Teorema de Gauss
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Teorema de Gauss


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Teorema da Diverge\u2c6ncia de Gauss no
Espac¸o
Augusto Lassen, Fabio Rasera, Luan Bottin de Toni, Ramon Nunes Kru¨ger
Professor: Manuela Longoni de Castro
1 de julho de 2017
O Teorema de Gauss (tambe´m conhecido como Teorema de Ostrogradski-
Gauss) trata da integrac¸a\u2dco das componentes normais de um campo vetorial
atrave´s de uma superf´\u131cie fechada (fisicamente compreendida como fluxo).
E´ utilizado no estudo da fluido-dina\u2c6mica e principalmente na a´rea do ele-
tromagnetismo, sendo uma das quatro equac¸o\u2dces de Maxwell. O presente
trabalho tem o intuito de demonstrar este teorema.
Teorema da Diverge\u2c6ncia de Gauss no Espac¸o: Seja V um so´lido
no R3 limitado por uma superf´\u131cie S seccionalmente lisa, fechada, orien-
tada pela normal unita´ria exterior \u2212\u2192n . Seja \u2212\u2192F (x, y, z) um campo vetorial
cujos componentes tenham derivadas parciais de primeira ordem cont´\u131nuas.
Temos: \u222b\u222b\u222b
V
\u2212\u21925 · \u2212\u2192F (x, y, z) dxdydz =
\u222b\u222b
S
\u2212\u2192
F · \u2212\u2192n dS (1)
Demonstrac¸a\u2dco
Seja
\u2212\u2192
F (x, y, z) = P (x, y, z)
\u2212\u2192
i +Q(x, y, z)
\u2212\u2192
j +R(x, y, z)
\u2212\u2192
k .
Enta\u2dco
\u2212\u21925 · \u2212\u2192F = Px +Qy +Rz
E se a, b e c forem os a\u2c6ngulos que \u2212\u2192n forma com \u2212\u2192i , \u2212\u2192j e \u2212\u2192k :
\u2212\u2192n = (cos(a), cos(b), cos(c))
Logo:
\u2212\u2192
F · \u2212\u2192n = P cos(a) +Q cos(b) +R cos(c)
1
Figura 1: Projec¸a\u2dco da a´rea delimitada por vetores em um plano.
Portanto provar a igualdade em (1) e´ equivalente a provar que\u222b\u222b\u222b
V
\u2202P
\u2202x
(x, y, z) dxdydz =
\u222b\u222b
S
P cos(a) dS =
\u222b\u222b
S
P dydz (2)
\u222b\u222b\u222b
V
\u2202Q
\u2202y
(x, y, z) dxdydz =
\u222b\u222b
S
Q cos(b) dS =
\u222b\u222b
S
Q dzdx (3)
\u222b\u222b\u222b
V
\u2202R
\u2202z
(x, y, z) dxdydz =
\u222b\u222b
S
R cos(c) dS =
\u222b\u222b
S
R dxdy (4)
A ideia da prova e´ a mesma para todas: transformar a integral tripla
numa dupla e essa numa integral de superf´\u131cie. A prova da terceira igualdade
pode ser visualizada nas figuras 1 e 2:
A norma de um produto vetorial e´ igual a` a´rea do paralelogramo gerado
pelos vetores dessa operac¸a\u2dco (na figura 1 o profuto vetorial entre \u2212\u2192u e \u2212\u2192v
resulta no vetor \u2212\u2192w ).
Desse modo a a´rea projetada, em um plano, equivale a` norma, do pro-
duto vetorial das projec¸o\u2dces desses vetores no plano. Na figura (1) \u2212\u2192u p×\u2212\u2192v p =\u2212\u2192w p representa o produto vetorial entre as projec¸o\u2dces de \u2212\u2192u e \u2212\u2192v . E´ fa´cil
de perceber que \u2212\u2192w p tambe´m representa a projec¸a\u2dco de \u2212\u2192w no eixo z (per-
pendicular ao plano em que a a´rea esta´ sendo projetada). Conforme mos-
trado na imagem, chega-se que a a´rea projetada no plano equivale a` norma
\u2016\u2212\u2192w p\u2016 = \u2016\u2212\u2192w \u2016cos\u3b1, sendo \u3b1 o menor a\u2c6ngulo entre \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v e o eixo z.
Pela figura 2 observamos que a a´rea dxdy pode ser visto como a projec¸a\u2dco
em xy de um elemento unita´rio de superf´\u131cie dS (delimitado por vetores
2
Figura 2: Projec¸a\u2dco de um elemento dS de superf´\u131cie no plano
ortogonais). Chegamos enta\u2dco que:
dS =
dx dy
cos(c)
verificando a igualdade das equac¸o\u2dces 2, 3 e 4.
Agora, basta verificar as demais igualdades nas equac¸o\u2dces 2, 3 e 4 (e por
conseguinte verificar a validade do teorema na equac¸a\u2dco 1). Verificaremos
apenas a validade da equac¸a\u2dco 4, de modo que o racioc´\u131nio para as demais e´
ana´logo, bastando referir-mo-nos a`s projec¸o\u2dces em relac¸a\u2dco a outros planos e
eixos.
Para uma superf´\u131cie S seccionalmente lisa, fechada, delimitando um vo-
lume V projeta´vel em xy como uma regia\u2dco K. Genericamente representada
pela figura (3) em que: S = S1 \u222a S2 \u222a S3, onde S1 dada por z = f1(x, y) e
S2 dada por z = f2(x, y) delimitam V superior e inferiormente de modo que
suas projec¸o\u2dces esta\u2dco contidas em K. E em que S3 (que poderia na\u2dco estar
representada no caso de um elipso´ide por exemplo) delimita V lateralmente
(f1(x, y) \u2264 z \u2264 f2(x, y)) e sua projec¸a\u2dco esta´ contida na fronteira de K.
3
Vemos que \u222b\u222b
S
R cos(c) dS =
3\u2211
i=1
\u222b\u222b
Si
R cos(c) dS
\u2022 Como em S3 \u2212\u2192n e´ paralelo ao plano xy:\u222b\u222b
S3
R cos(c) dS = 0
Figura 3: Volume delimitado superiormente por S2, inferiormente por S1 e
lateralmente por S3 com regia\u2dco de projec¸a\u2dco K em xy
\u2022 S2 pode ser parametrizada por
\u2212\u2192r (x, y) = x\u2212\u2192i + y\u2212\u2192j +\u2212\u2192f2(x, y), (x, y) \u2208 K
enta\u2dco
\u2212\u2192
N (x, y) = \u2212\u2202f2
\u2202x
(x, y)
\u2212\u2192
i \u2212 \u2202f2
\u2202y
(x, y)
\u2212\u2192
j +
\u2212\u2192
k e \u2212\u2192n (x, y) =
\u2212\u2192
N (x, y)
||\u2212\u2192N (x, y)||
com
\u2212\u2192
N =
\u2212\u21925f2(x, y) um vetor normal a S2 e \u2212\u2192n o vetor exterior unita´rio
normal a` S2.
e portanto\u222b\u222b
S2
R cos(c) dS =
\u222b\u222b
S3
R dxdy =
\u222b\u222b
k
R(x, y, f2(x, y)) dxdy
4
\u2022 S1 pode ser parametrizada por
\u2212\u2192r (x, y) = x\u2212\u2192i + y\u2212\u2192j + f1(x, y)\u2212\u2192k , (x, y) \u2208 K
enta\u2dco
\u2212\u2192
N (x, y) = \u2212\u2202f1
\u2202x
(x, y)
\u2212\u2192
i \u2212 \u2202f1
\u2202y
(x, y)
\u2212\u2192
j +
\u2212\u2192
k e \u2212\u2192n (x, y) = \u2212
\u2212\u2192
N (x, y)
||\u2212\u2192N (x, y)||
com
\u2212\u2192
N =
\u2212\u21925f1(x, y) um vetor normal a S1 e \u2212\u2192n o vetor exterior unita´rio
normal a` S1.
e portanto\u222b\u222b
S2
R cos(c) dS = \u2212
\u222b\u222b
S3
R dxdy = \u2212
\u222b\u222b
K
R(x, y, f1(x, y)) dxdy
Somando, enta\u2dco, os resultados obtidos anteriormente, e´ poss´\u131vel ver que:\u222b\u222b
S
Rcos(c) =
\u222b\u222b
K
[R(x, y, f2(x, y))\u2212R(x, y, f1(x, y))]dxdy
=
\u222b\u222b
K
\u222b z=f2(x,y)
z=f1(x,y)
\u2202R
\u2202z
(x, y, z)dzdxdy
=
\u222b\u222b\u222b
V
\u2202R
\u2202z
(x, y, z)dxdydz
Similarmente, vemos que esse processo dedutivo e´ aplica´vel aos outros pla-
nos, tal que as coordenadas do campo vetorial recebera\u2dco o mesmo trata-
mento, e resultara\u2dco nos mesmos resultados:\u222b\u222b
S
Pcos(a)dS =
\u222b\u222b\u222b
V
\u2202P
\u2202x
(x, y, z)dxdydz
E, similarmente, temos que:\u222b\u222b
S
Qcos(b)dS =
\u222b\u222b\u222b
V
\u2202Q
\u2202y
(x, y, z)dxdydz
Essa foi a forma, portanto, que o grupo encontrou para mostrar o teorema
de Gauss no espac¸o para so´lidos projeta´veis nos planos coordenados.Caso V
seja um so´lido qualquer divis´\u131vel atrave´s de superf´\u131cies regulares por partes
num nu´mero finito de so´lidos projeta´veis, basta calcular o teorema a cada
superf´\u131cie separadamente e somar seus resultados e este estara´ igualmente
estabelecido.
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Refere\u2c6ncias
Thomas, George B. - Ca´lculo, volume 2, 12a ed. Sa\u2dco Paulo, Pearson
Education do Brasil, 2012.
Leithold, Louis - Ca´lculo com Geometria Anal´\u131tica, volume 2, 3a ed.
Sa\u2dco Paulo, HARBRA, 1994.
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