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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 11/06/2017 Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x2−2x+2 x−1 . Calcule o dom´ınio e as suas assintotas. Soluc¸a˜o: Como f(x) e´ uma func¸a˜o racional, ela estara´ bem definida desde que o denominador seja diferente de zero, isto e´, x ̸= 1. Logo, o dom´ınio de f(x) e´ {x ∈ R : x ̸= 1}. Para entender a situac¸a˜o das assintotas, precisamos calcular os 4 seguintes limites: x → 1−, x → 1+, x → −∞ e x→ +∞. Observe que lim x→1x 2 − 2x+ 2 = 1. Portanto, lim x→1+ x2 − 2x+ 2 x− 1 = +∞ e limx→1− x2 − 2x+ 2 x− 1 = −∞. Como f(x) e´ uma func¸a˜o racional e o numerador tem grau maior que o denominador, segue que lim x→−∞ x2 − 2x+ 2 x− 1 = −∞ e limx→+∞ x2 − 2x+ 2 x− 1 = +∞. Portanto, somente x = 1 e´ uma assintota de f(x). Questa˜o 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal de f ′(x) e f ′′(x). Soluc¸a˜o: Derivando f ′(x) = (x− 2)x(x− 1)2 , Veja quem comanda o sinal de f ′(x) e´ x(x− 2) = x2 − 2x. Portanto, f ′(x) < 0 se 0 < x < 2. Do contra´rio, f ′(x) > 0. Derivando mais uma vez obtemos f ′′(x) = 2(x− 1)3 . Aqui quem comanda o sinal e´ denominador (x − 1)3 que tem o mesmo sinal que x − 1. Logo, f ′′(x) < 0 se x < 1 e f ′′(x) > 0 se x > 1. Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico. Soluc¸a˜o: Inicie trac¸ando a reta x = 1. Vamos fazer o gra´fico da esquerda para a direita. Veja que o gra´fico vem de −∞ e quando se aproxima de −1 pela esquerda f(x) vai para −∞. Mas de −∞ < x < 0 a func¸a˜o e´ crescente, depois de 0 < x < 1 ela fica decrescente. Ale´m disso, f ′′(x) < 0 neste intervalo, logo a boca e´ voltada para baixo. Com isso, podemos fazer esta parte do gra´fico. Para x > 1 a ana´lise e´ semelhante. Nome da Disciplina AP1 2 Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x2−2x+2 x−1 Questa˜o 4[1,6pts] Suponha que a equac¸a˜o de demanda para um barra de chocolate e´ p = 4 − 0, 0002x, onde x e´ o nu´mero de unidades produzidas a cada semana e p em reais e´ o prec¸o de cada unidade. O custo de produc¸a˜o, em reais, de x unidades e´ 600 + 3x. Se queremos o lucro semanal maior poss´ıvel, encontre: a) o nu´mero de unidades que devem ser produzidos semanalmente; b) o prec¸o de cada unidade; c) o lucro semanal. Soluc¸a˜o: (a) O prec¸o e´ dado por p(x) = 4 − 0, 0002x com x no intervalo [0, 20 000] pois p(x) ≥ 0. Logo R(x) = xp(x) R(x) = 4x− 0, 0002x2. A func¸a˜o custo e´ C(x) = 600+3x. Se L(x) for o lucro, L(x) = R(x)−C(x) = x−0, 0002x2−600. Derivando R′(x) = 4− 0, 0004x e C ′(x) = 3 Igualando, 4 − 0, 0004x = 3 ⇒ x = 2500. Ale´m disso, L′′(x) < 0, logo, L(2500) e´ um valor de ma´ximo absoluto. Segue que para alcanc¸armos o lucro ma´ximo devemos produzir 2500 barras de chocolate por semana. (b) Como P (2500) = 3, 50, o prec¸o por unidade deve ser 3, 50 reais por unidade. (c) Como L(2500) = 650, segue que o lucro semanal e´ de 650, 00 reais. Questa˜o 5 [1,8pt] Resolva as seguintes integrais: a) ∫ (x+ 3)5 dx b) ∫ 1 x ln(x) dx Soluc¸a˜o: a) Chame u = x+ 3⇒ du = dx, logo∫ (x+ 3)5 dx = ∫ u5 du = u 6 6 = x+ 3 6 . b) Chame v = ln(x)⇒ dv = dx x da´ı∫ 1 x ln(x) dx = ∫ 1 v dv = ln(v) = ln(ln(x)). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Nome da Disciplina AP1 3 Questa˜o 6 [1,6pt]Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas pelo gra´fico de y = x2 e y = x3− x e calcule a sua a´rea. Soluc¸a˜o: Inicialmente vemos que as ra´ızes de x3 − x = x(x2 − 1) = 0 sa˜o −1, 0 e o 1. Vamos igualar a equac¸o˜es para encontrar os valores de x em que os gra´ficos se encontram, x3 − x = x2 ⇔ x3 − x2 − x = 0⇔ x(x2 − x− 1) = 0 Resolvendo x2 − x− 1 = 0 obtemos β = 12 ( 1 + √ 5 ) e α = 12 ( 1−√5 ) . Com isso temos condic¸o˜es de fazer o gra´fico abaixo Enta˜o a a´rea A vai ser dada por A = ∫ α 0 (x3 − x2 − x) dx+ ∫ 0 β (−x3 + x2 + x) dx = [ x4 4 − x3 3 − x2 2 ]α 0 + [ −x 4 4 + x3 3 + x2 2 ]0 β = ( 13 24 − 5 √ 5 24 ) + ( 13 24 + 5 √ 5 24 ) = 1312 . Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = xe 1x . b) h(t) = t 3 √ t+ 2. Soluc¸a˜o: Em todas as derivadas, temos que aplicar a regra do produto, regra da cadeia e derivada de uma poteˆncia. a) g′(x) = e 1x − e 1 x x . b) h′(t) = t3(t+ 2)2/3 + 3 √ t+ 2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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