Teorema de Gauss

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Teorema da Divergeˆncia de Gauss no
Espac¸o
Augusto Lassen, Fabio Rasera, Luan Bottin de Toni, Ramon Nunes Kru¨ger
Professor: Manuela Longoni de Castro
1 de julho de 2017
O Teorema de Gauss (tambe´m conhecido como Teorema de Ostrogradski-
Gauss) trata da integrac¸a˜o das componentes normais de um campo vetorial
atrave´s de uma superf´ıcie fechada (fisicamente compreendida como fluxo).
E´ utilizado no estudo da fluido-dinaˆmica e principalmente na a´rea do ele-
tromagnetismo, sendo uma das quatro equac¸o˜es de Maxwell. O presente
trabalho tem o intuito de demonstrar este teorema.
Teorema da Divergeˆncia de Gauss no Espac¸o: Seja V um so´lido
no R3 limitado por uma superf´ıcie S seccionalmente lisa, fechada, orien-
tada pela normal unita´ria exterior −→n . Seja −→F (x, y, z) um campo vetorial
cujos componentes tenham derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas.
Temos: ∫∫∫
V
−→5 · −→F (x, y, z) dxdydz =
∫∫
S
−→
F · −→n dS (1)
Demonstrac¸a˜o
Seja
−→
F (x, y, z) = P (x, y, z)
−→
i +Q(x, y, z)
−→
j +R(x, y, z)
−→
k .
Enta˜o
−→5 · −→F = Px +Qy +Rz
E se a, b e c forem os aˆngulos que −→n forma com −→i , −→j e −→k :
−→n = (cos(a), cos(b), cos(c))
Logo:
−→
F · −→n = P cos(a) +Q cos(b) +R cos(c)
1
Figura 1: Projec¸a˜o da a´rea delimitada por vetores em um plano.
Portanto provar a igualdade em (1) e´ equivalente a provar que∫∫∫
V
∂P
∂x
(x, y, z) dxdydz =
∫∫
S
P cos(a) dS =
∫∫
S
P dydz (2)
∫∫∫
V
∂Q
∂y
(x, y, z) dxdydz =
∫∫
S
Q cos(b) dS =
∫∫
S
Q dzdx (3)
∫∫∫
V
∂R
∂z
(x, y, z) dxdydz =
∫∫
S
R cos(c) dS =
∫∫
S
R dxdy (4)
A ideia da prova e´ a mesma para todas: transformar a integral tripla
numa dupla e essa numa integral de superf´ıcie. A prova da terceira igualdade
pode ser visualizada nas figuras 1 e 2:
A norma de um produto vetorial e´ igual a` a´rea do paralelogramo gerado
pelos vetores dessa operac¸a˜o (na figura 1 o profuto vetorial entre −→u e −→v
resulta no vetor −→w ).
Desse modo a a´rea projetada, em um plano, equivale a` norma, do pro-
duto vetorial das projec¸o˜es desses vetores no plano. Na figura (1) −→u p×−→v p =−→w p representa o produto vetorial entre as projec¸o˜es de −→u e −→v . E´ fa´cil
de perceber que −→w p tambe´m representa a projec¸a˜o de −→w no eixo z (per-
pendicular ao plano em que a a´rea esta´ sendo projetada). Conforme mos-
trado na imagem, chega-se que a a´rea projetada no plano equivale a` norma
‖−→w p‖ = ‖−→w ‖cosα, sendo α o menor aˆngulo entre −→u ×−→v e o eixo z.
Pela figura 2 observamos que a a´rea dxdy pode ser visto como a projec¸a˜o
em xy de um elemento unita´rio de superf´ıcie dS (delimitado por vetores
2
Figura 2: Projec¸a˜o de um elemento dS de superf´ıcie no plano
ortogonais). Chegamos enta˜o que:
dS =
dx dy
cos(c)
verificando a igualdade das equac¸o˜es 2, 3 e 4.
Agora, basta verificar as demais igualdades nas equac¸o˜es 2, 3 e 4 (e por
conseguinte verificar a validade do teorema na equac¸a˜o 1). Verificaremos
apenas a validade da equac¸a˜o 4, de modo que o racioc´ınio para as demais e´
ana´logo, bastando referir-mo-nos a`s projec¸o˜es em relac¸a˜o a outros planos e
eixos.
Para uma superf´ıcie S seccionalmente lisa, fechada, delimitando um vo-
lume V projeta´vel em xy como uma regia˜o K. Genericamente representada
pela figura (3) em que: S = S1 ∪ S2 ∪ S3, onde S1 dada por z = f1(x, y) e
S2 dada por z = f2(x, y) delimitam V superior e inferiormente de modo que
suas projec¸o˜es esta˜o contidas em K. E em que S3 (que poderia na˜o estar
representada no caso de um elipso´ide por exemplo) delimita V lateralmente
(f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)) e sua projec¸a˜o esta´ contida na fronteira de K.
3
Vemos que ∫∫
S
R cos(c) dS =
3∑
i=1
∫∫
Si
R cos(c) dS
• Como em S3 −→n e´ paralelo ao plano xy:∫∫
S3
R cos(c) dS = 0
Figura 3: Volume delimitado superiormente por S2, inferiormente por S1 e
lateralmente por S3 com regia˜o de projec¸a˜o K em xy
• S2 pode ser parametrizada por
−→r (x, y) = x−→i + y−→j +−→f2(x, y), (x, y) ∈ K
enta˜o
−→
N (x, y) = −∂f2
∂x
(x, y)
−→
i − ∂f2
∂y
(x, y)
−→
j +
−→
k e −→n (x, y) =
−→
N (x, y)
||−→N (x, y)||
com
−→
N =
−→5f2(x, y) um vetor normal a S2 e −→n o vetor exterior unita´rio
normal a` S2.
e portanto∫∫
S2
R cos(c) dS =
∫∫
S3
R dxdy =
∫∫
k
R(x, y, f2(x, y)) dxdy
4
• S1 pode ser parametrizada por
−→r (x, y) = x−→i + y−→j + f1(x, y)−→k , (x, y) ∈ K
enta˜o
−→
N (x, y) = −∂f1
∂x
(x, y)
−→
i − ∂f1
∂y
(x, y)
−→
j +
−→
k e −→n (x, y) = −
−→
N (x, y)
||−→N (x, y)||
com
−→
N =
−→5f1(x, y) um vetor normal a S1 e −→n o vetor exterior unita´rio
normal a` S1.
e portanto∫∫
S2
R cos(c) dS = −
∫∫
S3
R dxdy = −
∫∫
K
R(x, y, f1(x, y)) dxdy
Somando, enta˜o, os resultados obtidos anteriormente, e´ poss´ıvel ver que:∫∫
S
Rcos(c) =
∫∫
K
[R(x, y, f2(x, y))−R(x, y, f1(x, y))]dxdy
=
∫∫
K
∫ z=f2(x,y)
z=f1(x,y)
∂R
∂z
(x, y, z)dzdxdy
=
∫∫∫
V
∂R
∂z
(x, y, z)dxdydz
Similarmente, vemos que esse processo dedutivo e´ aplica´vel aos outros pla-
nos, tal que as coordenadas do campo vetorial recebera˜o o mesmo trata-
mento, e resultara˜o nos mesmos resultados:∫∫
S
Pcos(a)dS =
∫∫∫
V
∂P
∂x
(x, y, z)dxdydz
E, similarmente, temos que:∫∫
S
Qcos(b)dS =
∫∫∫
V
∂Q
∂y
(x, y, z)dxdydz
Essa foi a forma, portanto, que o grupo encontrou para mostrar o teorema
de Gauss no espac¸o para so´lidos projeta´veis nos planos coordenados.Caso V
seja um so´lido qualquer divis´ıvel atrave´s de superf´ıcies regulares por partes
num nu´mero finito de so´lidos projeta´veis, basta calcular o teorema a cada
superf´ıcie separadamente e somar seus resultados e este estara´ igualmente
estabelecido.
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Refereˆncias
Thomas, George B. - Ca´lculo, volume 2, 12a ed. Sa˜o Paulo, Pearson
Education do Brasil, 2012.
Leithold, Louis - Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, volume 2, 3a ed.
Sa˜o Paulo, HARBRA, 1994.
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