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1 Probabilidade Probabilidade Na natureza dois tipos de fenômenos: � Determinístico – os resultados são sempre os mesmos, independente do números de ocorrências verificadas. Exemplos: � Um sólido a uma determinada temperatura passará para o estado liquido. � Ao soltar uma pedra do alto de um edifício, sabemos que esta pedra irá em direção ao chão � Aleatório - os resultados não são previsíveis, mesmo quando ocorre um grande numero de repetição do fenômeno. Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes. Probabilidade Exemplos de experimentos aleatórios: � Resultado no lançamento de um dado; � Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; � Condições climáticas do próximo domingo; � Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso; � Determinação da vida útil de um equipamento eletrônico; � Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas. O resultado obtido de cada experimento aleatório é chamado de evento aleatório. Probabilidade Experimentos aleatórios: � Características: � Possibilidade de repetição sob as mesmas condições; � Resultados não determinados a priori; � Observação da existência de regularidade quando o número de repetições é grande. Probabilidade � Espaço Amostral de um experimento aleatório: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. � Representado por (Ω). Exemplos: � Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} � Exame de sangue (tipo sanguíneo) . Ω = {A, B, AB, O} � Hábito de fumar. Ω = {Fumante, Não fumante} � Tempo de duração de uma lâmpada. Ω = {t: t ≥ 0} Probabilidade Evento aleatório é um subconjuntos do espaço amostral Ω. Notação: A, B, C ... ∅ (conjunto vazio): evento impossível Ω: evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. � Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} � A: sair face par � A = {2, 4, 6} ⊂ Ω � B: sair face maior que 3 � B = {4, 5, 6} ⊂ Ω � C: sair face 1 � C = {1} ⊂ Ω 2 Probabilidade Lançam-se dois dados: Espaço amostral Ω. Eventos: A: Duas faces iguais: A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B: Faces soma igual a 10: B = {(4,6),(5,5),(6,4)} C: Faces com soma menor que 2: C = {ɸ} (evento impossível) D: Faces com soma menor que 15: D = {Ω} (evento certo) E: Faces onde uma face é o dobro da outra: E= {(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3)} Probabilidade Classes de eventos aleatórios: � É o conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espaço amostral. � Considere como exemplo um espaço amostral finito: � Ω = {e1,e2,e3,e4} � A classe de eventos aleatórios F(Ω) � φ � {e1}, {e2}, {e3}, {e4} � {e1,e2}, {e1,e3}, {e1,e4}, {e2,e3} , {e2,e4}, {e3,e4} � {e1,e2,e3}, {e1,e2,e4}, {e1,e3,e4}, {e2,e3,e4} � {e1,e2,e3, e4} � O número de eventos de um espaço amostral é F(Ω)= 2� � Usando esse espaço amostral temos que o número de eventos é 16 Probabilidade Operações com eventos aleatórios: � Considere Ω = {e1, e2, ..., en}. � Sejam A e B dois eventos de F(Ω). � Operações: ◦ União: A ∪ B = {ei ∈ Ω | ei ϵ A OU ei ϵ B} � O evento formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos eventos. BA A ∪∪∪∪ B Probabilidade Operações com eventos aleatórios: ◦ Interseção: A ∩ B = {ei ∈ Ω | ei ∈ A E ei ∈ B} � O evento formado pelos elementos que pertencem simultaneamente aos dois eventos. A ∩ B BA Probabilidade Operações com eventos aleatórios: ◦ Complementação: Ω - A = � � = {ei ∈ Ω | ei ∉ A} __ ΑA Probabilidade Exemplos: � Lançam-se duas moedas. Sejam: � A: saída de faces iguais e � B=saída de cara na primeira moeda. Determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A� , B� d) A ∪ B e) A ∩ B f) A� ∪ B� g) A� ∩ B� h) B - A i) A - B Ω = {(c,c), (c,r), (r,r), (r,c)} A = {(c,c), (r,r)} B = {(c,c), (c,r)} 3 Probabilidade a) A ∪ B = { (c,c), (c,r), (r,r) } b) A ∩ B = { (c,c) } c) A� , B� A� = { (c,r), (r,c) } , B� = { (r,r), (r,c) } d) A ∪ B = { (r,c) } e) A ∩ B = { (c,r), (r,r), (r,c) } f) A� ∪ B� = { (c,r), (r,r), (r,c) } g) A� ∩ B� = { (r,c) } h) B – A = { (c,r) } i) A - B = { (r,r) } Ω = {(c,c), (c,r), (r,r), (r,c)} A = {(c,c), (r,r)} B = {(c,c), (c,r)} Probabilidade Propriedades das operações: � a) Idempotentes: A ∩ A = A A ∪ A = A � b) Comutativas: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A � c) Associativas: A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C)= (A ∪ B) ∪ C) � d) Distributivas: A ∪ (B ∩ C)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Probabilidade Propriedades das operações: � e) Absorções: A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A � f) Identidades: A ∩ Ω = A, A ∪ Ω = Ω A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A � g) Complementares: � h) Leis de Morgan: (A ∩ B) = A� ∪ B� (A ∪ B) = A� ∩ B� φφφ =∩== AAΩ,,Ω Probabilidade Partição de um espaço amostral: � Os eventos A1, ..., An formam uma partição do espaço amostral Ω se: • Não há eventos vazios • Não há interseção entre os eventos • A união dos eventos da partição é o espaço amostral • Exemplo: Ω Probabilidade Conceitos: � É um conceito matemático que permite a quantificação da incerteza. � Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório. � É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível (aleatoriedade). Probabilidade Conceito Clássico � Se uma experiência tem N resultados possíveis e igualmente prováveis e nA é o número de resultados de um evento A então a probabilidade de A é: � � = �� � � Exemplos: � Lançamento de uma moeda. Seja A o evento que registra coroa � � = 1 2 4 Probabilidade Conceito Clássico � Lançamento de um dado. Seja A o evento que registra a saída maior que 4, ou seja, sair 5 ou 6. � � = 2 6 � Considere um experimento de seleção de cartas de um baralho. Cada carta tem a probabilidade 1/52. � A: a carta selecionada é um AS � P(A) = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 Probabilidade Conceito Formal � Dado um experimento aleatório E e um evento A do espaço amostral Ω. A probabilidade de A P(A) é uma função que associa um evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: 1. P(A) ≥ 0 ∀ A ⊆ Ω 2. P(Ω) = 1 3. Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A∩B=∅, tem-se que P(A∪B) = P(A) + P(B) Probabilidade Principais Teoremas 1. Se φφφφ é o conjunto vazio então P(φφφφ)=0 � Demonstração: � Seja A um evento qualquer. Considerando que A∩ φ= φ temos que P(A∪φ)=P(A)+P(φ) (Axioma 3) � Como A∪φ = A então, P(A) = P(A)+ P(φ). Logo P(φ)=0 Probabilidade Principais Teoremas 2. Se Ac é o complemento do evento A, então P(Ac) = 1- P(A). Demonstração: � Considere que Ω=A ∪Ac e A ∩ Ac = φ. Então P(A∪ Ac) = P(A) + P(Ac). � Assim, P(Ω)= P(A∪ Ac)= P(A) + P(Ac); � 1 = P(A) + P(Ac). � P(Ac) = 1- P(A). Probabilidade Principais Teoremas 3. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B) Demonstração: � Considere B= A ∪ (Ac ∩ B). Ora A e Ac ∩ B são mutuamente exclusivos. � Logo, P(B) = P(A) + P(Ac ∩ B). � P(Ac ∩ B) = P(B)- P(A). � Como P(B)- P(A) ≥ 0 por axioma 1. � P(A) ≤ P(B). Probabilidade Principais Teoremas 4. Teorema da Soma (Lei da Adição) � É útil quando temos dois eventos e estamos interessados em conhecer a probabilidade de pelo menos um deles ocorra. � Dados dois eventos A e B, estamos interessados em conhecer a probabilidade de que o evento A ou evento B ocorra, ou ambos ocorram: � P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Demonstração: � a) Se A e B são mutuamente exclusivos � P(A∩B) = 0. � Recai-se axioma 3 5 Probabilidade Principais Teoremas 4. Teorema da Soma (Lei da Adição) b) Se A∩B ≠ φ. � A e (Ac ∩ B)são mutuamente exclusivos � Pelo Axioma 2, P(A∪ Ac ∩ B)=P(A ∪B)= P(A) + P(Ac ∩ B) (i); � Considerando que B é a união dos eventos mutuamente exclusivos (B ∩ A) e (B ∩ Ac). Logo, P(B)= P(B ∩ A) +P(B ∩ Ac); P(B ∩ Ac)= P(B)- P(B ∩ A) (ii) � Substituindo (ii) em (i), P(A∪∪∪∪B)= P(A) + P(B) - P(A∩∩∩∩B) Probabilidade Eventos equiprováveis � Dado um experimento aleatório, admitindo que todos os elementos tem a mesma chance (equiprovável), chama-se probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que: Ω de elementos de nº. A de elementos de nº. (A) P = Probabilidade Eventos equiprováveis � Considerando o lançamento de um dado, calcular: a) “Obter um número par na face superior” S = {1,2,3,4,5,6} ∴ N=6 A = {2,4,6} ∴ �� = 3 ∴ P(A) = 3/6 = ½ b) “Obter um número menor ou igual a 6” S = {1,2,3,4,5,6} ∴ N=6 B = {1,2,3,4,5,6} ∴ � � = 6 ∴ P(B) = 6/6 = 1 c) “Obter um número 4 na face superior” S = {1,2,3,4,5,6} ∴ N=6 C = {4} ∴ �� = 1 ∴ P(C) = 1/6 Probabilidade Eventos complementares � Considerando P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A (sucesso) e P(Ac) a probabilidade que ele não ocorra (insucesso), existe a relação: P(Ac) = 1- P(A) a) “Obter um número 4 na face superior” S = {1,2,3,4,5,6} ∴ N=6 A = {4} ∴ �� = 1 ∴ P(C) = 1/6 b) “Obter um número diferente de 4” P(B) = 1 – P(A) ∴ P(B) = 1 - � � = � � Probabilidade Eventos independentes � Dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. � A probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades dos dois eventos. � Lançamos dois dados, qual a probabilidade de 5 no primeiro dado e 6 no segundo dado? � P (D5) = 1/6 � P (D6) = 1/6 � P (D5 e D6) = 1/6 * 1/6 = 1/36 Probabilidade Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral � A probabilidade de dois ou mais eventos independentes ocorrerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de ocorrerem separadamente. � Se jogarmos duas moedas para cima, qual a probabilidade de sair “cara” nas duas? P(C) = 1/2 ∴ P(C ∩ C) = ½ * ½ = ¼ � O fato de sair “cara” em uma moeda não afeta a chance de sair “cara” na outra. 6 Probabilidade Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro (s). � A probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades de cada um deles. � Lançamos um dados, qual a probabilidade de 5 ou 6? � P (D5) = 1/6 � P (D6) = 1/6 � P (D5 ou D6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 Probabilidade Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral � A probabilidade de dois ou mais eventos mutuamente exclusivos ocorrerem é igual a soma das probabilidades de ocorrerem separadamente. � Qual a chance de sair “cara” ou “coroa” em uma jogada de moeda? P (Ca) = ½ P (Co) = ½ P (Ca ∩ Co) = P (Ca) + P (Co) = ½ + ½ = 1 Probabilidade Probabilidade Condicional � A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S. � A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento ocorrido B é expressa como: � P(A/B) = (� ∩� ) � , se P (B) ≠ 0 � P(B/A) = (� ∩ � ) � , se P (A) ≠ 0 Probabilidade – Exemplo 1 � Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um Rei ou uma carta de ouro. � A = { #$, #%, #&, #'} � B = { �$, 2$, 3$, ... , #$} � P (A) = 4/52 � P (B) = 13/52 � A ∩ B = { #$} � P (A ∩ B) = 1/52 � P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) � P (A ∪ B) = ) �* + �+ �* - � �* ∴ P (A ∪ B) = �� �* Probabilidade – Exemplo 2 � Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard? P(M/V) = P(V ∩ M) (,) = *-- ��- = ) �� Probabilidade – Exemplo 3 � O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos são definidos: � A: a pessoa tem mais de 21 anos; � B: a pessoa tem menos de 21 anos; � C: a pessoa é um rapaz; � D: a pessoa é uma moça. Calcular: a) P(B U D); b) P(.� ∩ /� ). Ω = { 5R, 4r, 6M, 3m} ∴ 0 = � �1 A = { 5R, 6M} � P(A) = �� �1 C= { 5R, 4r} � P(C) = 2 �1 B = { 4r, 3m} � P(B) = 3 �1 D = {6M, 3m} � P(D) = 2 �1 7 Probabilidade – Exemplo 3 Calcular: a) P(B U D) = P(B) + P(D) – P (B ∩ D) P (B ∩ D) = 4 56 P (B U D) = 7 56 + 9 56 − 4 56 = 54 56 b) P(.� ∩ /� ). .� = B /� = D .� ∩ /� = B ∩ D = { 3m } P(.� ∩ /� ) = + �1 = � � Probabilidade – Exemplo 4 � Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. P B ∩ < = P B . � </< = * � x � ) = * *- P V ∩ V = P (@). � (@/@) = + � x * ) = � *- P B ∩ V = P B . P V/B = * � x + ) = � *- P V ∩ B = P V .P B/V = + � x * ) = � *- � Probabilidade que sejam da mesma cor? P(MC) = P (B∩B) + P(V∩V) = * *- + � *- = 1 *- Probabilidade – Exemplo 5 � Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos: � P(BB) = * � x * � = ) *� � �(VV) = + � x + � = 2 *� � �(<V) = * � x + � = � *� � �(V<) = + � x * � = � *� Probabilidade – Exemplo 6 � Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe? � P(A) = falha o primeiro, � P(B) = falha o segundo, � P(A ∩ B) = falhem os dois. � P(F) = pelo menos um não falhe � P (F) = 1 – P(A ∩ B) = 1 - 0,2 x 0,3 = 0,94. Probabilidade – Exemplo 7 � Num estudo sobre a ocorrência de problemas cardíacos em pessoas acima de 40 anos de determinado município, um pesquisador coletou dados de peso corporal e pressão arterial de uma amostra aleatória de 1660 pessoas dessa população: Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total (A) (B) ( C) Elevada (E) 166 132 35 333 Normal (N) 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso Probabilidade – Exemplo 7 � Considere o experimento aleatório: � Selecionar aleatoriamente uma pessoa da população amostrada e observar sua pressão arterial e seu peso corporal (de acordo com a classificação adotada pelo pesquisador para as variáveis peso e pressão arterial). � Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter pressão arterial elevada? • P E = +++ ���- = 0,2006 � Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter peso normal? • P B = 132 ���- = 0,5295 Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total (A) (B) ( C) Elevada (E) 166 132 35 333 Normal (N) 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso 8 Probabilidade – Exemplo 7 � Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter pressão arterialelevada, dado que tem peso excessivo? • Probabilidade condicional de E, dado que A ocorre • P (E/A) = ( C ∩ �) (�) • P E = ��� )�� = 0,4000 � Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter peso normal, dado que tem pressão arterial normal? • P (B/N) = ( � ∩ D) (D) • P B/� = 3)3 �+*3 = 0,562924 Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total (A) (B) ( C) Elevada (E) 166 132 35 333 Normal (N) 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso Probabilidade – Exemplo 8 � Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? P (E) = 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024 Probabilidade – Exemplo 9 � O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? � P (3) = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) } � P (4) = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) } � P (3 ∩ E)= { (4, 3) � P (R) = P(3) + P(4) - P (3 ∩ E) � P (R) = 3 *1 + 3 *1 − � *1 = �+ *1 Probabilidade – Exemplo 10 � Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? � P (I) = FGG HGGG � P (E) = 4GG HGGG � P (E∩I) = HGG HGGG • P (E/I) = ( C ∩I) (I) • P E/J = *-- �-- = 0,40 Probabilidade – Exemplo 11 � De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? � P (3) = {3, 6,9,12,15) } � P (4) = { 4,8,12 } � P (3 ∩ E)= {12) � P (R) = P(3) + P(4) - P (3 ∩ E) � P (R) = � �� + + �� − � �� = 3 �� Probabilidade Combinação e Arranjo � Em algumas situações para o calculo da probabilidade de um evento se faz necessário contar o números de casos favoráveis e o total de casos. Deve-se utilizar: � Combinação quando não se faz necessário considerar a ordem dos elementos no conjunto; � Arranjo quando a ordem for relevante. 9 Probabilidade Combinação � O número de combinações de K elementos combinados 0 a 0 sendo 0 < K é calculado por: MN,' = K 0 = N! '!(NQ')! � Exemplo 01: Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas em um grupo de 10 pessoas? M�-,+ = 10 3 = �-! +!(�-Q+)! = �-.2.1.3! +.*.�.3! = 120 Probabilidade Arranjo � O número de arranjos de K elementos combinados 0 a 0 sendo 0 < K é calculado por: �N,' = K 0 = N! (NQ')! � Exemplo 01: Quantas chapas diferentes podemos ter para uma eleição de presidente, tesoureiro e secretario em um grupo de 10 pessoas? ��-,+ = 10 3 = �-! (�-Q+)! = �-! 3! = +�*11-- �-)- = 720 Probabilidade � Exemplo 02: Em um congresso cientifico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos? A : comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos. K = 27 5 0 = 15 3 . 12 2 P( A ) = �� + . �* * *3 �
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