | 264
É preciso verificar se 264 é divisível por 8.
Da direita para a esquerda de 264 = 2 . 102 + 6 . 10 + 4 
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r0 = 4, r1 = 6, r2= 2
Lembrando que:
2m | a ⇔ 2m | (rm–1 . 10
m–1 + ... + r1 . 10 + . r0)
Então:
23 | 264 ⇔ 23 | (6 . 10 + 4)
Como 8 é divisor de 64, então a = 7264 também é divisível por 8.
Proposição
Se
b | a e a ≠ 0,
então |b| < |a|.
7.2 Maior divisor comum (MDC)
Definição: Maior divisor comum – MDC
Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. O máximo divisor comum de a e b é um 
número inteiro d tal que:
i) d | a e d | b.
ii) Se c ∈ Zé tal que c | a e c | b, então c | d.
Assim, chama‑se máximo divisor comum, ou maior divisor comum de a e b, o maior dos seus divisores 
comuns, isto é:
mdc (a, b) = max D (a, b)
 Observação
Existindo mdc(a, b), então mdc(a, b) = mdc(b, a).
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Exemplos
1) Para um número inteiro dado, indicar por D(a) o conjunto de seus divisores e M(a) o conjunto de 
seus múltiplos.
D(2) = {1, ‑1, 2, ‑2} e M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ...}.
D(‑3) = {1, ‑1, 3, ‑3} e M(‑3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}.
D(0) = Z e M(0) = {0}.
D(3) = {1, ‑1, 3, ‑3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}.
D(1) = {1} e M(1) = Z.
2) Utilizando os resultados do exercício acima, obter:
mdc(3, 3) = 3
mdc(3, ‑3) = 3
mdc(1, ‑3) = 1
mdc(1, 3) = 1
Consequências:
1) Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. Então o máximo divisor comum de 
a e b é o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z.
2) Sejam a, b ∈ Z*. Se existem r, s ∈ Z, tais que ra + sb = 1, então a e b são primos entre si.
3) Dois números inteiros a e b são ditos relativamente primos se mdc(a, b) = 1.
Teorema de Euclides
Sejam a, b ∈ Z, tais que a | b . c. Se mdc(a, b) = 1, então a | c.
Exemplo
1) Seja n ∈ Z*, mostrar que se mdc(n, 1) = 1.
Como os números n e 1 são diferentes de zero, então o máximo divisor comum desses números é 
o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z. Logo:
ra + sb = 1
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 Observação
Os números r e s procurados não são unicamente determinados. A 
forma de determinar o conjunto das soluções de equações como esta será 
assunto no estudo de equações diofantinas, ainda neste tópico.
É possível mostrar, no entanto, que r =1 e s = 1 – n constituem solução para a equação:
1n + (1–n) . 1 = 1
Utilizando as propriedades dos números Inteiros para adição e multiplicação:
n + 1 – n = 1
n – n + 1 = 1
+1 = 1
2) Mostrar que se mdc(‑26, 18) = 2, então existe um número inteiro positivo da forma ra + sb = 2, 
tal que r = 2 e s = 3.
Como os números ‑26 e 18 são diferentes de zero, então o máximo divisor comum desses números 
é o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z. Logo:
r (–26) + s(18) = 2
Utilizando as propriedades dos números inteiros para adição e multiplicação:
–26r + 18s = 2
É possível mostrar que r = 2 e s = 3 constituem uma das possíveis soluções para a equação:
–26.2 + 18.3 = 2
–52 + 54 = 2
+2 = 2
 Observação
Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. Se o 
máximo divisor comum de a e b é d então:
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mdc
a
d
b
d
,

 = 1
Observação: Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de 
zero. Então o máximo divisor comum de a e b é o menor número inteiro 
positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z.
7.3 Mínimo múltiplo comum – MMC
Definição: mínimo múltiplo comum – MMC
Sejam a, b ∈ Z*. O mínimo múltiplo comum de a e b é um número inteiro m tal que:
a | m e b | m
Se c ∈ Zé tal que a | c e b | c, então m | c.
Assim, chama‑se mínimo múltiplo comum de a e b o menor dos seus múltiplos positivos comuns, isto é:
mmc (a, b) = minM+ (a, b)
 Observação
Sejam a, b ∈ Z+, então:
mmc (a, b) . mdc (a, b) = a .b
Exemplo
1) Em exemplos anteriores foi constatado que:
D(3) = {1, ‑1, 3, ‑3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}
D(1) = {1} e M(1) = Z
mdc (3, 3) = 3
mdc (1, 3) = 1
Utilizando esses resultados, obter o mmc(3, 3) e mmc(1, 3) de acordo com a afirmação acima de que:
mmc (a, b) . mdc (a, b) = a .b
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a) Tomando M+(3) = {3, 6, 9, ...}
Observe que pela definição de mínimo múltiplo comum a, b ∈ Z*
Portanto, 0 ∉ M+ (3).
mmc (3, 3) . mdc (3, 3) = 3 .3
mmc (3, 3) . 3 = 9
mmc (3. 3) = 3
Observando os conjuntos M+(3) e M+(3), comprova‑se o resultado obtido.
a) Tomando M+(1) = Z+ = {1, 2, 3....} e M+(3) = {3, 6, 9, ...}
Observe que pela definição de mínimo múltiplo comum a, b ∈ Z*
Portanto, 0 ∉ M+ (1)
mmc (1, 3) . mdc (1, 3) = 1 .3
mmc (1, 3) . 1 = 3
mmc (1. 3) = 3
Observando os conjuntos M+(1) e M+(3), comprova‑se o resultado obtido.
7.4 Congruências módulo m em Z – aritmética modular
7.4.1 Introdução
O conceito de congruência na Teoria dos Números, observam Nascimento e Feitosa (2009) e 
Domingues (1998), foi introduzido por Karl Friedrich Gauss em um trabalho intitulado Disquisitiones 
aritmeticae, publicado em 1801, com apenas 24 anos de idade. Uma das importantes aplicações de 
congruência é encontrar o resto da divisão, uma vez que cada número inteiro é congruente ao resto de 
sua divisão pelo número que define a congruência.
7.4.2 Congruências
 Lembrete
A definição a seguir já havia sido introduzida na seção de exercícios 
do tópico 2. Mas naquele momento ela foi tomada apenas em relação à 
proporcionalidade entre dois números inteiros.
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Definição
Seja m ∈ Z : m > 1. Dados x, y ∈ Z, dizemos que x é côngruo a y, módulo m, se e somente se, m 
dividir x – y (o que é representado por m | (x – y)).
Notação: x ≡ y(mod m) ⇔ m | (x – y)
Exemplos
1) Um interessante exemplo de matemática modular, a partir do conceito de congruências 
módulo m em Z, encontra‑se em Domingues (1998, p. 124‑125). O autor propõe o seguinte 
problema: considere a correspondência biunívoca entre a sucessão dos dias e o conjunto dos 
números inteiros: o dia de sábado será considerado como ponto de partida (dia de hoje) e a ele 
será associado o número 0, ao dia de domingo (amanhã) o 1, e assim por diante. Dessa forma, 
o dia de sexta‑feira (ontem) será associado ao ‑1, ao de anteontem ‑2 etc. Observe o quadro 
abaixo:
Quadro 1
‑14 ‑13 ‑12 ‑11 ‑10 ‑9 ‑8
‑7 ‑6 ‑5 ‑4 ‑3 ‑2 ‑1
Sábado Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
A primeira coluna representa os sábados: abaixo da linha do 0, posteriores a hoje; acima, anteriores. 
Dois números inteiros representam o mesmo dia da semana se, e somente se, sua diferença é um múltiplo 
de 7. Denominando os números da primeira coluna como 7k, a segunda será representada por 7k+1, e 
assim sucessivamente, com k = 0, ±1, ±2...
Para ser respondida, a partir desse esquema, o autor coloca a questão: considerando que hoje é 
sábado, daqui a 152 dias, que dia da semana será? E há 152 dias, que dia da semana foi?
Como os dias da semana podem ser modulados segundo o esquema acima, então se pelo algoritmo 
da divisão de Euclides, visto na unidade anterior:
a = qb + r
152 7
215
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Então: 
152 = 21.7 + 5
Logo 152 está na coluna do 5(quinta‑feira).
Da mesma forma podemos escrever:
–152 = (–22) . 7 + 2
Então, ‑152 está na coluna do 2 (segunda‑feira).
Assim, o problema proposto poderia ser escrito da seguinte forma, uma vez que:
x ≡ y(mod m) ⇔ m | (x – y) 
a) 152 ≡ 5(mod 7), uma vez que 7 | (152 – 5).
b) – 152 ≡ 2(mod 7), uma vez que 7 | (–152 –2).
Sejam a, m, r ∈ Z, m > 1. Se r é o resto da divisão de a por m, então a ≡ r (mod m).
2) Mostrar que 7 ≡ –1 (mod 4) é verdadeira.
Sabe‑se que:
x ≡ y (mod m) ⇔ m | (x – y)
Logo:
7 ≡ –1(mod 4) ⇔ 4 | (7–(–1),
7 ≡ –1(mod 4) ⇔ 4 | (7+1),
7 ≡ –1(mod 4) ⇔ 4 | 8
Portanto, a expressão é verdadeira, uma vez que 4 é divisor de 8.
3) Mostrar que 31 ≡ 31 (mod 7) é verdadeira.
Sabe‑se que:
x ≡ y (mod m) ⇔ m | (x –y)
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Logo:
31 ≡ 31 (mod 77) ⇔ 77 | (31 –31)
31 ≡ 31 (mod 77) ⇔ 77 | 0
Portanto, a expressão é verdadeira, porque 77 é divisor de 0 (uma vez que todo número inteiro é 
divisor de 0).
Importante
A congruência módulo m é uma relação de equivalência, uma vez que é:
i) Reflexiva
Para todo a ∈ Z, tem‑se a – a = 0 = 0 . m, isto é, a ≡ a (mod m)
Logo, a relação é reflexiva.
ii) Simétrica
Para todo a, b ∈ Z, se a ≡ b (mod m), então a – ≡ km.
Para todo a, b ∈ Z, se b ≡ a (mod m), então b – a ≡ k1m.
Mas:
b – = –(a –b) = –k . m, logo k1 = –k
Logo, a relação é simétrica.
iii) Transitiva
Para todo a, b, c ∈ Z, se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), então a – b ≡ k1m b – c ≡ k2m.
No entanto, usando as propriedades dos números inteiros, é possível escrever que a – c = a – b + 
b – c = (a – b) + (b – c) = k1m + k2m
Observe que se somou –b + b (simétrico aditivo) à expressão a – c, uma vez que –b + b = 0 (elemento 
neutro da adição).
= k1m + k2m = (k1 + k2) . m.
Logo, a relação é transitiva.
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Sejam a, b ∈ Z. Então a ≡ b (mod m) se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m.
Sejam a, b, c, d, m ∈ Z > 1. Então:
i) Se a ≡ b (mod m), então a + c ≡ b + c (mod m).
ii) Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a + c ≡ b + d (mod m).
iii) Se a ≡ b (mod m), então a . c ≡ b . c (mod m).
iv) Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a.c ≡ b.d (mod m).
v) Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod m).
vi) Se a+ c ≡ b (mod m) , então a ≡ b (mod m).
vii) Se c ≠ 0, (c, m) = 1 e a.c ≡ b.c (mod m), então a ≡ b (mod m).
viii) Se c ≠ 0 e a.c ≡ b.c (mod m), então a b
m
d
≡



mod
 em que d = mdc (c, m).
 Lembrete
(am)n = am.n
Exemplos
1) Obter o resto da divisão de 5100 e 5101 por 24.
a) Observe que:
25 24
11
Então, como foi visto acima que:
Sejam a, m, r ∈ Z, m > 1. Se r é o resto da divisão de a por m, então a ≡ r(mod m).
Então:
a ≡ r (mod m)
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25 ≡ 1 (mod 24)
52 ≡ 1 (mod 24)
De acordo com o quadro acima:
Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod m).
Logo:
(52)50 ≡ 150 (mod 24)
5100 ≡ 1 (mod 24)
Assim, o resto da divisão de 5100 por 24 é 1.
a) Como a congruência módulo m é uma relação de equivalência, é verdade que:
a ≡ a (mod m)
Logo:
5 ≡ 5 (mod 24) (1)
No item a obteve‑se que:
5100 ≡ 1 (mod 24) (2)
De acordo com o quadro acima:
Se c ≡ d (mod m), então a.c ≡ b.d (mod m).
Então, utilizando os resultados (1) e (2):
a.c ≡ b.d (mod m)
515100 ≡ 5 . 1 (mod 24)
5101 ≡ 5 (mod 24)
Assim, o resto da divisão de 5101 por 24 é 5.
2) Obter o resto da divisão de 19138 por 17.
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Observe que:
19 17
12
Então, como foi visto acima que:
Sejam a, m, r ∈ Z, m > 1. Se r é o resto da divisão de a por m, então a ≡ r (mod m).
Então:
a. ≡ r (mod m)
19 ≡ 2 (mod 17)
De acordo com o quadro acima:
Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod m).
Logo:
(19)2 ≡ 22 (mod 17) ≡ 4 (mod 17)
(19)2 ≡ 4 (mod 17) (1)
(19)3 ≡ 23 (mod 17) ≡ 8 (mod 17)
(19)4 ≡ 24 (mod 17) ≡ 16 (mod 17)
Mas observe que:
a 17
116
Como:
a = b . q + r
a = 1 . 17 + 16 (2)
Como o resto, nesse caso, está próximo de 17, vamos considerar que o quociente tenha mudado 
para 2:
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a 17
2r
Novamente:
a = b . q + r
a = 2 . 17 + r (3)
Igualando (2) e (3):
1.17 + 16 = 2 . 17 + r
1 . 17 – 2 . 17 + 16 = r
–17 + 16 = r
–1 = r
Portanto,
16 (mod 17) é equivalente a –1 (mod 17)
Retomando:
(19)4 ≡ 24 (mod 17) ≡ 16 (mod 17)
Temos:
(19)4 ≡ 24 (mod 17) ≡ 16 (mod 17) ≡ –1 (mod 17)
(19)4 ≡ –1 (mod 17) (4)
Como nosso objetivo é obter o resto de 19138 dividido por 17:
138 4
342
Então:
a = b . q + r
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138 = 4.34 + 2
Podemos escrever 19138 = 194.34+2
Assim, (3) pode ser escrito como:
(194)34 ≡ (–1)34 (mod 17)
(194)34 ≡ 1 (mod 17) (4)
Acima, em (1), obteve‑se que:
(19)2 ≡ 4 (mod 17) (5)
Utilizando:
Se a ≡ b (mod m), e c ≡ d (mod m), então a.c ≡ b.d (mod m).
(194)34 . (19)2 ≡ 1 . 4 (mod 17)
194.34.192 = 194.34+2 = 19138
19138 ≡ 4 (mod 17)
Assim, o resto da divisão de 19138 por 17 é 4.
7.4.3 Aritmética modular (aritmética módulo m)
Seja m ∈ Z : m > 1. Dado a ∈ Z, denotamos a classe de equivalência de a módulo m por 
a r Z r a m
−
= ∈ ≡{ : (mod )} .
Zn é denominado conjunto quociente de Z pela relação de congruência módulo m. Assim, 
Z a a Zn = ∈{ : }
_
.
Exemplo
1) Listar os elementos na congruência módulo 3, ou seja, Z3 0= { , , }
_
 1 2
_ _
.
Z nm = −{ , , , ..., }
_ ______
0 1 1 2
_ _
 é um conjunto com m elementos.
a) 0 0 3 3 0 3
_
{ : (mod )} { : | ( )} { : ,= ≡ = − = = ∈ =a a a a a a m m Z} {..., ‑9, ‑6, ‑33, 0, 3, 6, 9...}
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b) 1 1 3 3 1 1 3 3 1
_
{ : (mod )} { : | ( )} { : , { : ,= ≡ = − = − = ∈ = = +a a a a a a m a a m m m Z} ∈∈ =
= + ∈ =
Z
 Z} {..., ‑8, ‑5, ‑2, 1, 4, 7, 10...}
}
{ ,a m m3 1
c) 2 2 3 3 2 2 3 3 2
_
{ : (mod )} { : | ( )} { : , { : ,= ≡ = − = − = ∈ = = +a a a a a a m a a m m m Z} ∈∈ =
= + ∈ =
Z
, Z} {..., ‑7, ‑4, ‑1, 2, 5, 8, 11...}
}
{a m m3 2
Adição e multiplicação em Zm
Para a b Zm
_ _
, ∈ :
a + b = a + b
a . b = a . b
8 EQUAÇÕES DIOFANTINAS
8.1 Introdução
Segundo Nascimento e Feitosa (2009) e Domingues (1998), a denominação de equações 
diofantinas para todas as equações polinomiais (com qualquer número de incógnitas), com 
coeficientes inteiros, deve‑se ao interesse de Diofanto de Alexandria por algumas equações, em 
casos particulares.
Diofanto de Alexandria, segundo Domingues (1998), viveu provavelmente no século III d.C. e a ele 
é atribuída uma coletânea de problemas, na maioria indeterminados, para cuja solução usou sempre 
métodos algébricos, o que o distingue substancialmente da matemática grega clássica. Dele se conhecem 
duas obras: Sobre números poligonais e Aritmética. Da última só restaram seis livros (dos 13 existentes, 
segundo o prefácio), sendo a mais importante e original.
8.2 Equações diofantinas lineares(a duas incógnitas)
Uma equação diofantina:
ax + by = c
Em que a ≠ 0 ou b ≠ 0 , admite solução se, e somente se, d = mdc(a, b) divide c.
Seja (x0, y0) uma particular solução da equação diofantina ax + by = c em que a ≠ 0 ou b ≠ 0, d = 
mdc(a, b) e d|c. Então essa equação admite infinitas soluções e o conjunto de soluções é:
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S x r
c
d
y s
c
d
d ra sb= − −



 = +0 0, onde 
S x
b
d
t y
a
d
t t Z= + −

 ∈

0 0, | 
Se a ≠ 0 ou b ≠ 0 e mdc(a, b) = 1, então a equação diofantina
ax + by = c 
tem conjunto solução não vazio dado por:
S = {(x0 + bt, y0 – at) | t ∈ Z}
Onde (x0, y0)é uma das soluções particulares.
Exemplo
1) Encontrar todas as soluções inteiras da equação 15x – 51y = 42.
Observe que:
a = 15
b = ‑51
d = mdc(15, ‑51) = 3
Como uma das soluções é dada por:
S x r
c
d
y s
c
d
d ra sb= − −



 = +0 0, onde 
É necessário obter r e s tais que:
3 = 15r – 51s (1)
Para isso é necessário escrever 51 e 15 de outras formas:
51 = 3.15 + 6 => 51 – 3.15 = 6 (2)
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15 = 2.6 + 3 => 15 – 2.6 = 3 (3)
Assim, substituindo (2) em (3):
3 = 15 – 2.(51 – 3.15)
3 = 15 – 2.51 + 6.15
3 = 7.15 – 2.51 (4)
Comparando (1) e (4), obtêm‑se r = 7 e s = 2.
Então:
(x0, y0) = (98, 28)
x r
c
d0
=
x0 7
42
3
98= =
y s
c
d0
=
y0 2
42
3
28= =
Como:
S x
b
d
t y
a
d
t t Z d mdc a b= + −

 ∈

 =0 0, | ( , ) onde 
S t t t Z= +
−
−



 ∈

98
51
3
28
15
3
, | 
S = {(98 – 17t, 28 – 5t) | t ∈ Z
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8.3 Equações diofantinas lineares (a três incógnitas)
Dada a equação diofantina
ax + by + cz = f
em que a ≠ 0 ou b ≠ 0 ou c ≠ 0 , d = mdc(a, b, c) e d|c . Então essa equação admite infinitas soluções.
Se mdc(a, b) = d1, então existem k1 e k2 ∈ Z para os quais ak1 + bk2 = d1. Como d = mdc (d1, c), então 
existem k, z0 ∈ Z de maneira que d = d1k + c.z0. Assim:
d = (ak1 + bk2)k + c. z0
d = a(k1.k) + b(k2.k) + c. z0
Fazendo x0 = (k1.k) e y0 = (k2.k):
d = a. x0 + b. y0 + c. z0
Assim, se a equação dada admite solução, como f = d.q para algum q ∈ Z, então:
a(x0q) + b(y0q) + c(z0q) = dq = f
Portanto, uma das soluções particulares da equação é dada por:
(x0q, y0q, z0q)
Seja (x0, y0) uma particular solução da equação diofantina ax + by = c em que a ≠ 0 ou b ≠ 0, d = 
mdc(a, b) e d|c . Então essa equação admite infinitas soluções e o conjunto de soluções é:
Exemplo
Encontrar uma solução particular da equação (DOMINGUES, 1998, p. 122):
100x + 72y + 90z = 6
Observe que:
a = 100
b = 72
c = 90
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f = 6
d = mdc(100, 72, 90) = 2
d | f, uma vez que 2 | 6
Uma equação equivalente à dada é a obtida quando se dividem por ambos os membros da igualdade:
50x + 36y + 45z = 3 (1)
O passo seguinte é escrever 50 e 36 de outras formas:
50 = 1.36 +14 → 50 – 1.36 = 14 (2)
36 = 2.14 + 8 → 36 – 2.14 = 8 (3)
14 = 1.8 + 6 → 14 – 1.8 = 6 (4)
8 = 1.6 + 2 → 8 – 1.6 = 2 (5)
6 = 2.3 (6)
Assim, substituindo (4) em (5):
2 = 8 – 1.(14‑1.8)
2 = 8 – 1.14 +1.8
Substituindo (3):
2 = 8 – 1.14 +1.(36 – 2.14)
2 = 8 – 1.14 +1.36 – 2.14
2 = 8 – 3.14 +1.36
Substituindo (3) e (2):
2 = (36 – 2.14) – 3.(50 – 1.36) +1.36
2 = 36 – 2.14 – 3.50 + 3.36 +1.36
2 = – 2.14 – 3.50 + 5.36
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2 = – 2. (50‑1.36) – 3.50 + 5.36
2 = – 2.50 + 2.36 – 3.50 + 5.36
2 = – 5. 50 + 7.36 (7)
Falta escrever 45 de outra forma:
45 = 2.22 +1 => 1 = 45 – 2.22
1 = 45 + 2.(‑22)
Substituindo (7):
1 = 45 + (‑5.50 + 7.36).(‑22)
1 = 45 + (‑5)(‑22).50 + 7(‑22).36
1 = 45 + 110.50 ‑154.36
1 = 110.50 ‑154.36 + 1.45
Multiplicando a expressão por 3:
3 = 330.50 ‑462.36 + 3.45 (8)
Comparando (1) e (8):
x = 330
y = ‑462
z = 3
Ou seja, a terna (330, ‑462, 3) é uma solução da equação dada.
 Resumo
Na unidade anterior, além do panorama histórico que foi palco do 
desenvolvimento dos números, foram apresentadas algumas noções 
gerais, mas fundamentais, para a fundamentação teórica do licenciando 
sobre conjuntos, relações entre conjuntos, particularmente as relações de 
equivalência e de ordem.
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Nessa segunda unidade, foram introduzidos os conceitos de indução 
matemática, de bases, critérios de divisibilidade, múltiplos e divisores, 
números primos e congruências. Todos esses assuntos estão intimamente 
ligados à formação fundamental das crianças e adolescentes, que 
constituem o público preferencial dos futuros professores de matemática.
O conteúdo de indução matemática foi desenvolvido focado em 
progressões geométricas – conteúdo do Ensino Médio, portanto sem o rigor 
próprio que seria devido a um bacharelado em Matemática, mas não a uma 
licenciatura. Basicamente, a intenção era introduzir o caráter axiomático 
da matemática a partir do princípio postulado por Peano para os números 
naturais.
O conteúdo de bases de numeração e representação explorou o sistema 
de numeração posicional e assim mostrou que há diversas maneiras para 
se representar um número inteiro. Da mesma forma, o estudo dos números 
primos tem grande importância no estudo das propriedades multiplicativas 
de números inteiros, uma vez que qualquer número inteiro pode ser escrito 
como um produto de números primos.
O estudo de congruência permite encontrar o resto de uma divisão, 
uma vez que cada inteiro é congruente ao resto de sua divisão pelo número 
que define a congruência.
 Exercícios
Questão 01. (ENADE‑MATEMÁTICA/2008) Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de 
todos os números racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i > 1, Ii denote 
o intervalo aberto η η− +

− −
1
2
1
22 2i i
. , cujo comprimento é Ii. Qual é a soma da série 
=
∞∑ 1I ii ?
A) 1/3
B) 1/2
C) 2/3
D) 3/4
E) 5/4
Resposta correta: alternativa B.
121
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
Teoria dos números
Análise das alternativas:
Seguindo a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita convergente, fazemos o que segue.
I r r1 1 3 1 3
1
2
1
2
= − +{ , }
I r r2 1 4 1 4
1
2
1
2
= − +{ , }
L1, L2, L3, ... definem comprimentos de cada intervalo I1, I2, I3, ...
Logo,
L r r1 1 3 1 3 3
1
2
1
2
2
2
= + − + =
L r r2 1 4 1 4 4
1
2
1
2
2
2
= + − + = , e assim sucessivamente.
Então, temos Li
i=
∞
∑ = + + + =
−
= = =
1
3 4 5
32
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
8
1
2
4
8
1
2
... .
Logo, a soma da série Li
i=
∞
∑
1
 resulta em 
1
2
.
Sendo assim,
(A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(B) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(C) Alternativa incorreta.
Justificativa:de acordo com os cálculos.
(D) Alternativa incorreta.
122
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
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- 
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/1
2/
20
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Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
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Justificativa: de acordo com os cálculos.
(E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 02. (ENADE‑MATEMÁTICA/2005) O mandato do reitor de uma universidade começará no 
dia 15 de novembro de 2005 e terá duração de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa 
situação, conclui‑se que o último dia do mandato desse reitor será no(a):
A) Sexta‑feira.
B) Sábado.
C) Domingo.
D) Segunda‑feira.
E) Terça‑feira.
Resolução desta questão na Plataforma.
123
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
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/1
2/
20
11
Teoria dos números
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
VZS0VV.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso 
em: 12 dez. 2011.
Figura 2
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 3
BRITISHMUSEUMVISIT171052.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://www.pics4learning.com/>. 
Acesso em: 12 dez. 2011.
Figura 4
CEYFSS.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso 
em: 12 dez. 2011.
Figura 5
BM_CUNEIFORM.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. 
Acesso em: 12 dez. 2011.
Figura 6
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 7
HIERO36141.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://www.pics4learning.com/>. Acesso em: 12 dez. 
2011.
Figura 8
PAPYRUS_ANI_CURS_HIERO.JPG.HTML?G2_IMAGEVIEWSINDEX=1.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: 
<www.burningwell.org>. Acesso em: 12 dez. 2011.
Figura 9
HIEROGLYPHICS.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://www.pics4learning.com/>. Acesso em: 12 
dez. 2011.
124
Figura 11
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 12
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 13
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 14
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 15
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 16
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 20
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 21
3ZXJ66.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso 
em: 12 dez. 2011.
Figura 22
4A26503V.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://lcweb2.loc.gov/service/pnp/det/4a20000/4a260
00/4a26500/4a26503v.jpg>. Acesso em: 7 nov. 2011.
Figura 23
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 24
Arquivo UNIP Interativa.
125
Figura 25
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 26
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 32
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 33
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 34
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 35
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 36
Arquivo UNIP Interativa.
Figura 37
Arquivo UNIP Interativa.
REFERÊNCIAS
Textuais
ALENCAR FILHO, E. Teoria elementar dos conjuntos. São Paulo: Nobel, 1968.
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Blucher, 2009.
BADILLO, R.G. Un concepto epistemológico de modelo para la didáctica de las ciências experimentales. 
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das disciplinas científicas. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual 
Paulista. Bauru, 2011.
126
BERNARDES, M. Educação, relações capitalistas, estratégias e táticas: um ensaio a partir de 
algumas escolas de ensino superior de Maringá (PR). Tese (Doutorado em Educação para a Ciência). 
Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2009.
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Paulista. Bauru, 2011.
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127
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128
SCARPIM, S. Modelagem inicial para o ensino de geometria euclidiana plana segundo a teoria da 
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SFORNI, M.. Aprendizagem conceitual e organização do ensino: contribuições da teoria da atividade. 
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VIGOTSKI, L. S. Obras escogidas. Moscou: Editorial Pedagógica, 1983. In: SCARPIM, S. 
Modelagem inicial para o ensino de geometria euclidiana plana segundo a teoria da atividade 
de estudo. Bauru, 2010. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade 
Estadual Paulista.
Exercícios
Unidade I – Questão 1 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2005: Matemática. Questão 
37. Disponível em: < http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 07 dez. 2011.
Unidade I – Questão 2 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 
20. Disponível em: < http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 07 dez. 2011.
Unidade II – Questão 1 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 
24. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 07 dez. 2011.
Unidade II – Questão 2 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2005: Matemática. Questão 
19. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 07 dez. 2011
129
Sites
<http://www.cle.unicamp.br/principal/grupoglta/index.php?pag=publicacoes.php>
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_grega.htm>.
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_romana.htm>.
130
131
132
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000