Prova com Resolução 16.09.2009 - Chincaro

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 1a prova (33 pontos) - Turma D - 16/09/2009
Responda 3 questo˜es:
1. (11 pontos) Ache o termo geral an e determine a soma da se´rie:
1
2.4
+
1
4.6
+
1
6.8
+ . . .
Soluc¸a˜o. an =
1
2n(2n+ 2)
=
1
2
(
1
2n
− 1
2n+ 2
)
. Enta˜o a soma parcial da se´rie e´
sn =
1
2
[(
1
2
− 1
4
)
+
(
1
4
− 1
6
)
+ . . . +
(
1
2n
− 1
2n+ 2
)]
=
1
2
(
1
2
− 1
2n+ 2
)
.
E a soma da se´rie e´ s = lim
n→∞
sn =
1
4
.
2. (11 pontos) Determine se a se´rie alternada e´ absolutamente convergente, condicio-
nalmente convergente ou divergente:
(a)
∞∑
n=1
(−1)n ln(n
2)
n
Soluc¸a˜o. (i) f(x) =
ln(x2)
x
= 2
ln x
x
⇒ f ′(x) = 2
(
x. 1
x
− ln x.1
x2
)
⇒ f ′(x) = 2(1− ln x)
x2
< 0, se x > e
⇒
{
ln(n2)
n
}∞
n=3
e´ uma sequeˆncia decrescente.
(ii) lim
n→∞
ln(n2)
n
= lim
n→∞
2
ln(n)
n
= (usando L’Hoˆpital) = lim
n→∞
2
1
n
1
= 0.
Por (i) e (ii) a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n ln(n
2)
n
e´ convergente, usando o Teste da se´rie alternada.
Mas esta se´rie na˜o e´ absolutamente convergente pois a se´rie dos mo´dulos diverge:
ln(n2)
n
≥ 1
n
e
∑ 1
n
diverge ⇒
∞∑
n=1
ln(n2)
n
diverge, usando o teste da comparac¸a˜o.
Em resumo,
∞∑
n=1
(−1)n ln(n
2)
n
e´ condicionalmente convergente.
(b)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
n+ 5
Soluc¸a˜o. (i)
{ √
n
n+ 5
}
n≥6
e´ decrescente, e (ii) lim
n→∞
√
n
n+ 5
= 0.
Pelo Teste da se´rie alternada,
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
n+ 5
converge. Mas
∑ √n
n+ 5
diverge.
Portanto a se´rie e´ condicionalmente convergente.
3. (11 pontos) Determine se a se´rie abaixo e´ convergente ou divergente:
(a)
∞∑
n=1
sen2( 1
n
)
n
Soluc¸a˜o. an =
sen2( 1
n
)
n
, bn =
1
n3
onde
∑ 1
n3
converge.
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
sen2( 1
n
)
n
.
n3
1
= lim
n→∞
sen2( 1
n
)
1
n2
= lim
n→∞
sen( 1
n
).sen( 1
n
)
1
n
. 1
n
=
= lim
n→∞
sen( 1
n
)
1
n
. lim
n→∞
sen( 1
n
)
1
n
= 1.1 = 1
Pelo Teste de Comparac¸a˜o do Limite, a se´rie dada ou seja
∑
an tambe´m converge.
(b)
∞∑
n=3
1
n(2 + ln n)
Soluc¸a˜o. Se f(x) =
1
x(2 + ln x)
enta˜o f(x) e´ decrescente pois f ′(x) < 0.
Integrando por substituic¸a˜o: u = 2 + ln x, du =
1
x
dx, dx = xdu∫
1
x(2 + ln x)
dx =
∫
1
x.u
.x du
∫
1
u
du = ln u = ln(2 + ln x).
⇒
∫ ∞
1
1
x(2 + ln x)
dx = ln(2 + ln x)
]∞
1
= +∞ e a integral diverge. Pelo teste
da integral, a se´rie dada
∑
f(n) tambe´m diverge pois a integral diverge e f(x) e´
decrescente e positiva.
4. (11 pontos) Use o Teste da Raza˜o para achar todos os valores de x para os quais a
se´rie ∞∑
n=1
(2x)2n
5n
√
n
seja convergente.
Soluc¸a˜o. Seja un =
(2x)2n
5n
√
n
. Pelo teste da raza˜o, a se´rie converge absolutamente se
L = lim
n→∞
un+1
un
< 1. E a se´rie diverge se L > 1. Mas L = lim
n→∞
(2x)2n+2
5n+1.
√
n+ 1
.
5n.
√
n
(2x)2n
=
=
(2x)2
5
. lim
n→∞
√
n
n+ 1
=
4
5
x2.
L =
4
5
x2 < 1⇔ |x| <
√
5
2
⇔ −
√
5
2
< x <
√
5
2
e a se´rie converge neste caso.
Se L = 1 enta˜o x = +
√
5
2
e o teste da raza˜o e´ inconcludente. Mas neste caso a se´rie
dada e´
∞∑
n=1
1√
n
que diverge. A se´rie converge⇔ −
√
5
2
< x <
√
5
2
.