AP3_metdet_ii_2017_1_tutor.pdf

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 11/06/2017
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x2−2x+2
x−1 . Calcule o dom´ınio e as suas assintotas.
Soluc¸a˜o: Como f(x) e´ uma func¸a˜o racional, ela estara´ bem definida desde que o denominador seja
diferente de zero, isto e´, x ̸= 1. Logo, o dom´ınio de f(x) e´ {x ∈ R : x ̸= 1}. Para entender a
situac¸a˜o das assintotas, precisamos calcular os 4 seguintes limites: x → 1−, x → 1+, x → −∞ e
x→ +∞.
Observe que lim
x→1x
2 − 2x+ 2 = 1. Portanto,
lim
x→1+
x2 − 2x+ 2
x− 1 = +∞ e limx→1−
x2 − 2x+ 2
x− 1 = −∞.
Como f(x) e´ uma func¸a˜o racional e o numerador tem grau maior que o denominador, segue que
lim
x→−∞
x2 − 2x+ 2
x− 1 = −∞ e limx→+∞
x2 − 2x+ 2
x− 1 = +∞.
Portanto, somente x = 1 e´ uma assintota de f(x).
Questa˜o 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: Derivando
f ′(x) = (x− 2)x(x− 1)2 ,
Veja quem comanda o sinal de f ′(x) e´ x(x− 2) = x2 − 2x. Portanto, f ′(x) < 0 se 0 < x < 2. Do
contra´rio, f ′(x) > 0.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = 2(x− 1)3 .
Aqui quem comanda o sinal e´ denominador (x − 1)3 que tem o mesmo sinal que x − 1. Logo,
f ′′(x) < 0 se x < 1 e f ′′(x) > 0 se x > 1.
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de
f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Inicie trac¸ando a reta x = 1. Vamos fazer o gra´fico da esquerda para a direita. Veja
que o gra´fico vem de −∞ e quando se aproxima de −1 pela esquerda f(x) vai para −∞. Mas de
−∞ < x < 0 a func¸a˜o e´ crescente, depois de 0 < x < 1 ela fica decrescente. Ale´m disso, f ′′(x) < 0
neste intervalo, logo a boca e´ voltada para baixo. Com isso, podemos fazer esta parte do gra´fico.
Para x > 1 a ana´lise e´ semelhante.
Nome da Disciplina AP1 2
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x2−2x+2
x−1
Questa˜o 4[1,6pts] Suponha que a equac¸a˜o de demanda para um barra de chocolate e´ p = 4 −
0, 0002x, onde x e´ o nu´mero de unidades produzidas a cada semana e p em reais e´ o prec¸o de cada
unidade. O custo de produc¸a˜o, em reais, de x unidades e´ 600 + 3x. Se queremos o lucro semanal
maior poss´ıvel, encontre:
a) o nu´mero de unidades que devem ser produzidos semanalmente;
b) o prec¸o de cada unidade;
c) o lucro semanal.
Soluc¸a˜o:
(a) O prec¸o e´ dado por p(x) = 4 − 0, 0002x com x no intervalo [0, 20 000] pois p(x) ≥ 0. Logo
R(x) = xp(x)
R(x) = 4x− 0, 0002x2.
A func¸a˜o custo e´ C(x) = 600+3x. Se L(x) for o lucro, L(x) = R(x)−C(x) = x−0, 0002x2−600.
Derivando
R′(x) = 4− 0, 0004x e C ′(x) = 3
Igualando, 4 − 0, 0004x = 3 ⇒ x = 2500. Ale´m disso, L′′(x) < 0, logo, L(2500) e´ um valor de
ma´ximo absoluto. Segue que para alcanc¸armos o lucro ma´ximo devemos produzir 2500 barras de
chocolate por semana.
(b) Como P (2500) = 3, 50, o prec¸o por unidade deve ser 3, 50 reais por unidade.
(c) Como L(2500) = 650, segue que o lucro semanal e´ de 650, 00 reais.
Questa˜o 5 [1,8pt] Resolva as seguintes integrais:
a)
∫
(x+ 3)5 dx
b)
∫ 1
x ln(x) dx
Soluc¸a˜o: a) Chame u = x+ 3⇒ du = dx, logo∫
(x+ 3)5 dx =
∫
u5 du = u
6
6 =
x+ 3
6 .
b) Chame v = ln(x)⇒ dv = dx
x
da´ı∫ 1
x ln(x) dx =
∫ 1
v
dv = ln(v) = ln(ln(x)).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Nome da Disciplina AP1 3
Questa˜o 6 [1,6pt]Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas pelo gra´fico de y = x2 e y = x3− x
e calcule a sua a´rea.
Soluc¸a˜o: Inicialmente vemos que as ra´ızes de x3 − x = x(x2 − 1) = 0 sa˜o −1, 0 e o 1. Vamos
igualar a equac¸o˜es para encontrar os valores de x em que os gra´ficos se encontram,
x3 − x = x2 ⇔ x3 − x2 − x = 0⇔ x(x2 − x− 1) = 0
Resolvendo x2 − x− 1 = 0 obtemos β = 12
(
1 +
√
5
)
e α = 12
(
1−√5
)
.
Com isso temos condic¸o˜es de fazer o gra´fico abaixo
Enta˜o a a´rea A vai ser dada por
A =
∫ α
0
(x3 − x2 − x) dx+
∫ 0
β
(−x3 + x2 + x) dx
=
[
x4
4 −
x3
3 −
x2
2
]α
0
+
[
−x
4
4 +
x3
3 +
x2
2
]0
β
=
(
13
24 −
5
√
5
24
)
+
(
13
24 +
5
√
5
24
)
= 1312 .
Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de:
a) g(x) = xe 1x .
b) h(t) = t 3
√
t+ 2.
Soluc¸a˜o: Em todas as derivadas, temos que aplicar a regra do produto, regra da cadeia e derivada
de uma poteˆncia.
a)
g′(x) = e 1x − e
1
x
x
.
b)
h′(t) = t3(t+ 2)2/3 +
3
√
t+ 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ