Buscar

Probabilidade 20-02-2013

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 9 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 9 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 9 páginas

Prévia do material em texto

1
Probabilidade 
Probabilidade
Na natureza dois tipos de fenômenos:
� Determinístico – os resultados são sempre os mesmos, 
independente do números de ocorrências verificadas. 
Exemplos: 
� Um sólido a uma determinada temperatura passará para o estado 
liquido.
� Ao soltar uma pedra do alto de um edifício, sabemos que esta pedra irá 
em direção ao chão
� Aleatório - os resultados não são previsíveis, mesmo quando 
ocorre um grande numero de repetição do fenômeno.
Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as 
mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes.
Probabilidade
Exemplos de experimentos aleatórios:
� Resultado no lançamento de um dado;
� Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;
� Condições climáticas do próximo domingo;
� Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso;
� Determinação da vida útil de um equipamento eletrônico;
� Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas.
O resultado obtido de cada experimento aleatório é
chamado de evento aleatório.
Probabilidade
Experimentos aleatórios:
� Características:
� Possibilidade de repetição sob as mesmas condições;
� Resultados não determinados a priori;
� Observação da existência de regularidade quando o número 
de repetições é grande.
Probabilidade
� Espaço Amostral de um experimento aleatório:
conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
� Representado por (Ω).
Exemplos:
� Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
� Exame de sangue (tipo sanguíneo) . Ω = {A, B, AB, O}
� Hábito de fumar. Ω = {Fumante, Não fumante}
� Tempo de duração de uma lâmpada. Ω = {t: t ≥ 0}
Probabilidade
Evento aleatório é um subconjuntos do espaço amostral Ω.
Notação: A, B, C ...
∅ (conjunto vazio): evento impossível
Ω: evento certo
Exemplo: Lançamento de um dado.
� Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
� A: sair face par � A = {2, 4, 6} ⊂ Ω
� B: sair face maior que 3 � B = {4, 5, 6} ⊂ Ω
� C: sair face 1 � C = {1} ⊂ Ω
2
Probabilidade
Lançam-se dois dados:
Espaço amostral Ω.
Eventos:
A: Duas faces iguais: A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B: Faces soma igual a 10: B = {(4,6),(5,5),(6,4)}
C: Faces com soma menor que 2: C = {ɸ} (evento impossível)
D: Faces com soma menor que 15: D = {Ω} (evento certo)
E: Faces onde uma face é o dobro da outra: E= {(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3)}
Probabilidade
Classes de eventos aleatórios:
� É o conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espaço 
amostral. 
� Considere como exemplo um espaço amostral finito:
� Ω = {e1,e2,e3,e4}
� A classe de eventos aleatórios F(Ω)
� φ
� {e1}, {e2}, {e3}, {e4}
� {e1,e2}, {e1,e3}, {e1,e4}, {e2,e3} , {e2,e4}, {e3,e4}
� {e1,e2,e3}, {e1,e2,e4}, {e1,e3,e4}, {e2,e3,e4} 
� {e1,e2,e3, e4}
� O número de eventos de um espaço amostral é F(Ω)= 2�
� Usando esse espaço amostral temos que o número de eventos é 16
Probabilidade
Operações com eventos aleatórios:
� Considere Ω = {e1, e2, ..., en}. 
� Sejam A e B dois eventos de F(Ω).
� Operações:
◦ União: A ∪ B = {ei ∈ Ω | ei ϵ A OU ei ϵ B} 
� O evento formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um 
dos eventos.
BA
A ∪∪∪∪ B
Probabilidade
Operações com eventos aleatórios:
◦ Interseção: A ∩ B = {ei ∈ Ω | ei ∈ A E ei ∈ B}
� O evento formado pelos elementos que pertencem simultaneamente 
aos dois eventos.
A ∩ B
BA
Probabilidade
Operações com eventos aleatórios:
◦ Complementação: Ω - A = �	� = {ei ∈ Ω | ei ∉ A}
__
ΑA
Probabilidade
Exemplos:
� Lançam-se duas moedas. Sejam:
� A: saída de faces iguais e 
� B=saída de cara na primeira moeda. Determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B 
c) A� , B�
d) A ∪ B
e) A ∩ B 
f) A� ∪ B�
g) A� ∩ B�
h) B - A
i) A - B 
Ω = {(c,c), (c,r), (r,r), (r,c)}
A = {(c,c), (r,r)}
B = {(c,c), (c,r)}
3
Probabilidade
a) A ∪ B = { (c,c), (c,r), (r,r) }
b) A ∩ B = { (c,c) }
c) A� , B� A� = { (c,r), (r,c) } , 	B� = { (r,r), (r,c) }
d) A ∪ B = { (r,c) }
e) A ∩ B = { (c,r), (r,r), (r,c) } 
f) A� ∪ B� = { (c,r), (r,r), (r,c) }
g) A� ∩ B� = { (r,c) }
h) B – A = { (c,r) }
i) A - B = { (r,r) } Ω = {(c,c), (c,r), (r,r), (r,c)}
A = {(c,c), (r,r)}
B = {(c,c), (c,r)}
Probabilidade
Propriedades das operações:
� a) Idempotentes: A ∩ A = A
A ∪ A = A
� b) Comutativas: A ∪ B = B ∪ A 
A ∩ B = B ∩ A
� c) Associativas: A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C)= (A ∪ B) ∪ C)
� d) Distributivas: A ∪ (B ∩ C)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
A ∩ (B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Probabilidade
Propriedades das operações:
� e) Absorções: A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A
� f) Identidades: A ∩ Ω = A, A ∪ Ω = Ω
A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A
� g) Complementares: 
� h) Leis de Morgan: (A ∩ B) = A� ∪ B�
(A ∪ B) = A� ∩ B�
φφφ =∩== AAΩ,,Ω
Probabilidade
Partição de um espaço amostral:
� Os eventos A1, ..., An formam uma partição do 
espaço amostral Ω se:
• Não há eventos vazios
• Não há interseção entre os eventos
• A união dos eventos da partição é o espaço amostral
• Exemplo:
Ω
Probabilidade
Conceitos:
� É um conceito matemático que permite a 
quantificação da incerteza. 
� Medida da incerteza associada aos resultados do 
experimento aleatório.
� É aquilo que torna possível se lidar de forma racional 
com problemas envolvendo o imprevisível 
(aleatoriedade). 
Probabilidade
Conceito Clássico
� Se uma experiência tem N resultados possíveis e igualmente 
prováveis e nA é o número de resultados de um evento A 
então a probabilidade de A é:
� � =	
��
�
� Exemplos: 
� Lançamento de uma moeda. Seja A o evento que registra 
coroa
� � =
1
2
4
Probabilidade
Conceito Clássico
� Lançamento de um dado. Seja A o evento que registra a saída 
maior que 4, ou seja, sair 5 ou 6.
� � =
2
6
� Considere um experimento de seleção de cartas de um 
baralho. Cada carta tem a probabilidade 1/52.
� A: a carta selecionada é um AS
� P(A) = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52
Probabilidade
Conceito Formal
� Dado um experimento aleatório E e um evento A do 
espaço amostral Ω. A probabilidade de A P(A) é uma 
função que associa um evento um número real, 
satisfazendo os seguintes axiomas:
1. P(A) ≥ 0 ∀ A ⊆ Ω
2. P(Ω) = 1
3. Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos, ou seja, 
A∩B=∅, tem-se que
P(A∪B) = P(A) + P(B) 
Probabilidade
Principais Teoremas
1. Se φφφφ é o conjunto vazio então P(φφφφ)=0
� Demonstração:
� Seja A um evento qualquer. Considerando que 
A∩ φ= φ temos que P(A∪φ)=P(A)+P(φ) (Axioma 3)
� Como A∪φ = A então, P(A) = P(A)+ P(φ). Logo P(φ)=0
Probabilidade
Principais Teoremas
2. Se Ac é o complemento do evento A, então P(Ac) = 1- P(A).
Demonstração:
� Considere que Ω=A ∪Ac e A ∩ Ac = φ. Então 
P(A∪ Ac) = P(A) + P(Ac).
� Assim, P(Ω)= P(A∪ Ac)= P(A) + P(Ac); 
� 1 = P(A) + P(Ac).
� P(Ac) = 1- P(A).
Probabilidade
Principais Teoremas
3. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B)
Demonstração:
� Considere B= A ∪ (Ac ∩ B). Ora A e Ac ∩ B são mutuamente 
exclusivos. 
� Logo, P(B) = P(A) + P(Ac ∩ B). 
� P(Ac ∩ B) = P(B)- P(A).
� Como P(B)- P(A) ≥ 0 por axioma 1.
� P(A) ≤ P(B).
Probabilidade
Principais Teoremas
4. Teorema da Soma (Lei da Adição)
� É útil quando temos dois eventos e estamos interessados em 
conhecer a probabilidade de pelo menos um deles ocorra.
� Dados dois eventos A e B, estamos interessados em conhecer 
a probabilidade de que o evento A ou evento B ocorra, ou 
ambos ocorram:
� P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Demonstração:
� a) Se A e B são mutuamente exclusivos
� P(A∩B) = 0.
� Recai-se axioma 3 
5
Probabilidade
Principais Teoremas
4. Teorema da Soma (Lei da Adição)
b) Se A∩B ≠ φ.
� A e (Ac ∩ B)são mutuamente exclusivos
� Pelo Axioma 2, P(A∪ Ac ∩ B)=P(A ∪B)= P(A) + P(Ac ∩ B) (i);
� Considerando que B é a união dos eventos mutuamente 
exclusivos (B ∩ A) e (B ∩ Ac).
Logo, P(B)= P(B ∩ A) +P(B ∩ Ac); 
P(B ∩ Ac)= P(B)- P(B ∩ A) (ii)
� Substituindo (ii) em (i), P(A∪∪∪∪B)= P(A) + P(B) - P(A∩∩∩∩B)
Probabilidade
Eventos equiprováveis
� Dado um experimento aleatório, admitindo que todos 
os elementos tem a mesma chance (equiprovável), 
chama-se probabilidade de um evento A o número 
real P(A), tal que:
Ω de elementos de nº.
A de elementos de nº.
 (A) P =
Probabilidade
Eventos equiprováveis
� Considerando o lançamento de um dado, calcular: 
a) “Obter um número par na face superior”
S = {1,2,3,4,5,6} ∴	N=6
A = {2,4,6} 	∴ �� = 3 ∴	P(A) = 3/6 = ½
b) “Obter um número menor ou igual a 6”
S = {1,2,3,4,5,6} ∴	N=6
B = {1,2,3,4,5,6} 	∴ �	� = 6 ∴	P(B) = 6/6 = 1
c) “Obter um número 4 na face superior”
S = {1,2,3,4,5,6} ∴	N=6
C = {4} 	∴ �� = 1 ∴	P(C) = 1/6
Probabilidade
Eventos complementares
� Considerando P(A) a probabilidade de ocorrer o 
evento A (sucesso) e P(Ac) a probabilidade que ele não 
ocorra (insucesso), existe a relação:
P(Ac) = 1- P(A)
a) “Obter um número 4 na face superior”
S = {1,2,3,4,5,6} ∴	N=6
A = {4} 	∴ �� = 1 ∴	P(C) = 1/6
b) “Obter um número diferente de 4”
P(B) = 1 – P(A) ∴ P(B) = 1 -
�
�
=	
�
�
Probabilidade
Eventos independentes
� Dois eventos são independentes quando a realização ou a não 
realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da 
realização do outro e vice-versa.
� A probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é 
igual ao produto das probabilidades dos dois eventos.
� Lançamos dois dados, qual a probabilidade de 5 no primeiro 
dado e 6 no segundo dado?
� P (D5) = 1/6
� P (D6) = 1/6
� P (D5 e D6) = 1/6 * 1/6 = 1/36
Probabilidade
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral
� A probabilidade de dois ou mais eventos independentes ocorrerem
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de ocorrerem
separadamente.
� Se jogarmos duas moedas para cima, qual a probabilidade de 
sair “cara” nas duas? 
P(C) = 1/2 ∴	P(C ∩ C) = ½ * ½ = ¼
� O fato de sair “cara” em uma moeda não afeta a chance de sair “cara” na outra. 
6
Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de 
um exclui a realização do(s) outro (s).
� A probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma 
das probabilidades de cada um deles.
� Lançamos um dados, qual a probabilidade de 5 ou 6?
� P (D5) = 1/6
� P (D6) = 1/6
� P (D5 ou D6) = 1/6 + 1/6 = 2/6
Probabilidade
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral 
� A probabilidade de dois ou mais eventos mutuamente 
exclusivos ocorrerem é igual a soma das probabilidades de 
ocorrerem separadamente.
� Qual a chance de sair “cara” ou “coroa” em uma jogada de moeda? 
P (Ca) = ½ 
P (Co) = ½
P (Ca ∩ Co) = P (Ca) + P (Co) = ½ + ½ = 1
Probabilidade
Probabilidade Condicional 
� A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer 
um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço 
amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em 
função o espaço amostral S.
� A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um 
evento ocorrido B é expressa como:
� P(A/B) = 
 	(�	∩�	)
 	 �
, se P (B) ≠ 0
� P(B/A) = 
 	(�	∩	�	)
 	 �
, se P (A) ≠ 0
Probabilidade – Exemplo 1
� Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a 
probabilidade de sair um Rei ou uma carta de ouro.
� A = { #$, #%, #&, #'}
� B = { �$, 2$, 3$, ... , #$}
� P (A) = 4/52
� P (B) = 13/52
� A ∩ B = { #$}
� P (A ∩ B) = 1/52
� P (A ∪	B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) 
� P (A ∪	B) = 
)
�*
+ 
�+
�*
-
�
�*
∴ P (A ∪	B) = 
��
�*
Probabilidade – Exemplo 2
� Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650
deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que
550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200
trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a
probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza
a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam
cartões de crédito da bandeira MasterCard?
P(M/V) =
P(V ∩	M)
 (,)
=
*--
��-
	= 	
)
��
Probabilidade – Exemplo 3
� O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 
anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 
3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso entre 
as 18. Os seguintes eventos são definidos:
� A: a pessoa tem mais de 21 anos;
� B: a pessoa tem menos de 21 anos;
� C: a pessoa é um rapaz;
� D: a pessoa é uma moça.
Calcular:
a) P(B U D);
b) P(.� 	∩	/�	).
Ω = { 5R, 4r, 6M, 3m} ∴ 0 =
�
�1
A = { 5R, 6M} � P(A) = 
��
�1
C= { 5R, 4r} � P(C) =
2
�1
B = { 4r, 3m} � P(B) =
3
�1
D = {6M, 3m} � P(D) =
2
�1
7
Probabilidade – Exemplo 3
Calcular:
a) P(B U D) = P(B) + P(D) – P (B ∩ D)
P (B ∩ D) = 
4
56
P (B U D) = 
7
56
+	
9
56
	− 	
4
56
= 
54
56
b) P(.� 	∩	/�	).
.� = B 
/� = D
.� 	∩	/� = B ∩ D = { 3m }
P(.� 	∩	/�	)	= 
+
�1
= 
�
�
Probabilidade – Exemplo 4
� Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas
são sorteadas sucessivamente, sem reposição.
P	 B	 ∩ < = P	 B . 	�	 </< =	
*
�
	x 
�
)
= 
*
*-
P	 V	 ∩ V = P	(@). 	�	(@/@) =
+
�
	x 
*
)
= 
�
*-
P	 B	 ∩ V = P	 B . 	P V/B =
*
�
	x 
+
)
= 
�
*-
P	 V	 ∩ B = P V .P B/V =	
+
�
	x 
*
)
= 
�
*-
� Probabilidade que sejam da mesma cor?
P(MC) = P (B∩B) + P(V∩V) =
*
*-
+	
�
*-
=	
1
*-
Probabilidade – Exemplo 5
� Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou
seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração.
Nesta situação, temos:
� P(BB) 	= 	
*
�
	x
*
�
=
)
*�
� �(VV) 	= 	
+
�
	x
+
�
=
2
*�
� �(<V) 	= 	
*
�
	x
+
�
=
�
*�
� �(V<) 	= 	
+
�
	x
*
�
=
�
*�
Probabilidade – Exemplo 6
� Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam 
de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2 e 
0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um 
dos dois componentes não falhe?
� P(A) = falha o primeiro, 
� P(B) = falha o segundo,
� P(A ∩ B) = falhem os dois.
� P(F) = pelo menos um não falhe
� P (F) = 1 – P(A ∩ B) = 1 - 0,2 x 0,3 = 0,94. 
Probabilidade – Exemplo 7
� Num estudo sobre a ocorrência de problemas cardíacos em
pessoas acima de 40 anos de determinado município, um
pesquisador coletou dados de peso corporal e pressão arterial
de uma amostra aleatória de 1660 pessoas dessa população:
Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total
(A) (B) ( C) 
Elevada (E) 166 132 35 333
Normal (N) 249 747 331 1327
Total 415 879 366 1660
Peso
Probabilidade – Exemplo 7
� Considere o experimento aleatório:
� Selecionar aleatoriamente uma pessoa da população
amostrada e observar sua pressão arterial e seu peso
corporal (de acordo com a classificação adotada pelo
pesquisador para as variáveis peso e pressão arterial).
� Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter pressão arterial
elevada?
• P	 E = 	
+++
���-
= 0,2006
� Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter peso normal?
• P	 B = 	
132
���-
= 0,5295
Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total
(A) (B) ( C) 
Elevada (E) 166 132 35 333
Normal (N) 249 747 331 1327
Total 415 879 366 1660
Peso
8
Probabilidade – Exemplo 7
� Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter pressão
arterialelevada, dado que tem peso excessivo?
• Probabilidade condicional de E, dado que A ocorre
• P (E/A) =
 	(	C	∩	�)	
 	(�)
• P	 E = 	
���
)��
= 0,4000
� Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter peso normal,
dado que tem pressão arterial normal?
• P (B/N) =
 	(	�	∩	D)	
 	(D)
• P	 B/� =	
3)3
�+*3
= 0,562924
Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total
(A) (B) ( C) 
Elevada (E) 166 132 35 333
Normal (N) 249 747 331 1327
Total 415 879 366 1660
Peso
Probabilidade – Exemplo 8
� Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a
probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a
probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de
tentativas?
P (E) = 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024
Probabilidade – Exemplo 9
� O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela
junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um
número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que
variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é
de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade
dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
� P (3) = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }
� P (4) = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }
� P (3 ∩ E)= { (4, 3)
� P (R) = P(3) + P(4) - P (3 ∩ E)
� P (R) =
3
*1
+	
3
*1
	− 	
�
*1
= 	
�+
*1
	
Probabilidade – Exemplo 10
� Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de
inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos.
Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele
também estar cursando o curso de espanhol?
� P (I) =
FGG
HGGG
� P (E) =
4GG
HGGG
� P (E∩I) =
HGG
HGGG
• P (E/I) =
 	(	C	∩I)	
 	(I)
• P	 E/J = 	
*--
�--
= 0,40
Probabilidade – Exemplo 11
� De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola.
Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?
� P (3) = {3, 6,9,12,15) }
� P (4) = { 4,8,12 }
� P (3 ∩ E)= {12)
� P (R) = P(3) + P(4) - P (3 ∩ E)
� P (R) =
�
��
+	
+
��
	− 	
�
��
= 	
3
��
	
Probabilidade
Combinação e Arranjo 
� Em algumas situações para o calculo da probabilidade de um 
evento se faz necessário contar o números de casos favoráveis e 
o total de casos. Deve-se utilizar:
� Combinação quando não se faz necessário considerar a ordem dos 
elementos no conjunto; 
� Arranjo quando a ordem for relevante.
9
Probabilidade
Combinação
� O número de combinações de K elementos combinados 0 a 0
sendo 0 < K é calculado por:
MN,' = 
K
0 = 
N!
'!(NQ')!
� Exemplo 01: Quantas comissões de três pessoas podem ser 
formadas em um grupo de 10 pessoas?
M�-,+ = 
10
3
= 
�-!
+!(�-Q+)!
= 
�-.2.1.3!
+.*.�.3!
= 120
Probabilidade
Arranjo
� O número de arranjos de K elementos combinados 0 a 0 sendo 
0 < K é calculado por:
�N,' = 
K
0 = 
N!
(NQ')!
� Exemplo 01: Quantas chapas diferentes podemos ter para uma 
eleição de presidente, tesoureiro e secretario em um grupo de 
10 pessoas?
��-,+ = 
10
3
= 
�-!
	(�-Q+)!
= 
�-!
3!
= 
+�*11--
�-)-
= 720
Probabilidade
� Exemplo 02: Em um congresso cientifico existem 15 matemáticos e 12 
estatísticos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 
membros, na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos?
A : comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos.
K = 	 	
27
5
	
0 = 	 	
15
3
	 . 	 	
12
2
	
P( A ) = 
	
��
+
	 . 	 	�*
*
	
	
*3
�

Outros materiais