Notas de Aula 01 Topografia - Arquitetura Uninove - Prof. Luciano

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TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 1 
Aula 1 – Introdução 
Introdução: 
O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questões de sobrevivência, 
orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc. No princípio a representação do espaço 
baseava-se na observação e descrição do meio. Cabe salientar que alguns historiadores dizem que o 
homem já fazia mapas antes mesmo de desenvolver a escrita. Com o tempo surgiram técnicas e 
equipamentos de medição que facilitaram a obtenção de dados para posterior representação. A 
Topografia foi uma das ferramentas utilizadas para realizar estas medições. 
Definição: 
A palavra “TOPOGRAFIA” deriva das palavras gregas “TOPOS” (lugar) e “GRAPHEN” 
(descrever), o que significa, de uma forma bastante simples, a descrição exata e minuciosa do lugar. 
Finalidade: 
Determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície 
terrestre, desconsiderando a curvatura da esfericidade da Terra. 
O objetivo principal é efetuar o levantamento (executar medições de ângulos, distâncias e 
desníveis) que permita representar uma porção da superfície terrestre em uma escala adequada. Às 
operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representação, 
denomina-se de Levantamento Topográfico. 
Metodologia: 
Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre a superfície 
da Terra e a partir destas medidas são calculados áreas, volumes, coordenadas, etc. Além disto, 
estas grandezas poderão ser representadas de forma gráfica através de mapas ou plantas. Para 
tanto é necessário um sólido conhecimento sobre instrumentação, técnicas de medição, métodos de 
cálculo e estimativa de precisão. As técnicas de levantamento topográfico fazem uso de diversos 
conceitos da Geometria Clássica. 
O trabalho prático da Topografia pode ser dividido em cinco etapas: 
1) Tomada de decisão, onde se relacionam os métodos de levantamento, equipamentos, 
posições ou pontos a serem levantados, etc. 
2) Trabalho de campo ou aquisição de dados: fazer as medições e gravar os dados. 
3) Cálculos ou processamento: elaboração dos cálculos baseados nas medidas obtidas para a 
determinação de coordenadas, volumes, etc. 
4) Mapeamento ou representação: produzir, em escala adequada, o mapa ou carta a partir 
dos dados medidos e calculados. 
5) Locação. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 2 
De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de 
Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: 
“Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e 
verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado 
à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no 
terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam 
os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala 
pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, 
com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” 
Representação: 
A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de 
uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica. Isto equivale dizer que, não 
só os limites desta superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão 
projetadas sobre um plano considerado horizontal. A esta projeção ou imagem figurada do terreno 
dá-se o nome de Planta ou Plano Topográfico - (ESPARTEL, 1987). 
A figura abaixo representa exatamente a relação da superfície terrestre e de sua projeção 
sobre o papel. 
 
Divisão: 
Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser divido em duas partes: o 
Levantamento Planimétrico, onde se procura determinar a posição planimétrica dos pontos 
(coordenadas X e Y) e o Levantamento Altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude 
de um ponto (coordenada Z). A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem ao chamado 
Levantamento Planialtimétrico. Em outras palavras: 
Planimetria: é a parte que ensina a medida dos ângulos e das linhas no plano horizontal. Ela 
considera todos os pontos topográficos como situados no mesmo plano horizontal, cuidando de 
definir as suas posições relativas, como se todos possuíssem, a mesma altitude. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 3 
 
Altimetria: trata da medida dos ângulos e das linhas no plano vertical, visando determinar as 
diferentes alturas dos diversos pontos que interessam à definição do “acidente” a ser representado. 
A operação que constitui o objeto da altimetria é o nivelamento. 
 
É conveniente ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos 
e executados em função das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir somente 
levantamentos planimétricos, ou, somente levantamentos altimétricos, ou ainda, ambos os 
levantamentos (planialtimétrico). 
A figura abaixo ilustra o resultado de um levantamento planialtimétrico de uma área. 
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 4 
Áreas de atuação: 
A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento das 
formas e dimensões do terreno é importante. Alguns exemplos de aplicação: 
• projetos e execução de estradas; 
• grandes obras de engenharia, como pontes, portos, viadutos, túneis, etc. 
• locação de obras; 
• trabalhos de terraplenagem; 
• monitoramento de estruturas; 
• planejamento urbano; 
• irrigação e drenagem; 
• reflorestamentos; 
• etc. 
Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planejamento e projeto, 
fornecendo informações sobre o terreno; na execução e acompanhamento da obra, realizando 
locações e fazendo verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua 
execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas. 
Ciências ligadas à Topografia: 
A Topografia é uma técnica aplicada, na forma de uma simplificação da Geodésia, usando como base 
a geometria e trigonometria planas, destinada ao uso cotidiano de engenheiros, arquitetos, geógrafos, etc. 
As Ciências Geodésicas (Cartografia, Astronomia, Geodésia, Fotogrametria e Imageamento 
por Satélites), que tem como objeto o estudo e representação da Terra, podem ser divididas em 
três sub-grupos: a Cartografia, a Geodésia (de onde se deriva a topografia) e o Sensoriamento 
Remoto. Todos esses sub-grupos tiveram forte evolução tecnológica ao longo das últimas décadas, 
resultando nas modernas tecnologias de SIG (Sistemas de Informações Geográficas), 
Posicionamento e Imageamento por Satélites. 
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 5 
A evolução de um dos sub-grupos tem servido de motor para os outros sub-grupos, havendo 
uma forte e constante inter-relação. As novas tecnologias, chamadas atualmente de geotecnologias, 
só tem feito aumentar a importância e uso dos conhecimentos das ciências básicas e das práticas 
das técnicas aplicadas. Os melhores resultados se têm obtido através do uso de métodos híbridos 
que têm associado de forma complementar várias técnicas em um mesmo trabalho. 
Limites da Topografia: 
Na Topografia considera-se a porção da Terra em estudo como sendo plana, ou seja, não leva em 
conta a curvatura da Terra. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os 
cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões 
limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 
(Execução de Levantamento Topográfico), porém, admite um plano com até aproximadamente 80 km. 
Modelos Terrestres: 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua 
representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para 
efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura 
empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície. 
Modelo Real 
Este modelo permitiria a representação da Terra tal qual 
ela se apresenta na realidade, ou seja, sem as 
deformações/aproximações que os outros modelos apresentam. 
No entanto, devido à irregularidade da superfície terrestre, o 
modelo real não dispõe, até o momento, de definições 
matemáticas adequadas à sua representação. Em função disso, 
outros modelos menos complexos foram desenvolvidos. 
Modelo Esférico 
Este é um modelo bastante simples, onde a Terra é 
representada como se fosse uma esfera. O produto desta 
representação, no entanto, é o mais distante da realidade, ou 
seja, o terreno representado segundo este modelo apresenta-se 
bastante deformado no que diz respeito à forma das suas feições e à posição relativa das mesmas. 
Um exemplo deste tipo de representação são os globos encontrados em livrarias e papelarias. 
Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da 
Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta 
esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de 
Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude 
e longitude astronômicas. A figura ao lado ilustra estas 
coordenadas. 
- Latitude Astronômica (Φ
ΦΦ
Φ): é o arco de meridiano 
contado desde o equador até o ponto considerado, sendo, 
por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no 
hemisfério Sul. 
- Longitude Astronômica (Λ
ΛΛ
Λ): é o arco de equador 
contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o 
meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude 
varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a 
-180º por oeste de Greenwich. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 6 
Modelo Geoidal 
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. Permite que a superfície 
terrestre seja representada por uma superfície fictícia definida, teoricamente, como sendo o nível 
médio dos mares (NMM) em repouso, prolongado através dos continentes. Contudo, este modelo, 
evidentemente, irá apresentar a superfície do terreno deformada em relação à sua forma e posição 
reais. Essa irregularidade é de difícil tratamento matemático. 
O modelo geoidal é determinado, matematicamente, através de medidas gravimétricas (força 
da gravidade) realizadas sobre a superfície terrestre. Os levantamentos gravimétricos, por sua vez, 
são específicos da Geodésia e, portanto, não serão abordados por esta disciplina. 
Modelo Elipsoidal 
É o mais usual de todos os modelos apresentados. Nele, a Terra é representada por uma 
superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução, com deformações relativamente maiores 
que o modelo geoidal. 
O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-
elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se 
um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de 
Geodésia no mundo. 
Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) 
e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o 
achatamento f, expressos abaixo: 
 
As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas: 
- Latitude Geodésica (φ
φφ
φ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, 
sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. 
- Longitude Geodésica (λ
λλ
λ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich 
(origem) e o ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste. 
A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física. 
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 7 
Em Madri, 1924, foram aprovados os estudos de Hayford (1909) e adotado para o elipsóide 
internacional da Terra: semi-eixo maior a = 6378km e achatamento f = 1/297. No Brasil, as cartas 
produzidas no período de 1924 até meados da década de 80 utilizaram como referência os 
parâmetros de Hayford. A partir desta época, as cartas produzidas passaram a adotar como 
referência os parâmetros definidos pelo Geodetic Reference System - GRS 67, mais conhecido 
como Internacional 67. São eles: 
 
Onde: 
DATUM: é um sistema de referência utilizado para o cômputo ou correlação dos resultados 
de um levantamento. Existem dois tipos de datums: o vertical e o horizontal. O datum vertical é 
uma superfície de nível utilizada no referenciamento das altitudes tomadas sobre a superfície 
terrestre. O datum horizontal, por sua vez, é utilizado no referenciamento das posições tomadas 
sobre a superfície terrestre. Este último é definido: pelas coordenadas geográficas de um ponto 
inicial, pela direção da linha entre este ponto inicial e um segundo ponto especificado, e pelas duas 
dimensões (a e b) que definem o elipsóide utilizado para representação da superfície terrestre. 
SAD: South American Datum, oficializado para uso no Brasil em 1969, é representado pelo 
vértice Chuá, situado próximo à cidade de Uberaba-MG. 
a: é a dimensão que representa o semi-eixo maior do elipsóide (em metros). 
b: é a dimensão que representa o semi-eixo menor do elipsóide (em metros). 
f: é a relação entre o semi-eixo menor e o semi-eixo maior do elipsóide, ou seja, o seu achatamento. 
O atual SGB - Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência 
Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 
1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são: 
a = 6.378.137,000 m 
f = 1/298,257222101 
Historicamente, cada país ou região terrestre, escolhia o elipsóide que mais lhe convinha. O 
SGB, adotado pelos órgãos oficiais de produção cartográfica, tem tido várias evoluções durante os 
últimos100 anos: 
 
O Elipsóide WGS – 84, já é o usado pelos sistemas de posicionamento por satélite, como o 
GPS (Global Posicioning System), com possibilidade de conversão para os demais elipsóides em uso no 
mundo. O SIRGAS é um novo sistema, baseado nas possibilidades do GPS, 100 vezes melhor que o 
SAD 69, usado pelo Brasil. Hoje ainda, convive-se com os 3 sistemas, dependendo da época de 
execução das cartas. Pode-se migrar de um sistema a outro. 
A figura a seguir mostra, de forma esquemática, a relação existente entre a superfície 
topográfica ou real, o elipsóide e o geóide para uma mesma porção da superfície terrestre. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 8 
 
Rede de Marcos Geodésicos: 
Como já se viu acima, Datum é um ponto materializado no terreno para amarrar um Sistema 
Geodésico de Referência. É também o ponto de origem da Rede Geodésica, que espalha outros 
pontos sobre o território, chamados de MG = Marcos Geodésicos ou Marcos Físicos Referenciais. 
Atualmente no Brasil, a principal rede de marcos geodésico, ou simplesmente, rede 
geodésica, é a Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) de sinais GPS, ligada com a 
Rede Americana. É uma rede formada por pontos GPS com área de abrangência de aproximadamente 
500 km. Os pontos da RBMC são base para as redes estaduais de GPS, com pontos distribuídos em 
áreas de abrangência de 50 km aproximadamente. As redes estaduais são base para as Redes de 
Referência Cadastral Municipal (RRCM). 
Há diferenças locais entre a altitude do elipsóide (modelo geométrico) e a altitude do Geóide 
(modelo físico = real). Essa diferença se chama de ondulação geoidal (N). No Sistema SAD 69, o 
Datum horizontal é CHUÁ, significando que ali a ondulação geoidal é igual a zero metro (N = 0,0 
metro). Isso significa que em CHUÁ, o elipsóide e o Geóide coincidem. Nos demais locais, deve ser 
calculada a ondulação (N) a partir do Mapa Geoidal, executado a partir de levantamentos 
gravimétricos e maregráficos. 
 
Elementos do Elipsóide de Revolução: 
- Eixo da Terra: ou Linha dos Pólos é a reta que une o Pólo Norte (PN) ao Pólo Sul (PS) e em 
torno do qual a Terra gira (Movimento de Rotação); 
- Equador: é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos; 
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ARQUITETURA E URBANISMO 9 
- Paralelos: são os círculos 
cujos planos são paralelos ao plano 
do equador. Os Paralelos mais 
importantes são: Trópico de 
Capricórnio (φ = 23°23'S) e Trópico 
de Câncer (φ = 23°23'N); 
- Meridianos: são as seções 
elípticas cujos planos contém a linha 
dos pólos e que são normais aos 
paralelos; 
- Vertical do Lugar: é a 
linha que passa por um ponto da 
superfície terrestre (em direção ao 
centro do planeta) e que é normal à 
superfície representada pelo Geóide naquele ponto. Esta linha é materializada pelo “fio de prumo” 
dos equipamentos de medição (teodolito, estação, nível, etc.), ou seja, é a direção na qual atua a 
força da gravidade; 
- Normal ao Elipsóide: é toda linha reta perpendicular à superfície do elipsóide de 
referência. Esta linha possui um desvio em relação à vertical do lugar; 
- Pontos da Vertical do Lugar: o ponto (Z = ZÊNITE) se encontra no infinito superior, e o 
ponto (Z' = NADIR) no infinito inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes na 
definição de alguns equipamentos topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais 
com origem em Z ou em Z’; 
- Plano Horizontal do Observador: é o plano tangente à superfície terrestre ou topográfica 
num ponto qualquer desta superfície; 
- Latitude (φφφφ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o paralelo 
deste ponto e o plano do equador. Sua contagem é feita com origem no equador e varia de 0° a 90°, 
positivamente para o norte (N) e negativamente para o sul (S); 
- Longitude (λλλλ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o meridiano 
de origem, conhecido por Meridiano de Greenwich (na Inglaterra), e o meridiano do lugar (aquele que 
passa pelo ponto em questão). Sua contagem é feita de 0° a 180°, positivamente para oeste (W ou O) 
e negativamente para leste (E ou L); 
 
 Latitude Longitude 
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ARQUITETURA E URBANISMO 10 
Coordenadas Geográficas (φφφφ,λλλλ): 
É o nome dado aos valores de latitude e longitude que definem a posição de um ponto na 
superfície terrestre. Estes valores dependem do elipsóide de referência utilizado para a projeção 
do ponto em questão. 
 
Para melhor entendimento/visualização, veja os seguintes vídeos/animações sugeridos: 
http://www.youtube.com/watch?v=11Hq3gSYbkk 
http://www.youtube.com/watch?v=RxLrXbGH82A 
As cartas normalmente utilizadas por engenheiros em diversos projetos ou obras 
apresentam, além do sistema que expressa as coordenadas geográficas referidas anteriormente, 
outro sistema de projeção conhecido por UTM – Universal Transversa de Mercator. 
Coordenadas UTM (E,N): 
A Universal Transversa de Mercator (UTM) é um sistema de projeção cartográfica e 
corresponde a uma modificação da projeção, onde um cilindro secante é colocado em posição 
transversa. Este sistema foi adotado pela Diretoria de Serviço Geográfico do Exército e pelo IBGE 
como padrão para o mapeamento sistemático do país. 
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 11 
O sistema é constituído por 60 fusos de 6º de longitude, numerados a partir do 
antimeridiano de Greenwich, seguindo de oeste para leste até o encontro com o ponto de origem. A 
extensão latitudinal está compreendida entre 80º Sul e 84o Norte. O eixo central do fuso, 
denominado como meridiano central estabelece, junto com a linha do Equador, a origem do sistema 
de coordenadas de cada fuso. 
 
Cada fuso apresenta um único sistema plano de coordenadas, com valores que se repetem em 
todos os fusos. Assim, para localizar um ponto definido pelo sistema UTM, é necessário conhecer, 
além dos valores das coordenadas, o fuso aos quais as coordenadas pertencem, já que elas são 
idênticas em todos os fusos. 
Para evitar coordenadas negativas, são acrescidas 
constantes à origem do sistema de coordenadas, conforme 
especificado abaixo: 
a) 10.000.000 m para a linha do Equador, referente ao 
eixo das ordenadas do hemisfério sul, com valores decrescentes 
nesta direção; 
b) 0 m para a linha do Equador, referente ao eixo das 
ordenadas do hemisfério norte, com valores crescentes nesta 
direção; e 
c) 500.000 m para o meridiano central, com valores 
crescentes do eixo das abscissas em direção ao leste. 
Como convenção atribui-se a letra N para coordenadas 
norte-sul (ordenadas) e, a letra E, para as coordenadas leste-
oeste (abscissas). Um par de coordenadas no sistema UTM é 
definido, assim, pelas coordenadas (E, N). 
Cada fuso, na linha do Equador, apresenta, aproximadamente, 670 km deextensão leste-
oeste, já que a circunferência da Terra é próxima a 40.000 km. Como o meridiano central possui 
valor de 500.000 m, o limite leste e oeste de cada fuso correspondem, na linha do Equador, 
respectivamente, valores próximos a 160.000 m e 830.000 m (IBGE, 2005). 
As linhas de secância do cilindro estão situadas entre o meridiano central e o limite inferior 
e superior de cada fuso, o que infere, assim, duas linhas onde a distorção é nula, ou seja, o fator de 
escala é igual a 1. Elas estão situadas a cerca de 180 km a leste e a oeste do meridiano central, 
correspondendo, respectivamente, a coordenada 320.000 m e 680.000 m. Entre os círculos de 
secância, fica estabelecida a zona de redução e, externa a eles, a zona de ampliação. No meridiano 
central, o coeficiente de redução de escala corresponde a 0,9996, enquanto, nos limites do fuso, o 
coeficiente de ampliação é igual a 1,0010. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 12 
 
Devido à sua extensão longitudinal, o território brasileiro possui oito fusos UTM: do fuso 18, 
situado no extremo oeste, ao fuso 25, situado no extremo leste do território. 
 
 
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 13 
 Para melhor entendimento/visualização, veja os seguintes vídeos/animações 
sugeridos: 
http://www.youtube.com/watch?v=CPQZ7NcQ6YQ 
http://www.youtube.com/watch?v=Pf7r_InFqcE 
http://www.youtube.com/watch?v=HoTjehlAKXc 
http://www.youtube.com/watch?v=HonFxihqstU 
http://www.youtube.com/watch?v=8Y-g9twpVr4 
Sistemas de Coordenadas: 
Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de 
pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São 
utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da posição tridimensional de 
pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esféricas. 
Sistemas de Coordenadas Cartesianas: 
Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao 
mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. 
Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em disciplinas como 
geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no 
espaço bidimensional ou tridimensional. 
No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado 
é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é 
um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas 
retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem 
deste sistema é o cruzamento dos eixos X e Y. Um ponto é 
definido neste sistema através de uma coordenada denominada 
abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada 
(coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou P=(x,y) são utilizados 
para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. Na 
figura à direita é apresentado um sistema de coordenadas, cujas 
coordenadas da origem são O(0,0). Nele estão representados os 
pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15). 
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no 
espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três 
retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente 
perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, 
denominado de origem. A posição de um ponto neste sistema de 
coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas 
retangulares (x,y,z) de acordo com a figura à esquerda. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 14 
Sistemas de Coordenadas Esféricas: 
Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado 
de forma unívoca, conforme a figura abaixo, pelo afastamento r 
entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β 
formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre 
o plano xy e pelo ângulo α que a projeção do segmento OR sobre 
o plano xy forma com o semi-eixo OX. As coordenadas esféricas 
de um ponto R são dadas por (r, α, β). 
Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto 
a um sistema de coordenadas cartesianas. Assim, o ponto R, 
determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) pode ser expresso 
pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o relacionamento 
entre os dois sistemas, obtido pelo vetor posicional. 
Erros em Topografia: 
Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder a um 
levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros. Assim, os erros 
pertinentes às medições topográficas podem ser classificados como: 
- Naturais: são aqueles ocasionados pelas variações das condições ambientais, ou seja, 
temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc. Exemplo: variação do 
comprimento de uma trena com a variação da temperatura. São erros passíveis de correção desde que 
sejam tomadas as devidas precauções durante a medição. 
- Instrumentais: são aqueles ocasionados por defeitos, imperfeições ou ajustes dos 
instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições. A maior parte dos erros instrumentais pode ser 
reduzida adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas 
particulares de observação. 
- Pessoais: são aqueles ocasionados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma 
medição, cansaço, falta de cuidado do operador, etc. Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos, 
erro na leitura da régua graduada, na contagem do número de trenadas, ponto visado errado, aparelho 
fora de prumo, aparelho fora de nível, etc. Erros assim são classificados como erros grosseiros e não 
devem ocorrer jamais, pois não são passíveis de correção. 
É importante ressaltar que alguns erros se anulam durante a medição ou durante o processo de 
cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não significa estar 
necessariamente correto. Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, 
poderão ser classificados em: 
- Erros grosseiros 
- Erros sistemáticos 
- Erros aleatórios 
Erros Grosseiros: 
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo, etc., 
normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao 
observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. A repetição 
de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. Alguns exemplos de erros grosseiros: 
- anotar 196 ao invés de 169; 
- engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena. 
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ARQUITETURA E URBANISMO 15 
Erros Sistemáticos: 
São aqueles erros cuja magnitude e sinais algébricos podem ser determinados, seguindo leis 
matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados 
através de técnicas particularesde observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas 
específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho. Exemplo de erros sistemáticos, que podem 
ser corrigidos através de fórmulas específicas: 
- efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de distância; 
- correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. 
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou 
minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o 
nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona a minimização do efeito da 
curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular. 
Erros Acidentais ou Aleatórios: 
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros que não 
seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o 
número de observações é grande. Exemplo de erros acidentais: 
- Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; 
- Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 
Precisão e Acurácia: 
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições semelhantes, 
estando vinculada somente a efeitos aleatórios. 
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, 
estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. A figura abaixo ilustra estes conceitos. 
 
O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol 
está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado 
direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não apresentaram nenhuma 
variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não 
conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez. 
TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 16 
Bibliografia: 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 13133: Execução de 
levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35p. 
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Disponível em: <http://www.blucher.com.br/editor/amostra/07627.pdf>. Acesso em: 19 fev. 2014. 
BRANDALIZE, M. C. B. Topografia – Notas de aula. Pontífica Universidade Católica do Paraná. 
Disponível em: <http://www.topografia.com.br/topografia_conteudo.asp?cat=dow&det=Download>. 
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VEIGA, L.A.K, ZANETTI, M.A.Z., FAGGION, P.L. Fundamentos de Topografia – Notas de aula. 
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